广东省部分校联考2026-2027学年高三上学期10月巩固性训练数学试题

高三10月巩固性训练 数学试题 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.一组数据3,4,9,2,6的第30百分位数为 A.2 B.3 C.6 D.9 2.设平面向量a=(k,1),b=(4,-3),c=4a十b.若a⊥c,则k= A.司 B.-i c D.2 3.已知P(1,2)为抛物线C:x2=2y(m≠0)准线上一点，F为C的焦点，则直线PF的斜率为 A.-4 B.- c是 D.4 4.若集合A={x∈Z|x-1|<a,a∈Z}内的元素个数为2027，则a= A.1012 B.1013 C.1014 D.1015 5.在经济模型中，常考虑市场需求与工资间的关系.记工资为（元/日），市场需求为D,在不引入 其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即D=B-a,其中&，β>0皆为给定常数，a称为工 资的需求点弹性.在某一假设模型中，若市场需求为20时的工资为25，市场需求为10时的 需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列{an}满足an=B一2an,则{am}的公差为 A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 6.对于关于x的不等式x+2ax十1<a,“在(-1，一2)上有解”是“在[-3，一2]上恒成立”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 。记坐标原点为O,椭圆E号+芳=1(。6>0)的左，右焦点分别为F,R,线段OF。的垂直平 分线与E在第一象限交于点M,MF交y轴于点N.若NF2⊥MF1,则E的离心率的平方为 A.7-210 B.15-10v2 C.35-203 D.7-3√5 4 4 4 数学第1页（共4页） 8.在△ABC中，若AB·sinC(sin2A+√3cos2A)≥AB2+1,则△ABC的面积为 1 A.8 B c D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.记圆A:(x-1)2+y2=1,圆B:x2+y2-2x十4y十k=0,则 A.点B的坐标为(1，一2) B.当k>4时，圆B的面积大于圆A的面积 C.当k=一4时，圆A与圆B相切 D.当k=一11时，点A到圆B上一点距离的最大值为5 10.△ABC,△BCD,△CDE均为边长为2的等边三角形，且依次沿公共边BC,CD固定拼接，已知 平面ABC⊥平面BCD,平面BCD⊥平面CDE,且点A,E位于平面BCD的同侧.则 A.AE=1 B.AD=BE C.直线AE∥直线BD D.平面ADE⊥平面ABC 11.设函数f(x)=,a-a21n二，a>0,x>0.曲线y=f(x)在点P(m,f(m)处的切线分别与x 2 轴，y轴交于A,B两点，且m>0,m≠a,O为坐标原点，则 A.当m>a时，直线AB的斜率大于1 B.当0<m<a时，点P在线段AB上 C.坐标原点O始终不在直线AB上 D.直线AB与曲线y=f(x)仅有一个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某学校的羽毛球比赛共有13名同学参加，要求每名同学都要与其余参赛同学在主、客场分别 比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为 13.已知函数f(x)=sin(x十g)的最大值为子，则f(x)的值域为 14.若函数f(x)=xa+1(a>0且a≠1)有且仅有一个极大值点x1与一个极小值点x2,且f(x1) <2f(x2),则a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在复数列{之n}中，之1=2十i,之n+1=之. (1)求2的虚部； (2)求数列{log之n}的前n项和S… 数学第2页（共4页） 16.(本小题满分15分) 如图，已知AB=BC=CD=DE=2,且AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥DE.已知AD=BE=4,点 A,E位于平面BCD同侧. (1)证明：AE∥BD; (2)点P在线段AE上，且BP∥平面CDE,求二面角P一CD一B的余弦值. A E 17.(本小题满分15分) 某云计算平台为用户提供两台候选节点，其可用算力分别为A和2A,其中A∈{1,2,4,8}，且 A取各值的概率与成正比.平台从两台候选节点中等可能地随机分配其中一台，并显示其算力 X.用户可保留该节点，也可改用另一节点. (1)求A取各值的概率； (2)若X=4,求另一节点算力分别为2和8的概率； (3)若用户以最终获得算力的数学期望最大为原则，根据X的不同取值，确定其选择策略。 数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知双曲线C的中心为原点O,实轴在x轴上，两条渐近线互相垂直，焦距为4√2，其左、右顶 点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2. (1)求C的方程； (2)Q为不在x轴上的点，在直线QA,QB上分别取点D,E,使DE∥x轴.P为DE的中点，记 |PD=r(r>O).过P作y轴的平行线，过Q作x轴的平行线，两直线交于点R. (1)若Q(1,2),且点P在直线x十y=1上，求r; (i)若|QR2-|PR2=r2,求|QF,|-|QF2的值. 19.(本小题满分17分) 函数y=f(x)的定义域为R.对于任意a∈R,定义集合M(a)={x(x-a)[f(x)-f(a)]≤ 0,x≠a}. (1)当f(x)=x2时，求M(1); (2)设a<b<c,若c∈M(a),证明：b∈M(a)UM(c); (3)若存在正整数n,使得对于任意a∈R,M(a)中的元素个数均不超过n,证明：f(x)在R上 单调递增. 数学第4页（共4页）参考答案及解析 数学 高三10月巩固性训练 数学参考答案及解析 一、选择题 [-3,-2]时x3十1<0，故Q成立，而当x∈ 1.B【解析】将这组数据从小到大排列得到2,3,4,6， (-1,-号)时x+1>0,故P不成立，所以Qp, 9,由5×30%=1.5可知这组数据的第30百分位数 因此P是Q的充分不必要条件.故选A 应为3.故选B. 7.D 【解析】由对称性可知NF1=NFz,设E的半 2.A【解析】计算得c=(4k十4,1)，由a⊥c得a·c= 0,即k(4k十4)十1=4k2+4k十1=(2k十1)2=0，故k 焦距为c,显然∠NFF,=45,设M(乞y),由 =一号，故选八 1am∠NE,R=1=得y=号，即M(行受)， 3.D【解析】抛物线C:x2=2my的焦点为F(o,受)， 设日的库心率为1一后十0西一 9c2 4 准线为y=一受，由点P1,2)在准线上，得一 m =2, 4=ee-14e+4=0,由e<1得e2 解得m=一4，故F(0,-2),所以=2-C二2=4. 1-0 14-14一4×4_14-65=7-35.故选D. 故选D. 2 4.C【解析】显然a>0,注意到A={x∈Z1一a<x< 8.A【解析】设AB=c>0,由题意得sinC(sin2A+ 1十a,a∈Z},由1∈A知集合{x∈Z1<x<1十a,a∈ 5cs2A)≥c+2,而c+≥2，且sm2A十 Z}与{x∈Z1-a<x<1,a∈Z}内均应有1013个元 √5cos2A=2sin(2A+60)≤2，又0<sinC≤1，故2 素，可得1013<a+1-2+1≤1014，由a∈Z得a= 1014.故选C. 。≤sinC(sin2A+V5cos2A)≤2，于是c=1, 20=8-25a sinC=1,sin(2A十60)=1，从而C=90°，A=15°.因 5.D【解析】由条件可知 ,联立可解得 10=g-110 此AC=c0s15,BC=sin15,SaAx=分AC·BC= a=4 ,于是可得{an的公差d=-2a=-8.故 B=12 号n15cos15r=子sin30=名故选A 选D. 二、选择题 6.A【解析】设P:“在(-1，-之)上有解”，Q:“在 9.AC【解析】对于A选项，显然圆B可记为(x一1)2 十(y十2)2=5-k,k<5,可得点B坐标为(1，一2)，故 [-3,-2]上恒成立”，原不等式可化为x3+1十a(2x A正确；对于B选项，圆B的面积为(5一k)π，圆A的 -1)<0,若P成立，则存在x∈(-1，-号)使不等 面积为π，当>4时，显然圆B的面积小于圆A的面 式成立，此时x3十1>0,2x-1<0,故必有a>0:当 积，故B错误；对于C选项，A(1,0),AB=2,k= x∈[-3，-2]时，x3+1<0,2x-1<0,结合a>0,得 -4时，圆B的半径为3，此时|AB=2=|3-1|,二 x3十1十a(2x-1)<0,故P→Q;取a=0,当x∈ 者内切，故C正确：对于D选项，此时圆B的半径为 数学 参考答案及解析 4,可得点A到圆B上一点距离的最大值d=AB+ ≠a时9(m)≠0，从而b≠0，所以原点O不在直线 4=6,故D错误.故选AC. AB上，故C正确；对于D,令g(x)=f(x)-f(m) 10.ABC【解析】设M,N分别为BC,CD的中点，记平 f(m)(x-m),则g(m)=0,且g'(x)=f(x) 面BCD为a,由等边三角形的性质，AM⊥BC,EN f(m)=(x-m)(1+品).因为1+品>0，所以 ⊥CD,AM=EN=DM=BN=√3；由两平面垂直的 g(x)在(0，m)上单调递减，在(m,十o∞)上单调递 性质，得AM⊥a,EN⊥a,故AM∥EN,又A,E位于 增，故当x≠m时均有g(x)>g(m)=0,因此直线 a同侧，故四边形AMNE为平行四边形；又MN为 AB与曲线y=f(x)只有一个公共点，故D正确.故 等边三角形BCD的中位线，故AE∥MN∥BD,AE 选BCD. =MN=1,故A、C正确；由AM⊥a,EN⊥a,得AM 三、填空题 ⊥DM,EN⊥BN,则AD2=AMP+DM=6,BE= 12.156【解析】由于任何两名同学间进行1次主场比 EVN十BN2=6,故AD=BE,故B正确；记平面 赛与1次客场比赛，所以一场比赛相当于从13个不 ABC,ADE分别为B,Y,由AE∥BD,D∈Y,得BDC 同元素中任取2个元素的一个排列，因此总共进行 Y,故B∈Y;又a∩B=BC,D∈a,DEBC,故DtB,从 的比赛场次是A=13×12=156.故答案为156. 而B∩y=AB.由上述可得DM⊥AM,又BCCB,AM CB,且BC∩AM=M,故DM⊥B:若y与B垂直，在 13.[-子，号]【解析】令=x十号，则x=一号x Y内过D作l⊥AB,则由两平面垂直的性质得l⊥B, 十9=t+号，y=sin(t号)sim(+号)=sint 又DM⊥B,故l与DM重合，从而M∈B∩y=AB,与 M∈BC,M≠B,AB∩BC=B矛盾，故Y与B不垂 sin号，因为sint的最大值为1，且f(x)的最大值 直，故D错误.故选ABC 为子，所以1-sim号=是，解得sm号=子，故 11.BCD【解析】r=x一￠=二C.直线AB的 x fx)=sim2(x十号)-手，因此f(x)的值域为 斜率为人=∫(m）=m一品对于A,当m>。时只能 [-子，是]，故答案为[-子] 得到k>0,例如取a=1,m=号，则k=名<1，故A 14.(0,e)U(e是，十o∞)【解析】由题意得a>0且a 错误；对于B,当0<x<a时，f(x)<0在(0，a)上恒 ≠1，由(x)=ax(2十xlna),得两个极值点分别 成立，f(x)单调递减，又0<m<a,f(a)=0,故f(m) 为0，一品。且了)在x=品两侧由正变负，在 >0.设A(xA,0),由切线方程y=f(m)十f(m)(x x=0两侧由负变正，故=一品a=0.因为 2 -m)得xA=m一 7(>m>0,故0<m<xA,而点 f(m) 4 B的横坐标为O,所以点P在线段AB上，故B正 fx)=1,f(m）=0nae+1,由f)< 确；对于C,直线AB在y轴上的截距为b=f(m) 2fx),得2ha十1<2，即（na)>冬，所以 mf(m）=-m24-a1n巴.令(r)=亡，a 2 2 na<-名或na>名，故0<a<e或a>e2.故 a1n台，则g()=x+>0,且ea)=0,故当m x 答案为(0，e)U(e是，十o∞). ·2 参考答案及解析 数学 四、解答题 则DE=x2十02=4，BE2=(x-2)2十4十w2=16, 15.解：(1)由题意可得2==4十4i-1=3十4i, 两式相减得8-4x=12,故x=一1， (2分) 从而2=3，即E(-1,2,),其中2=3. =3-4i, (3分) 因为点A,E位于平面BCD同侧， 故其虚部为一4. (4分) 所以xe>0, (2)设x=a十bi,a,b∈R,则x2=a2十b,|x2| 又x2=2=3,故之=. =|a2-b+2abil=V(a2-6)'+(2ab) 于是A2=(-3,3,0),BD=(-2,2,0), =√（a+6)F=a2+b2=z2, (6分) 所以A花=号Bd.且AE与BD不共线，故AE∥BD, 因为之n+1=号，所以|之+1|=之n|2, (7分) 所以log|x+1|=log|之n|2=2log:|之n|,(8分) (2)设AP=tAE,0≤t≤1，得P(2-3t,-1十3t,x), 因为1=22+1=√5>1， 从而B2=(-3t,-1+36,2). 所以|n|>1,则log|之1>0， 又Ci=(0,2,0),DE=(-1,0,x),且BP∥平面 又1 log s=1log厅= CDE,故存在实数A,,使BD=入C市+uD范 因此(-3t,-1+3t,z)=(-,2λ，2)， (10分) 所以数列(g2)是首项为子，公比为2的等比 由x2=3得≠0，比较第三个坐标得u=1,再比较 数列， (11分) 第-个坐标得t一号故P(1,0. (12分) 所以s-子-之) 于是Cp=(1,0,x),且Cp.CD=0, 1 1-2 2m-1、 2 (13分) 故CP⊥CD,又CB⊥CD, 16.解：(1)以C为原点，分别以CB,CD所在直线为x, 所以∠PCB为二面角P一CD-B的平面角 y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0,0,0), (13分) B(2,0,0),D(0,2,0). (1分) 由2=3，得C1=√个十=2，Ci=2,且C2, Ci=2, 所以cos∠PCB= c立.Ci 21 CP CBI 2X2-2 故二面角P-CD-B的余弦值为号 (15分) 17.解：(1)设比例系数为k,则P(A=1)=k,P(A=2) = 令，PA=)=冬，PA=8)=冬 由AB⊥BC,设A(2,y,x), 则AB=y2十x2=4,AD=4+(y-2)2+x2=16, 由概率之和为1，得+冬十冬十冬=1， (2分) 两式相减得8-4y=12,故y=-1, 解得=音故PA=1D=是，PA=2)=言 从而2=3，即A(2,-1,之)，其中之2=3. (4分) PA=0=音PA=8)= 2 由CD⊥DE,设E(x,2,), (5分) ·3 数学 参考答案及解析 (2)设事件B表示另一节点算力为2，事件C表示另 的概率分别为号和子 (13分) 一节点算力为8.X的所有可能取值为1,2,4,8,16， 设在已知X=x的条件下，改用另一节点后最终获 给定A后，两台候选节点被随机分配的概率均为 (6分) 得的算力为Y,则E)=号×号+号×2x=元 而保留当前节点时最终获得的算力为x, PX=)-是× 故当X=2,4,8时，保留当前节点与改用另一节点 X=2)=是×+是×-号 的数学期望相同，两种选择均可， 综上，当X=1时改用另一节点；当X=2,4,8时两 种选择均可：当X=16时保留当前节点.(15分) pX-8)=品×子+品×-0： 18,解：(1)设双曲线C的方程为号-苦-1(a>0,6> 1 11 P(X=16)=5×2=30, (8分) 0),则两条渐近线的斜率分别为么，一 a 当X=4且事件B发生时，必有A=2, 由两条渐近线互相垂直，得-： a=-1, 4×1 故P(BX=4)= 2=2 所以a=b. (2分) 5 由焦距为4√2，得c=2√2， 当X=4且事件C发生时，必有A=4, 又c2=a2+b, 2 1 所以a2=b=4, 故P(CX=4) 152 1 3 故C的方程为号-兰-1，即2一少=4 (5分) 所以另一节点算力分别为2和8的概率分别为号， (2)(i)设Q(m,n),其中n≠0， 则A(-2,0),B(2,0). 子 (10分) 设AD=sAd,B舵=tBO, (3)当X=1时，只可能有A=1,另一节点的算力为 则D(-2十s(m+2),sn),E(2+t(m-2),tn), 2,因此改用另一节点可获得更大的算力，故应改用 由DE平行于x轴，得sn=tn, (8分) 另一节点， 又n≠0，所以s=t,记s=t=入， 当X=16时，只可能有A=8,另一节点的算力为8， 从而D(m-2(1-A),An),E(Am十2(1-λ)，An), 因此应保留当前节点， (11分) 故P(Am,An),r=PD=21-λ. (11分) 当X=x,其中x∈(2,4,8)时，若A=受，则当前节 当Q(1,2)时，P(x,2λ) 由P在直线x十y=1上，得3λ=1， 点算力为2A=x,另一节点算力为号： 所以A=了，放=2-子-号 (13分) 若A=x,则当前节点算力为A=x,另一节点算力为 (i)由P(λm,An),得R(,n), 2x.这两种情况发生的概率之比为2：1， 所以QR2=(1-a)2m2,|PR2=(1-A)2n2. 故在已知X=x的条件下，另一节点算力为号和2x 由QR2-|PR2=r2及r=21-λ|>0， ·4· 参考答案及解析 数学 得(1-λ)2(m2-n)=4(1-)2,且A≠1， 综上，b∈M(a)UMc). (9分) 所以m2-n2=4,即点Q在双曲线C上. (15分) (3)假设f(x)在R上不是单调递增函数，则存在a,c 由双曲线的定义，QF1|-QF2|=2a=4, ∈R,满足a<c,且f(a)≥f(c), 故QF1-QF2=4或-4， (17分) 于是(c-a)(f(c)-f(a)≤0， 19.解：(1)当f(x)=x2时，f(1)=1, 又c≠a,所以c∈M(a). 由集合M(1)的定义，得(x-1)(x2-1)≤0，且x≠ 在区间(a,c)内取2n十1个两两不同的实数b1, 1,即(x-1)2(x+1)≤0， b…,b+1其中6=a+2m十2c-a),k=1,2,… 因为x≠1，所以(x-1)>0, 2n十1，则对每个k,均有a<b<c,由(2)知，对每个 从而x十1≤0，即x≤-1，故M(1)=(-∞，-1]. k=1,2,…,2n十1，均有b∈M(a)UM(c).(13分) (4分) 因为M(a)中的元素不超过n个， (2)因为c∈M(a),所以(c-a)(f(c)-f(a)≤0， 所以在b,b2,…,bm+1中，至少有n十1个不属于 又a<c,所以c-a>0,从而f(c)≤f(a). M(a),而这些元素均属于M(a)UM(c), 若f(b)≤f(a),因为a<b, 故这至少n十1个元素均属于M(c),这与M(c)中的 所以(b-a)(f(b)-f(a))≤0， 元素不超过n个矛盾，所以假设不成立， 又b≠a,故b∈M(a),从而b∈M(a)UM(c). 即对于任意a<c,都有f(a)<f(c), 若f(b)>f(a),则由f(c)≤f(a),得f(b)>f(c), 故f(x)在R上单调递增. (17分) 又b<c,所以(b-c)(f(b)-f(c)<0,且b≠c, 故b∈M(c),从而b∈M(a)UM(c). ·%5·