1.1 认识特殊平行四边形&1.2 菱形的性质与判定-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第一章特殊平行四边形安 第一章 特殊平行四边形 认识特殊平行四边形 [答案P1] 知识要点分类练单， 能力提升综合练单： 餐知识点1菱形的定义及对称性 6.在平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、正方形 1.关于菱形说法错误的是 中，是轴对称图形的有 ( A.邻边相等 B.是轴对称图形 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 C.有两条对称轴 D.不是平行四边形 7.学习了四边形之后，小颖同学用如图所示的方式 2.如图，在平行四边形ABCD中，若AB=BC,则这个 表示了四边形与特殊四边形的关系，则图中的 平行四边形是 “M”和“N”分别表示 四边形 平行四边形 矩形(M）N 2题图 知识点2矩形的定义及对称性 7题图 A.平行四边形、正方形B.正方形、菱形 3.在下列图形中，对称轴有2条的图形是（） C.正方形、矩形 D.矩形、菱形 A.等腰三角形 B.等边三角形 8.如图，矩形ABCD的长是6cm,宽是4cm,0是对 C.平行四边形 D.矩形 称中心，过点0任意画一条直线1，则图中阴影部 4.如图，在四边形ABCD中， 分的面积是 () ,AD∥BC,且AB∥DC, .四边形ABCD是 形. ∠A=90°， .四边形ABCD是 形. D 8题图 A.12 cm2 B.24 cm2 C.48 cm2 D.6 cm2 4题图 9.如图，实验基地有一块正方形地，其中AC=BC, 知识点3正方形的定义及对称性 ∠C=90°，现用篱笆分成三块培育三种花苗，E,F 5.瓷砖镶嵌是一种充满艺术美的技艺，如图是正方 分别为正方形的边和对角线的中点，根据所标尺 形瓷砖ABCD,它的两条对称轴与平面直角坐标 寸，所需栅栏AB,EF的总长为 () 系的坐标轴重合.若点A的坐标为(-2，-2)，则 点C的坐标可表示为 9题图 A.8m B.16m 5题图 C.(82+8)m D.(82+4)m 见此图标骏微信打码进人初中智慧学国自 全程导练·九年级数学·北师版·上册 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 [答案P1] 知识要点分类练： 6.如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE1 AD于点E,PE=2,则点P到AB的距离 知识点1菱形的边、角性质 为 1.如图，在菱形ABCD中，AB=2,则菱形ABCD的周 长为 6题图 7.如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线AC上的两 点，连接DE,DF,∠ADF=∠CDE.求证：AE=CF 1题图 2题图 2.如图，已知菱形ABCD. (1)若∠B=70°，则∠BAC的度数是 (2)若AB=10,∠B=60°，则AC的长为 3.（泸州中考)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是 7题图 边AB,BC上的点，且AE=CF.求证：AF=CE. D 3题图 ●知识点3菱形的面积 8.在菱形ABCD中，对角线AC=10,BD=24,则菱形 的面积等于 高等于 9.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2,则菱形 ABCD的面积为 能力提升综合练单： 10.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ©知识点2菱形的对角线的性质 E,F分别是AB,BC边上的中点，连接EF,若菱 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 形ABCD的周长为24，BD=8,则EF=（) O,下列结论中错误的是 A.25B.45 C.47 D.28 A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 10题图 11题图 4题图 5题图 11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点 5.如图，在菱形ABCD中，连接AC,BD.若∠1=20°， A,B,C在坐标轴上.若点B的坐标为(-1,0)， 则∠2的度数为 ( ∠BCD=120°，则点D的坐标为 () A.20° B.60° C.70° D.80° A.(2,2)B.(3,2)C.(3,3)D.(2,W3) 见此图标照微信打码进人初中智芯学国自自 第一章特殊平行四边形？ 12.如图，在菱形ABCD中，AB=5,对角线AC与BD 相交于点O,且AC=6.若AE⊥CD于点E,则AE 素养探究创新练学： 的长是 15.如图，在菱形ABCD中，AB=5,∠ABC=60°， ∠EAF=60°，∠EAF的两边分别交直线BC,CD 于点E,F (1)如图①，当点E,F分别在边BC,CD上时，求 B CE+CF的值； 12题图 13题图 (2)如图②，当点E,F分别在CB,DC的延长线 13.如图，在菱形ABCD中，AC=63,BD=6,E是 上时，CE,CF又存在怎样的关系？请证明你 BC边的中点，P,M分别是AC,AB上的动点，连 的结论。 接PE,PM,则PE+PM的最小值是 14.如图，在△ABC中，AB=AC,过A,C两点分别作 AD∥BC,CD∥AB,两条平行线交于点D,延长 DC至点E,使CE=DC,连接BE. (1)求证：四边形ACEB是菱形； 15题图① 15题图② (2)若AB=4,BC=6,求四边形ACEB的面积， A D 14题图 微专题对角线互相垂直的四边形的面积 【例】如图①，四边形ABCD的对角线AC⊥BD,则应用：如图②，四边形ABCD是我们常见的风筝的 S=Sm+Sm=2BD·AE+2BD: 图案，其中对角线BD的长为30cm,AC的长为 40cm,AC垂直平分BD,垂足为E.求四边形 CE-BD (AE+CE)-BDAC. ABCD的面积. 结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于 图② 图① 见此图标贸微信打码进人初中智慧学园自 全程导练·九年级数学·北师版·上册 第2课时 菱形的判定 [答案P1] 知识要点分类练单” 知识点3根据对角线进行菱形的判定 5.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,添 知识点1根据定义进行菱形的判定 加下列一个条件，能使口ABCD成为菱形的是 1.(深圳中考)如图，在口ABCD () 中，AB=4,BC=6,将线段AB 水平向右平移a个单位长度得 到线段FE.若四边形ECDF为 1题图 菱形，则a的值为 5题图 A.1B.2 C.3 D.4 A.AO=BO B.AC=AD 2.如图，点E,F分别在口ABCD的边BC,CD上， C.AC⊥BD D.OD=AC BE=DF,∠BAE=∠DAF.求证：口ABCD是菱形. 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与 BD交于点E,P,Q,M,N分别是AB,CD,BC,AD 上的点，且PQ,MW经过点E,PQ⊥MN.顺次连接 E 点P,M,Q,N.求证：四边形PMQW是菱形 2题图 N M 6题图 色知识点2根据边进行菱形的判定 3.如图，小聪在作线段AB的垂直平 分线时，他是这样操作的：分别以 点A和点B为圆心，大于2AB的长 D 为半径画弧，两弧相交于点C,D, 3题图 则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四 边形ADBC一定是 4.（沈阳中考)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边 BC上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE, 过点C作CF∥BE,交AD的延长线于点F,连接 餐知识点4菱形的性质与判定的综合应用 BF,CE.求证：四边形BECF是菱形 7.如图，已知四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂 直平分，若AB=6,则四边形ABCD的周长为 A.12 B.24 C.30 D.40 XC 4题图 分 7题图 8题图 8.如图，线段AB=10,分别以A,B两点为圆心，6为 半径画弧，两弧交于点C,D,连接CD,则CD的长 为 4 见此图标照微信扫码进人初中智慈学国自 第一章特殊平行四边形 9.如图，在菱形ABCD中，AC,BD交于点O,点E,F13.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对 在AC上，AE=CF,求证：四边形EBFD是菱形 角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB=2√5，BD=4,求0E的长 B 9题图 B 13题图 素养探究创新练中” 能力提升综合练学： 14.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD 10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于 =16,对角线AC,BD相交于点G,0是对角线 点O,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC的中点， BD上的动点，OE⊥AB于点E,OF⊥AD于点F. 要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满 (1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积； 足的条件是 ( (2)当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的 A.AB=AD B.AC =BD 值是否发生变化？请说明理由. C.AD=BC D.AB=CD A 10题图 11题图 14题图 11.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的 部分为四边形ABCD.若测得点A,C之间的距离 为6cm,点B,D之间的距离为8cm,则线段AB 的长为 A.5 cm B.4.8 cm C.4.6 cm D.4 cm 12.如图，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到 △DCE的位置，连接AD,BD,有下列结论：①AD =BC;②BD,AC互相平分；③四边形ACED是菱 形；④BD⊥DE.其中正确的是 ·（请填 写序号) 12题图 见此图标骏微信打码进人初中智慧学园自 5参考答案及解析 中考123·全程导练·九年级数学·北师版·上册 参考答案及解析 第一章特殊平行四边形 (2)解：连接AE,交BC于点0，如答图。 1认识特殊平行四边形 :四边形ACEB是菱形，∴AE⊥BC 【知识更点分类练】 AB=4,BC=6. 1.D2.菱形3.D4.平行四边矩5.(2,2) 0B=1BC=3,.OA=√AB2-0B=万， 2 【能力提升综合练】 6.D7.B AE=20A=27, 8.A[解析]如答图，设直线l交 A E/ Sm=6C·AB=分x6x2万=6,7 AD于点E,交BC于点F.O是矩 形ABCD的对称中心，.将矩形 【素养探究创新练】 ABCD绕，点O旋转180°后，四边形 15.解：(1)连接AC,如答图①. ABFE与四边形CDEF完全重合， .·四边形ABCD是菱形，∠B=60°， .S四边形ABFB=S四边形CDEF= ∴，△ABC,△ACD都是等边三角形， 2S矩形ABCD:AD=6cm,AB= 1 8题答图 ∠BAC=60°，AB=AC,∠ACD=60. :∠EAF=60°， 4cm,.S矩移BcD=AD·AB=6×4=24(cm2),∴S四边形BFE ∴∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,即∠BAE=∠CAF = 2Se形1B0D= 1 ×24=12(cm2),即阴影部分的面积为 又，AB=AC,∠B=∠ACF=60°， 2 .△ABE≌△ACF,∴BE=CF,.CE+CF=BC=5. 12cm2.故选A. 9.D 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 【知识要点分类练】 1.8 B E 2.(1)55°(2)10 15题答图① 15题答图② 3.证明：四边形ABCD是菱形，∴AB=CB. (2)CE-CF=5. AE CF,..AB-AE=BC-CF,BE BF. 证明：连接AC,如答图②. BF BE, .∠EAB=60°-∠BAF,∠CAF=60°-∠BAF, 在△ABF和△CBE中， ∠B=∠B, .∠EAB=∠FAC.又AB=AC,LABE=∠ACF=120°， BA=BC, ..△ABE△ACF,..BE=CF .△ABF≌△CBE(SAS),.AF=CE. .CE-CF =CE-BE =BC=5. 4.C5.C6.2 7.证明：四边形ABCD是菱形， 微专题1对角线互相垂直的四边形的面积 ∴.DA=DC,.∠DAC=∠DCA 解：结论：两条对角线乘积的一半 ·∠ADF=∠CDE,∴.∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF, 即∠ADE=∠CDF 应用：Sem=宁BD·AC=分×30x40=60(em2). r∠DAE=∠DCF, 第2课时菱形的判定 在△DAE和△DCF中，DA=DC, 【知识要点分类练】 L∠ADE=∠CDF, 1.B .△DAE≌△DCF(ASA),AE=CF. 2.证明：.四边形ABCD是平行四边形，.∠B=∠D 8.1209 9.23 BAE=∠DAF, 在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D 【能力提升综合练】 BE=DF, 10.A1.D12g 13.33 ,△ABE兰△ADF(AAS),,AB=AD,.□ABCD是菱形. 3.菱形 14.(1)证明：AD∥BC,CD∥ 4.证明：AB=AC,AD是边BC上的中线， AB, ·.四边形ABCD是平行四边 ∴.AD垂直平分BC,BD=CD,.EB=EC,FB=FC 形，.AB=DC. CF∥BE,∴.∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD. CE=DC,∴AB=CE 又：BD=CD,∴.△EBD≌△FCD,∴.BE=FC, :AB∥CD,.AB∥CE, 14题答图 ∴EB=BF=FC=EC,∴.四边形BECF是菱形. ∴.四边形ACEB是平行四边形. 5.C :AB=AC,∴.四边形ACEB是菱形 6.证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.EB=ED,AB∥CD,∠EBP=LEDQ. ·1 全程导练·九年级数学·北师版·上册 ∠EBP=LEDQ, AB=DC, 在△PBE和△QDE中， EB =ED. 在△ABE和△DCF中， ∠ABE=∠DCF. L∠BEP=∠DEQ, BE=CF, .△PBE≌△QDE(ASA),.EP=EQ ∴.△ABE≌△DCF(SAS). 同理可得△BME≌△DNE, (2).:△ABE≌△DCF,.∠EAB=∠FDC ∴.EM=EN,∴.四边形PMQN是平行四边形. 四边形ABCD为矩形，∴.∠BAD=∠CDA=90° PQ LMN,∴.四边形PMQN是菱形. ∴.∠BAD+∠EAB=∠CDA+∠FDC,.LEAD=LFDA. 7.B8.2√1T 4.(1)30°(2)45.4 9.证明：四边形ABCD为菱形， 6.证明：：四边形ABCD是矩形，.DC∥AB,AC=BD. ∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. 又.CE∥BD,.四边形DBEC是平行四边形， .AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF .∴.BD=EC,∴.AC=EC 四边形EBFD是平行四边形. 7.B8.AB7 ,·EF⊥BD,∴四边形EBFD菱形 9.证明：AC⊥BC,AD⊥BD,.∠ACB=90°，∠ADB=90 【能力提升综合练】 又：E为AB的中点，CB=之4B,DB=之AB, 10.D11.A12.①②③④ 13.(1)证明：AB∥CD,∴.∠OAB=∠DCA. ∴.CE=DE,∴.△ECD是等腰三角形 AC为∠DAB的平分线，.∠OAB=∠DAC, 【能力提升综合练】 .∠DCA=∠DAC,∴.CD=AD. .·AB=AD,.CD=AD=AB. 10A1.8 :AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形. 12.(1)证明：在矩形ABCD中，AD=BC,AB∥CD,∠D=90°， AD=AB,∴四边形ABCD是菱形 ∴.∠BAE=∠AED. (2)解：：四边形ABCD是菱形，.OA=OC,BD⊥AC. .BF⊥AE,.∠AFB=∠D=90°. CE⊥AB,.OE=0A=OC. r∠AFB=∠D, BD=4.*.OB-BD=2. 在△AFB和△EDA中，{∠BAF=∠AED LAB =EA, 在Rt△A0B中，AB=2√5,0B=2, ∴，△AFB≌△EDA(AAS),.BF=AD,∴.BF=BC (2)解：由(1)得△AFB≌△EDA, 0A=√AB2-0B2=4,0E=0A=4. .AF=DE=2,.AE=√/AD2+DE2=√12+22=5， 【素养探究创新练】 ..AB=AE=√5」 14.解：(1)：四边形ABCD是菱形，边长为10，对角线BD=16, ∴AB=10,AG=CG.AC1BD,BG=2BD=号×16=8. ·S四边形BCEP=S矩形ABGD-S△AFB-S△EDA =1x5-2x7×1x2=5-2 由勾股定理，得AG=√AB2-BG=√102-82=6， ∴，AC=2AG=2×6=12, 【素养探究创新练】 13.解：(1)EF⊥AC Swm=分4C,BD=7×12x16=96, 1 证明：连接AE,CE,如答图. (2)OE+OF的值不发生变化.理由如下：如答图. ∠BAD=90°，E为BD的中点， AEBD. ∠DCB=90°， CE-2 BD, .AE CE. F是AC的中点， .∴.EF⊥AC. B 14题答图 13题答图 (2)'AC=8,BD=10,E 连接OA,则S AABD=S△AMB0+S△AD0, F分别是边BD,AC的中点，.AE=CE=5,CF=4. 即2BD:AG=7B·0E+24D:0F, EF⊥AC,.EF=√CE2-CF=√52-42=3. .BD·AG=AB·OE+AD·OF, 微专题2遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线 即16×6=10·0E+10·0F, 1.2√/14 ∴0E+0F=9.6,是定值，OE+0F的值不发生变化 2.（1)证明：如答图，连接DE. 3矩形的性质与判定 AD⊥BC,.∠ADB=90° 第1课时矩形的性质 E是AB的中点， 【知识要点分类练】 1.A2.5 DE=分AB=BE 3.证明：(1)：四边形ABCD为矩形， DC BE,.'.DC=DE. B D .∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC, DG⊥CE,.G是CE的中点 2题答图 .∠ABE=∠DCF=90° (2)解：35° …2…