第2章 3.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦抛物线核心知识点，系统梳理标准方程、焦点与准线关系、定义应用等内容，从基础的焦点坐标求解（如第1题）到定义转化距离问题（如第3题），再到与双曲线、椭圆的综合题（如第15题），构建从基础到综合的递进学习支架。 资料设计注重分层训练，融入期中期末真题（如第2题、第5题），通过分类讨论（如第10题）培养数学抽象能力，利用定义推理（如第4题）提升逻辑思维，课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

1．下列抛物线中，焦点坐标为(0，)的是(　　) A．y2＝x B．y2＝x C．x2＝y D．x2＝y 解析：选C．由题可设抛物线的标准方程为x2＝2py，则＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程为x2＝y. 2．(2025·南阳期中)已知P(2，2)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，则抛物线C的准线方程为(　　) A．x＝－1 B．y＝－1 C．x＝－ D．y＝－ 解析：选C．因为P(2，2)为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，所以22＝2p×2，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x，所以准线方程为x＝－＝－. 3．若点P到点F(0，2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 解析：选C．由题意可知点P到点F(0，2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以点P的轨迹方程为x2＝8y. 4．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点A(4，m)在抛物线上，则|AF|＝(　　) A．4 B．6 C．5 D．3 解析：选C．由抛物线方程x2＝4y， 得F(0，1)，准线方程为y＝－1. 因为点A(4，m)在抛物线上，所以16＝4m，解得m＝4. 由抛物线的定义，得|AF|＝4－(－1)＝5. 5．(2025·汉中期末)已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为(　　) A． B．2 C．3 D．4 解析：选B．抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线l：x＝－1，过点P作PD⊥l于点D，交y轴于点B，则|PF|＝|PD|＝|PB|＋1，|PB|＝|PF|－1， 记点(0，2)为点A，于是|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝2，当且仅当P为线段AF与抛物线的交点时取等号，所以点P到点(0，2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为2. 6．(多选)(2026·汉中月考)对于抛物线x2＝8y，下列描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．焦点到准线的距离为4 C．开口向上，焦点为(0，) D．准线方程为y＝－4 解析：选AB．对于A，C，由已知可得，2p＝8，p＝4，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为(0，2)，故A正确，C错误； 对于B，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为p＝4，故B正确； 对于D，根据抛物线的方程可知，准线方程为y＝－2，故D错误． 7．已知抛物线y＝2x2，则其焦点到准线的距离为 ________． 解析：由y＝2x2得x2＝y，所以抛物线的焦点到准线的距离p＝. 答案： 8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线上，且|AF|＝2，∠OFA＝120°，则p＝________． 解析：过点A作AM垂直抛物线的准线，垂足为M，过点F作FN⊥AM于点N，由于|AF|＝|AM|＝2，∠OFA＝120°，则∠NFA＝30°，故|AN|＝1，所以|MN|＝2|OF|＝p＝|AM|－|AN|＝1，故p＝1. 答案：1 9．如图，O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝8，则△POF的面积为________． 解析：由题意，抛物线C的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，设P(x，y)，因为|PF|＝x＋2＝8，可得x＝6，则y2＝48，即|y|＝4，则△POF的面积S＝×2×4＝4. 答案：4 10．(13分)求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为y＝4；(4分) (2)过点(－3，2)；(4分) (3)焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5.(5分) 解：(1)由题意可知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝4，p＝8， 故抛物线的标准方程为x2＝－16y. (2)由题意知抛物线的焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)或y2＝－2p′x(p′>0)， 分别将(－3，2)代入，则9＝4p，4＝6p′，解得p＝，p′＝， 故抛物线的标准方程为x2＝y或y2＝－x. (3)由抛物线的焦点在x轴上，且点A(3，m)在抛物线上， 得抛物线的焦点在x轴正半轴上， 则设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，焦点为(，0)，准线方程为x＝－， 又因为抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5， 根据抛物线的定义，得3－(－)＝5，p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x. 11．已知直线l1：x－y－3＝0，抛物线C：x2＝6y的准线是l2，点P是C上一点，若点P到直线l1，l2的距离分别是d1，d2，则d1＋d2的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析：选C．抛物线C的焦点是F(0，)，准线l2：y＝－，设点F到直线l1的距离为d，则d＝＝，所以d1＋d2＝d1＋|PF|≥d，当且仅当FP⊥l1且P在F与l1之间时等号成立，所以d1＋d2的最小值是. 12．若双曲线－＝1的一个焦点在抛物线y2＝2px(p>0)的准线上，则抛物线的标准方程为____________． 解析：由双曲线－＝1的方程可得c2＝10＋6＝16，解得c＝4，所以双曲线的焦点坐标为(±4，0)，抛物线的准线方程为x＝－，由题意可得－＝－4，解得p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x. 答案：y2＝16x 13．(13分)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，其焦点F与双曲线C2：y2－＝1的上焦点重合，A，B为抛物线C1上两点． (1)求抛物线C1的标准方程及其准线方程；(6分) (2)若|AF|＋|BF|＝8，求线段AB的中点到x轴的距离．(7分) 解：(1)由题知双曲线C2：y2－＝1， 所以a2＝1，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝1＋3＝4，即双曲线的上焦点为(0，2)， 则抛物线的焦点为(0，2)，可设抛物线C1的标准方程为x2＝2py(p>0)， 则＝2，p＝4， 所以抛物线C1的标准方程为x2＝8y， 其准线方程为y＝－2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点记为M(x0，y0)，由|AF|＋|BF|＝8， 得y1＋2＋y2＋2＝8， 即y1＋y2＝4，所以y0＝＝2， 即线段AB的中点到x轴的距离为2. 14．(15分)已知圆C：(x＋a)2＋y2＝r2(a>0)，圆心C到抛物线E：y2＝－2x的准线的距离为，圆C截直线l：x＋3y＋2＝0所得弦长为. (1)求圆C的方程；(7分) (2)若P，Q分别为圆C与抛物线E上的点，求P，Q两点间距离的最小值．(8分) 解：(1)抛物线E：y2＝－2x的准线为直线x＝， 圆C：(x＋a)2＋y2＝r2(a>0)的圆心C(－a，0)， 因为a>0，所以－(－a)＝， 解得a＝7，又C(－7，0)到直线l的距离d＝＝， 所以2＝， 则r2＝d2＋＝3， 所以圆C：(x＋7)2＋y2＝3. (2)设Q(x0，y0)，则y＝－2x0， 所以|CQ|＝ ＝＝ ＝， 当x0＝－6时，|CQ|取最小值， 又圆C的半径为， 所以圆C与抛物线E无公共点，且|PQ|的最小值为－. 15．已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，焦距为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2(F2在F的右侧)，抛物线E与椭圆C交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，且A，F2，B三点共线，则p＝________． 解析：由题得AB⊥x轴，且过点F2，所以AB为椭圆C的通径，若△ABF为等边三角形，则|AB|＝|AF|＝|BF|＝， 又c＝，则|AF|＝＝＋，① 在△ABF中，由对称性，易知FF2为等边三角形的角平分线， 所以∠AFF2＝∠AFB＝30°， 则在Rt△AFF2中，|AF|cos ∠AFF2＝|FF2|，即·cos 30°＝－，② 联立①②，得p＝7－12. 答案：7－12 学科网（北京）股份有限公司 $