专题06双曲线小题十二类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线小题十二类综合题型，以“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”构建系统性方法体系，通过典例变式实现知识逻辑与解题能力的迁移提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1模块|明晰核心解法，归纳综合问题处理思路|从双曲线基础概念出发，构建知识网络| |题型精讲|12类/每类1典例+3变式|涵盖定义法、代数式求参、点差法等核心解法|从方程、渐近线到离心率、面积等，由基础到综合递进| |压轴挑战|10题|攻克高难压轴，突破思维上限|综合应用双曲线性质与跨知识点结合，提升逻辑推理能力|

学科网（北京）股份有限公司 专题06双曲线小题十二类综合题型（压轴题专项训练） 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 双曲线的标准方程 题型二 双曲线的渐近线 题型三 已知渐近线求参数 题型四 双曲线的离心率 题型五 双曲线离心率的取值范围 题型六 周长问题 题型七 面积问题 题型八 斜率问题 题型九 中点问题 题型十 双曲线中的和差最值问题 题型十一 双曲线与向量 题型十二 弦长问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线小题是高中数学的重难点，题型涵盖双曲线方程，离心率，周长面积弦长，离心率等，此类问题知识点较为综合：一考查内容综合正余弦定理，二考内容会涵盖向量，三考查内容涵盖定值定点，斜率角度等问题，这类习题经常需要多方面考虑各类内容. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双曲线的方程 典例精讲1 (25-26高二上·江苏南通海门区·期末)已知点为双曲线：（，）的右焦点，它到双曲线的一条渐近线的距离为，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用焦点到渐近线的距离求出的值，再结合渐近线倾斜角的关系求出的值，进而得到双曲线的方程. 【详解】由题可知，双曲线的一条渐近线为，即， 所以， 设为渐近线的倾斜角，为渐近线的倾斜角， 所以， 又，，所以，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 故选：A 题型归纳 1.双曲线的标准方程需要求解a,b,c. 2.方法：一考虑双曲线的定义，二考虑通过代数式求参数. 变式训练1-1 (24-25高二上·安徽蚌埠·期末)已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【详解】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用是的中垂线、的周长与的周长之差得到关于的方程组求解. 变式训练1-2 (25-26高二·山西阳泉·期末)如图，某绿色蔬菜种植基地在处，现要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到农贸市场中去，已知，，，在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线的方程为______.    【答案】（） 【分析】以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，由余弦定理可求得，进而求得，由双曲线的定义求解可得该界线的方程. 【详解】以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如上图所示： 在中，由余弦定理可得， 可得； 设是边界上任一点，则满足， 所以； 由双曲线定义可知，点所在的界线是以为焦点， 实轴长为的双曲线靠近的一支，并且在农贸市场内的部分； 由，可得， 所以双曲线方程为（）. 变式训练1-3 (25-26高二·天津部分区·期末)双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，若四边形的面积为，则的方程为______. 【答案】 【分析】先根据题意列出圆的方程和双曲线的渐近线方程，然后将这两者联立，得到的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式列出等式，求得，最后根据面积公式得到等式，从而可求出，进而得到双曲线的方程. 【详解】由题意可知，，双曲线的渐近线方程为. 以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为. 因为以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，所以联立方程 ，得，化简得， 所以，所以. 因为，所以，解得. 由于四边形的面积为，所以. 由得，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 题型二、双曲线的渐近线 典例精讲2. 若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由3型双曲线定义可知双曲线的方程为，且，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】由新概念可知，的3型双曲线的方程为，且， 所以，即，则， 所以的3型双曲线的渐近线为. 故选：D. 题型归纳 1.双曲线的渐近线方程需要区分焦点在x轴，或是y轴。 2.双曲线的渐近线方程可以令等号右端为0，得出渐近线方向。 3.双曲线的渐近线夹角通常比较重要。 变式训练2-1 (23-24高二上·安徽合肥第一中学·期末)已知平行于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为等边三角形可得渐近线的倾斜角，进而即可求得渐近线方程. 【详解】因为为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为， 所以， 所以渐近线方程为, 故选：B 变式训练2-2 (24-25高二上·重庆南开中学校·期末)已知双曲线的两条渐近线与圆均相切，则两条渐近线的方程为_______． 【答案】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求出关系即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心，半径， 依题意，，所以两条渐近线的方程为. 故答案为： 变式训练2-3 (23-24高二上·陕西学林高中系列联考·期中)已知为双曲线的右焦点，过点作轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点和点.若，则双曲线的渐近线方程为___________. 【答案】 【分析】分别求得点和点，则可得，可得渐近线方程. 【详解】 设， 过点作轴的垂线，直线方程为， 所以令，代入双曲线方程得，所以， 又在第一象限，所以， 双曲线的一条渐近线为，令可得，即， 又，所以是，中点， 则，即， 所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故答案为：. 题型三、已知渐近线求参数 典例精讲3 (25-26高二上·云南昆明五华区·)已知直线与双曲线的一支相交于不同的两点，设双曲线渐近线斜率为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C的一支与直线相交于互异两点列出不等式组，求出，再结合求解即可. 【详解】联立方程组；消去y得， 而双曲线C的一支与直线相交于互异两点， 等价于不等式组，解得； 依题意得，当时，； 可得的取值范围是，故A正确. 故选：A 题型归纳 1.渐近线通常可以考虑直线与双曲线的交点问题 2.渐近线需考虑焦点不同时，渐近线的公式也不同 变式训练3-1 (25-26高二上·湖北武昌实验中学·月考)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，为的角平分线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义及几何性质，结合已知条件，求出点坐标，进而求出相关线段长度，再利用角平分线定理求出． 【详解】双曲线，设双曲线半焦距为， 左、右焦点分别为，，， ，是中点， ，， 是中点，是以为圆心，为半径的圆上的点，故， 设点在双曲线渐近线上，联立得， 点在双曲线渐近线上，且是中点， ，故，解得，， 的斜率，方程为， 联立直线与双曲线方程，得，解得， 在双曲线右支上，，，故点； ， 是的角平分线， ，故D正确． 故选：D． 变式训练3-2 (22-23高二上·贵州六盘水·期末)设点是双曲线：（，）上任意一点，过作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交渐近线于点.若四边形的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，过点与直线：平行的直线方程为，求出，再联立方程求出点的坐标，求出及点到直线 的距离，利用四边形的面积求出，再结合基本不等式即可得解. 【详解】双曲线：的渐近线方程为， 设，过点与直线：平行的直线方程为， 则，所以， 则与直线：平行的直线方程为， 联立，解得， 即直线与渐近线的交点， 点到直线：的距离， ， 因为四边形的面积为2，所以，即，即， 因为，所以，所以，所以， 由，当且仅当时，取等号，所以，即， 所以双曲线的焦距的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据平行四边形的面积公式建立方程求出的关系，再由基本不等式是解决本题的关键. 变式训练3-3 已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________. 【答案】 【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 由题意，直线是双曲线的切线，切点为， 而双曲线的渐近线方程为，则， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 则 （当且仅当时取等号）， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型四、双曲线的离心率 典例精讲4 (26-27高二上·浙江Z20名校联盟·)已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义推得，结合对称性得，设，分别利用三角函数定义和余弦定理列方程，消去，得关于的齐次方程，求解即得. 【详解】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则， 由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，， 即， 将（*）代入，可得， 整理得，则有， 故. 题型归纳 1.双曲线的离心率范围大于1可以用来检验。 2.公式汇总：一利用,二，三构造其次还方程. 变式训练4-1 (25-26高二下·广东深圳外国语学校·期末)已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质得到平行关系，再借助中位线性质确定有关线段长度；结合双曲线的定义求出焦半径，最后利用余弦定理求离心率． 【详解】因为在以为直径的圆上，所以． 又三点共线，故． 由，知为等腰三角形． 取的中点，则，从而． 在中，为的中点，所以为的中点，故 设，则，． 点在双曲线左支上，所以 点在双曲线右支上，且，所以即，解得． 因此 故为等边三角形，． 又，． 在中，由余弦定理，得 所以，故双曲线的离心率为 变式训练4-2 (25-26高二下·贵州遵义·期末)已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的数量关系得到平行，结合题意即可得到，设点坐标，由向量的关系得到点坐标，由向量垂直建立等量关系，结合点在双曲线上，整理等式.联立两点在双曲线上的方程，解得点横坐标，然后代入前面等式，通过整理化简即可得到关于离心率的方程，解得离心率. 【详解】因为，所以，又因为， 所以， 设，则， 所以，即， 所以， 所以， 即, 因为在曲线上，所以，即， 所以，又因为， 所以 因为在曲线上，所以， 即，则，所以， 代入上式得， 即， 所以， 即， 所以， 即， 所以， 所以， 因为离心率，所以，所以， 所以. 变式训练4-3 (25-26高二下·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知双曲线的左右焦点为，，P为双曲线右支上一点，Q为的内心，直线PQ与x轴交于点，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】5 【分析】利用双曲线的定义，内切圆的性质，角平分线定理求出关系得解. 【详解】如图， 不妨设点在第一象限，圆的半径为， 由圆的切线性质及双曲线的定义可得： ， 又，所以， 所以，则可知， 因为点，且共线，， 所以，所以，解得， 由角平分线定理知，， 不妨设 则， 所以， 所以 ， 又， 所以，即，解得， 所以. 题型五、双曲线离心率的取值范围 典例精讲5 (25-26高二·河南驻马店部分校·期末)直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 题型归纳 离心率方法： 1定义法:通过已知条件列出方程组，求得a，c得值，根据离心率的定义求解离心率e; 2齐次式法:由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解; 3特殊值法:通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 变式训练5-1 (25-26高二·河南许昌·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 【答案】 【分析】设点且，，从而有直线为，根据三角形角平分线的性质有，且，，得即可求范围. 【详解】设双曲线的焦距为，且，则，， 设点且，， 直线的方程为，令，得，， 所以，则在线段上， 由是的角平分线，在中， 由三点共线，则， 因为，则， 而点到右焦点的距离为， 所以，所以， 由，则，即， 综上，离心率的取值范围为. 变式训练5-2 (25-26高二·浙江杭州北斗联盟·期中)已知分别是椭圆和双曲线的离心率，是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义将几何条件转化为关于的代数关系，进而建立目标式与离心率的关系，最后利用柯西不等式求解最值. 【详解】 设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据椭圆的定义. 设双曲线的实半轴长为，半焦距为，根据双曲线的定义， 不妨设，则有. 联立得. 因为，所以根据勾股定理有， 化简得：，两边同除以可得：， 则根据柯西不等式得， 当且仅当 所以的最大值为. 变式训练5-3 (25-26高二下·河南许昌第二高级中学等四校·期中)如图，已知椭圆与双曲线（，）有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（   ）    A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得的关系，由此可得，再利用三角换元求最大值. 【详解】为第一象限的交点，设、， 则、，解得、， 在中，由余弦定理得：， ∴，∴， ∴，∴，∴， 设，，则， 当时，即，时，取得最大值. 题型六、周长问题 典例精讲6已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线第一象限内的一点，的角平分线为，过原点作的平行线，分别与和交于两点，若，则的周长为（  ） A．48 B．50 C．52 D．56 【答案】C 【分析】为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点，利用三角形中位线定理得到，由求出，设直线交于点，由的角平分线为，得到，由是的角平分线得到，，结合求出和的值，从而求出的周长. 【详解】   ，，， ，， 为的中点，过原点作的平行线，分别与和交于两点， ， ，， 设直线交于点， 点为双曲线第一象限内的一点，， 的角平分线为， ，，，， ，， ，， ，，， 是的角平分线， ，， 点为双曲线第一象限内的一点，， ，，， ，的周长为. 故选：C. 题型归纳 1.周长问题分析： 2.一焦点三角形周长考虑定义，二非焦点三角形考虑弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)。 变式训练6-1 (25-26高二上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求的双曲线的方程为，结合双曲线与椭圆有相同的焦点得到，根据双曲线的定义可得，计算的周长可转化为，当，，三点共线时，周长取最小值. 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 故选：D.    变式训练6-2 (24-25高二上·浙江宁波九校·期末)已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到的内切圆与轴的切点为双曲线右焦点，并求出，由双曲线定义得到，利用的面积得到方程，求出其内切圆半径，并得到，再由的面积得到方程，求出其内切圆半径，并由勾股定理得到，由对称性得到，求出三角形周长. 【详解】由题意得，解得，故， 设的内切圆与轴的切点为， 由切线长定理得， 由双曲线定义知，， 即， 设，则，， 故，故，解得， 故为双曲线的右顶点， 中，令得，故， 故，解得， 则Rt的面积为， 设的内切圆半径为， 则，即， 解得，即， 由对称性可知，关于轴对称，设与轴交点为， 则，故， 设的内切圆半径为， 又，， 故， 即，解得， 由对称性可知，平分， 故内切圆圆心在轴上，且与切于点， 其中， 故，， 由勾股定理得， 故，则的周长为. 故选：C 【点睛】结论点睛：双曲线焦点三角形的内切圆的圆心的横坐标为或. 变式训练6-3 (22-23高二下·辽宁六校协作体·)已知，是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连接交C于点B，则（    ） A．C的方程为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】D 【分析】根据点A的坐标和离心率求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析. 【详解】对A,将点A的坐标代入双曲线方程,并由 得下列方程组: ,解得,∴双曲线,A错误; 对B,,,, ,∴,故B错误; 对C, , ,,周长,C错误; 对D,令 ,则 ,  , 在 中,   ,D正确; 故选:D． 题型七、面积问题 典例精讲7 (23-24高二上·江苏南京金陵中学·期末)过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为_________. 【答案】 【分析】设出点及直线、方程，结合双曲线的渐近线方程可得、两点坐标，即可得、，由渐近线的斜率亦可得，结合三角形面积公式计算即可得. 【详解】由可得其渐近线方程为， 不妨设、， ，交于点、交于点， 则、， 有，解得，即， 有，解得，即， 故， ， 由，设直线的倾斜角为，则有， 故， 故， 由在双曲线上，故，即. 故答案为：. 题型归纳 求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积； ④结论：。 变式训练7-1 (23-24高二上·浙江嘉兴第一中学·)已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左､右焦点，点，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率求出的关系，结合向量数量积的公式，结合一元二次函数的性质求出函数的最值即可. 【详解】由，得， 故线段所在直线的方程为， 又点在线段上，可设，其中， 由于，即， 得， 所以. 由于，可知当时，取得最小值，此时， 当时，取得最大值，此时，则， 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是设，然后计算出，利用二次函数性质则得到其最值，再代入得到，则得到面积比. 变式训练7-2 (25-26高二上·河北沧州四校联考·期中)已知双曲线：与椭圆有公共的左、右焦点，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于点，，且线段的中点在另一条渐近线上，则（为坐标原点）的面积为______. 【答案】6 【分析】由椭圆的方程写出焦点，的坐标，得到以线段为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线联立求得点的坐标，进而得到线段的中点的坐标，代入另一条渐近线求得的值，得到双曲线的方程，与圆的方程联立求得点的坐标，根据（为坐标原点）的面积等于求得其面积. 【详解】由椭圆知，所以. 双曲线：的渐近线方程为. 以线段为直径的圆的方程为. 由，得，所以，所以. 记线段的中点为，则. 点在上，所以，解得，所以. 所以双曲线的方程为：. 由，得，所以. 所以（为坐标原点）的面积为. 故答案为：. 变式训练7-3 (22-23高二上·湖南怀化·期末)已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则_____________，_____________． 【答案】 2 8 【分析】利用内切圆性质结合双曲线定义，可推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心即为P，从而求得内切圆半径，根据三角形面积公式结合双曲线定义，即可求得的值. 【详解】设内切圆与三边的切点分别为，如图， 则，， Q在双曲线右支上，由双曲线定义得， 则， 又，故， 即E点横坐标为a，即内切圆的圆心横坐标为a， 由，得， 即，即为的角平分线， 由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为， 则P即为内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为； ， 故答案为：2；8 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线定义的应用以及焦点三角形内切圆半径的求解，综合了向量数量积的应用，解答的关键是利用内切圆性质结合双曲线定义，推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心. 题型八、斜率问题 典例精讲8 (25-26高二下·湖南师范大学附属中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为第一象限内一点，且，，为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则直线PM与QM的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量中点性质转化，结合双曲线定义与余弦定理求出，再用点差法直接得到PM与QM的斜率之积等于，快速求解. 【详解】设，，， 在中，由余弦定理可得， 又，则有，① 又为的中点，由中线定理可得， 即，② ②①可得，所以，故， 易知点与关于原点对称，设， 则，因为都在双曲线上， 所以，，所以， 则． 题型归纳 1.斜率问题 2.以点斜式设直线方程时，考虑斜率是否存在，以倾斜角考虑直线的斜率， 3.点差法考虑斜率问题，点差法通常考虑二级结论，焦点在x轴时，。 变式训练8-1 双曲线：的右焦点为，设，过且斜率存在的一条直线与双曲线交于，两点.记直线，的斜率依次为，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线为：，，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，进而求解即可. 【详解】双曲线：的右焦点的坐标为， 设直线为：，，， 联立，得， 则，，且，， 所以 . 因为，所以. 故选：C 变式训练8-2 (25-26高二·江苏南京七校联合体·期末)已知双曲线：，左、右顶点分别为，，过作直线与双曲线左右两支分别交于，两点（异于，），设直线的斜率为，直线的斜率为，则____． 【答案】/ 【分析】设出直线方程与两点坐标，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出两根之和及两根之积，代入中化简求值即可. 【详解】双曲线左顶点，右顶点. 设直线的方程为，（左支），（右支）. 联立，整理得， ， 所以，， 有题意可得，， 则， 又， ， 所以. 故答案为：. 变式训练8-3 (24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)设为原点，双曲线的方程是（，），离心率 .  直线与双曲线的两条渐近线分别交于，与圆相切于点.若，，则直线的斜率为_____，双曲线的实轴长为_____. 【答案】 14 【分析】利用点差法，可求直线的斜率，在中，利用勾股定理可求的值. 【详解】如图： 设点，，渐近线方程为， 则，，相减得， ，所以. 设与轴交于，，， 则，， ， 在直角中，，，， 所以，解得，实轴长为14. 故答案为：；14 题型九、中点问题 典例精讲9 (25-26高二下·河南洛阳河南科技大学附属高级中学·)已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】设点在双曲线右支上，延长交的延长线于点，由 及得到平分且，从而，进而根据双曲线的定义结合中位线可求. 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 题型归纳 解决双曲线中点弦问题的两种方法： 1.根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和 3.二级结论，焦点在x轴时， 变式训练9-1 (25-26高二·贵州遵义·)已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】设由点差法可得直线的斜率，可得答案. 【详解】设由AB的中点坐标为，则且 ， 所以. 又A，B两点在双曲线上， 所以由相减可得，即， 所以，即，解得， 所以的斜率为. 故选：A. 变式训练9-2过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 【答案】 【分析】设为 上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转到，根据旋转关系，可得点的轨迹为等轴双曲线，从而得到曲线也是等轴双曲线，由双曲线的性质结合几何关系即可求解. 【详解】设为 上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 变式训练9-3 (24-25高二上·四川绵阳中学·期末)已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则___________. 【答案】 【分析】设，利用点差法可得，同理有，结合条件即可求得答案. 【详解】设，则， ，，两式相减，得， 即，即， 同理可求得， 而的斜率之和为， 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题运用点差法，这是解决圆锥曲线中弦中点与直线斜率关系问题的常用方法.通过设出弦的端点坐标，代入曲线方程作差，可巧妙地建立起弦的斜率与中点坐标所确定直线斜率的关系. 题型十、双曲线中的和差最值问题 典例精讲10 (25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)过点的直线l与圆相切于点M，与曲线交于点R.若FR的中点为N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题的关键在于利用圆的切线性质和双曲线的定义，结合中点坐标公式，将转化为与双曲线的实轴长有关的表达式求解即可. 【详解】双曲线可化为， 可得， ，故双曲线的右焦点为， 由过点的直线与交于点，若的中点为, 在中，, 又直线与圆相切于点, ，且， 由双曲线的定义可得即 在中，, 因为为的中点，根据题意可知点在线段上，所以, 则. 故选：. 题型归纳 和差最值问题： 优先考虑将军饮马，直线需要考虑与直线对称，圆需要考虑圆心转化。椭圆、双曲线、抛物线需要考虑定义转化。 变式训练10-1 (25-26高二·河北唐山·期末)已知双曲线的右焦点为，实轴长为4，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，为圆上一点，则的最小值为___________． 【答案】6 【分析】利用已知条件先求出双曲线方程，再利用双曲线定义把转化到，然后再利用到圆上的动点距离转化到圆心的距离，最后易得距离之和的最小值. 【详解】    双曲线的实轴长为4，得，即， 由渐近线方程为，得，即， 双曲线方程为，， 双曲线的右焦点为，左焦点为， 由双曲线的定义得， 为圆上一点，圆心，半径， ，即， 而， 的最小值为. 故答案为：. 变式训练10-2 (25-26高二上·重庆南坪中学校·月考)点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由题意求出直线与的交点B为圆心在，半径为2的圆，由双曲线的定义可得，当，，三点共线时，最小，过与圆心的直线与圆的交点且在和圆心之间时最小. 【详解】联立直线，的方程，故 若，则， 若，则，且，故， 可得交点的轨迹为圆心在，半径为2的圆（除去点）， 由双曲线的方程可得，，焦点，右焦点， 可得，所以， 当点在线段上时，最小，即最小， 所以， 当过与圆心的直线与圆的交点在和圆心之间时最小． 所以最小值为． 故答案为：. 变式训练10-3 (24-25高二下·广东茂名52校际联盟·)已知双曲线的上焦点为，以轴上一动点为圆心，半径为的圆与的上支交于、两点，则点到、两点距离之和的最小值为______． 【答案】 【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得、，进而可得，利用两点间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值. 【详解】由题意可得，设、， 设圆心为，动圆方程为， 联立，得，则，， 因此， 故． 因为，所以， 同理可得，故， 又，且，， 故，，从而， 故 ， 故当时，取得最小值． 故答案为：． 题型十一、双曲线与向量 典例精讲11 (25-26高二上·黑龙江大庆实验中学·期中)椭圆与双曲线具有相同的焦点，在第一象限的交点为点，过点作的内角分线和外角分线分别交轴于，两点，过作的内角分线交，于，两点，如图所示，设，，若，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，根据椭圆、双曲线定义可得，结合余弦定理可得，结合角平分线的性质可得，，再利用基本不等式运算求解即可. 【详解】设，， 由题意可得：，解得， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，即，可得， 由题意可知：为的内心， 则，， 可得， 因为点在的内角分线上，则点到直线的距离相等， 且点在的外角分线上，则点到直线的距离相等， 可知点到直线的距离相等，则为的角平分线， 则，， 可得， 由可得， 则，即， 且，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：B. 题型归纳 1.向量与双曲线结合 2.一通过向量求解点的坐标，二建系法解决向量问题， 变式训练11-1 (25-26高二·福建厦门外国语学校·期末)如图，椭圆与双曲线有公共焦点 为两曲线的公共点， 为的内心，三点共线，，轴上的点满足，，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出，再利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程得，进而得到；再由为的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出及，代入中利用基本不等式求最值即可. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 由题意得椭圆与双曲线的焦距为， 不妨设点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义：， 由椭圆的定义：， 可得：， 又，由余弦定理得： ， 即， 整理得：， 所以：； 为的内心，则为的角平分线， 由，得， 同理：，则，即， 因此，而，即，则， 为的内心，三点共线，即为的角平分线， 延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为， 由为的内心，得 又，∴，即为的角平分线， 则，即为的角平分线，则有， 又，于是，即， 而，即，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 变式训练11-2 (25-26高二上·江西萍乡·期中)已知双曲线的中心在原点，右焦点为，且经过点，则的标准方程为_________；直线与轴交于点，点是右支上一动点，直线与以为直径的圆相交于另一点，若在该圆内部，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，由求解；得到直线AF的方程为，令得到，易得点F为线段AB的中点，以AB为直径的圆是以点F为圆心，以为半径，且，再由求解. 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 则，解得， 所以双曲线的方程为：； ，则直线AF的方程为， 令，得，则， 又， 所以点F为线段AB的中点， 所以以AB为直径的圆是以点F为圆心，以为半径， 如图所示： 且， 由双曲线的几何性质得， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为： ，48 变式训练11-3 如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为两曲线的一个公共点，且，I为的内心，，I，G三点共线，且，x轴上点A，B满足，，则的最小值为________；的最小值为________. 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得，，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】①依题意，椭圆与双曲线的焦距均为， 椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得：，由椭圆的定义得：， 联立解得，又， 由余弦定理得：， 即，整理得：， 即，于是，， 当且仅当时取等号，所以的最小值为； ②为的内心，则为的角平分线， 由，得， 同理：，则，即， 因此，而，即，则， 为的内心，三点共线，即为的角平分线， 延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为， 由，得，即为的角平分线， 则，即为的角平分线，则有， 又，于是，即， 而，即，则， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用. 题型十二、弦长问题 典例精讲12 (24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)已知双曲线的离心率为，直线过双曲线的右焦点且与双曲线交于两点，双曲线的左焦点满足，则直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的焦点以及离心率求得，从而求得双曲线的方程，利用双曲线的定义建立等量关系式，求得原点到直线的距离，进而求得弦长. 【详解】由已知得，则，，由离心率为，可得， 所以，所以双曲线． 设的中点为，根据，得到． 由知直线与双曲线交于两支，不妨设点在左支上，点在右支上，则，所以． 设到的距离为，则，① 又， 所以，② 由①②可得．设圆的圆心到直线的距离为，则，所以直线被圆所截得的弦长为． 故选：B 【点睛】方法点睛： 对于双曲线问题，要熟练掌握双曲线的基本性质，如焦点坐标、离心率、双曲线的定义等，利用这些性质建立方程或等式求解未知量. 在解决直线与双曲线相交以及直线与圆相交的问题时，常常结合向量的垂直关系、勾股定理等知识进行分析和计算. 求直线被圆所截得的弦长，关键是求出圆心到直线的距离，然后利用弦长公式进行计算. 题型归纳 弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0) 变式训练12-1 (24-25高二上·江苏苏州·调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知与双曲线的渐近线不平行的直线与C有且仅有一个公共点，直线且与C交于A，B两点，与交于点P，则______． 【答案】/ 【分析】设出直线的方程的方程，与双曲线方程联立求出，再取中点，计算推理判断为平行四边形即可计算得解. 【详解】直线的斜率为，由直线，设直线的方程为， 由消去并整理得，设， 则， ，取中点，连接， 直线的斜率，设直线的方程为， 由消去并整理得， 则，整理得，而， 则，解得，因此直线，四边形为平行四边形， 于是，， ，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是求出直线的斜率，确定四边形为平行四边形. 变式训练12-2 (23-24高二上·福建福州第八中学·期末)已知双曲线：的下、上焦点分别为，．点在轴上，线段交于点，的内切圆与直线相切于点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形内切圆的性质以及双曲线的定义来求得. 【详解】由双曲线得， 如图，设三角形的内切圆与直线相切于， 则， 根据双曲线的定义有， 即， 则， 即， 所以. 故答案为： 变式训练12-3 (24-25高二上·陕西西安交通大学附属中学·月考)已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高二上·重庆一中·)设椭圆 的左、右焦点分别为，，斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点，若，.则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、两点间距离公式进行求解即可. 【详解】， 因为，所以， 由椭圆的定义，， ， 因为，又因为斜率为正的直线经过且与椭圆相交于，两点， 所以点是椭圆的上顶点，且点在第三象限，设坐标为， 由余弦定理可知： ， ， 所以， 因此椭圆的方程为， 因为点在该椭圆上，所以， 因为，， 所以， ，代入中， 得， 解得，或舍去， 把代入中，得，或舍去， 所以点的坐标为. 故选：D    2．(25-26高二上·辽宁大连佰圣高级中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记△的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，结合圆的切线长定理进行求解即可. 【详解】由椭圆， 则， 设，与圆分别切于点， 所以， 因为， 又因为，所以， 所以， 由切线性质可知， 所以 ， 所以， 又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为. 故选：B    3．(25-26高二上·广东六校·)如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论不正确的是（   ）    A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】B 【分析】对于A：根据双纽线的定义验证即可；对于B：根据双纽线的定义，使，求解出，再根据两点间距离公式验证即可；对于C：根据椭圆的定义可得及由可得，综合两式可求得，即可判断；对于D：设，利用双纽线的定义及两点间距离公式可得，解得，证明，即可得证. 【详解】对于A：因为，由定义知，故A正确； 对于B：点在上， 则，化简得， 所以，即，，故B错误； 对于C：椭圆的焦点恰好为与， 则，又，所以， 故， 所以，C正确； 对于D：设，则，因为，则， 又，所以，化简得， 解得或（舍去），则， 因为，所以，因此，故，所以，故D正确. 故选：B. 4．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第三中学·月考)“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出椭圆（图1）．图2是射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，椭圆所在的平面与平面垂直，且点为线段中点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的轴截面性质找出椭圆的长轴和短轴所在位置，利用勾股定理和余弦定理以及三角形相似性质，分别求出短轴和长轴，再由离心率定义计算可得结果. 【详解】设，由于圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 因此可得，所以； 又点为线段中点，所以， 由勾股定理可得， 由椭圆对称性可知，连接，延长交于点，如下图所示， 由于都是中点，所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理可得， 又在中，，可得； 因此可得， 设椭圆的短轴的两个端点为，连接并延长分别交圆锥底面于点， 易知，所以， 因为为圆锥母线，所以，因此， 在中，由勾股定理可知， 所以在椭圆中，， 因此可得， 可得椭圆离心率. 故选：B 5．(25-26高二上·重庆杨家坪中学·月考)已知为圆上动点，过作轴的垂线，垂足为，为线段的中点，设动点的轨迹为， 若为轨迹上的任意一点，且，， 则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先求得动点的轨迹为焦点在轴的椭圆，再根据椭圆的定义，可得，再结合三角不等式，可得，即可求解. 【详解】设，，过作轴的垂线，垂足为，则，      因为为圆上动点，为线段的中点， 所以，化简整理，可得动点的轨迹的方程为 ， 即动点的轨迹为焦点在轴，长轴，短轴，焦距的椭圆， 所以为椭圆的左焦点，点在椭圆内，如图所示， 设椭圆的右焦点为，    则， 由三角不等式，可得，即三点共线时， 即运动到位置时，取得最大值，为，    又，，所以， 所以， 即的最大值为. 故选：C 6．(25-26高二上·广东广州增城区增城中学·)已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可得，即，所以动点的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点的轨迹方程. 【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为， 则，切点为, ，，是中点， 是梯形的中位线，， 又圆C的方程为，， ，， 即，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为， 则， ， 动点的轨迹方程为. 故选：A 7．(25-26高二上·江苏常州高级中学·)在平面直角坐标系xOy中，已知点，动点P满足，动点Q满足则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求出的轨迹方程，再确定出的轨迹，最后分析的最大值即可. 【详解】由题意得，， 动点满足，且， 又，故的轨迹是以为焦点的椭圆，即， 椭圆的标准方程为， 又动点Q满足，，故的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 即， 的最大值为椭圆上点到圆心的最大距离加圆的半径， 设椭圆上任意一点，则， 点到点的距离平方为， ，故当时，取得最大值为，即， . 故答案为：. 8．(25-26高二上·河北沧州多校联考·期中)已知椭圆G：（）的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，O为坐标原点，点P在椭圆G上,且满足.当b变化时，的最小值为__________. 【答案】2 【分析】利用椭圆的定义得到点P同时也在以,为焦点,长轴长为的椭圆上，再联立原椭圆方程得到的表达式，然后可求最小值. 【详解】    由题可知， 所以点P同时也在以,为焦点,长轴长为的椭圆上， 其椭圆方程为C：（）. 联立， 即，即， 两式相加可得, 则, 当时,的最小值为4,即的最小值为2. 故答案为：2. 9．(25-26高二上·河南新乡·)已知，分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则________，则________． 【答案】 / 【分析】先联立直线和椭圆方程得出韦达定理，由得出，进而得出，又，即可解出第二个空. 【详解】当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以，所以， 所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，（或）， 所以，则，所以， 又，，设， 所以，， 所以． 故答案为：；. 10．(25-26高二上·山东枣庄峄城区·期中)如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则_______． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义与题中条件可得，根据椭圆的光学性质和对称性可得，两式联立解得的值，进而求得比值. 【详解】 如图，由椭圆的光学性质可得三点共线， 由题意，根据椭圆的定义可得：， 所以, 因为，则，那么①， 因为点关于的对称点为，所以， 因为，所以，即②， 联立①②，解得 ，则. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06双曲线小题十二类综合题型（压轴题专项训练) 目 录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一双曲线的标准方程 题型二双曲线的渐近线 题型三已知渐近线求参数 题型四双曲线的离心率 题型五双曲线离心率的取值范围 题型六周长问题 题型七面积问题 题型八斜率问题 题型九中点问题 题型十双曲线中的和差最值问题 题型十一双曲线与向量 题型十二弦长问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 双曲线小题是高中数学的重难点，题型涵盖双曲线方程，离心率，周长面积弦长，离心率等，此类问 题知识点较为综合：一考查内容综合正余弦定理，二考内容会涵盖向量，三考查内容涵盖定值定点，斜率 角度等问题，这类习题经常需要多方面考虑各类内容 ◆◆ 夙题型精讲情讲臭型题法，夺失解题根基 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、双曲线的方程 清进12526高三上江苏南通海门区期末已知点-为双曲线。：士义=1C0>0'b>0】的右 点，它到双曲线C的一条渐近线的距离为3，&，B分别为C的两条渐近线的倾斜角，且B=2α，则双曲 线C的方程为() A.x-y=1 B. 3y21 C. .-1 D. 2y-1 3 93 39 题型归纳 l.双曲线的标准方程需要求解a,b,c 2.方法：一考虑双曲线的定义，二考虑通过代数式求参数 变式训练112425两上安预埠明利肥双由线芩1Q>0,h20的左，右焦点分别为 F1,F2,左，右顶点分别为A1,A2,点B的坐标为0，b,P在双曲线E上，PA1是A2B的中垂线，若 △PBF1的周长与△PA2F2的周长之差为1+V7,则双曲线E的方程为() A苦-刘 8.X.-1 3 x.y=1 c.23 X.y-1 .32 变式训练1-2(25-26高二山西阳泉，期末)如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把此处生产的蔬菜沿道 路AA1或AA2运送到农贸市场A1A2A3A4中去，己知AA1=12km,AA2=18km,∠A1AA2=60°， 在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2 运送蔬菜较近，则该界线的方程为 2/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练132526高二天津部分区期末双曲线C:兰=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F:F, a b 左、右顶点分别为A,A2,以F,F为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点，且∠NA,M=2严 3 若四边形NA1MA2的面积为4/3，则C的方程为一 题型二、 双曲线的渐近线 典例精进2.若双曲线C1与C2关于直线y=x对称，且C1的离心率e1与C2的离心率e2之积为常数m(m>1), 则称C,与C,互为m型双曲线.已知双曲线E:上=1a>0,b>0?则E的3型双曲线的渐近线为（） m a2 b2 A.y=±2X B.y=±V2x 2 C.y=±x D.y=± X 2 题型归纳 1.双曲线的渐近线方程需要区分焦点在x轴，或是y轴。 2.双曲线的渐近线方程可以令等号右端为0，得出渐近线方向。 3.双曲线的渐近线夹角通常比较重要。 变式训练2-1(23-24高二上·安徽合肥第一中学.期末)已知平行于x轴的直线1与双曲线 今：心少X-10>0b>0的两条新近线分别交于P,O两点，O为坐标原点，若人OPO为等边角形，见 双曲线C的渐近线方程为() 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.y=± 3 B.y=±V3x C.y=t- 3 2十 D.y=±X 变式训练222425高二上重庆南开中学校：期末已知双曲线X-兰=1a>0,b>0的两条渐近线与圆 a b2 (x-c}+y2=a均相切，则两条渐近线的方程为 变式训绣23324有三上陕西学杯商中系列联考期吧和P为双线c名。1a>0.b>0附石雅 点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B.若AB=AF,则双曲 线C的渐近线方程为 题型三、已知渐近线求参数 典例精进325,26商=上云南昆明五华区)已知直线y=x+1与双曲线C:父. =1的一支相交于不同的 m 3 两点，设双曲线渐近线斜率为k,则k的取值范围为() A B.(1,+00 3 ,+00 0 2 题型归纳 1.渐近线通常可以考虑直线与双曲线的交点问题 2.渐近线需考虑焦点不同时，渐近线的公式也不同 变式训练3-1(2526高二上湖北武昌实验中学月考)已知双曲线C:X.兰=1Q>0,b>0的左、右焦点分 a2 b2 别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点，与双曲线C的右支交于点P.若 F1A=ABFB·F2B=0'PO=λQ京2：F,Q为∠PF,E的角平分线，则，的值为() 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V3+1 3V3+3 A. B. 33-1 C. 23-1 D. 4 2 8 变式训强32223商二上贵州六盘水期未利设点p是双曲线c号兰=1a>0b>0）上任意一点。 a2 b2 过P作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交渐近线于点A,B.若四边形OAPB的面积为2，则双曲线的焦 距的最小值为() A.8 B.4V3 c.4V2 D.2V2 交式训练53已知过双线Xa>0,b>0px以的切发方程义.y心到 a b2 Mx0,y内双曲线x-y=4上的动点，Xo>0'y,≥0直线1，：XX-yoy=4与双曲线的两条渐近线交于 P,Q两点（点P在第一象限），R与Q在同一条渐近线上，则RP·RQ的最小值为 题型四、双曲线的离心率 负精进42627高三上浙江Z20名校联盟已知D为双脚线c芩长1a>≥0'b>0》石支上一店 F'F,分别为左、右焦点，直线DF,交y轴于点E'O为坐标原点.若满足|EF,DF' ∠F1DF2=30°，则双曲线C的离心率为() 3V2+V6 32+V6 2+3 V6+V3 B. C. D. 3 6 2 2 题型归纳 1.双曲线的离心率范围大于1可以用来检验。 2公式汇总：一利用2=C,=e=1+(b 2,三构造其次还方程 a 变式训练412526高二下广东深圳外国语学校期末已知双曲线C:父.二=1a≥0，b>0的左、右两个 a b2 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，以OF1为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点A,直线AF1与双 曲线C右支交于点B'AF,F|BF,则双曲线C的离心率为（） A.3 B.2 C.V7 D.3 变式训练42(2526高二下贵州遵义：期未已知F,'F,分别是双曲线C:￥兰 a方=1a>0,b>0的左、右 焦点，点p:Q分别在C的左、右支上，且3FP=2F,Q∠F,PF2t∠F,QF,=90,则C的离心率 为() 4.929 V85 B. 5 5 c.145 17 5 变式训练43(25-26高二下，重庆鲁能巴蜀中学校期中)已知双曲线x2y2 日京-1a>0,b>0的左右焦点为r F2,P为双曲线右支上一点，Q为△PF1F2的内心，直线PQ与x轴交于点A PQ_7 则双 曲线的离心率为 题型五、双曲线离心率的取值范围 525-26高一河南驻马店部分校期未直线，与双曲线c:X.上=1a>0'b>0交 两点，存在以M 0为AB的中点，则C的离心率e的取值范围是 A.1,3 B.3,+0 c.1,5 D.5,+0 题型归纳 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 离心率方法： 1定义法：通过己知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e; 2齐次式法：由己知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解； 3特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 变式纸51俗26商二河南许吕期宋闲已知双苗线C:等-岩-1Q>0,b01竹东、右质方分别为F F2,在C的右支上存在异于顶点的一点P,使PF1交y轴于点M,若MF2为∠PF2F1的角平分线，则C 的离心率e的取值范围为一· 变式训练5-2(25-26高二浙江杭州北斗联盟期中)已知1、e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率， 心P是它们的公夹焦点，M是它们的一个公共点，日正M上P,M,则子+的绿大功 变式通篮53：，26商二下润南许昌第二高级中学等四校期中如图，已知椭圆C,:兰+ =1a1>b1>0 a b 与双曲线C2:父易 =1（a,>0:b2>0)有相同的焦点F?F,:椭圆C,的离心率为e,'双曲线C,的离心 则1+3 车点P%惟C议线C在第套限的交点，ⅡFPF,-片则哈+的做大值为《) D A.2V2 B.4 C.8 D.4V2 7/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六、周长问题 典例精进6已知双曲线C: 士上=1的左、右焦点分别为P,F2,点P为双曲线C第一象限内的一点， 916 ∠F1PF2的角平分线为l,过原点O作PF2的平行线，分别与PF1和l交于M,N两点，若 IMN-号PF则△PFF,的周长为《） A.48 B.50 C.52 D.56 题型归纳 1.周长问题分析： 2.一焦点三角形周长考虑定义，二非焦点三角形考虑弦长公式AB|==·|x1-X2=·y1-y2k0)。 变式训练6-1(25-26高二上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·月考)双曲线C与双曲线 女.兰=1有相同的断近钱，双曲线C与椭圆兰+y=1有相同的焦点，点P为双曲线C上的点且在第一象 3 4 限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为F,F',点A(0,1),当点P的位置变化时，△PAF的周长的 最小值为() A.4 B.495 C.6+5 5 D.4+65 5 变武训练622425高二上浙江宁波九校期末已知双曲线M:Y上=1的左右焦点分别为F1,F2,过 45 点F2作垂直于x轴的直线交双曲线M于P,Q两点，△PF1F2,△QF1F2,△F1PQ的内切圆圆心分别为 01,02,03,则△010203的周长是() A.2V2+2 B.2V5+2 c.23+2 313+2 3 0 2 交式纸6323高下六柳不列列F'上是双可线C多1a>0,b>0的左、有露 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点，A 正51是c上一点，若c的离心率为23，连接AF,交C于点B,则（） 2’2 3 A.C的方程为 B.∠F1AF2=60° C.△F1AF2的周长为2V5+2 D.△ABF1的内切圆半径为V5-V3 题型七、面积问题 典例精进72324高二上：江苏南京金陵中学期末过双曲线4y=1上任意一点P分别作两条渐近线的平 行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形PQOR,则该平行四边形的面积为 题型归纳 求双曲线中焦点三角形面积的方法： ①根据双曲线的定义求出|P一PF|=2a: ②利用余弦定理表示出|PR,P,F之间满足的关系式： ③利用公式SAPRF=XPR·P3Isin∠RP%求得面积.利用公式SPrR=XRX(p为P点的纵 坐标)求得面积； b2 ④结论： SAPF F2 0。 变式训练71224高二上渐江嘉兴第一中学已知双曲线父上-1(a>0,b>0)的离心率为2：F,F, a2 b2 分别是双曲线的左、右焦点，点M-Q,O,N0,b,点P为线段MN上的动点，当PF1·PF2取得最小值和 最大值时：△PF,F,的面积分别为S1,S,:则S=（) S1 A.4 B.8 c.2V3 D.43 9/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练7225：26商三上河北沧州四校联考期中已知双由线c兰-兰-1a>0,b>0与椭圆 兰+广=1有公共的左、右焦点厂，F。以线段上，F,为直径的圆与双曲线C及其渐近线在第一象限内分 248 别交于点M,N,且线段NF1的中点在另一条渐近线上，则△OMF2(O为坐标原点)的面积为一 变式训练7322,23高二上湖南怀化期末尼知双曲线C的方程为士.。=1，其左右焦点分别为5，厂， 169 已加点p标42双曲线c上的点Q1,k,≥0，>0满妮：亚.立P正.设 △QF,E,内切圆半径为，则，= SAF,P0-S△FPO= 题型八、斜率问题 典例精进8(25：26高二下湖南师范大学附属中学期中)已知双曲线c:士号-1a>0,b>0的左、右焦点 a b2 分别为R,F点P为第一象限内-点，且P克+P引=3c,∠F,PF,号0为坐标原点，延长0 交双曲线C的左支于点Q,点M为双曲线C上异于P,Q的任意一点，若直线PM与QM的斜率都存在，则 直线PM与OM的斜率之积为() 3 A. 4 C.3 D. 8 2 题型归纳 1.斜率问题 2.以点斜式设直线方程时，考虑斜率是否存在，以倾斜角考虑直线的斜率， 3,点差法考虑斜率问题，点差法通常考虑二级结论，焦点在×挂时，kk,=2-1=b。 10/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练81双曲线C:3y1的右焦点为F, 设P 过F且斜率存在的一条直线与双曲线交于 A'B两点记直线A'PB的斜率依次为kk:若k,∈0，退 则k,的取值范围是（） 3 A.-2-3,-2 B.{-3-3,3 -4- D. 空式练82526高二江苏南京七校联合体期末已知双曲线C:X.上-1，左、右顶点分别为A,B. 4 过T4,0作直线l与双曲线左右两支分别交于P,Q两点（异于A,B),设直线AP的斜率为k1,直线BQ 的斜率为k则= k2 变式训练8-3(24-25高二下·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)设O为原点，双曲线2的 音卡1‘0>0b0》宽心宇e=3·直线x+2y-m=0双南线0的两条渐近线分别x于 方程是x2y2 A,B:与圆X2+y=a2相切于点N若A应=O戒=/85则直线oM的斜率为一，双曲线o的 实轴长为 题型九、中点问题 一奥例精讲92526高二下河南洛阳河南科技大学附属高级中学已知点P是双曲线。上非暝点的列 PF 点，F1,F,为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足PM =0,且 PF 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F,M·PM=0'则1o成（） A.4 B.2 C. 2 D.1 题型归纳 解决双曲线中点弦问题的两种方法： 1.根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系 数的关系以及中点坐标公式解决： 2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点 坐标和 8二级结论，焦点在x精时：k,k=e2-1=分 空式训练912526高二费州避义已知过点P3,1的直线与双南线C:芩兰=1交于A,B两点，且P 35 为AB的中点，则l的斜率为() A.5 B.6 C. 1-5 0.6 变式训练92过点F-2,2的直线与圆0：X2+y'=1相切于点M,与曲线y=x>0交于点R若FR 的中点为N,则ON-MN= 变式训练232425高=上四川第阳中学期末尼知双曲线。.兰=1止有不共线的三点A,B,C,且 84 AB.BC,AC的中点分别为D.E、F,若OD,OE,OF的斜率之和为-2，则kkKC 1+1+1 题型十、双曲线中的和差最值问题 典例精进10(25-26高二上江苏盐城第一中学期中)过点F-2,0的直线1与圆O:x2+y2=1相切于点M, 与曲线C:X2-y=2x>0交于点R若R的中点为N则1ON-MN=（） 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3-1 c.3-2 D.2-3 题型归纳 和差最值问题： 优先考虑将军饮马，直线需要考虑与直线对称，圆需要考虑圆心转化。椭圆、双曲线、抛物线需要考虑定 义转化。 变式训练10-1(2526高二河北唐山期末已知双曲线c:号.兰-1a>0,b>0的右焦点为F,实轴长 a b2 为4，渐近线方程为y=t 二x,动点M在双曲线左支上，B为圆E:x2+y-32=4上一点，则 2 MB+MF的最小值为 变式训练1022526高二上重庆南坪中学校月考制点F是双曲线C:。兰=1的左焦点，动点4在双曲 97 线右支上，直线，：K-y+2t-4=0与直线，：X+y+4t-2=0的交点为B,则|ABl+AF,的最小值为 变式训练103(24-25高二下广东茂名52校际联盟)已知双曲线C:y2-x2=1的上焦点为F,以x轴上一动 点为圆心，半径为V2的圆与C的上，支交于A、B两点，则点F到A、B两点距离之和的最小值为 题型十一、双曲线与向量 团m5受不西大然整中学用南精圆C名+长1Q>山>0双酸 C,:号兰=1o,>0,b,>0具有相同的焦点，在第一象限的交点为点p过点p作∠F,PF,的内角分线 a,b 和外角分线分别交x轴于M,N两点，过F1作∠PF1F2的内角分线交PM,PN于I1,I2两点，如图所示， 13/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设PL= 若∠E,PF2=60,则λ+3的最大值是（) A.2 B.2V2 c.23 D.4 题型归纳 1.向量与双曲线结合 2.一通过向量求解点的坐标，二建系法解决向量问题， 变式训练11-1(25-26高二·福建厦门外国语学校期末)如图，椭圆与双曲线有公共焦点 F1c,0,F2c,0川c>0,P为两曲线的公共点，∠FPF2=60°，I为△F1PF2的内心，F1,I,G三点 共线，GP.P=0,x轴上的点A,B满足Ai=λP,BG=μGP,则3+μ的最小值为 变式训练11-2(25-26高二上江西萍乡.期中)已知双曲线C的中心在原点，右焦点为F3,0,且经过点 A6,2V10 则C的标准方程为：直线AF与y轴交于点B点PK,y是c右支上一动点，直线 AP与以AB为直径的圆相交于另一点D,若P在该圆内部，则PA·PD的最大值为 变式训练113如图，椭圆X+y 6610心b≥0司双曲线戈-之1(m≥0，n≥0有公买焦原z,(-c0 m2 n2 F2(c,0)(c>0),椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,点P为两曲线的一个公共点，且 ∠FPF2=60°，I为△F1PF2的内心，F,1,G三点共线，且GP·市=0，x轴上点A,B满足 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ai=λP,BG=μGP,则e1e2的最小值为；52+μ的最小值为 B 题型十二、弦长问题 典例精进122425高二上甘肃白银靖远县第四中学期末已知双曲线C:兰.二=1a>0,b>0的离心率 a2 b2 为23 3， 直线：y=kx-2过双曲线C的右焦点F2且与双曲线C交于A,B两点，双曲线C的左焦点F1满足 F1A+FB·A店=0：则直线，被圆X+y2=a2所截得的弦长为(） A.2V2 B.V10 c.2V7 D.210 题型归纳 弦长公式|AB|==☒1-X2|=|y1-y2|k=0) 变式训练1212425高二上江苏苏州调研如图，在平面直角坐标系x0中，已知与双曲线C:丫-片习 的渐近线不平行的直线l1与C有且仅有一个公共点T4,3,直线l2/1OT且与C交于A,B两点，11与l2交于 点P,则PA·PB IPTP 15/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练12223：24高二上福建福州第八中学期末已知双曲线C2:号-X=1的下、上焦点分别为F, F2.点P在x轴上，线段PF交C于Q点，△PQF2的内切圆与直线QF相切于点M,则线段MQ的长为 空式训练12324-25商二上陕西西安交通大学附属中学月考已知双曲线C:兰-芳=1a>0,过右焦点 a12 F的直线与双曲线C交于A,B两点.且AB=16,这样的直线有4条，则实数a的取值范围是() 664 9 B. 64 9 9 0 D.0,64 4 同压轴挑战一攻克高难压轴，变政思维上保 2526高二上重庆中设椭圆X+Y=1a>b>0的左、右焦点分别为EE,斜率为正的直线图 过r且与椭圆相交于p'Q两点，若PQ=PFQF,=2PF,=3则点p的坐标为（） c.2/15 -2,3 0.32 2,2 2.2526商二上辽宁大连佰圣高级中学期末)已知椭圆C:X 。+=1的左、石焦点分别为FF2,P是C 上异于顶点的一个动点，记△PFF2的内切圆圆心为M,则点P与点M的横坐标之比为() A.5 8.35 3 D.2 5 C.2 3.(25-26高二上广东六校如图，曲线C是一条“双纽线”，其上的点满足：到点F1-2,0与到点F22,0 16/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的距离之积为4，则下列结论不正确的是() F A.点D12V2,0在曲线C上 B.点Mx,1(x>0)在C上，则|MF=22 C.点Q在椭圆X+ =1上，若FQ⊥F2Q,则Q∈C 62 D.过F2作x轴的垂线交C于A,B两点，则AB<2 4.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第三中学，月考“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截 面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小明在家里用射灯（射出的光锥视为圆 锥)在墙上投影出椭圆（图1）·图2是射灯投影的直观图，圆锥PO的轴截面APB是等腰直角三角形， 椭圆O1所在的平面与平面APB垂直，且点M为线段PB中点，则椭圆O1的离心率为() M B 图1 图2 4.6 8.5 2 6 5 0.2 5.(25-26高二上.重庆杨家坪中学月考)已知P为圆x2+y=36上动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q,M为 线段PQ的中点，设动点M的轨迹为c'若s为轨迹C上的任意一点，且F-33,0?N3,1则 SF+SN的最大值是() A.13+2V3 B.13-2/3 c.12+9/13 D.12-V13 17/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26高二上广东广州增城区增城中学)已知圆C的方程为x+y2=4,直线1为圆C的切线，记 A-1,0,B1,0两点到直线1的距离分别为d1,d2,动点P满足PA=d,PB=d2,则动点P的轨迹 方程为() +=1 A. 43 .￥ty=1 4 +y=1 c.2 62 7.(25-26高二上江苏常州高级中学·)在平面直角坐标系x0y中，已知点A-3,0,B3,0,C0,1,D0,6, 动点P满足PA+PB到=CA+|CB,动点O满足DQ=V2,则PQ的最大值为 8.2526商二上河北沧州多校联考：期中)已知椭圆G:士+兰=1〈0<b<6)的两个焦点分别为F' 6b2 F2,短轴的两个端点分别为B1,B2,O为坐标原点，点P在椭圆G上，且满足 IPB,+PB,=PF+PF当b变化时，lOP的最小值为 9.526商二上河南新乡已知F,下，分别是椭圆C:+兰=1的左、右焦点，D为坐标原点，MN为 43 C上两个动点，且∠MON=90°，过O作直线N的垂线，垂足为H,则OH=,则 HF1·HF2=— 10.(25-26高二上山东枣庄峄城区·期中)如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过 椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线.已知 。+h>:衣中0过厨 r的切线，点Q关于的对称点为G若5PQ1=8a3QF=2lGF则PE PG 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 切线 法线 19/19