（优学优练）第17章因式分解达标卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）

**基本信息** 人教版八年级上册因式分解单元达标卷，覆盖提公因式法、公式法等基础知识点，通过密码编译、几何应用等情境题，培养抽象能力、推理意识与应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|公因式确定、因式分解定义、十字相乘法|结合密码编译（第4题）、几何形状判断（第9题），体现应用意识| |填空题|5题|开放性因式分解、综合分解求值|设置开放性问题（第11题），结合三角形三边关系（第15题），培养抽象能力| |解答题|5题|分解因式、新定义、密码生成、整体思想|设计“2次幂差数”新定义（第18题）、密码生成应用（第19题），强化推理意识与创新应用|

（优学优练）第17章因式分解达标卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．用提公因式法分解时，应提出的公因式为（     ） A．2 B． C． D． 2．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．把 分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 5．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 8．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 9．在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 10．嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙（   ） 密码及对应的明文： 3在；书架上； 里面；花瓶的； 后面；衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置． A．在衣柜的花瓶里面 B．在衣柜的后面 C．在书架上花瓶的里面 D．在书架上花瓶的后面 二、填空题 11．一个关于a的二项式，其中一项是，若这个二项式能因式分解，则另一项是______．（只写一种即可） 12．因式分解：__________． 13．将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 14．已知，则代数式的值为_____． 15．已知三角形的三边为，满足，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为_____． 三、解答题 16．分解因式： (1)； (2)； (3)． 17．已知，，是的三边，且． (1)试判断的形状． (2)若，求第三边的取值范围． 18．对于三个非负整数p，，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)2与1的“2次幂差数”为_____； (2)若为与的“2次幂差数”，求（用含的代数式表示）； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 19．人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，若因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． (1)已知多项式，当取时，求出用上述方法生成的密码； (2)已知多项式，当n取正整数时，用上述方法生成的密码中，第一个因式码为11，求完整的密码． 20．阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（优学优练）第17章因式分解达标卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C C D A D A D 1．C 【分析】根据公因式的意义求解． 【详解】解：∵各项系数的最大公约数为2， 各项都有字母为， 对应字母的最低次幂均为1次， ∴应提出的公因式为． 2．D 【分析】把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A，从左到右是整式乘法运算，不是因式分解．； 选项B，结果为多项式与常数的差，不是整式乘积的形式，不是因式分解； 选项C，左边是单项式，不是多项式，且等式两边不相等，不是因式分解．； 选项D，将多项式化为整式乘积的形式，符合因式分解的定义． 3．D 【分析】明确该二次三项式符合十字相乘法分解因式的适用形式，确定使用十字相乘法解题．因为二次项系数为1，所以需要找到两个整数，满足乘积等于常数项，且和等于一次项系数1。将找到的两个整数分别代入两个一次因式的常数项，写出分解后的因式形式，对应选项判断即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 4．C 【分析】密码信息对应因式分解后的各个因式，需先分解多项式再匹配对应文字． 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 5．C 【分析】展开因式乘积，根据多项式对应项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，， 解得， ∴． 6．D 【分析】本题考查因式分解的正误判断，需依据提公因式法、公式法，逐一验证选项的分解是否正确、彻底． 【详解】解：选项A中，，原式漏写常数项1，分解错误 ∴A错误 选项B中，，原式公因式找错，分解不彻底 ∴B错误 选项C中，，原式公因式找错，分解错误 ∴C错误 选项D中，，符合完全平方公式，分解正确 ∴D正确； 故选：D 7．A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 8．D 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 9．A 【分析】本题考查了因式分解和三角形的三边关系，等腰三角形的定义．利用因式分解，把原式变形为，再结合三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵在中，它的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故选：A 10．D 【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式用提公因式法和平方差公式进行彻底因式分解，再将每个因式对应题目给出的明文，组合后得到钥匙位置． 【详解】解： ， 对应明文： 在；书架上；花瓶的；后面， ∴组合后钥匙位置为：在书架上花瓶的后面． 故选：D． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟练掌握提取公因式或平方差公式这两种方法 考虑因式分解的常见方法，如提取公因式或平方差公式，另一项可选择常数或一次项以使二项式可分解即可． 【详解】解：若另一项可以为， 则二项式为； 或另一项可以为， 则二项式为． 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解：先提取原式的公因式，得， ， 利用平方差公式分解得， 因此． 13． 【分析】设方框表示的数为，将因式分解的结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：设“”表示的数是， 根据题意得 ， ， , ． 14． 【分析】本题考查整式的化简求值、因式分解，利用平方差公式将分解为，然后代入已知条件，简化表达式后得到，再次代入 即可求值． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2027． 15．或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，故，结合三角形三边关系得，又因为c为最长边且为偶数，故或或，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 解得， ∵三角形的三边为，满足， ∴， ∴， ∵c为最长边， ∴， ∵c为偶数， 故或或， 则或或， ∴该三角形的周长为或或， 故答案为：或或． 16．(1) (2) (3) 【分析】因式分解一般步骤：有公因式的要先提公因式，提完公因式观察剩余式子是否符合公式法，如果符合，选用适当的公式继续因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 17．(1)是等腰三角形 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）对题目中式子进行变形因式分解，得到三角形边之间的数量关系，进而判断三角形行形状； （2）根据三角形三边关系列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：, ， ， ， ，，是的三边， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）可得，， 当时，三角形的三边为， 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边得，， 解得． 18．(1)3 (2) (3)的最小值为8 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，新定义，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，理解新定义． （1）根据“2次幂差数”的定义进行求解即可； （2）根据“2次幂差数”的定义列出算式进行求解即可； （3）根据“2次幂差数”的定义结合题意得出，求出， 根据非负数的性质，求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据“2次幂差数”的定义可得，． 2与1的“2次幂差数”为3， 故答案为：3． （2）解：依题 ； （3）解：已知，， 代入得：， 即， ， 由，及为整数，可得的取值范围为， ∵在该范围内， ∴当时，取得最小值64，则的最小值为8． 19．(1)用上述方法生成的密码为； (2)完整的密码为． 【分析】本题考查因式分解，已知字母的值，求代数式的值． （1）分解因式为，将代入各因式，将因式码按从小到大的顺序排列即可； （2）分解因式为，根据题意可得，可得，分别代入，，将因式码按从小到大的顺序排列，即可得完整的密码． 【详解】（1）解： ， 当时，，， 因式码为，，， ∴将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码． （2）解： ， ∵为正整数， ∴为偶数， 又∵，第一个因式码为11， ∴， ∴， ∴，， ∴完整的密码为． 20．(1) (2) (3) 证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $