第一章特殊平行四边形 高分冲刺卷 2026～2027 学年北师大版数学九年级上册

高分冲刺卷第一章特殊平行四边形2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.1 认识特殊平行四边形；1.2 菱形的性质与判定；1.3 矩形的性质与判定；1.4 正方形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 是边 BC 的中点，连接 AE，过点 D 作 于点 F，则 DF 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 正方形 ABCD 中 ，点 E 是 BC 的中点，所以 ； 在 中，； ； 又 ，即 ， 解得 ．选 A． 【解题提示】面积两用：整体减两块，再以 AE 为底挂出高 DF． 2．菱形的两条对角线长分别为 和 ，则该菱形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 菱形的对角线互相垂直平分，所以半对角线长分别为 和 ； 由勾股定理，菱形的边长为 ； 所以菱形的周长为 ．选 B． 【解题提示】对角线垂直平分，半对角线与边长围成直角三角形． 3．如图，在矩形 ABCD 中，，，点 E 是边 BC 上一点，将 沿 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，则 BE 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 矩形 ABCD 中 ，由勾股定理 ； 由折叠的性质，，，； 所以 ，； 设 ，则 ；在 中，， 即 ，解得 ，即 ．选 D． 【解题提示】折叠保边保角，落在对角线上就锁定了直角三角形． 4．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 BE，DE，BF，DF．给出下列结论：①四边形 BEDF 是平行四边形；②若 ，则四边形 BEDF 是菱形；③若 ，则四边形 BEDF 是矩形；④若四边形 ABCD 是正方形，则四边形 BEDF 是正方形．其中正确结论的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 B 【解析】 平行四边形 ABCD 中 ，；E，F 分别是 OA，OC 的中点，所以 ，故四边形 BEDF 是平行四边形，①正确； 若 ，点 E，F 在 AC 上，则 ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，②正确； 若 ，则 ， 平行四边形 BEDF 的对角线不相等，不是矩形，③错误； 若四边形 ABCD 是正方形，同样有 ， 四边形 BEDF 是菱形但不是正方形，④错误； 综上，正确的有 2 个．选 B． 【解题提示】先锁定对角线互相平分打底，再逐条检验「垂直出菱形、相等出矩形」的条件链． 5．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE，将 DCE 沿直线 DE 翻折到正方形 ABCD 所在的平面内，得 DFE，延长 DF 交 AB 于点 G． 和 的平分线 DH，AH 相交于点 H，连接 GH，则 DGH 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 连接 GE．正方形 ABCD 中 ，；点 E 是 BC 的中点，所以 ； 由翻折的性质，，，； 所以 ，又 ，故 ，； 设 ，则 ，；在 中，， 即 ，解得 ，所以 ，； DH，AH 分别平分 和 ，所以点 H 到 AD，AG，DG 的距离相等，设该距离为 h； 由 ， 且 ，得 ； 所以 ．选 A． 【解题提示】翻折出 HL 全等搬等边，勾股列方程定 DG，角平分线交点到三边等距拆面积． 6．如图，在菱形 ABCD 中，，对角线 ，点 P 是边 AD 上一动点，过点 P 作 于点 E， 于点 F，则 的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 设对角线 AC，BD 相交于点 O．菱形 ABCD 的对角线互相垂直平分，，，所以 ，， ，所以 ； 因为 P 在 AD 上， 与 同高（底都在直线 AD 上），面积比等于底之比， 所以 ； 又 ，所以 ； 同理 ，又 ，所以 ； 设 ，则 ，； 由 得 ； 因为 ，所以 不可能等于 ．选 D． 【解题提示】同高面积比换成底之比，两段距离都挂到 AP 上，一次函数的取值范围一夹便知． 7．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别是边 BC，CD 的中点，连接 AE，BF 交于点 G，连接 DG．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 C 【解析】 正方形 ABCD 中 ，，； 所以 ，故 ，①正确； 由全等得 ，所以 ， 故 ，即 ，②正确； 延长 BF 交 AD 的延长线于点 K．因为 ，，， 所以 ，故 ； 由②知 ，即 ，所以 D 是 斜边 AK 的中点， 故 ，③正确； 在 中，；，又 ，所以 ； 在 中，，所以 ； 而 ； 与 同高（底都在直线 AE 上），面积比等于底之比， 所以 ，④错误； 综上，正确的有 3 个．选 C． 【解题提示】等面积求出 AE 上的高，勾股定出 AG，同高面积比一算便知④假． 8．如图，在矩形 ABCD 中，，，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 ，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 EF 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 矩形 ABCD 中 ，，，所以 ，； 因为 EF 过 AC 的中点 O 且 ，所以 EF 是 AC 的垂直平分线，； 设 ，则 ，；在 中，，即 ，解得 ； 在 中，，，所以 ； 又 （，，），所以 ； 所以 ．选 C． 【解题提示】垂直平分线把 EA 接到 EC，勾股定出 OE；中点对顶凑 ASA 全等，两半对称一翻倍． 9．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 的延长线上，点 F 在边 AD 上，连接 BF，BE，且 ．若 ，，，则 AF 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 矩形 ABCD 中 ，，所以 （内错角）； 是 的外角，所以 ； 又 ，所以 ，故 ； ；设 ，则 ； 在 中，，即 ， 解得 ，即 ．选 D． 【解题提示】外角拆两倍角出等腰，斜边搬进直角三角形列方程． 10．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，连接 AE，过点 D 作 于点 G，延长 DG 交边 AB 于点 F，则 DF 与 AE 的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 正方形 ABCD 中 ，； 因为 ，所以 ，在 中，； 又 ，所以 ； 所以 ，故 ．选 A． 【解题提示】同角的余角相等，ASA 全等直接把两条线拉平． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．菱形 ABCD 的周长为 20，两条对角线的长度之比为 ，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 菱形周长为 20，所以边长为 5； 设两条对角线长分别为 ，，菱形的对角线互相垂直平分， 所以半对角线为 ，，由勾股定理 ，解得 ； 两条对角线长分别为 6 和 8，所以面积为 ． 【解题提示】半对角线与边长围成直角三角形，3-4-5 一组勾股数． 12．矩形 ABCD 的面积为 ，对角线 AC 的长为 ，则该矩形的周长为______． 【答案】 【解析】 设矩形的两邻边长分别为 a，b，则 ，； 由完全平方公式，， 所以 ； 所以矩形的周长为 ． 【解题提示】面积与对角线双约束，完全平方公式求邻边和． 13．如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，APB 是等边三角形，连接 AC，CP，则 的度数为______． 【答案】 【解析】 正方形 ABCD 中 ，，； 是等边三角形，所以 ，； 所以 ，； 等腰 中，； 所以 ． 【解题提示】等边加正方形边等汇聚出等腰，底角相减出目标角． 14．如图，在矩形 ABCD 中，，，分别以 B，C 两点为圆心，以 AB 的长为半径作弧，两弧在矩形 ABCD 内部交于点 P，则点 P 到 AD 所在直线的距离为______． 【答案】 【解析】 由作图知 ，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上； 设点 P 到 BC 的距离为 h，则 h 与 BC 的一半围成直角三角形， 即 ，解得 ； AD 与 BC 间的距离为 ，所以点 P 到 AD 所在直线的距离为 ． 【解题提示】等半径交点落中垂线，勾股出高，矩形宽减去高即到对边的距离． 15．如图，在矩形 ABCD 中，，，点 P 是折线 B-C-D 上的动点（点 P 不与点 B 重合），当 AP 的长为整偶数时，则 BP 的长为______． 【答案】 或 或 【解析】 矩形 ABCD 中 ，； 当点 P 在 BC 上时，设 （），则 ，故 ； AP 为整偶数，所以 或 ： 时 ，； 时 ，此时 P 与 C 重合； 当点 P 在 CD 上时，，，所以 ； AP 为整偶数： 时 P 与 D 重合，； 时 P 与 C 重合，； 综上，BP 的长为 或 或 ． 【解题提示】折线分段讨论，勾股挂出 AP 范围，整偶数逐个过筛． 16．如图，正方形 ABCD 的边长为 16，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 M 在边 AD 上，且 ，点 P 是边 AD 上一动点，连接 OP，OM．当 OPM 是等腰三角形时，OP 的长为______． 【答案】 或 或 【解析】 过点 O 作 于点 E．正方形边长为 16，对角线互相垂直平分，所以 ，； ，所以 ；在 中，； 设 ．分三种情况： ①当 时，由勾股定理 ，P 在 E 左侧且不与 M 重合，成立； ②当 时，，； ③当 时，设 ，则 …即 ，由 得 ，解得 ； 综上，OP 的长为 或 或 ． 【解题提示】作高定出 OM，等腰分三类，逐类勾股列方程． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，，点 E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，连接 EF，FG，GH，HE． (1) 求证：四边形 EFGH 是菱形； (2) 若 ，判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由． 【答案】 (2) 正方形 【解析】 (1) 点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF 是 的中位线，； 同理 ，，； 因为 ，所以 ，故四边形 EFGH 是菱形； (2) 四边形 EFGH 是正方形．理由如下： 由中位线的性质，，； 因为 ，所以 ，即 ； 有一个角是直角的菱形是正方形，所以四边形 EFGH 是正方形． 【解题提示】中位线把对角线的「等」与「垂直」分别翻译成边等和角直． 18．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，，点 E 是边 BC 的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 G． (1) 求证：； (2) 若 ，求 AG 的长． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 因为 E 是边 BC 的中点，所以 ； 因为 ，且 CG 是 DC 的延长线，所以 ； 又点 E 在 BC 上，所以 ，； 由 得 （两直线平行，内错角相等），所以 （等量代换）； 又 （对顶角）， 所以 ，故 ； (2) 因为 ，，所以 是等边三角形； 又 E 是 BC 的中点，所以 ，； 在 中，； 由 (1) 知 ，所以 ． 【解题提示】延长线供出对顶角与内错角，凑成 ASA 全等把 AE 搬到 GE；60° 菱形藏等边，三线合一加勾股求出 AE． 19．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，，，点 E 在边 AD 上，将 沿 BE 折叠，点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 F 处，连接 EF． (1) 求 BD 的长； (2) 求 DF 的长； (3) 求 AE 的长． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 (1) 矩形 ABCD 中 ，， 由勾股定理 ； (2) 由折叠的性质，， 所以 ； (3) 由折叠的性质，，，所以 ； 设 ，则 ，； 在 中，，即 ， 解得 ，即 ． 【解题提示】折叠前后线段相等，落点把对角线截成两段，小直角三角形里勾股收尾． 20．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，AD 上，且 ，连接 AE，CF． (1) 求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2) 若四边形 AECF 是菱形，连接 EF 交 AC 于点 O，，，求 BC 和 EF 的长． 【答案】 (2) ， 【解析】 (1) 矩形 ABCD 中 且 ， 因为 ，所以 ，又 ， 所以四边形 AECF 是平行四边形； (2) 四边形 AECF 是菱形，所以 ； 在 中，， 所以 ，； 菱形的对角线互相垂直平分，所以 O 是 AC 的中点，； 矩形中 ，所以 ； 在 中，， 所以 ． 【解题提示】邻边相等锁菱形，对角线互相垂直平分，半个 EF 用勾股求出再翻倍． 21．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，且 ，连接 AF，DE 交于点 G，连接 CG． (1) 求证： 且 ； (2) 若正方形 ABCD 的边长为 4，求 CG 的最小值． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 正方形 ABCD 中 ，； 又 ，，所以 ； 所以 ，故 ，； 因为 ，所以 ， 故 ，即 ； (2) 取 AD 的中点 O，连接 OG，OC． 在 中，O 是斜边 AD 的中点，所以 ； 在 中，，，所以 ； 由 ，当 O，G，C 三点共线时等号成立， 所以 CG 的最小值为 ． 【解题提示】全等出垂直，斜边中线定长，两边之差压出最小值． 22．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，，，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 上，且 ，连接 BE，DF． (1) 求证：； (2) 求证：四边形 BEDF 是平行四边形； (3) 若四边形 BEDF 是菱形，求 AE 的长． 【答案】 (3) 【解析】 (1) 矩形 ABCD 中 ，，又 ，所以 ； (2) 由 (1) 得 ；又 ，所以四边形 BEDF 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）； (3) 四边形 BEDF 是菱形，所以 ；设 ，则 ，； 在 中，，即 ，解得 ，即 ． 【解题提示】一组边等勾出全等，对边等量替换定平行四边形；菱形给边相等，勾股列方程一解到底． 23．（8 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D 作 ，交 BC 的延长线于点 E，连接 CE． (1) 求证：四边形 ACED 是平行四边形； (2) 求证：；若 ，，求 BDE 的面积； (3) 当 时，判断四边形 ACED 的形状，并说明理由． 【答案】 (2) ；(3) 菱形 【解析】 (1) 菱形 ABCD 中 ，点 E 在 BC 的延长线上，所以 ； 又 ，所以四边形 ACED 是平行四边形； (2) 菱形的对角线互相垂直，所以 ； 又 ，所以 ； 由 (1) 知 ，所以 ； (3) 四边形 ACED 是菱形．理由如下： 当 时，由 知 是等边三角形，所以 ； 由 (1) 知四边形 ACED 是平行四边形，又 ， 一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形 ACED 是菱形． 【解题提示】两组平行出平行四边形，垂直传递加等边，邻边相等升菱形． 24．（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 ，连接 AE，AF，AC． (1) 求证：； (2) 判断 的形状，并说明理由； (3) 若 ，，求 AE 的长及 的面积． 【答案】 (2) 等边三角形；(3) ， 【解析】 (1) 菱形 ABCD 中 ，又 ，所以 是等边三角形，，； 因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等），所以 ； 又 ，所以 ； (2) 是等边三角形．由 (1) 得 ，；又 AE 在 内，所以 ； 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，所以 是等边三角形； (3) 过点 E 作 于点 H．在 中，，，所以 ，； 所以 ；在 中，，所以 ； 因为 是等边三角形，边长 ，其高为 ， 所以 ． 【解题提示】60° 菱形藏等边，SAS 全等连出一对等边；等边套等边，作高加勾股算出边长与面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高分冲刺卷第一章特殊平行四边形2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.1 认识特殊平行四边形；1.2 菱形的性质与判定；1.3 矩形的性质与判定；1.4 正方形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 是边 BC 的中点，连接 AE，过点 D 作 于点 F，则 DF 的长为（　　） A． B． C． D． 2．菱形的两条对角线长分别为 和 ，则该菱形的周长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形 ABCD 中，，，点 E 是边 BC 上一点，将 沿 AE 折叠，点 B 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，则 BE 的长为（　　） A． B． C． D． 4．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 BE，DE，BF，DF．给出下列结论：①四边形 BEDF 是平行四边形；②若 ，则四边形 BEDF 是菱形；③若 ，则四边形 BEDF 是矩形；④若四边形 ABCD 是正方形，则四边形 BEDF 是正方形．其中正确结论的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 5．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 BC 边的中点，连接 DE，将 DCE 沿直线 DE 翻折到正方形 ABCD 所在的平面内，得 DFE，延长 DF 交 AB 于点 G． 和 的平分线 DH，AH 相交于点 H，连接 GH，则 DGH 的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在菱形 ABCD 中，，对角线 ，点 P 是边 AD 上一动点，过点 P 作 于点 E， 于点 F，则 的值不可能是（　　） A． B． C． D． 7．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别是边 BC，CD 的中点，连接 AE，BF 交于点 G，连接 DG．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 8．如图，在矩形 ABCD 中，，，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 ，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 EF 的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 的延长线上，点 F 在边 AD 上，连接 BF，BE，且 ．若 ，，，则 AF 的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，连接 AE，过点 D 作 于点 G，延长 DG 交边 AB 于点 F，则 DF 与 AE 的数量关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．菱形 ABCD 的周长为 20，两条对角线的长度之比为 ，则菱形的面积为______． 12．矩形 ABCD 的面积为 ，对角线 AC 的长为 ，则该矩形的周长为______． 13．如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，APB 是等边三角形，连接 AC，CP，则 的度数为______． 14．如图，在矩形 ABCD 中，，，分别以 B，C 两点为圆心，以 AB 的长为半径作弧，两弧在矩形 ABCD 内部交于点 P，则点 P 到 AD 所在直线的距离为______． 15．如图，在矩形 ABCD 中，，，点 P 是折线 B-C-D 上的动点（点 P 不与点 B 重合），当 AP 的长为整偶数时，则 BP 的长为______． 16．如图，正方形 ABCD 的边长为 16，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 M 在边 AD 上，且 ，点 P 是边 AD 上一动点，连接 OP，OM．当 OPM 是等腰三角形时，OP 的长为______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，，点 E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，连接 EF，FG，GH，HE． (1) 求证：四边形 EFGH 是菱形； (2) 若 ，判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由． 18．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，，点 E 是边 BC 的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 G． (1) 求证：； (2) 若 ，求 AG 的长． 19．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，，，点 E 在边 AD 上，将 沿 BE 折叠，点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 F 处，连接 EF． (1) 求 BD 的长； (2) 求 DF 的长； (3) 求 AE 的长． 20．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，AD 上，且 ，连接 AE，CF． (1) 求证：四边形 AECF 是平行四边形； (2) 若四边形 AECF 是菱形，连接 EF 交 AC 于点 O，，，求 BC 和 EF 的长． 21．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，且 ，连接 AF，DE 交于点 G，连接 CG． (1) 求证： 且 ； (2) 若正方形 ABCD 的边长为 4，求 CG 的最小值． 22．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，，，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 上，且 ，连接 BE，DF． (1) 求证：； (2) 求证：四边形 BEDF 是平行四边形； (3) 若四边形 BEDF 是菱形，求 AE 的长． 23．（8 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 D 作 ，交 BC 的延长线于点 E，连接 CE． (1) 求证：四边形 ACED 是平行四边形； (2) 求证：；若 ，，求 BDE 的面积； (3) 当 时，判断四边形 ACED 的形状，并说明理由． 24．（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 ，连接 AE，AF，AC． (1) 求证：； (2) 判断 的形状，并说明理由； (3) 若 ，，求 AE 的长及 的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $