1.3矩形的性质与判定分层卷2026～2027 学年北师大版数学九年级上册

1.3矩形的性质与判定分层卷20262027学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.3矩形的性质与判定 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.矩形具有而菱形不具有的性质是() A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角相等 D.对角线相等 2.在平行四边形ABCD中，添加下列一个条件，能判定它是矩形的是() A.AB=BC B.AC=BD C.AB‖CD D.∠B=∠D 3.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(3,2)，连接AC,则AC的长是() A.5 B.6 c.V13 D./14 4.Rt△ABC中，∠C=90,CD是斜边AB上的中线，若∠B=28,则∠ACD的度数为 () A.62 B.52 C.42 D.72 5.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E,且BE=BC。若AB=1,则BC 的长为() E D A.1 B.2 c.3 D.2 6.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,若∠ADB=40°，则∠E 的度数是() C A.35 B.30 C.20 D.25 7.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上，连 接EF交对角线BD于点P。若P为EF的中点，∠ADB=35,则∠DPE=() A.95° B.145° C.100 D.110 8.如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90,AC=3,BC=4,点D是AB上的一个动点，过点 D作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,连接EF,则线段EF长的最小值为() A E F A.2.4 B.V5 c.2.5 D.5 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20,CD为AB边上的中线，DE⊥AC于点 E,则图中与∠A互余的角共有() ⊙ A D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 10.如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC, BC上滑动，且DE=4,若点M,N分别是DE,AB的中点，则MN的最小值为() D E A.2 B.3 c.3.5 D.4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在题中的横线上） 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60,AB=4,则AC的长 为 D B C 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,将△ABC沿CB方向向右平移，点A,B,C的对 应点分别为E,G,F,且EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD=1,则飞= A E D B 13.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点M处，点B落在点N 处。若AB=9,BC=6,则FM的长为 N 9 14.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O作OG⊥AC,交AB的延长线于点G,连 接CG,若∠BOG=16,则∠BCG的度数是 15.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E。若 ∠ODA=30,则∠BOE的度数为， A D 0 E 16.如图，在矩形ABCD中，AD=6,∠CAD=60,点E是边CD的中点，点F是对角线AC 上一动点，作点C关于直线EF的对称点，若该对称点与点E的连线垂直于AC,则CF的长为 D F 力 三、解答题（本大题共8小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(6分)如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF, 连接AE,DF. E B (I)求证：△ABE≌△DCF: (2)求证：∠EAD=∠FDA. 18.(6分)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，DF⊥BC,垂足为F,点G在 DE的延长线上，DG=FC. B C 求证：四边形DFCG是矩形. 19.(6分)如图，己知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O,△AOB是等边 三角形. A D 0 B C (1)求证：四边形ABCD是矩形： (2)若AB=5,求BC的长. 20.(6分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且OB=2OC,点 E,F分别为线段OB,OD的中点，连接AE,EC,CF,FA. E C 求证：四边形AECF是矩形. 21.(6分)如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC,BD的交点，过点O的直线分别与边DA, BC的延长线交于点E,F. A E D (1)求证：AE=CF: ②)若∠ADB=2∠E,求证：AE=号BD. 22.(6分)如图，四边形ABCD是平行四边形，点G,H分别是AB,CD的中点，点E,F在对 角线AC上，且AE=CF,连接EG,GF,FH,HE A D 、E G H (I)求证：△AGE≌△CHF: (2)若EF=AD,求证：四边形EGFH是矩形. 23.(8分)已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90,点O是对角线AC的中 点 (1)求证：OB=OD: (2)若∠ACD=30,OB=6,求AD的长. 24.(8分)如图，在矩形ABCD中，AD=12cm,点P从点A向点D以1Cm/s的速度运 动，点Q以4cm/S的速度从点C出发，在B,C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到 达点D时，两点同时停止运动 A D B Q C 这段时间内，当运动时间为多少时，以P,Q,C,D四点为顶点的四边形是矩形？ 1.3矩形的性质与判定分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.3 矩形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．对角线相等 【答案】 D 【解析】 矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等； 对角线互相平分、对角相等是矩形与菱形共有的性质； 对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质； 所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等．选 D． 【解题提示】矩形与菱形的差别集中在对角线上：矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直；其余性质两者相同． 2．在平行四边形 ABCD 中，添加下列一个条件，能判定它是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 选项 A：一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形； 选项 B：对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项 C：平行四边形本就有两组对边分别平行，不能判定矩形； 选项 D：平行四边形的对角本来就相等，不能判定矩形．选 B． 【解题提示】判定矩形常用两条路：一个角是直角的平行四边形，或对角线相等的平行四边形． 3．如图，在矩形 OABC 中，点 B 的坐标是 ，连接 AC，则 AC 的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 矩形的两条对角线相等，所以 ； 由点 B 的坐标 ，得 ； 所以 ．选 C． 【解题提示】坐标系中的矩形，先把待求对角线转化成另一条过原点的对角线，再用两点间距离公式． 4．Rt 中，，CD 是斜边 AB 上的中线，若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以 ； 所以 ； 故 ．选 A． 【解题提示】斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形，底角分别等于原三角形的两个锐角． 5．如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分 交 AD 于点 E，且 。若 ，则 BC 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 矩形中 ，BE 平分后 ； 又 ，所以 是等腰直角三角形，； 由勾股定理 ； 所以 ．选 B． 【解题提示】矩形内角的平分线必截出等腰直角三角形，斜边是直角边的 倍． 6．如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 ，连接 AE，若 ，则 的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 矩形对角线相等，，又 ，所以 ； 故 ； 矩形对角线互相平分，，所以 ； 由 得 ； 是 的外角，，故 ．选 C． 【解题提示】看到「对角线相等」要立刻想到矩形；构造等腰三角形后用外角定理，角度关系立刻清晰． 7．如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，连接 EF 交对角线 BD 于点 P。若 P 为 EF 的中点，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 矩形中 ，P 为斜边 EF 的中点，所以 ； 故 为等腰三角形，； 矩形中 ，； 是 的外角，．选 D． 【解题提示】直角三角形斜边中点必连中线：斜边中线等于斜边一半，立刻得到等腰三角形． 8．如图，直角三角形 ABC 中，，，，点 D 是 AB 上的一个动点，过点 D 作 于点 E， 于点 F，连接 EF，则线段 EF 长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ，，，所以四边形 DECF 是矩形，故 ； EF 最小即 CD 最小，而当 时 CD 最小； 由勾股定理 ； 由面积法，； 所以 EF 的最小值为 ．选 A． 【解题提示】判定矩形后把待求线段 EF 换成它的对角线 CD，再用「垂线段最短」与面积法求斜边上的高． 9．如图，在中，，，CD 为 AB 边上的中线， 于点 E，则图中与 互余的角共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】 C 【解析】 ，，所以 ，与 互余； CD 是斜边 AB 上的中线，，故 ，与 互余； ，在 Rt 中 ，与 互余； 又 ，A、D、B 共线，故 ，与 互余； 共有 、、、 4 个．选 C． 【解题提示】互余即两角和为 ；斜边中线产生等腰三角形，把 的角逐个找出并数全，切忌漏数． 10．如图，在中，，，，线段 DE 的两个端点 D，E 分别在边 AC，BC 上滑动，且 ，若点 M，N 分别是 DE，AB 的中点，则 MN 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 由 知 ； M 是 Rt 斜边 DE 的中点，所以 ，即点 M 在以 C 为圆心、 为半径的圆弧上运动； N 是 Rt 斜边 AB 的中点，所以 ； 由 ，当点 M 落在线段 CN 上时取等号； 所以 MN 的最小值为 ．选 B． 【解题提示】两次使用「直角三角形斜边中线等于斜边一半」，把动点 M 的轨迹锁定为圆弧，最小值转化为半径之差． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，，，则 AC 的长为______． 【答案】 【解析】 矩形对角线互相平分且相等，所以 ； 又 ，所以 是等边三角形，； 故 ． 【解题提示】对角线夹角为 的矩形，对角线一半与短边恰好围成等边三角形． 12．如图，在 Rt 中，，将沿 CB 方向向右平移，点 A，B，C 的对应点分别为 E，G，F，且 EF 恰好过边 AB 的中点 D，连接 CD，若 ，则 ______． 【答案】 【解析】 Rt 中，CD 是斜边 AB 上的中线，所以 ； 平移不改变图形的形状与大小，． 【解题提示】斜边中线等于斜边的一半求出 AB，平移前后对应边相等，GE 即 AB． 13．如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 落在 AD 边的中点 M 处，点 B 落在点 N 处。若 ，，则 FM 的长为______． 【答案】 【解析】 矩形中 ，，； M 是 AD 的中点，所以 ； 由折叠的对称性，； 设 ，则 ； 在 Rt 中，，即 ； 解得 ，，即 ． 【解题提示】折叠的本质是轴对称：折痕上的点到对应点距离相等，据此设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程． 14．如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 作 ，交 AB 的延长线于点 G，连接 CG，若 ，则 的度数是______． 【答案】 【解析】 ，且 O 为 AC 中点，所以 OG 垂直平分 AC，故 ，； ，所以 ； 矩形对角线相等且互相平分，，故 ，即 ，； 又 ，由 得 ； 所以 ． 【解题提示】垂直平分线带来等腰，矩形对角线相等又带来等腰，多个等腰三角形叠加时逐个标注底角即可． 15．如图，在矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE 平分 交 BC 于点 E。若 ，则 的度数为______． 【答案】 【解析】 矩形对角线相等且互相平分，，所以 ； 是 的外角，； 又 ，所以 是等边三角形，，； AE 平分 ，，又 ，所以 是等腰直角三角形，； ， 为等腰三角形，． 【解题提示】 与角平分线相遇：先证等边三角形转移边，再在等腰三角形 OBE 中求顶角． 16．如图，在矩形 ABCD 中，，，点 E 是边 CD 的中点，点 F 是对角线 AC 上一动点，作点 C 关于直线 EF 的对称点，若该对称点与点 E 的连线垂直于 AC，则 CF 的长为______． 【答案】 或 【解析】 矩形中 ，，所以 ； 在 Rt 中， 角所对的直角边 AD 等于斜边 AC 的一半，故 ； 由勾股定理 ； E 是 CD 中点，；设点 C 关于 EF 的对称点为 P，由对称知 ，； 设过 E 且垂直 AC 的直线交 AC 于 H，在 Rt 中 ，所以 ，由勾股定理 ； P 在该直线上且 ，分两种情形： ① P 与 D 在 AC 同侧时，；设 ，由 及 ，在 Rt 中 ，解得 ； ② P 与 D 在 AC 异侧时，，同理 ，解得 ； 综上，CF 的长为 或 ． 【解题提示】对称点带来 、 两组等线段；垂线位置不确定时必须按点 P 在直线两侧分类讨论． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 CB 延长线上，点 F 在 BC 延长线上，且 ，连接 AE，DF． (1) 求证：； (2) 求证：． 【答案】 见解析 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ，； E 在 CB 延长线上，F 在 BC 延长线上，所以 ； 又 ，所以 ； (2) 由 (1) 得 ； 矩形中 ，所以 ． 【解题提示】矩形的四个直角为全等提供等角，第 (2) 问用「等角加等角，和相等」即可． 18．（6 分）如图，在中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，，垂足为 F，点 G 在 DE 的延长线上，． 求证：四边形 DFCG 是矩形． 【答案】 见解析 【解析】 因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE 是的中位线，，即 ； 又 ，所以四边形 DFCG 是平行四边形； 因为 ，所以 ； 所以平行四边形 DFCG 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【解题提示】先由中位线得平行，再凭「一组对边平行且相等」判定平行四边形，最后用直角升级为矩形． 19．（6 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 交于点 O， 是等边三角形． (1) 求证：四边形 ABCD 是矩形； (2) 若 ，求 BC 的长． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 因为 是等边三角形，所以 ； 四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ，，故 ； 所以平行四边形 ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； (2) 矩形中 ； 是等边三角形，，所以 ； 在 Rt 中，． 【解题提示】等边三角形把「对角线互相平分」升级为「对角线相等」，这是判定矩形的关键一步． 20．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 ，点 E，F 分别为线段 OB，OD 的中点，连接 AE，EC，CF，FA． 求证：四边形 AECF 是矩形． 【答案】 见解析 【解析】 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ，； E，F 分别为 OB，OD 的中点，所以 ，，故 ； 又 ，所以四边形 AECF 是平行四边形； ； 由 及 ，得 ； 所以平行四边形 AECF 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 【解题提示】中点把 EF 拼成 OB，再把 翻译成 ，对角线相等即得矩形． 21．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，过点 O 的直线分别与边 DA，BC 的延长线交于点 E，F． (1) 求证：； (2) 若 ，求证：． 【答案】 见解析 【解析】 (1) 矩形中 ，，所以 ； 又 （对顶角相等），所以 ，故 ； (2) 矩形中 ，所以 ； 是 的外角，，故 ； 所以 ． 【解题提示】第 (2) 问把二倍角条件放进外角定理，得到等角后立即转等边 ． 22．（6 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 G，H 分别是 AB，CD 的中点，点 E，F 在对角线 AC 上，且 ，连接 EG，GF，FH，HE． (1) 求证：； (2) 若 ，求证：四边形 EGFH 是矩形． 【答案】 见解析 【解析】 (1) 四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ，，故 ； G，H 分别是 AB，CD 的中点，所以 ； 又 ，所以 ； (2) 由 (1) 得 ，，故 （等角的补角相等），所以 ，四边形 EGFH 是平行四边形； 因为 且 ，所以四边形 AGHD 是平行四边形，； 又 ，所以 ； 所以平行四边形 EGFH 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 【解题提示】先证 拿平行四边形，再借 把 转化为对角线相等． 23．（8 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，，点 O 是对角线 AC 的中点． (1) 求证：； (2) 若 ，，求 AD 的长． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 在 Rt 中，OB 是斜边 AC 上的中线，所以 ； 在 Rt 中，OD 是斜边 AC 上的中线，所以 ； 故 ； (2) 由 (1) 得 ； 在 Rt 中，，，所以 （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半）． 【解题提示】同一条斜边 AC 把两个直角三角形连在一起，斜边中线相等是这类「双直角」模型的核心． 24．（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，，点 P 从点 A 向点 D 以 的速度运动，点 Q 以 的速度从点 C 出发，在 B，C 两点之间做往返运动，两点同时出发，点 P 到达点 D 时，两点同时停止运动． 这段时间内，当运动时间为多少时，以 P，Q，C，D 四点为顶点的四边形是矩形？ 【答案】 或 或 【解析】 设运动时间为 ，则 ，； 矩形中 ，即 ；以 P，Q，C，D 为顶点的四边形是矩形，当且仅当 （先成平行四边形，再由 得矩形）； ，点 Q 单程需 ，分段讨论： ① 当 时，Q 由 C 向 B，，由 解得 ； ② 当 时，Q 由 B 返回 C，，由 解得 ； ③ 当 时，Q 再次由 C 向 B，，由 解得 ； ④ 当 时，Q 由 B 返回 C，，由 解得 ，此时 ，四点不能构成四边形，舍去； 综上，当运动时间为 或 或 时，以 P，Q，C，D 四点为顶点的四边形是矩形． 【解题提示】往返运动必须按时段分段写出 QC 的表达式；注意检验每个解是否落在对应时段内，并剔除四点退化的情形． 学科网（北京）股份有限公司 $