1.3 矩形的性质与判定-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步练习3 第1课时 第 知识点①矩形的四个角都是直角 1.(3分)在矩形ABCD中，AD=5,CD=12,则AC 的长为() A.9 B.13 C.17 D.20 2.（3分)如图，若将四根木条 A 钉成的平行四边形木框变形 为矩形ABCD的形状，则矩 B 形ABCD的内角∠ABC的大小为 知识点②矩形的对角线相等 3.(3分)在矩形ABCD中，AB>BC,AC,BD相交 于点O,则图中等腰三角形的个数是() A.2个B.4个 :C.6个 D.8个 4.(3分)如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交 于O,若BC=3,AB=4,则DB的长为() A.3 B.4 C.7 D.5 变式(3分)在矩形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,若AO=3cm,则BD的 长为() A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6cm 知识点③直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 5.(3分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,点 E是AC的中点，若AD=6,DE=5,则CD的长 等于() A.5 B.6 C.7 D.8 4 15分钟同步练习，精炼高效专 矩形的性质与判定 矩形的性质 易错点没有分类讨论导致漏解 6.(3分)矩形一个角的平分线 一边为1cm和3cm两部分 个矩形的面积为 7.(3分)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC 上一点，过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于 E,F。连接PB,PD,若AE=2,PF=8,则图中 阴影部分的面积为() A.10 B.12 C.16 D.8 第7题图 第8题图 8.(3分)如图，矩形ABCD中，∠B0C=120°，BD =12,点P是AD边上一动点，则OP的最小值 为( A.3 B.4 C.5 D.6 9.（10分)（重庆期末）如图1，在矩形ABCD中， 过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF⊥AC 分别交AB、DC于点E、F。 (1)求证：AE=CF; (2)如图2，若G为AE的中点，且∠A0G= 30°，求证：DC=30G。 图1 图2 考点BS九年级数学上册 第2课时 知识点①有一个角是直角的平行四边形是 矩形 1.(3分)如图所示，将△ABC绕AC 的中点0顺时针旋转180°得到 △CDA。在不添加任何辅助线的 前提下，添加一个条件 ,使四边形 ABCD为矩形。 2.(3分)木匠师傅在判断一个木框是否为矩形 时，量得一组对边的长均为0.6m,另一组对 边的长均为0.8m,一条对角线长为1m,于是 判断此木框为矩形，此方法是否合 理 。(填“合理”或“不合理”) 知识点②有三个角是直角的四边形是矩形 3.学习情境·课堂讨论(3分)在判断“一个四边 形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合 作学习小组的4位同学分别拟定了如下方案， 其中正确的是( A.测量对角线是否相等 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角 知识点③对角线相等的平行四边形是矩形 4.(3分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,OA=3cm,若要使平行四 边形ABCD为矩形，则OB的长度为( A.4cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 5.生产劳动情境·零件测量(3分)用一把刻度 尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两 组对边是否分别相等，然后测量两条对角线 是否相等，这样做的依据是 15分钟同步练习，精炼高效扔 矩形的判定 6.学习情境·动点探究(： 期中)如图，在Rt△ABC中 =90°，且BA=6,AC=8,点Du BC上的一个动点，过点D分别作DM LAB于 点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN 的最小值为() A.5 B.3.6 C.2.4 D.4.8 M B D BL 第6题图 第7题图 7.（3分)如图，在口ABCD中，下列条件：①AC= BD;②AB=AD;③∠1=∠2；④AB⊥BC中能说 明口ABCD是矩形的有 (填序号)。 8.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，过点D 作DE⊥AB于点E,点F在边CD上，且FC= AE,连接AF,BF。 (1)求证：四边形DEBF是矩形； (2)若AF平分∠DAB,AE=6,DF=10,求BF 的长。 考点BS九年级数学上册 5答案详解详 高效同步练习1认识特殊的平行四边形 1.D2.C3.D4.D 5.5【解析】AB=3,BC=4,∠ABC=90°，.AC=√AB2+BC2 =5 6.C7.C 8.证明：.·四边形ABCD为菱形，·.AB=AD,∠B=∠D。.·∠AEC =∠AFC,·.∠AEB=LAFD,在△ABE和△ADF中， (∠AEB=∠AFD ∠B=∠D ,.△ABE≌△ADF(AAS),.BE=DF。 AB=AD 高效同步练习2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 1 B 2.A【解析】.菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6,8，. A0=2AC=3,B0=2BD=4,AC L BD。在Rt△AB0中，A0= 3,B0=4,由勾股定理得AB=5。故选A。 变式】12 3.B 4.B【解析】.·四边形ABCD是菱形，∠ADC=130°，∴.AB∥CD, ∴.∠BAO= 7∠BAD,∠ADC+∠BAD=180°，∠BAD=50°， ∠BAO= 2×50°=25°。0E1AB,.∠AE0=90°，.∠A0E= 90°-∠BA0=65°。故选B。 5.B 6.12 【归纳总结】过对角线交点的直线将菱形分割成面积相等的 两部分。 7.C8.D 9.C【解析】作，点M关于AC的对称，点M',连接M'N交AC于 P,此时MP+NP有最小值，为M'N。:M是AB边上的中点 PM=PM',M'是AD的中点。又.N是BC边上的中，点，四边形 ABCD是菱形，∴.AM'∥BN,AM”=BN,即四边形AM'NB是平行 四边形，.M'N=AB,.PM+PN=PM'+PN=M'N=AB=1。故 选C 10.解：（I).四边形ABCD是菱形，AB=20m,∴.AC⊥BD,A0= C0,B0=D0,LABD=7LABC=30°，.A0=号AB=10m,B0 =√AB-A02=10W3m,∴.AC=2A0=20m,BD=2B0=20W3m; （Ⅱ)菱形花坛ABCD的面积=2 ACxBD= 21 20×20W3= 200w3(m2)。 第2课时菱形的判定 1.D 2.四边相等的四边形是菱形， 3.证明：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD,∠DAB= ∠DCB,AC平分∠DAB,CA平分∠DCB,∴.∠DAC=∠BAC= 2∠DMB,∠DCA=LACB=了LDcB,∠DAC=∠BMC ∠DCA=∠ACB。,·AE=CF,·.△DAE≌△BAE≌△BCF≌ △DCF(SAS),∴.DE=BE=BF=DF,∴.四边形DEBF是菱形。 4.2165.C 6C【解析】：DE∥AC,DF∥AB,四边形AEDF为平行四边 形，∠EAD=∠FDA。·.AD平分∠BAC,.∠EAD=∠FAD= ∠FDA,.FA=FD,.平行四边形AEDF为菱形。AF=8, =4AF=32。故选C 菱形AEDF 7.(1)证明：点D是AC的中点，∴.AD=DC。,AF∥BC, ∠FAD=∠ECD,∠AFD=∠CED,∴.△AFD≌△CED(AAS),· AF=EC,∴.四边形AECF是平行四边形，又，：DE⊥AC,即EFI AC,:四边形AECF是菱形。 (2)解：过点A作AG⊥BC于点G,由(1)知四边形AECF是菱 形，.AE=CE=AF=CF=2,AF∥EC,∠FAC=30°，∠FAE= 2LFAC=60°，LAEB=LFAE=60°。AG⊥BC,.∠AGB= ∠AGE=90°，∠GAE=30°，.GE=7AE=1,AG=VAE-CE √3。∠B=45°，∴.△ABG是等腰直角三角形，∴.BG=AG= 同步练习，精炼高效抓考 行·易错剖析 √3，.BC=√3+1+2=√3+3，AB=√6，.四边形ABCF的周长= AB+BC+CF+AF=√6+√3+7。 高效同步练习3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.B2.90°3.B4.D【变式】D5.D 6.4cm2或12cm2【解析】如图所示，矩形ABCD ED 中BE平分∠ABC交AD于E点。：AB=CD AD=BC,AD∥BC,.∠AEB=∠CBE。.·BE平 分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE,∴.∠AEB= ∠ABE,∴.AB=AE。①当AE=1cm时，AB=CD =1cm,AD=BC=4cm,S矩形Aen=1×4=4(cm2)。②当AE=3cm 时，4B=CD=3cm,AD三BC=4cm,此时Secw=3×4=12 (cm2)。故矩形ABCD的面积为4cm2或12cm。 7.C8.A 9.证明：(1)四边形ABCD是矩形，CD∥AB,∠0CF= ∠OAE。LCOF=∠AOE,OC=OA,.△COF≌△AOE (ASA),∴.AE=CF: (2)连接OB。EF⊥AC,∴.△AOE是直角三角形，∴.OG=AG =GE,LBMC=∠A0G=30°，0E=2AB=AG=GE,∠AB0= ∠BAC=30°，.∴.∠A0B=180°-30°-30°=120°，.∴.∠B0E= LA0B-90°=30°，.△0EB是等腰三角形，.0E=EB,0G= AG=GE=EB=0B,0G=AB=DC,即DC=30G。 第2课时矩形的判定 1.∠B=90°（答案不唯一）2.合理3.D4.B 5.对角线相等的平行四边形是矩形 6.D【解析】连接AD。,∠BAC=90°，且BA=6,AC=8,∴.BC= √JAB2+AC2=10。.DM⊥AB,DN⊥AC,∴.∠AMD=∠AND= 90°，∴.四边形AMDN为矩形，∴.AD=MW,∴.当AD最小时，MW 最小。当AD⊥BC时，AD最小，此时S△MBc=2×6X8= 2×10x AD,.AD=4.8。故选D。 7.①④ 8.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,DC=AB .FC=AE,∴，DC-FC=AB-AE,即DF=BE,∴.四边形DEBF是 平行四边形 又DE⊥AB,.∠DEB=90°，∴.平行四边形 DEBF是矩形 (2)解：AF平分∠DAB,∠DAF=∠BAF。DC∥AB, ∠DFA=∠BAF,∴.∠DFA=∠DAF,∴.AD=DF=10。在Rt △AED中，由勾股定理，得DE=√AD-AE2=8,由(1)得四边 形DEBF是矩形，∴.BF=DE=8。 高效同步练习4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.D 2.A【解析】.四边形ABCD为正方形，.AB=AD,∠BAD=90° ·△ABE是等边三角形，∴.AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°，.AD =AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°，∴.∠ADE=∠AED=15°。 故选A。 【变式】135 3.C4.22.5°5.B 6.A【解析】取BE的中，点H,连接MH。四边形ABCD是正方 形，∴.AB=BC,AB⊥BC。,点M是FE的中点，点H是BE的 中点，EH=2BE,MH=2BF,MH/BF,MH LBC。BF= 2,..MH= BF=1AF=CE,..AB=AF+2=CE+2,..BE= BC+CE=AB+CE=2CE+2,..EH=BE=CE+1,.CH=EH-CE =1,∴.CM=√MH+C=√2。故选A。 7.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∠D=∠B=90°，AD= AB=BC=CD。又，·E,F分别为DC,BC的中点，∴DE=BF,在 (AD=AB △ADE和△ABF中，∠D=∠B,∴.△ADE≌△ABF(SAS); (DE=BF (2)解：.四边形ABCD为正方形，边长为4，E,F分别为DC, BC的中点，.∴.∠B=∠D=∠C=90°，AD=AB=BC=CD=4,DE= CE=BF=CF=2。.S△ABr=SE方形BCD-S AADE-SAABF-SAEFC=4X4 BS九年级数学上册 69