1.1认识特殊平行四边形（分层作业，14大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 1.1 认识特殊平行四边形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 菱形定义下的边角计算 题型02 矩形定义下的边角计算 题型03 正方形定义下的边角计算 题型04 利用定义判定特殊平行四边形 题型05 特殊平行四边形的对称性 B组 能力进阶 题型01 判断图形的对称性类型 题型02 求图形对称轴的具体条数 题型03 确定中心对称图形的对称中心 题型04 求旋转重合的最小角度 题型05 利用对称性解决最短路径问题 题型06 特殊平行四边形中的综合证明与求值 题型07 特殊平行四边形中的旋转问题 题型08 特殊平行四边形的定义与坐标运算 C组 思维拔高 题型01 特殊平行四边形中的新定义问题 题型02 特殊平行四边形中的规律探究 菱形定义下的边角计算题型01 1．若菱形的周长为48 cm，则其边长是（     ） A．24 cm B．12 cm C．8 cm D．4 cm 2．菱形不具备的性质是（　　） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 3．如图，已知菱形ABCD的周长是24米，∠BAC＝30°，则对角线BD的长等于(   ) A．6米 B．3米 C．6米 D．3米 4．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到菱形的面积为______cm2． 5．已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为___________ 矩形定义下的边角计算题型02 1．如图，矩形的对角线与相交于点，，则等于（    ） A．5 B．4 C．3.5 D．3 2．已知矩形的两条对角线的夹角为60°，如果一条对角线长为6，那么矩形的面积为___________． 3．一个矩形的周长为16，面积为14，则该矩形的对角线长为_____． 4．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，若，则________． 5．点 P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是_____ 正方形定义下的边角计算题型03 1．如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 2．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为　　    A．2a B．2b C． D． 3．如图，正方形的边长为，点、分别为边、上的点，，点、分别为、边上的点，连接，若线段与的夹角为，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC=   ________ 5．正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE,AC和BE相交于点F，连接DF.求AFD的度数. 利用定义判定特殊平行四边形题型04 1．下列说法中正确的是(     ) A．有两个角为直角的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形的对角线互相平分 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 2．下面是“作已知角的平分线”的尺规作图过程.   请回答：该作图的依据是_____________________________________________． 特殊平行四边形的对称性题型05 1．如图，在平行四边形中，与交于点，下列说法不一定正确的是（    ） A．平行四边形是中心对称图形 B．将绕点旋转后可与重合 C．与关于点对称 D．绕点旋转一定角度后可与重合 2．正方形既是__________图形，又是__________图形，它有__________条对称轴，对称中心是__________． 判断图形的对称性类型题型01 1．剪纸是中国最流行的民间艺术之一，春节期间，剪纸爱好者发起“巧手剪纸迎兔年”的剪纸创作活动．下列作品中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州安顺·一模）下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ） A．菱形 B．梯形 C．正三角形 D．正五边形 4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是(     ) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 5．四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是____________． 求图形对称轴的具体条数题型02 1．一个等边三角形的对称轴共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 2．下列四个图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．圆 3．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（　　） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 4．从正多边形的一个顶点可以引出m条对角线，这个正多边形有n条对称轴，若，则这个多边形的每一个内角都等于（     ） A． B． C． D． 5．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格： 正多边形的边数 3 4 5 6 7 … 对称轴的条数 … 根据上表，猜想正n边形有________条对称轴． 确定中心对称图形的对称中心题型03 1．平行四边形是_____图形，它的对称中心是_____． 2．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等． （1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由； （2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）． 求旋转重合的最小角度题型04 1．如图所示的网格中有四个三角形． (1)请你把图补充成旋转对称图形； (2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数，这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合？ 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 利用对称性解决最短路径问题题型05 1．如图，正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，正方形ABCD的边长为3，E是BC中点，P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（　　） A． B．2      C． D．2 3．如图，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为(9,3)，点D是AB的中点，点P在OB上，则△ADP的周长最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建泉州·质检）如图，在中，，，，点是延长线上一动点，在下方构造，连接，，有下列结论：①的面积不变；②没有最小值；③的最小值为4，④四边形是中心对称图形．其中正确的是______． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)平移图中的，使点A移到点的位置，画出平移后的；画出关于点O成中心对称的； (2)与是否成中心对称？若是，画出其对称中心点P的位置； (3)在直线上找一点Q，使的周长最小，请在图中标出点Q的位置． 特殊平行四边形中的综合证明与求值题型06 1．（25-26八年级上·福建·期中）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，那么下列说法不一定成立的是（   ） A． B．和是全等三角形 C． D．折叠后得到的图形是轴对称图形 2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E，F分别在边AB，BC上，将菱形沿EF折叠，点B恰好落在AD边上的点G处，且EG⊥AC，若CD=8，则FG的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 3．如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）    4．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．    5．在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化. （1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).     (3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.           特殊平行四边形中的旋转问题题型07 1．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为 A． B． C． D． 2．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．直线分别与x轴、y轴相交于点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（ ）    A． B． C． D．1 4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝115°，则∠α＝____°． 5．（24-25七年级上·上海·期末）已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为． (1)当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简） (2)当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数； (3)当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数． 特殊平行四边形的定义与坐标运算题型08 1．如图，菱形，，，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__． 3．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点坐标，点坐标，则点坐标________． 4．如图1，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M.已知点A(－3，4)． (1)求AO的长； (2)求直线AC的解析式和点M的坐标； (3)如图2，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A－B－C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S. ①求S与t的函数关系式； ②求S的最大值． 　 特殊平行四边形中的新定义问题题型01 1．（25-26八年级·山西·期中）阅读与思考 亲爱的同学们，我们知道研究几何图形的一般路径是“定义——性质——判定——应用”，请大家阅读下面的材料，完成相应的任务： 等腰五边形图形定义：如图1，在凸五边形中，，，像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分元素名称如图1所示． 由定义，结合图形，我们直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等．并且等腰五边形具有某种对称性，且它的其他元素也存在特殊的结论．同时，我们还知道图形的定义既是图形的性质，又是图形的判定． 性质探究： ①从整体看，等腰五边形是___________图形（填轴对称或者中心对称）； ②从局部看，等腰五边形的角．．．．．．；等腰五边形的边．．．．．．；等腰五边形的对角线．．．．．． (1)任务一：从整体看，等腰五边形是___________图形（填轴对称或者中心对称）； (2)任务二：性质探究 已知：如图2，在凸五边形中，．猜想与的数量关系，并说明理由； (3)任务三：判定探究 已知：如图3，在凸五边形中，． 求证：凸五边形是等腰五边形； (4)任务四：应用拓展 已知：如图4，在凸五边形中，，．直接写出此时等腰五边形的面积． 2．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程． 【初步思考】 他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”． (1)类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”． ①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（    ） ②“光谱六边形”的邻角互补；（    ） ③“光谱六边形”是中心对称图形．（    ） (2)【实践操作】 如图1，在“光谱六边形”中，证明：． (3)【思维探究】 当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积． 特殊平行四边形中的规律探究题型02 1．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到______条折痕． 2．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入表格中． 正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 对称轴的条数 根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一猜想． 3．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______ 条对称轴，非正方形的长方形有______ 条对称轴，等边三角形有______ 条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴，通过以上画图，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是______ ． 4．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴的正半轴，轴相交于，两点，且，直线：与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)连接，当时，求的值； (3)在线段上取一点（不与，重合），连接交轴于点，在平面内取一点，连接，．若四边形是以点为对称中心的中心对称图形，试探究：的面积是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 认识特殊平行四边形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 菱形定义下的边角计算 题型02 矩形定义下的边角计算 题型03 正方形定义下的边角计算 题型04 利用定义判定特殊平行四边形 题型05 特殊平行四边形的对称性 B组 能力进阶 题型01 判断图形的对称性类型 题型02 求图形对称轴的具体条数 题型03 确定中心对称图形的对称中心 题型04 求旋转重合的最小角度 题型05 利用对称性解决最短路径问题 题型06 特殊平行四边形中的综合证明与求值 题型07 特殊平行四边形中的旋转问题 题型08 特殊平行四边形的定义与坐标运算 C组 思维拔高 题型01 特殊平行四边形中的新定义问题 题型02 特殊平行四边形中的规律探究 菱形定义下的边角计算题型01 1．若菱形的周长为48 cm，则其边长是（     ） A．24 cm B．12 cm C．8 cm D．4 cm 【答案】B 【详解】根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解． ∵菱形周长为48cm， ∴边长=48÷4=12cm， 故选B． 2．菱形不具备的性质是（　　） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 【答案】B 【详解】【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案. 【详解】菱形的四条边相等， 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形， 菱形对角线垂直但不一定相等， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 3．如图，已知菱形ABCD的周长是24米，∠BAC＝30°，则对角线BD的长等于(   ) A．6米 B．3米 C．6米 D．3米 【答案】C 【分析】由菱形ABCD的周长是24米，∠BAC=30°，易求得AB=6米，△ABD是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长是24米，∠BAC=30°， ∴AB=AD=24÷4=6（米），∠DAB=2∠BAC=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=6米． 故选C． 【点睛】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABD是等边三角形是解此题的关键． 4．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到菱形的面积为______cm2． 【答案】10 【详解】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，所以．菱形的面积=4×5÷2=10cm2．故答案为10． 点睛：本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而出错． 5．已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为___________ 【答案】4 【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，求出2AO•BO=4，即可得出答案． 【详解】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6， ∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD， ∴AO+BO=3， ∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 即AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9， ∴2AO•BO=4， ∴菱形的面积=AC•BD=2AO•BO=4； 故答案为4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，掌握菱形的对角线互相垂直． 矩形定义下的边角计算题型02 1．如图，矩形的对角线与相交于点，，则等于（    ） A．5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】B 【分析】根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，然后根据矩形的对角线相等的性质求出AC的长，因为矩形的对角线相互平分即可求出OC的长. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=2AB=8， 故选B. 【点睛】本题考查矩形的对角线相等且相互平分.求出对角线的长度是解题的关键. 2．已知矩形的两条对角线的夹角为60°，如果一条对角线长为6，那么矩形的面积为___________． 【答案】9 【详解】分析：先画图，由题意可知四边形ABCD是矩形，AC=6，∠AOB=60°，根据矩形性质可知OA=OB，∠ABC=90°，易证△AOB是等边三角形，即可求出AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，然后再利用矩形的面积公式求解即可． 详解：如图所示，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，AC=6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB =OA=，∠ABC=90°， 又∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=AO=3， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ， ∴S矩形ABCD=AB×BC=3×3=9. 故答案为9. 点睛：本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的性质及勾股定理.利用矩形的性质及已知条件得出△AOB是等边三角形是解题的关系. 3．一个矩形的周长为16，面积为14，则该矩形的对角线长为_____． 【答案】6 【详解】解：设矩形长为a，宽为b，∴ab=14，2（a+b）=16，∴a+b=8，∴它的对角线的长为=．故答案为6． 4．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，若，则________． 【答案】 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB=30°，再判断出△ABO是等边三角形，根据等边三角形的性质求出OB=AB，再求出OB=BE，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE=75°，再根据∠AOE=∠AOB+∠BOE计算即可得解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°， ∴∠AEB=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB=BE， ∵∠CAE=15°， ∴∠ACE=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°， ∴∠BAO=90°-30°=60°， ∵矩形中OA=OB， ∴△ABO是等边三角形， ∴OB=AB，∠ABO=∠AOB=60°， ∴OB=BE， ∵∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°， ∴∠BOE=（180°-30°）=75°， ∴∠AOE=∠AOB+∠BOE， =60°+75°， =135°． 故答案为135°． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 5．点 P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，AB=3，AD=4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是_____ 【答案】 【详解】过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，连结OP. ∵AD=4，CD=3， ∴AC==5， 又∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴AO=OD=2.5cm， ∴S△APO+S△POD=×2.5⋅PE+×2.5⋅PF=×2.5(PE+PF)= ×3×4， ∴PE+PF=. 故答案为：. 正方形定义下的边角计算题型03 1．如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】首先根据正方形的性质和已知条件可求出∠B的度数，再利用平行四边形的性质∠D=∠B即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEF=90°． ∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，∴∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=60°． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为　　    A．2a B．2b C． D． 【答案】B 【详解】【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来. 3．如图，正方形的边长为，点、分别为边、上的点，，点、分别为、边上的点，连接，若线段与的夹角为，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作BK∥EF交AD于K，作BM∥GH交CD于M，可得∠KBM=45°，作∠MBN=45°交DC的延长线于N，求出∠ABK=∠CBN，然后利用“角边角”证明△ABK和△CBN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=BK，AK=CN，利用勾股定理列式求出AK，过点M作MP⊥BN于P，可得△BMP是等腰直角三角形，设GH=BM=x，表示出MP，然后利用∠N的正切值列出方程求解即可． 【详解】如图，过点B作BK∥EF交AD于K，作BM∥GH交CD于M， 则BK=EF=，BM=GH， ∵线段GH与EF的夹角为45°， ∴∠KBM=45°， ∴∠ABK+∠CBM=90°-45°=45°， 作∠MBN=45°交DC的延长线于N， 则∠CBN+∠CBM=45°， ∴∠ABK=∠CBN， 在△ABK和△CBN中， ， ∴△ABK≌△CBN（ASA）， ∴BN=BK，AK=CN， 在Rt△ABK中，AK==1， 过点M作MP⊥BN于P， ∵∠MBN=45°， ∴△BMP是等腰直角三角形， 设GH=BM=x，则BP=MP=BM=x， ∵tan∠N=， ∴， 解得x=， 所以GH=， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 4．如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC=   ________ 【答案】16． 【详解】试题分析：在AC上取一点G使CG＝AB＝4，连接OG． ∵∠ABO＝90°－∠AHB，∠OCG＝90°－∠OHC，∠OHC＝∠AHB， ∴∠ABO＝∠OCG． ∵OB＝OC，CG＝AB， ∴△OGC≌△OAB， ∴OG＝OA＝，∠BOA＝∠GOC． ∵∠GOC＋∠GOH＝90°， ∴∠GOH＋∠BOA＝90°， 即：∠AOG＝90°． ∴△AOG是等腰直角三角形， ∴AG＝＝12． ∴AC＝16． 故答案为16． 点睛：本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算． 5．正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE,AC和BE相交于点F，连接DF.求AFD的度数. 【答案】60° 【详解】根据正方形及等边三角形的性质求得∠ABF，∠BAF的度数，再根据外角的性质即可求得答案 解：∵∠CBA=90°，∠ABE=60°， ∴∠CBE=150°， ∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形, ∴BC=BE， ∴∠BEC=∠BCF=15°， 在△CBF和△ABF中， BF=BF，∠CBF=∠ABF，BC=BA，, ∴△CBF≌△ABF（SAS）， ∴∠BAF=∠BCE=15°， 又∠ABF=45°，且∠AFD为△AFB的外角， ∴∠AFD=∠ABF+∠FAB=15°+45°=60° “点睛”本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键. 利用定义判定特殊平行四边形题型04 1．下列说法中正确的是(     ) A．有两个角为直角的四边形是矩形 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形的对角线互相平分 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【详解】A项中，有三个角为直角的四边形是矩形，错误； B项中，矩形的对角线不一定互相垂直，互相垂直时是特殊的矩形正方形，错误； C项中，平项四边形的对角线互相平分，正确； D项中，对角线互相垂直但不平分的话不是菱形， 选择C． 故答案为C 2．下面是“作已知角的平分线”的尺规作图过程.   请回答：该作图的依据是_____________________________________________． 【答案】四条边都相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角，两点确定一条直线 【详解】由作法可知，该作图的依据为四条边都相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角，两点确定一条直线. 特殊平行四边形的对称性题型05 1．如图，在平行四边形中，与交于点，下列说法不一定正确的是（    ） A．平行四边形是中心对称图形 B．将绕点旋转后可与重合 C．与关于点对称 D．绕点旋转一定角度后可与重合 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形知识、平行四边形的性质，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据平行四边形的性质以及中心对称图形的概念逐项分析即可得到答案，理解平行四边形是中心对称图形是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故平行四边形是中心对称图形，故原说法正确，不符合题意； B、平行四边形是中心对称图形，对称中心为点，故将绕点旋转后可与重合，故原说法正确，不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，对称中心为点，故与关于点对称，故原说法正确，不符合题意； D、平行四边形是中心对称图形，对称中心为点，故绕点旋转一定角度后可与重合，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 2．正方形既是__________图形，又是__________图形，它有__________条对称轴，对称中心是__________． 【答案】 轴对称 中心对称 4 对角线交点 【分析】依据正方形的轴对称性，即可得到结论． 【详解】解：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，对称中心是对角线交点． 故答案为：轴对称，中心对称，4，对角线交点． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形以及轴对称的性质，解决问题的关键是掌握正方形的性质． 判断图形的对称性类型题型01 1．剪纸是中国最流行的民间艺术之一，春节期间，剪纸爱好者发起“巧手剪纸迎兔年”的剪纸创作活动．下列作品中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中、是轴对称图形，故本选项符合题意； C中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·贵州安顺·一模）下面四幅图片分别是某些地方省市博物馆或博物院的标志，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ） A．菱形 B．梯形 C．正三角形 D．正五边形 【答案】A 【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形． 【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选A． 4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是(     ) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴； 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴； 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴． 故选D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5．四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是____________． 【答案】 【分析】由等边三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵等边三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆， ∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．也考查了中心对称图形的定义． 求图形对称轴的具体条数题型02 1．一个等边三角形的对称轴共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【答案】C 【详解】等边三角形三线合一，所以等边三角形每条边的垂直平分线均为对称轴，等边三角形三边的垂直平分线共有3条，故对称轴的条数是3条．故选C 2．下列四个图形中，对称轴条数最多的是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．圆 【答案】D 【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可． 【详解】解：∵等腰三角形有1条对称轴；等边三角形有3条对称轴；长方形有2条对称轴；圆有无数条对称轴； ∴圆的对称轴最多． 故选：D． 【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质． 3．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（　　） A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数． 【详解】解：如图， 因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形， 所以此图形的对称轴有4条． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 4．从正多边形的一个顶点可以引出m条对角线，这个正多边形有n条对称轴，若，则这个多边形的每一个内角都等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正多边形对角线条数和对称轴条数的性质，求出正多边形的边数，再根据内角和公式计算单个内角度数． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， ∵从正多边形的一个顶点可以引出m条对角线，这个正多边形有n条对称轴， ∴，， ∵， ∴， 解得：，即该多边形为正十边形， ∵边形内角和为， ∴正十边形每个内角的度数为 ． 5．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格： 正多边形的边数 3 4 5 6 7 … 对称轴的条数 … 根据上表，猜想正n边形有________条对称轴． 【答案】 如图． 故表格中依次填3，4，5，6，7； 猜想正n边形有n条对称轴． 【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可解答． 【详解】略 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键. 确定中心对称图形的对称中心题型03 1．平行四边形是_____图形，它的对称中心是_____． 【答案】 中心对称 两对角线的交点 【详解】根据中心对称图形的概念和识别，可知平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点. 故答案为中心对称，两对角线的交点. 2．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等． （1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由； （2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）． 【答案】 （1）平行四边形的重心是两条对角线的交点． 如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心， 经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ）， 因此点O是各条线段的公共重心，也是▱ABCD的重心． （2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心； 把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心． 【详解】（1）根据平行四边形的性质可知：重心是两条对角线的交点． （2）把模块分成两个矩形（用两种不同方法），得到连接各自中心的两条线段，交点就是重心． 解：略 求旋转重合的最小角度题型04 1．如图所示的网格中有四个三角形． (1)请你把图补充成旋转对称图形； (2)将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数，这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合？ 【答案】(1) 补充成旋转对称图形如下： (2)4条对称轴，这个整体图形至少旋转90度才能与自身重合 【分析】本题考查了轴对称图形，作轴对称图形，数掌握知识点是解题的关键． （1）根据轴对称图形的作法即可完成解答； （2）根据轴对称图形的性质和旋转对称图形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：整体图形对称轴的条数为4条；这个整体图形至少旋转90度后才能与自身重合． 2．（24-25九年级上·广东东莞·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)①对；②对 (2)正五边形；正十边形 【分析】本题考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的旋转角的计算方法，是解题的关键： （1）①根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可；②根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可； （2）将当作最小旋转角，进行计算即可． 【详解】（1）解：①， ∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； ②， ∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； 故答案为：对，对； （2），， 正五边形满足有一有旋转角为，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 利用对称性解决最短路径问题题型05 1．如图，正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接BD，交AC于O，根据正方形的性质推出D和B关于AC对称，则P在BE和AC的交点上时，PD+PE最小，根据正方形的面积求出BE即可． 【详解】如图，连接BD，交AC于O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，BO=DO，AC⊥BD， ∴B、D关于AC对称， ∴PD=PB， 则BE交于AC的点是P点，此时PD+PE最小， ∵在AC上取任何一点（如Q点），QD+QE都大于PD+PE（BE）， ∴此时PD+PE最小， ∴PD+PE=PB+PE=BE， ∵△ABE是等边三角形， ∴AB=BE=AE， ∵正方形ABCD的面积为36， ∴AB=6， ∴BE=6， ∴PD+PE的最小值为6， 故选B. 【点睛】本题考查了正方形的面积公式的运用，正方形性质的运用，轴对称的性质的运用，最短路径问题的运用及等边三角形的性质的运用，解本题的关键是找出PD+PE最小时P点的位置． 2．如图，正方形ABCD的边长为3，E是BC中点，P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（　　） A． B．2      C． D．2 【答案】C 【详解】分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解． 详解：如图，连接AE， ∵点C关于BD的对称点为点A, ∴PE+PC=PE+AP， 根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值， ∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点， ∴BE=1.5， ∴AE==， 故选C. 点睛：此题主要考查了正方形的性质和轴对称以及勾股定理等知识的综合运用，根据已知得出两点之间线段最短，可得AE就是PE+AP的最小值是解题的关键. 3．如图，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为(9,3)，点D是AB的中点，点P在OB上，则△ADP的周长最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 作轴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵为菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵为中点， ∴， 关于的对称点为， ∴连接，交于一点，即为所求的点，可以得到≌， ∴． 故选B 点睛：本题考查了菱形的性质以及轴对称—最短路径问题.根据菱形的对称性确定最小的条件是关键. 解几条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧动点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线段最短来确定方案，是两条线段之和转化为一条线段. 4．（25-26七年级下·福建泉州·质检）如图，在中，，，，点是延长线上一动点，在下方构造，连接，，有下列结论：①的面积不变；②没有最小值；③的最小值为4，④四边形是中心对称图形．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】由于底边AC是已知的，因此先求出底边AC上的高，根据三角形的面积公式，即可判断结论①；由条件可知A，B为定点，E为动点，首先确定点的运动轨迹为一条直线，进而把问题转化为“将军饮马”模型，由此可判断结论②；根据点的运动轨迹，利用垂线段最短求出的最小值，继而判断结论③，通过四边形是平行四边形，即可判断结论④． 【详解】解：对于结论①，如图1所示，过点E作于点J，则， ∵ ， ∴ , ，   ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积不变，故结论①符合题意； 对于结论②，如图2，过点E作， 由上面已知， ∴ 点到直线的距离为， ∴ 点在直线上运动． 作点关于直线上的对称点，连接，，设交直线l于点T，交直线l于点F,则当点E和点F重合时取得最小值，最小值为的长，且易知点C在上． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在中，， ∴ 的最小值为，故结论②不正确； 对于结论③，∵ 点在直线上运动， ∴ ， ∴的最小值为，故结论③正确； ∵ ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是中心对称图形．故结论④正确； 综上可知，正确的是①③④． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)平移图中的，使点A移到点的位置，画出平移后的；画出关于点O成中心对称的； (2)与是否成中心对称？若是，画出其对称中心点P的位置； (3)在直线上找一点Q，使的周长最小，请在图中标出点Q的位置． 【答案】(1) 如图所示：，为所求； (2)与是中心对称，对称中心点P的位置如下， (3) 如图所示，点Q为所求： 【分析】本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，解题时注意，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，根据轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）根据平移的方向和距离进行作图即可；根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分进行作图确定中心点P的位置； （3）过轴对称来确定，即作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点就是所要找的点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 特殊平行四边形中的综合证明与求值题型06 1．（25-26八年级上·福建·期中）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，那么下列说法不一定成立的是（   ） A． B．和是全等三角形 C． D．折叠后得到的图形是轴对称图形 【答案】C 【分析】根据长方形的性质和折叠的性质可得，根据等角对等边可得；根据折叠的性质可知，，利用可证；由折叠的性质可知不一定成立；根据折叠的性质可知折叠后的图形是轴对称图形． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由折叠可知， ， ，故A选项成立； 四边形是长方形， ，， 由折叠可知， ，， 在和中， ， ，故B选项成立； 由折叠可知，与不一定相等， 不一定成立，故C选项不一定成立； 如下图所示，中边上的中线所在的直线是图形的对称轴， 故D选项成立． 故选：C． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称图形的识别等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E，F分别在边AB，BC上，将菱形沿EF折叠，点B恰好落在AD边上的点G处，且EG⊥AC，若CD=8，则FG的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H．只要证明FG⊥AD，即可FG是菱形的高，求出FG即可解决问题． 【详解】解：如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， 易证△ABC、△ACD是等边三角形， ∴∠CAD=∠B=60°， ∵EG⊥AC， ∴∠GOH=90°， ∵∠EGF=∠B=60°， ∴∠OHG=30°， ∴∠AGH=90°， ∴FG⊥AD， ∴FG是菱形的高，即等边三角形△ABC的高=×8=4． 故选B． 【点睛】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明线段FG是菱形的高，记住等边三角形的高=a（a是等边三角形的边长），属于中考常考题型． 3．如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论： ①四边形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF：BE＝2：3； ④S四边形AFOE：S△COD＝2：3． 其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①②④． 【分析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵EC垂直平分AB， ∴OA=OB=AB=DC，CD⊥CE， ∵OA∥DC， ∴=， ∴AE=AD，OE=OC， ∵OA=OB，OE=OC， ∴四边形ACBE是平行四边形， ∵AB⊥EC， ∴四边形ACBE是菱形，故①正确， ∵∠DCE=90°，DA=AE， ∴AC=AD=AE， ∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确， ∵OA∥CD， ∴， ∴，故③错误， 设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a， ∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a ∴S四边形AFOE：S△COD=2：3．故④正确.    故答案是：①②④． 【点睛】此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题. 4．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．    【答案】 （1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°． ∵E是AB的中点， ∴AE=BE， 在△ADE与△BCE中， ， ∴△ADE≌△BCE（SAS）； （2）16. 【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS即可证得结论； （2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答． 【详解】证明：（1） 略 （2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC， 在直角△ADE中，AD=4，AE=AB=3， 由勾股定理知，DE==5， ∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 5．在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化. （1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).     (3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.           【答案】（1）BP=CE； CE⊥AD； （2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下： 连接AC， ∵菱形ABCD，∠ABC=60°， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAD=120° ， ∠BAP=120°＋∠DAP， ∵△APE是等边三角形， ∴AP=AE ， ∠PAE=60° ， ∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，， ∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°， ∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD， ∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立； （3） . 【详解】【分析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得，再根据△ABP≌△ACE，可得，继而可推导得出 ，即可证得CE⊥AD； （2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可； （3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得， 的长，再根据，进行计算即可得. 【详解】（1）①BP=CE，理由如下： 连接AC， ∵菱形ABCD，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△APE是等边三角形， ∴AP=AE ，∠PAE=60° ， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE； ②CE⊥AD ， ∵菱形对角线平分对角， ∴， ∵△ABP≌△ACE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴CF⊥AD ，即CE⊥AD； （2）略 (3)  连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ， ∵∠ABC=60°，， ∴∠ABO=30° ，∴ ， BO=DO=3， ∴BD=6， 由(2)知CE⊥AD， ∵AD∥BC，∴CE⊥BC， ∵ ， ， ∴， 由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5， ∴， ∵△APE是等边三角形，∴ ， ， ∵， ∴， = = =， ∴四边形ADPE的面积是 . 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键. 特殊平行四边形中的旋转问题题型07 1．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BM，根据旋转的性质和四边形的性质，证明△ABM≌△C′BM，得到∠2＝∠3＝30°，利用三角函数和三角形面积公式求出△ABM的面积，再利用阴影部分面积＝正方形面积−2△ABM的面积即可得到答案． 【详解】连接BM， 在△ABM和△C′BM中， ∴△ABM≌△C′BM， ∠2＝∠3＝＝30°， 在△ABM中，AM＝×tan30°＝1， S△ABM＝×AM×AB＝， 正方形的面积为：()2＝3， 阴影部分的面积为：3−2×＝3−， 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质和正方形的性质，利用旋转的性质和正方形的性质证明两三角形全等是解决本题的关键． 2．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设相交于点，连接，根据即可证明，可得到，然后可求得的长，从而可求得的面积，最后利用正方形的面积减去和的面积进行计算即可． 【详解】设相交于点，连接， 由已知得： 由旋转的性质可知：， ∴ 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的判定与性质、特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关性质与定理、证得是解本题的关键． 3．直线分别与x轴、y轴相交于点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（ ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】试题解析：在△MOC和△NOA中， ， ∴△MOC≌△NOA， ∴∠CMO=∠ANO， ∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP， ∴∠NCP+∠CNP=90°， ∴∠MPN=90° ∴MP⊥NP， 在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP， ∴P在以MN为直径的圆上， ∵M（-4，0），N（0，4）， ∴圆心G为（-2，2），半径为2， ∵PG-GC≤PC， ∴当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，PC最小， ∵GN=GM，CN=CO=2， ∴GC=OM=2， 这个最小值为GP-GC=2-2． 故选A．    【点睛】本题考查一次函数与几何变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以MN为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝115°，则∠α＝____°． 【答案】25 【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数． 【详解】如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=∠D=∠BAD=90°， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′， ∴∠D′=∠D=90°，∠4=α， ∵∠1=∠2=115°， ∴∠3=360°-90°-90°-115°=65°， ∴∠4=90°-65°=25°， ∴∠α=25°， 故答案为25． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 5．（24-25七年级上·上海·期末）已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为． (1)当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简） (2)当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数； (3)当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数． 【答案】(1)； (2)顺时针方向；逆时针方向； (3)顺时针方向；逆时针方向． 【分析】延长、交于点，把不规则图形补充成一个矩形，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式列出表示面积的代数式； 本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别用含的代数式表示出与，再根据这两个角的度数之比为，列方程求解； 本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，旋转后如果重叠部分是等腰直角三角形，则为轴对称图形，根据等腰直角三角形的性质确定旋转角的度数即可． 【详解】（1）解：如下图所示，延长、交于点， 则矩形的长为，宽为， ； （2）解：如下图所示，如果顺时针旋转， 则有，， 与的度数之比为， ， 解得：； 如下图所示，如果逆时针旋转， 则有，， 与的度数之比为， ， 解得：； 综上所述，顺时针方向或逆时针方向； （3）解：如下图所示，重叠部分是， ， 若是轴对称图形， 则有是等腰直角三角形， ， ， 当顺时针方向旋转时， 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形， 长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形； 如下图所示，重叠部分是， ， 若是轴对称图形， 则有是等腰直角三角形， ， ， 当逆时针方向旋转时， 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形， 长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形； 综上所述，当顺时针方向或逆时针方向长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、轴对称图形、解一元一次方程、列代数式、分类讨论的思想．解决本题的关键是要注意分类讨论思想的运用，图形旋转时要分顺时针旋转或逆时针旋转两种情况考虑． 特殊平行四边形的定义与坐标运算题型08 1．如图，菱形，，，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得：AB=2， ,则BD=1，AD= , 则点的坐标为，故选D. 2．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__． 【答案】（2，﹣3） 【分析】根据菱形的轴对称性可知点C与点A关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得. 【详解】∵四边形OABC是菱形， ∴A、C关于直线OB（x轴）对称， ∵A（2，3）， ∴C（2，﹣3）， 故答案为（2，﹣3）． 【点睛】本题考查了菱形的性质、关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握菱形的性质是解题的关键. 3．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点坐标，点坐标，则点坐标________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，过C点作CE⊥x轴于E，可证△ABO≌△BCE，求出CE，BE的长，从而求解． 【详解】过C点作CE⊥x轴于E． ∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°． 又∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠CBE． 又∵∠AOB=∠BEC=90°，∴△ABO≌△BCE，∴CE=OB=3，BE=OA=4，∴C点坐标为（4﹣3，﹣3），即（1，﹣3）． 故答案为（1，﹣3）． 【点睛】本题充分运用正方形的性质，先证△ABO≌△BCE，把已知坐标转化为相关线段的长，再求与点C的坐标有关的长度，从而确定C点坐标． 4．如图1，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M.已知点A(－3，4)． (1)求AO的长； (2)求直线AC的解析式和点M的坐标； (3)如图2，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A－B－C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S. ①求S与t的函数关系式； ②求S的最大值． 　 【答案】（1）5；（2）y＝－x＋，M（0，）；（3）①S＝；②. 【分析】（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可； （2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（-3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可； （3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案． 【详解】（1）∵A（-3，4）， ∴AH=3，OH=4， 由勾股定理得：AO==5； （2）∵四边形OABC是菱形， ∴OA=OC=BC=AB=5， 5-3=2， ∴B（2，4），C（5，0）， 设直线AC的解析式是y=kx+b， 把A（-3，4），C（5，0）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋， 当x=0时，y=2.5， ∴M（0，2.5）； （3）①过M作MN⊥BC于N， ∵四边形OABC是菱形， ∴∠BCA=∠OCA， ∵MO⊥CO，MN⊥BC， ∴OM=MN， 当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4-2.5=， =×BP×MH=×（5-2t）×=-t+， ∴S＝−t+， 当t=2.5时，P与B重合，△PMB不存在； 当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t-5）×=t-， ∴S＝t−， 故S＝； ②当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=， 同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=， ∴S的最大值是． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 特殊平行四边形中的新定义问题题型01 1．（25-26八年级·山西·期中）阅读与思考 亲爱的同学们，我们知道研究几何图形的一般路径是“定义——性质——判定——应用”，请大家阅读下面的材料，完成相应的任务： 等腰五边形图形定义：如图1，在凸五边形中，，，像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分元素名称如图1所示． 由定义，结合图形，我们直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等．并且等腰五边形具有某种对称性，且它的其他元素也存在特殊的结论．同时，我们还知道图形的定义既是图形的性质，又是图形的判定． 性质探究： ①从整体看，等腰五边形是___________图形（填轴对称或者中心对称）； ②从局部看，等腰五边形的角．．．．．．；等腰五边形的边．．．．．．；等腰五边形的对角线．．．．．． (1)任务一：从整体看，等腰五边形是___________图形（填轴对称或者中心对称）； (2)任务二：性质探究 已知：如图2，在凸五边形中，．猜想与的数量关系，并说明理由； (3)任务三：判定探究 已知：如图3，在凸五边形中，． 求证：凸五边形是等腰五边形； (4)任务四：应用拓展 已知：如图4，在凸五边形中，，．直接写出此时等腰五边形的面积． 【答案】(1)轴对称 (2) ，证明如下： 证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 证明：连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴凸五边形是等腰五边形． (4) 【分析】（1）根据轴对称图形求解即可． （2）连接，证明，由全等三角形的性质得出，由等边对等角得出，由角的和差关系即可得出． （3）连接，证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，再结合等腰五边形的定义证明即可． （4）延长交于点F，连接，连接交与点N，由题意可知凸五边形是等腰五边形． 是等腰五边形的对称轴，即，然后根据三边三角形的判定和性质求出，再求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：从整体看，等腰五边形是轴对称图形． （2）解：略； （3）略； （4）解：延长交于点F，连接，连接交于点N， 由题意可知，凸五边形是等腰五边形， ∴是等腰五边形的对称轴，即， ∴，， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）小明在生物课上学习了蜜蜂的相关知识，发现蜂窝都是由一系列六边形的蜂室密铺而成，他对此非常感兴趣，打算叫上小伙伴们一起探究一下六边形的相关性质，于是几个小伙伴就开始了他们的探索旅程． 【初步思考】 他们规定：在凸六边形中，满足，，，且，，，称这样的凸六边形叫作“光谱六边形”．其中与，与，与叫作“正对边”，和，和，和叫作“正对角”，，，叫作“正对角线”． (1)类比平行四边形的性质，有如下猜想，请判断正误并在括号内画“√”或“×”． ①“光谱六边形”的三条“正对角线”互相平分；（    ） ②“光谱六边形”的邻角互补；（    ） ③“光谱六边形”是中心对称图形．（    ） (2)【实践操作】 如图1，在“光谱六边形”中，证明：． (3)【思维探究】 当“光谱六边形”的六条边都相等时，我们把它叫作“正光谱六边形”．如图2是一张面积为的等腰直角三角形纸片，分别在三角形的三个顶点处各剪裁掉一个小三角形，使剪裁后的纸片变成一个“正光谱六边形”，请求出这个“正光谱六边形”的面积． 【答案】(1)√；×；√ (2) 证明：连接， ，， ，， ， ； (3) 【分析】（1）由题意得三组对边平行且相等，可构造中心对称结构，三条正对角线交于同一点且被该点平分，由此判断①③正确，由题意仅知三组对边平行无法得出邻角和为，故②不正确； （2）连接，根据、得、，进而可得即得证； （3）如图，作，，得“正光谱六边形”，根据等腰三角形面积公式计算其直角边长为，设“正光谱六边形”的边长为，根据图中得，解得，根据计算“正光谱六边形”的面积即可． 【详解】（1）①√ ；②× ；③ √； （2）略 （3）解：如图，作，，， 设“正光谱六边形”的边长为， 等腰直角三角形的面积为， 等腰直角三角形的直角边长为， ，即， ， 该“正光谱六边形”的面积为． 特殊平行四边形中的规律探究题型02 1．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到______条折痕． 【答案】15 【分析】根据对折次数得到分成的份数，再减去1即可得到折痕条数． 【详解】解：根据观察可以得到： 对折1次，一张纸分成两份，折痕为1条； 对折2次，一张纸分成=4份，折痕为4-1=3条； 对折3次，一张纸分成 =8份，折痕为8-1=7条； ∴对折4次，一张纸分成 =16份，折痕为16-1=15条 ． 故答案为15． 【点睛】本题考查折叠问题，掌握分成份数与折叠次数、折痕条数的关系是解题关键 ． 2．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填入表格中． 正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 对称轴的条数 根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一猜想． 【答案】3，4，5，6，7，8  n 【分析】正多变形都是轴对称图形，其对称轴为任意边上的垂直平分线. 【详解】正三角形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有3条边，故有3条对称轴； 正四边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有4条边，故有4条对称轴； 正五边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有5条边，故有5条对称轴； 正六边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有6条边，故有6条对称轴； 正七边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有7条边，故有7条对称轴； 正八边形每条边上的垂直平分线都是对称轴，有8条边，故有8条对称轴； 由以上规律可得：正n边形，就有n条对称轴. 【点睛】理解轴对称图形的含义，通过轴对称图形的含义寻找对称轴. 3．在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______ 条对称轴，非正方形的长方形有______ 条对称轴，等边三角形有______ 条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图2和图3都可以看作由图1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图4和图5中，分别修改图2和图3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图6中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴，通过以上画图，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是______ ． 【答案】(1)1，2，3 (2) (3) (4)对称轴的条数是多边形边数的约数 【分析】（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，底边上的高所在的直线，非正方形的长方形有2条对称轴，对边中点连线所在的直线，等边三角形有3条对称轴，三边高线所在直线； （2）仿照前面的修改解答即可； （3）作出长方形的长边的中点所在直线，以此直线为对称轴，把左边的图形对称到右边即可； （4）根据对称轴所在直线的两个特点：一是对边中点连线所在直线，二是相对的顶点所在直线，画凸六边形即可，根据画出图形的对称轴条数发现规律求解即可． 【详解】（1）解：1，2，3； （2）略 （3）略 （4）解：根据题意，三角形，其对称轴可以是1条或3条，是边数3的约数； 四边形，其对称轴可以是1条，2条或4条，是边数4的约数； 五边形，其对称轴可以是1条或5条，是边数5的约数； 六边形，其对称轴可以是1条，2条，3条或6条，是边数6的约数； 由此可得，一个凸多边形，如果是一个轴对称图形，那么它的对称轴条数是多边形边数的约数； 4．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别与轴的正半轴，轴相交于，两点，且，直线：与轴相交于点，与直线相交于点． (1)求直线的表达式及点的坐标； (2)连接，当时，求的值； (3)在线段上取一点（不与，重合），连接交轴于点，在平面内取一点，连接，．若四边形是以点为对称中心的中心对称图形，试探究：的面积是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)是定值，为16 【分析】（1）对于：当时，，则可求出B的坐标，然后结合已知求出A的坐标，然后根据待定系数法求出直线的表达式；对于：当时，，解方程求出x的值，即可求出点C的坐标； （2）先求出，然后分情况讨论：当D在线段上时；当D在线段的延长线上时，根据等面积法求出点D的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设，根据中心对称的性质求出，结合F在y轴上，可求出，则，，联立方程组，求出，根据中心对称的性质求出，过P作轴交直线于Q，则，则，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：对于：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴， 对于：当时，， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当D在线段上时，如图， ∵， ∴， 解得， 把代入，得， 解得， ∴， 代入，得， 解得； 当D在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴， 解得， 把代入，得， 解得， ∴， 代入，得， 解得； 综上，k的值为或； （3）解：设， ∵四边形是以点为对称中心的中心对称图形， ∴C、E关于F中心对称，D、P关于F中心对称， ∴， ∵F在y轴上， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 联立方程组， 解得， ∴， ∵D、P关于F中心对称， ∴，， 解得，， ∴， 过P作轴交直线于Q， 则，即， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $