1.4空间向量的应用课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量应用，分层设计基础巩固、中档应用、提升拓展三层次，覆盖从单一概念到综合几何问题的巩固路径，适配新授课知识内化与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|法向量共线、向量平行垂直判定、点面距离公式|直接应用概念公式，如第1题法向量共线求参数，培养运算能力| |中档|几何体中向量运算（线面角、共面向量）|结合长方体/四棱锥模型，如第6题长方体线面角余弦值计算，发展空间观念| |提升|综合应用（轨迹、最值、外接球）|融入动点轨迹与最值问题，如第5题正方体中距离最小值，提升推理能力与创新意识|

1.4空间向量的应用课时小练习 一、单选题 1．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 5．在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D． 6．在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知空间非零向量，，，则（    ） A．，可以相互垂直 B．，为平面的共面向量 C．是平面的一个法向量 D．，不能作为其确定平面内的一组基底 10．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（    ） A． B．四棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．与所成角的余弦值的最大值为 11．如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．向量共面 C． D．若，则该平行六面体的高为 三、填空题 12．平行六面体的底面为正方形，且，．则____________． 13．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 14．已知三棱锥，，点为内部一点，若，，且，则____________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D D A D D BC AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 2．B 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，、、分别作为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 由于点在侧棱上，满足，所以，解得，所以， 由于点在上，不妨设，即，解得， 同理，点在上，设，解得， 则， 由于，，则， 化简得，解得， 因此 ，所以，故B正确. 3．C 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 4．D 【分析】若平面，可得，进而可判断A；由题意可得平面平面，进而可判断B；点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，计算可判断C；根据平面，可判断D. 【详解】对于A，若平面，又平面，所以， 又因为、分别为棱，的中点，所以，所以， 因为是等边三角形，所以，与矛盾， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，连接， 因为、分别为棱，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正方体的性质可得，又，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，平面， 故直线与直线是异面直线或，故B错误； 对于C，由知点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示， 由正方体棱长为得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，故C错误. 对于D，因为平面，又， 所以点到平面的距离为定值，又为定值， 所以为定值，故D正确. 5．D 【分析】建系，设，根据两点间距离公式分析求解． 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 可得， 设， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 6．A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 平面平面，而平面的一个法向量为， 因此平面的法向量为，设直线与平面所成的角， 则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 7．D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 8．D 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 9．BC 【分析】根据空间向量平行垂直的坐标运算和平面向量基本定理逐个判断选项正误. 【详解】若，相互垂直，则，解得， 与题意为非零向量矛盾，所以，不可以相互垂直，所以选项A错误； ，的竖坐标均为0，所以，均在平面内， 所以，为平面的共面向量，所以选项B正确； ，非零向量，则，所以是非零向量，且平行于竖轴， 是平面的一个法向量，所以选项C正确； 因为，是非零向量，所以，所以，不共线， 所以，可以作为其确定平面内的一组基底，选项D错误. 10．AC 【分析】A选项，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，找到外接球球心，求出外接球半径，进而求出表面积；C选项，将平面折到同一平面，进行求解即可；D选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，因为底面为正方形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以，A正确； B选项，设，取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 又因为底面为正方形，所以， 即即为四棱锥的外接球球心， 因为，，所以，， 所以四棱锥的外接球半径为， 四棱锥的外接球表面积为，B错误； C选项，其中，，， 故，故， 将平面与平面展开到同一平面内，如图所示， 连接，交于点，此时取得最小值， 最小值为，C正确； D选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，，， 则， 所以，故， 故，， 所以，其中， 设与所成角为，则， 当时，， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即，时， 取得最大值，最大值为， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即时， 取得最大值，最大值为， 综上，与所成角的余弦最大值为，D错误 11．ACD 【分析】设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D. 【详解】设，， 则， 因为点分别是棱的中点， 所以，， 则， 则，故A正确； ， 则向量不共面，故B错误； ，故C正确； 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 则在上的投影向量的长度为， 则该平行六面体的高为，故D正确. 12． 【分析】设在底面内的射影为P，过P作，，连结，，，从而根据线面垂直的判定及性质得到，，从而得到P在的角平分线上，从而得到，即可得到，再以，，所在的直线分别为，，为轴建立空间直角坐标系，设，，找到所需各点的坐标，从而得到，，再根据即可求出的值，进而即可得到的值． 【详解】设在底面内的射影为P，过P作，，连结，，， 则平面，由平面，则， 又平面，则平面， 又平面，所以，同理， 又，则，则，则P在的角平分线上，所以， 设，则，，则，所以， 设，交点为O，以O为原点， 则以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，    设，，则，则， 则，，，， 所以，， 又，则， 即， 解得，（舍去）， 所以． 13．0 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 14．/ 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，由已知条件求得参数值，再由两点间距离公式计算. 【详解】由题意是等边三角形， 如图，以为轴，线段的中垂线为轴，建立空间直角坐标系（使得点的坐标为正）， 则，，， 因为，所以在线段的中垂面上，即在坐标平面上，设， 由得，即①， 设，由得， 解得，即， 又，， ， 所以②，③， 由②③解得，，，代入①得， 所以. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $