1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时2(创新拔高)课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时2夹角问题 1.如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点，M在线段上，则直线与平面MEF所成角的最大值为( ) A. B. C. D. 2.如图，在三棱锥中，平面平面，，，.点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得直线PQ与平面ACD所成角为，则线段PA长度的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.如图所示的多面体是由底面为的正方体被截面所截而得到的，其中，，，，则二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，.若Q是底面ABCD内（包括边界）一点，且二面角的大小为，则面积的最大值是( ) A. B. C. D. 5.如图，在直四棱柱中，点M，N，P分别为，和的中点，底面为菱形，且.记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则( ) A. B. C. D. 6.如图，正方形ABCD，ABEF中，，动点M，N分别在线段AE和DB上，，当最小时，二面角的平面角的余弦值是( ) A. B. C. D. 7.（多选）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是( ) A.直线平面 B.三棱锥的体积为定值 C.异面直线AP与所成角的取值范围是 D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为 8.（多选）如图，在正方体中，点E，F，G分别在棱，，上（不与棱的端点重合），M为棱的中点，则下列说法正确的是( ) A.若平面与正方体的每条棱所成的角都相等，则直线平面 B.不可能为直角三角形 C.若G，F分别为棱，的中点，则存在点E，使得平面 D.若二面角的余弦值为，二面角的余弦值为，则二面角的余弦值为 9.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，M为棱SA上的一点，若BM与平面SBD所成角的正弦值为，则______. 10.如图，在五面体ABCDE中，正三角形ABC的边长为1，平面，，且，设CE与平面ABE所成角为，.若，则当k取最大值时，平面BDE与平面ABC的夹角的正切值为____________. 11.四边形ABCD中，，，.沿直线AC将折起，形成三棱锥.已知二面角的大小为，则三棱锥的体积为___________. 12.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上的三点，均为过球心的平面与球面的交线的一部分，曲面ABC（阴影部分）叫作球面三角形，若记二面角，，分别为，则球面三角形ABC的面积为. （1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积. （2）将图1中的四面体截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，且，设，，. ①求证：； ②如图3，延长AO与球O交于点D，连接BD，CD，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，点E在线段BD上，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST所成的角为，求的最小值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：以D为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，由M在线段上，可设，，则，，.设平面MEF的法向量为，则即令，得，，则平面MEF的一个法向量为.设直线与平面MEF所成的角为，则，因为，所以当时，取得最小值，此时取得最大值，由，知的最大值为.所以直线与平面MEF所成角的最大值为.故选C. 2.答案：B 解析：如图，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，设， 设，则 ，，，设平面ACD的法向量，则令，得，所以.因为直线PQ与平面ACD所成角为，所以，所以，因为，所以，所以，又，解得，可得. 3.答案：B 解析：由题意，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，.设.因为E，F，G，H四点共面，所以存在实数，，使得，即，则解得， 所以.又平面，所以是平面的一个法向量. 又，，设平面的法向量为，则 即令，得，，则，所以. 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.故选B. 4.答案：A 解析：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系.由二面角的大小为，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，又Q是底面ABCD内（包括边界）一点，所以Q的轨迹是过点D的一条线段.设Q的轨迹所在直线与y轴的交点为.由题意可知，，，所以，，.由题知平面APD的一个法向量为.设平面PDG的法向量为，则即令，则是平面PDG的一个法向量，则，解得或（舍去），所以Q在DG上运动，故当点Q与点G重合时，面积取得最大值，是. 5.答案：C 解析：如图，连接，，由底面为菱形，，得为等边三角形，故.取的中点，连接，则平面，又，平面，所以，，三线两两互相垂直，以P为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.不妨设，则，故，，则，，，，，，，，.由题意知平面的法向量可取， 设平面的法向量为，则 取，则，，故为平面的一个法向量. 易知，，，则，， 所以，，因为在上单调递减，且，所以.故选C. 6.答案：C 解析：因为四边形ABCD，ABEF为正方形，，所以以B为原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴，过点B且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设正方形ABCD，ABEF的边长为m，由，可设，，则，，，，， 由，得， 所以，所以 ，所以当时，取得最小值，此时，，所以，，.设平面AMN的一个法向量为，则即令，得，，即.设平面BMN的一个法向量为，则即令，得，，即.设二面角的平面角为，结合图知为钝角，故. 7.答案：ABD 解析：A项，连接，BD.，，，且，平面，平面.又平面，，同理，.，且，平面，直线平面，故A正确；B项，，且，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面.点P在线段上运动，到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值.又的面积是定值，三棱锥的体积为定值.不妨设正方体的棱长为1，则，即三棱锥的体积为定值，故B正确；如图，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设，，则，，，，，.C项，，，，.，，，.异面直线AP与所成角为锐角或直角，与所成角的取值范围为，故C错误；D项，，.由A选项正确，可知是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为，当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选ABD. 8.答案：ABD 解析：对于A，在正方体中，设点A到平面的距离为h，由平面与正方体每条棱的所成的角都相等，得棱，，与平面所成的角都相等，则，于是，而，则，故，而平面，平面，因此平面，A正确. 对于B，设，，，则，，，从而，则，同理，，，因此为锐角三角形，B正确. 对于C，以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 如图，不妨设正方体的棱长为2，则，，，，，，假设存在点E，使得平面，而平面，则，，解得，即E与重合，不符合题意，因此不存在点E，使得平面，C错误. 对于D，由选项C分析得，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，解得，，解得，因此，，则，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为，D正确.故选ABD. 9.答案： 解析：过点P作，交BC于点E，又，所以.由，P为AD的中点，得.又四边形ABCD是矩形，所以，则SP，PA，PE两两垂直，以P为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由，，P为AD的中点，，得，E为BC的中点，则，，，，所以，，，.令，，则.设平面SBD的一个法向量为，则令，得.由题得，解得，所以. 10.答案： 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，取AB的中点M，则，连接CM，则. 因为平面，平面ABC，所以.又，所以平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为.因为，所以.又，所以，即，解得，所以k的最大值为.当时，，，设平面BDE的法向量为，则 令，则，，所以.取平面ABC的一个法向量为，设平面BDE和平面ABC的夹角为，则，所以，故. 11.答案： 解析：，，，是等腰直角三角形，且.，，是以AD为底边的等腰三角形，四边形ABCD的形状如图所示. 在三棱锥中，以点A为原点，AC，AB所在直线分别为x轴，y轴，以过点A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.设点D的坐标为，，.由四边形ABCD及二面角为钝角可得，，.易知是平面ABC的法向量，设平面ACD的法向量为，则即令，则，.二面角的大小为，，得，① ，② ，③ 联立①②③，由，，得，，，即，点D到平面ABC的距离.，三棱锥的体积. 12.答案：（1） （2）①证明见解析 ② 解析：（1）因为平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，所以， 所以球面三角形ABC的面积. （2）①由余弦定理可得且， 所以，即. ②第1步：利用圆的性质，找出题图3中的垂直关系. 由题意可知AD是球的直径，则，， 又，，平面BCD，所以平面BCD， 因为平面BCD，所以， 又，平面ABC，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以. 第2步：找到直线DA，DC与平面ABC所成的角，求出各线段长度. 又直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为， 所以，. 不妨令， 则，，，. 第3步：建系，分别求出平面OBC和平面EST的一个法向量. 又，，， 故以C为原点，CB，CA所在直线分别为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，则，，，，，，，，则，，，. 设平面OBC的法向量为，则取，则，，所以是平面OBC的一个法向量. 设平面EST的法向量为，则取，则，， 所以是平面EST的一个法向量. 第4步：求出的表达式，利用换元法并结合基本不等式求最值. 要使取最小值，则取最大值. 因为 ， 令，因为，所以，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $