专题训练 与特殊平行四边形有关的最值类问题2026-2027学年北师大版数学九年级上册

与特殊平行四边形有关的最值类问题 类型1 与平行四边形有关的最值类问题 类型2 与菱形有关的最值类问题 类型3 与矩形有关的最值类问题 类型4 与正方形有关的最值类问题 （一） 将军饮马问题 【问题背景】 将军饮马问题 希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从 地出发到河边饮马，然后再到 地军营视察，显然有许多走法.问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题. 一、同侧线段和最小值问题 模型解读 图形 结论 两定点 , 位于直线 同侧，在直线 上找一点 ，使得 值最小 此时 值最小，即为 二、异侧线段差最大值问题 模型解读 图形 结论 两定点 , 位于直线 异侧，在直线 上找一点 ，使得 的值最大 此时 值最大，即为 三、周长最小值问题 模型解读 图形 结论 点 是 的内部一定点，在 上找一点 ，在 上找一点 ，使得 周长最小 此时 周长最小，即为 四、线段和最小值问题 模型解读 图形 结论 在 上找一点 ，在 上找一点 ，使 值最小 此时 值最小，即为 五、四边形周长最小值问题 模型解读 图形 结论 点 ， 是 内部两定点，在 上找点 ，在 上找点 ，使得四边形 的周长最小 此时四边形 周长最小. 为定值，即求得 的最小值即可 （二） 造桥选址问题 【问题背景】 题目：（人教版《数学》七年级下册5.4习题拓广探索）如图, 和 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 ,桥造在何处才能使从 到 的路径 最短? （假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直） 【模型分析】 模型解读 图形 结论 已知 ， ， 之间距离为 ，在 , 上分别找 ， 两点，使得 ，且 的值最小 此时 ，且 的值最小，即为 （三） 胡不归问题 形如 的形式 【问题背景】 胡不归问题 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 （如图所示），而忽视了走折线虽然路程远但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气， 小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归? 何以归”.这个古老的传说，引起了人们对沙砾地带的思索，小伙子能否提前到家?倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢?这就是风靡千百年的“胡不归问题”. 【模型分析】 模型解读 图形 结论 形如 的形式 即为所求线段的最小值 类型1 与平行四边形有关的最值类问题 1.（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标是，点、分别在边、上，连接、．点、分别是、的中点，连接，那么的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，根据垂线段最短可知当 时最短，此时最小，结合点坐标即可求解． 【详解】解：连接， 点、分别是、的中点， ， 当有最小值时，为最小值， 四边形 是平行四边形，点 A 在 x轴上， 点 F 在 x轴上运动， 点C的坐标为， 当轴时，的值最小，即最小值为2， 的最小值为． 2.（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，在平行四边形纸片中，，E是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是____________． 【答案】 【分析】如图：先作交的延长线于点G，连接，根据平行四边形的性质，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：如图：先作交的延长线于点G，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，E是线段的中点， ∴， 根据折叠的性质得． 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点共线时最小， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得，解得：， ∴． 根据勾股定理，得， ∴最小值是． 3.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的高，点和点分别为高和边上的动点，且．连接、，若，，，则的最小值为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作，且，分别连接，则，证明，得到，当点在上时，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：过点作，且，分别连接，则， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上时，点三点共线，取得最小值，且最小值为线段的长，在中，由勾股定理得到， 即的最小值为． 4.（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，，，点、分别在、上，且．则的最大值________． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质，设，则，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识得到，，则，再结合x的取值范围，二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，则， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 在中，，则， ∴， ∴根据勾股定理得， 当点在点上方时，， 在中，， 在中，， ∴， ∴根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大， ∴最大值； 当点在点下方时， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， 同理，，， ∴当时，最大值； 综上，最大值为 ． 类型2 与菱形有关的最值类问题 5.（25-26八年级下·湖南怀化·期末）如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，轴对称性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：菱形，， ，， ∴关于直线对称， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴三点共线时，取得最小值，且最小值为， 菱形，， ∴，，， ∴都是等边三角形， 点是的中点， ∴， 点， ， ，， ， 的最小值为6， 故的最小值为6； 6．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，菱形的顶点，，，均在坐标轴上，，点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】4 【分析】连接，说明的最小值是的长，利用菱形的性质，等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是菱形，点均在坐标轴上，， ， 是等边三角形， ． 点， ， 点E是的中点， ， ， ， ． ， 点D与点B关于对称， 当点P与点重合时，的值最小，为的长， 的最小值为4． 7.（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如图，在菱形中，，点到点的距离是2，连接，取的中点，连接，点在运动的过程中，的最小值为__________． 【答案】2 【分析】连接交于点，连接，由菱形的性质可知，，进而可得为中位线，，利用三角形三边关系定理可求解题目． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵在菱形中， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为2，此时三点共线． 8.（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ____ ． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 9.（2026·河南平顶山·三模）如图，在边长为的菱形中，，将沿射线向右平移得到，连接，，则周长的最小值为_________． 【答案】 【分析】连接，作直线，作点C关于直线的对称点，连接，， 设与交于点F，当三点共线时，即点与点F重合时，取得最小值，且最小值为，求解即可； 【详解】解：连接，如图．结合平移，可知，，∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的周长为：． ∴当的值最小时，的周长最小． 作直线，作点C关于直线的对称点，连接，， 设与交于点F， ∴， ∴当的值最小时，的周长最小． ， ∴当三点共线时，即点与点F重合时，取得最小值，且最小值为， 连接交于点O， ， ∴且垂足为    O， ∴， 连接，根据菱形的性质，得， ∴三点共线， ∴，， ∴，，． ∴． ∴周长的最小值为． 10.（25-26八年级下·辽宁营口·期末）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，过点作，先证，得，再证是等边三角形，得，然后可得，要使的面积为最小，只需满足的长为最小即可，进而问题可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使的面积为最小，只需满足的长为最小即可， ∴当时，最小，如图所示： 此时， ， ∴， ∴面积的最小值为． 11.（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在边长为的菱形中，，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】的周长，其中长度固定，求周长最小值转化为求的最小值．根据菱形性质，点关于的对称点是，连接，则的长即为的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形，点与点关于直线对称， ∴，， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 连接，交于点P， ∵菱形边长为，， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴周长的最小值． 12．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，菱形的面积为，，点在边上，连结，点是直线上的动点，连结，分别取、的中点、，连结，则的最小值是__________． 【答案】2 【分析】连接，证明是的中位线，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，根据菱形的面积求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵、的中点分别、， ∴是的中位线， ∴， 当时，取得最小值，此时取得最小值， ∵菱形的面积为，， ∴当时， ∴， 此时， 即的最小值是． 13．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在菱形中，，，，为对角线上两动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用菱形的性质证明，得出，结合菱形的性质得出，从而将转化为，根据两点之间线段最短可知当，，三点共线时和最小，即为对角线的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长，此时点与点重合，， ∵， ∴，即点与点重合，符合题意； 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 14.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在菱形中，，P是菱形内部一点，且满足，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先利用面积关系确定点在线段上运动，再作出点关于的对称点，最后利用两点之间线段最短求最小值． 【详解】分别取、的中点、，连接． ∵四边形是菱形， ∴，，． ∵是中点，是中点， ∴． ∵，且， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵与平行四边形同底， ∴点到的距离等于到的距离． ∵点在菱形内部， ∴点在线段上运动． 作点关于直线的对称点，连接交于点，此时取得最小值． ∵，且到的距离为菱形高的一半， ∴点在过点且垂直于的直线上，且到的距离等于到的距离． ∵与之间的距离即为菱形的高， ∴等于菱形的高，且． ∴是从点向直线所作的垂线段，垂足即为． 在中，，， ∴． ∵， ∴是的中点． 由轴对称性质得， ∴． 当、、三点共线时取等号． 过点作，交的延长线于点． ∵， ∴． 在中，， ∴， ． ∴． 在中，由勾股定理得 ． 又∵为中点，，在上， ∴在中，， ∴为的中点，且点在上，满足题意． ∴的最小值为． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据对称性找到点E关于直线对称的点，过点作的延长线于点，根据两点之间线段最短，当点、、三点共线时，取得最小值，利用平行四边形、矩形、菱形的性质和勾股定理求出的最小值． 【详解】解：过点B作，作点E关于直线对称的点，过点作的延长线于点，交于点． ∵点E和点关于直线对称， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取得最小值， ∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理得，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， 同理，四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 类型3 与矩形有关的最值类问题 16．（25-26八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，，，为的中点，为上的动点且，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质和全等三角形的性质证明，在的延长线上截取，连接，证明，当点三点共线时，最小，即最小，最小值为，在中，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：连接， 在矩形中，，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在的延长线上截取，连接， ∴， 又是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，即最小，最小值为， 在中，， 由勾股定理得： ， ∴的最小值为． 17.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，，E是上一点，，P是上一动点，连接，取的中点 F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是（     ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上取一点M，使得，连接，并根据中位线的性质得出，再说明当取最小时，即最小，当时，最短，然后说明四边形是矩形，可得，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：在上取一点M，使得，连接，如图所示， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 当最小时，即最小，当时，最短， ∵四边形是矩形， ∴． 当时，四边形是矩形， ∴此时． 在中，， ∴， ∴当线段取得最小值时，线段的长度是5． 18.（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，矩形中，与交于点，分别在和上取点、，使得，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造平行四边形，则可得到，，推出，进而得到，，所以点E的轨迹为射线，且，据此求解即可． 【详解】解：过O作，且，连接， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以点E的轨迹为射线，且， 当时，有最小值，此时也最小， 此时是等腰直角三角形， ∴， 即最小值为． 19.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，，，，，，分别是，，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，连接，，，由题意可知四边形，都是矩形，则，，得到，当点，，共线时，有最小值，为，即可求解． 【详解】如图，设、交于点，连接，，， 由题意可知四边形，都是矩形， ，， ， 当点，，共线时，有最小值，为， 即的最小值为． 20.（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，等边三角形的顶点E在边上，点B，F在的两侧，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】以为边，在下方作等边三角形，连接，可证，得到，则当时，有最小值，再求边长即可． 【详解】解：如图，以为边，在下方作等边三角形，连接交于， 由题意，得，，，，． ． ． 当时，有最小值，又， ，则，， ， 的最小值为． 21．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别在边，上，，连接，，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】延长，在上截取，连接，先证明得到，从而推出当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，延长，在上截取，连接， ∵四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值是． 22.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连结交矩形的对角线于点，且，将矩形沿所在直线折叠，点，的对应点分别是点，，点是的中点，连结，则长的最大值为_________． 【答案】 【分析】连接，由题意易得，则有，然后根据三角形中位线可得，由折叠可知：，进而根据即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由折叠可知：， ∴，即， ∴长的最大值为8． 23．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】连接、、，根据矩形的性质和勾股定理，得出，利用直角三角形的斜边中线，得出，证明四边形是矩形，则，当点在上时，有最小值为． 【详解】解：如图，连接、、， 矩形，，， ，，， ， ， ， 在中，O为的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即当点在上时，有最小值为． 24.（25-26八年级下·新疆克孜勒苏·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 25.（24-25九年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．掌握矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解本题的关键． 依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ， 在中，， ， 最小值为． 故答案为：． 26.（2026·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，，，，分别是，上的动点，且，则的最小值是________． 【答案】 【分析】通过作等腰直角三角形，把转化为线段的长，则当三点过共线时，值最小．根据图形，求出的长即可． 【详解】解：以为斜边，在矩形外作等腰直角三角形，如图， 由勾股定理得． ． 当三点过共线时，值最小． 如图，当三点过共线时，，值最小， ， ． ， ． ， ． ． ， ， ． 27.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 【答案】 【分析】使用勾股定理计算出，由“三角形的两边之和大于第三边”可知，，因此当，，三点共线时，最大． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 28．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，矩形中，为的中点，点、为上两个动点，连接、，若，当______时，四边形的周长最小． 【答案】 【分析】四边形的周长为，其中，为定值，因此当最小时四边形的周长最小；通过在上截取，将平移为，再在的延长线上截取线段，利用两点之间线段最短确定点的位置，然后以点为原点，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求得的解析式，从而得到此时点的坐标，进而求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形，为的中点， ∴，，，，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∴当最小时，四边形的周长最小； 如图，在边上截取线段，在的延长线上截取线段，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，，点在上， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， 即当、、三点共线时，取得最小值，此时四边形的周长最小； 如图，、、三点共线，以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 得 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴此时点的坐标为， ∴． 29．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在一个长方形公园中，，，凉亭在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点在点左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时长为________m． 【答案】 【分析】由题意易得，，，，则得，要使四边形的周长最小，则需满足的值最小，在边上取一点，使得，作点关于的对称点，连接，然后根据轴对称的性质可进行求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ∵凉亭在的中点处， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，则需满足的值最小， 在边上取一点，使得，作点关于的对称点，连接，如图所示： 由轴对称的性质可知：， 在长方形中，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当且仅当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 过点作于点，如上图， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴当四边形的周长最小，． 30．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，作，垂足为，交于，则，，证明和均为等边三角形，推出，可得，当时最小，即的长度，然后利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，作，垂足为，交于， 由旋转得，，， ∴，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴当点，，M，E四点共线时最小，即的长度， ∵点E为边上任意一点， ∴当时，即点E和点H重合时，取得最小值，即的长度， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 类型4 与正方形有关的最值类问题 31.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 32．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 在中，， ， ，解得（负值已舍去）， ， 则的最小值为． 33．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，正方形的边长为8，为等腰直角三角形，，，连接，，点H为的中点，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】解：延长到G点，使，交于点K，连接、、，过点作，交于点N，和交于点M，如下图所示： 点H为中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， 正方形的边长为8， ，， ， ， ， ， ， ， （前面已证）， ， 即， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 当最小时，最小，此时也最小，， ， 当B、C、E三点共线时，取得最小值4，此时． 【点睛】利用中点倍长构造全等三角形，全等加旋转思想证等腰直角三角形，最值转化为三角形三边关系：三角形两边之差小于第三边． 34．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，G是的中点，线段（点E在点F的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是__． 【答案】 【分析】取的中点P，连接，，设与的交点为H，根据平行四边形的判定和性质，三角形中位线，得到，继而得到，根据，故当三点共线时，取得最小值，即F与H重合时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴， 如图，取的中点P，连接，，设与的交点为H， ∵G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵正方形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵, 故当三点共线时，取得最小值，即F与H重合时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 35．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）已知正方形，点是中点，点是直线上的一个动点，若的最小值是，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】由正方形的性质证明，将转化为，再利用三角形三边关系得到的最小值为，最后在中利用勾股定理求出正方形的边长． 【详解】解：如图所示，连接、、， 在正方形中，平分，， ， 在与中， ． ． （当、、三点共线时取等号）． 由题意得，最小值为， ． 设正方形的边长为， 是中点， ． 在中，由勾股定理可得，， 解得， 即正方形的边长为． 36．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在教学过程中，王老师为了让学生更加直观地体验四边形不具有稳定性，将四根长度为的木条用钉子钉成一个正方形框架，向右拉动框架得到四边形．当点D与点的距离最小时，四边形的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意可知四边形是菱形，边长为，根据三角形三边关系可知，当、、三点共线时，的距离最小，此时，利用勾股定理求出菱形的高，进而求出面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，四边形的四条边长均为， 四边形是菱形， 四边形是正方形， ，， ， 根据三角形三边关系可知，， 即当点在线段上时，点与点的距离最小， 此时， 是正方形的对角线， ， ， 过点作于点， ∴， ∴， 在中，， 解得：（负值舍去）， 四边形的面积． 37．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，正方形纸片的边长为5，点E在边上，点F在边上，将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是___________． 【答案】/ 【分析】连接，由，故三点共线时，取得最小值，且最小值为，此时，取得最小值，且最小值为 【详解】解：连接， 根据折叠的性质，得，， 正方形纸片， ，，， 根据勾股定理，得， ， 三点共线时，取得最小值，且最小值为，如图所示， 此时，取得最小值，且最小值为 38．（25-26八年级下·北京房山·期末）某学校有一块边长为20米的菱形草坪，其中．计划在草坪内部安装一处景观喷泉，要从草坪，，三个顶点处向喷泉铺设引水管道，则三段管道总长的最小值为__________米． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和已知角度判定与均为等边三角形，利用旋转变换将转化为连接两定点的折线段，根据两点之间线段最短确定最小值为线段的长，最后结合菱形对角线性质与勾股定理求解 【详解】解：连接，交于点， 四边形是菱形，， ，， 和均为等边三角形 ， ， ， 将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ，， ， 是等边三角形 ， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当，，，四点共线时，取得最小值，最小值为线段的长 ， 四边形是菱形， ，， ， 在中，， ， 三段管道总长的最小值为米． 39．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】如图，过点P作于点M，证明四边形是矩形，，得到，证明，得到，求出，将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接，证明，得到，然后由得到当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点P作于点M， ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵E是的中点 ∴ 将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为． 40．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）在正方形中，点、分别在边、上，，，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设，建立平面直角坐标系表示出各点坐标，将转化为x轴上动点到两个定点的距离和，利用将军饮马模型，结合勾股定理求解最小值. 【详解】解：以点A为原点，以所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系如下： 则，，，， ∵点在上，点在上，设，则，， ∴， ， ∴， ∴， 该式表示x轴上动点到定点和定点的距离和，作关于x轴的对称点，则，由两点之间线段最短得， 根据勾股定理，得 ， 故的最小值为； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与特殊平行四边形有关的最值类问题 类型1 与平行四边形有关的最值类问题 类型2 与菱形有关的最值类问题 类型3 与矩形有关的最值类问题 类型4 与正方形有关的最值类问题 （一） 将军饮马问题 【问题背景】 将军饮马问题 希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从 地出发到河边饮马，然后再到 地军营视察，显然有许多走法.问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题. 一、同侧线段和最小值问题 模型解读 图形 结论 两定点 , 位于直线 同侧，在直线 上找一点 ，使得 值最小 此时 值最小，即为 二、异侧线段差最大值问题 模型解读 图形 结论 两定点 , 位于直线 异侧，在直线 上找一点 ，使得 的值最大 此时 值最大，即为 三、周长最小值问题 模型解读 图形 结论 点 是 的内部一定点，在 上找一点 ，在 上找一点 ，使得 周长最小 此时 周长最小，即为 四、线段和最小值问题 模型解读 图形 结论 在 上找一点 ，在 上找一点 ，使 值最小 此时 值最小，即为 五、四边形周长最小值问题 模型解读 图形 结论 点 ， 是 内部两定点，在 上找点 ，在 上找点 ，使得四边形 的周长最小 此时四边形 周长最小. 为定值，即求得 的最小值即可 （二） 造桥选址问题 【问题背景】 题目：（人教版《数学》七年级下册5.4习题拓广探索）如图, 和 两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥 ,桥造在何处才能使从 到 的路径 最短? （假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直） 【模型分析】 模型解读 图形 结论 已知 ， ， 之间距离为 ，在 , 上分别找 ， 两点，使得 ，且 的值最小 此时 ，且 的值最小，即为 （三） 胡不归问题 形如 的形式 【问题背景】 胡不归问题 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 （如图所示），而忽视了走折线虽然路程远但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气， 小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归? 何以归”.这个古老的传说，引起了人们对沙砾地带的思索，小伙子能否提前到家?倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢?这就是风靡千百年的“胡不归问题”. 【模型分析】 模型解读 图形 结论 形如 的形式 即为所求线段的最小值 类型1 与平行四边形有关的最值类问题 1.（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标是，点、分别在边、上，连接、．点、分别是、的中点，连接，那么的最小值为________． 2.（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，在平行四边形纸片中，，E是线段的中点，点在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是____________． 3.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的高，点和点分别为高和边上的动点，且．连接、，若，，，则的最小值为________．（结果保留根号） 4.（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，，，点、分别在、上，且．则的最大值________． 类型2 与菱形有关的最值类问题 6．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，菱形的顶点，，，均在坐标轴上，，点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是________． 7.（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如图，在菱形中，，点到点的距离是2，连接，取的中点，连接，点在运动的过程中，的最小值为__________． 8.（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ____ ． 9.（2026·河南平顶山·三模）如图，在边长为的菱形中，，将沿射线向右平移得到，连接，，则周长的最小值为_________． 10.（25-26八年级下·辽宁营口·期末）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则面积的最小值为________． 11.（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在边长为的菱形中，，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为________． 12．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，菱形的面积为，，点在边上，连结，点是直线上的动点，连结，分别取、的中点、，连结，则的最小值是__________． 13．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在菱形中，，，，为对角线上两动点，且满足，连接，，则的最小值为________． 14.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在菱形中，，P是菱形内部一点，且满足，若，则的最小值为______． 15．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为________． 类型3 与矩形有关的最值类问题 16．（25-26八年级下·安徽池州·期末）如图，在矩形中，，，为的中点，为上的动点且，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 17.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，，E是上一点，，P是上一动点，连接，取的中点 F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是（     ） A．4 B． C．5 D．6 18.（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，矩形中，与交于点，分别在和上取点、，使得，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 19.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，，，，，，分别是，，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 20.（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，等边三角形的顶点E在边上，点B，F在的两侧，连接，则的最小值是______． 21．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别在边，上，，连接，，则的最小值是_____． 22.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连结交矩形的对角线于点，且，将矩形沿所在直线折叠，点，的对应点分别是点，，点是的中点，连结，则长的最大值为_________． 23．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 24.（25-26八年级下·新疆克孜勒苏·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 25.（24-25九年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为_________． 26.（2026·江苏连云港·二模）如图，在矩形中，，，，分别是，上的动点，且，则的最小值是________． 27.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 28．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，矩形中，为的中点，点、为上两个动点，连接、，若，当______时，四边形的周长最小． 29．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在一个长方形公园中，，，凉亭在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点在点左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时长为________m． 30．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知矩形，，，点M为矩形内一点，点E为边上任意一点，则的最小值为______． 类型4 与正方形有关的最值类问题 31.（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 32．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 33．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，正方形的边长为8，为等腰直角三角形，，，连接，，点H为的中点，连接，则的最小值为_________． 34．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，G是的中点，线段（点E在点F的左边）在上运动，连接，，若，则的最小值是__． 35．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）已知正方形，点是中点，点是直线上的一个动点，若的最小值是，则正方形的边长为________． 36．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在教学过程中，王老师为了让学生更加直观地体验四边形不具有稳定性，将四根长度为的木条用钉子钉成一个正方形框架，向右拉动框架得到四边形．当点D与点的距离最小时，四边形的面积为______． 37．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，正方形纸片的边长为5，点E在边上，点F在边上，将正方形纸片沿对折，点B的对应点是点G，连接，若，则长的最小值是___________． 38．（25-26八年级下·北京房山·期末）某学校有一块边长为20米的菱形草坪，其中．计划在草坪内部安装一处景观喷泉，要从草坪，，三个顶点处向喷泉铺设引水管道，则三段管道总长的最小值为__________米． 39．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 40．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）在正方形中，点、分别在边、上，，，连接、，则的最小值为______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $