1.4空间向量的应用同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4空间向量的应用同步练习及答案解析 一、空间向量的坐标表示及其应用 设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 数量积 共线（平行） 垂直 （均非零向量） 模 ，即 夹角 二、直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 2、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 3、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 三、空间位置关系的向量表示 设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量． 线线平行 ，使得 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 线面平行 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； 面面平行 ，使得 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 线线垂直 线面垂直 ，使得 面面垂直 四、向量法求空间角 1、异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ①；② 2、直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；②. 3、平面与平面所成角（二面角） （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 五、向量法求距离 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为. （2）两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于到直线的距离. （3）求点面距 ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面α的距离 ，其中Q∈α，是平面的一个法向量. （4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面 之间的距离：=，其中，是平面 的一个法向量. 两平行平面之间的距离：=，其中，是平面的一个法向量. 1、 单项选择题 1. 已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（    ） A． B． C．2 D．16 2. 已知向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 4. 已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使∥的是（　　） A． B． C． D． 6. 下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论，其中正确的是（    ） A．两条直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 C．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 D．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 7. 在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（    ） A． B．4 C． D． 8. 已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A. B. C. D. 2、 多项选择题 9. 如图，在棱长为1的正方体中，则（    ）    A． B．三棱锥体积为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为 10. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面，则（    ） A． B．与平面所成角为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 3、 填空题 12. 在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 . 13. 在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为 . 14. 在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________. 4、 简答题 15. 在正四棱柱中，，，E在线段上，且.    (1)求证：平面DBE； (2)求直线与平面DBE所成角的正弦值. 16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形， ，且是的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4空间向量的应用同步练习及答案解析 一、空间向量的坐标表示及其应用 设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 数量积 共线（平行） 垂直 （均非零向量） 模 ，即 夹角 二、直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 2、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 3、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 三、空间位置关系的向量表示 设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量． 线线平行 ，使得 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 线面平行 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； 面面平行 ，使得 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 线线垂直 线面垂直 ，使得 面面垂直 四、向量法求空间角 1、异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ①；② 2、直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①；②. 3、平面与平面所成角（二面角） （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 五、向量法求距离 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为. （2）两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于到直线的距离. （3）求点面距 ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面α的距离 ，其中Q∈α，是平面的一个法向量. （4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面 之间的距离：=，其中，是平面 的一个法向量. 两平行平面之间的距离：=，其中，是平面的一个法向量. 1、 单项选择题 1. 已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（    ） A． B． C．2 D．16 【答案】A 【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，得. 故选：A 2. 已知向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先判断由能否推出，再判断由能否推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【详解】当时，；当时，；综上所述，是的充要条件. 故选：C. 3. 已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 【答案】B 【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【详解】因为， 所以，则，所以. 故选：B. 4. 已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点A到直线的距离,向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】已知，，， 所以 ，， 点A到直线的距离为.故选：A. 5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使∥的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直，利用向量数量积为0逐项分析即可. 【详解】由∥，则直线的方向向量为与平面的法向量为互相垂直， 选项A：， 故选项A不正确； 选项B：， 故选项B不正确； 选项C：， 故选项C不正确； 选项D：， 故选项D正确；故选：D. 6. 下列利用方向向量、法向量判断线线、线面位置关系的结论，其中正确的是（    ） A．两条直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 C．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 D．直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合线、面位置关系的向量判断方法，一一判断即可 【详解】A项，因为，，即，所以，所以或重合，故A项错误； B项，因为，所以，所以或在面内，故B错误； C项，因为，，即，所以，所以，故C项正确； D项，因为，所以，所以或在面内，故D项错误. 故选：C 7. 在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量法计算可得. 【详解】依题意，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 故选：C 8. 已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】应用求空间向量夹角余弦值的公式计算余弦值，然后利用同角三角函数关系求解正弦值即可. 【详解】设两条异面直线所成的角为， 且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以，即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：D 2、 多项选择题 9. 如图，在棱长为1的正方体中，则（    ）    A． B．三棱锥体积为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，用坐标法解空间几何体相关问题 【详解】以为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 对选项A，，， 所以与不垂直.选项A不正确； 对选项B，设平面的一个法向量为 ，. 则 ，令，则，即法向量. ，在法向量上投影的绝对值即为点到平面的距离， 点到平面的距离为 是正方体的面对角线，是边长为的正三角形， 则选项B正确； 对选项C，由选项B的解析过程知，选项C正确； 对选项D，与平面所成角的正弦值等于与法向量所成角余弦值的绝对值. 则 选项D正确. 故选:BCD    10. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】BD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到，即可判断选项A；利用向量法证明，即可判断选项B；利用向量法求出点到平面的距离即可判断选项C；利用向量法求出直线B1C与平面所成角的余弦值即可判断选项D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系： . A：， 因为，所以，因此该选项不正确； B：， 因为， 所以，而平面ACD1， 因此平面ACD1，所以该选项正确； C：因为平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，， 所以点B1到平面ACD1的距离为，因此该选项不正确； D：设直线B1C与平面所成角为， 则， 所以直线B1C与平面所成角的余弦值， 因此该选项正确. 故选：BD . 11. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面，则（    ） A． B．与平面所成角为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】AD 【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】连接，因为，设， 由余弦定理得，所以，则， 则，即，又底面，底面， 所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则 对于A，所以，，则，所以，故A正确； 对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以， 则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B错误； 对于C，，则，则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，设平面的法向量为，则，令，则， 设平面的法向量为，则，令，则， 所以，则平面与平面的夹角的余弦值为，故D正确. 故选：AD. 3、 填空题 12. 在空间直角坐标系 中，向量 分别为异面直线 的方向向量，若所成角的余弦值为 则 . 【答案】 【分析】由向量夹角的余弦公式运算即可. 【详解】设，所成角为， 则， 解得. 故答案为：. 13. 在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 14. 在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________. 【答案】 【分析】求出平面的法向量，根据点在平面内，即可求解. 【详解】点，，， 所以：，， 设平面的法向量为， 则：,令得： 在平面内,所以 即： 故答案为： 4、 简答题 15. 在正四棱柱中，，，E在线段上，且.    (1)求证：平面DBE； (2)求直线与平面DBE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理作答. （2）利用空间向量求出线面角的正弦值作答. 【详解】（1）在正四棱柱中，两两垂直， 以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，，， ，，， 于是，，即且， 而平面DBE， 所以平面DBE. （2）由（1）得，为平面DBE的一个法向量， 因此， 所以直线与平面DBE所成角的正弦值为. 16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形， ，且是的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由点到平面距离的向量求法求解. （2）求出平面的法向量，结合（1），利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在直四棱柱中，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 而，且是的中点， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. （2）设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值 学科网（北京）股份有限公司 $