1.4正方形的性质与判定分层卷2026～2027 学年北师大版数学九年级上册

1.4正方形的性质与判定分层卷2026~2027学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.4正方形的性质与判定 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.「杜岭方鼎」是商代早期的青铜重器，其俯视图的外轮廓可以近似看作正方形ABCD,如图，对角 线AC,BD相交于点O,则下列说法不正确的是() A.AB=BC B.AD=AO C.AC⊥BD D.∠BAC=45 2.如图，正方形ABCD的对角线长为10，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，顺次 连接E,F,G,H,则四边形FGH的周长为() A.10 B.15 C.20 D.30 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点B的坐标为(4,0) ,则顶点C的坐标为() 2 B -2 A.(2,2 B.(2,-2) C.（-2,2 D.(4,0) 4.正方形是轴对称图形，它的对称轴共有() A.1条 B.2条 C.4条 D.6条 5.如图，E为正方形ABCD内一点，△BCE是等边三角形，连接DE,则∠CDE的度数为( ) 0 E A.60 B.65 C.70 D.75 6.如图，在正方形ABCD中，延长BC至点E,使CE=CA,连接AE交CD于点F,则 ∠AFC的度数为() A.112.5° B.105 C.120 D.135 7.如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD相交于点O,OE交AB于点E,OF交BC 于点F,且OE⊥OF,则四边形EBFO的面积为() D A.1 B.2 C.2 8.如图，正方形ABCD的边长为4，E,F是对角线AC上的两点，四边形BEDF是边长为3的菱 形，则菱形BEDF的面积为() A.2V2 B.6 C.8 D.4V2 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90,D,E分别为BC,AB的中点，连接DE并延长至点F, 使DF=DE,连接BE,EC,CF,B。要使四边形BECF是正方形，△ABC还需添加的条件是 () D A.AB=2AC B.BC-AB C.∠A=45 D.∠B=60 10.如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，连接DE,作点C关于直线DE的对称点 F,点F恰好落在对角线BD上，连接EF,则△BEF的周长为() A.2V2 B.4 C.2V2+2 D.2V3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请把答案填在题中的横线上) 11.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,H为CD的中点，连接OH。若正方形 ABCD的周长为16，则OH的长为一· A 12.在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O。从①AC⊥BD;②AC=BD;③ ∠ADC=90中选取两个作为条件，能使平行四边形ABCD成为正方形的是（填序号）. 13.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作CEBD,过点D作 DE‖AC,CE与DE交于点E。若AC=2,则点E到AB的距离为一 D 14.如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，∠EAF=45。若BE=2, DF=3,则EF的长为 15.在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,0),B(3,1),C(2,4), D(-1,3),则四边形ABCD的面积为一· 16.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在 点F处，连接CF,则CF的长为一 A 三、解答题（本大题共8小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(6分)如图，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在边BC,CD上，∠BAE=∠DAF, 连接AE,AF. D E B 求证：CE=CF 18.(6分)如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且BE=CF,连接 AE,BF交于点G. F D (1)求证：AE=BF: (2)求证：AE⊥BF 19.(6分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OB,OD上，且 BE=DF,连接AE,EC,CF,FA. A (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)若OE=OA,求证：四边形AECF是正方形. 20.(6分)如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，连接EF,过点D作 DM⊥EF于点M. E 0 B 求证：∠CDM=∠BFE. 21.(6分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为OC的中点，连接 BE并延长，与过点C且平行于BD的直线交于点F,连接CF, A D E C (1)求证：△FCE≌△BOE: (2)当AD=CD,∠ADC=90时，判断四边形OCFD的形状，并说明理由. 22.(6分)如图，在矩形ABCD中，M,N分别为AD,BC的中点，P,Q分别为BM,DN的中 点，连接PN,QM. M D Q B N (I)求证：BMDN: (2)求证：四边形MPNQ是菱形： (3)当AD=2AB时，判断四边形MPNQ的形状，并说明理由， 23.(8分)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，以AE为边在AE的右侧作正方形 AEFG,连接DG. G E C E 图1 图2 (1)求证：∠ADG=90; (2)如图2，连接AF交CD于点H,连接EH,求证：EH=BE+DH. 24.(8分)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为BC延长线上一点，连接 DE,F为DE的中点，连接CF,OF。若CE=7,△CEF的周长为32. A 0 B (1)求正方形ABCD的边长： (2)求OF的长. 1.4正方形的性质与判定分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.4 正方形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．「杜岭方鼎」是商代早期的青铜重器，其俯视图的外轮廓可以近似看作正方形 ABCD，如图，对角线 AC，BD 相交于点 O，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 正方形的四条边相等，，选项 A 正确； 正方形的对角线相等且互相垂直平分，，选项 C 正确； 对角线平分内角，，选项 D 正确； 设边长为 ，则 ，，选项 B 不正确．选 B． 【解题提示】正方形对角线的一半等于边长的 倍，与边长并不相等，这是最常见的易错点． 2．如图，正方形 ABCD 的对角线长为 ，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连接 E，F，G，H，则四边形 EFGH 的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 E，F 分别为 AB，BC 的中点，所以 EF 是的中位线，； 同理 ； 所以四边形 EFGH 的周长为 ．选 C． 【解题提示】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，周长等于原四边形两条对角线之和． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 B 的坐标为 ，则顶点 C 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 正方形 OABC 中，OB 是一条对角线，A，C 关于直线 OB（即 x 轴）对称； OB 的中点为 ， 且 ，所以点 A 在 OB 的垂直平分线上，； 故点 C 与点 A 关于 x 轴对称，．选 B． 【解题提示】对角线 OB 在 x 轴上的正方形，另外两顶点关于 x 轴对称，横坐标取中点，纵坐标互为相反数． 4．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（　　） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】 C 【解析】 两条对角线所在的直线都是正方形的对称轴； 两组对边中点连线所在的直线也是正方形的对称轴； 共 条．选 C． 【解题提示】正方形的对称轴：两条对角线所在直线加两组对边中点连线，共 4 条，不要只数对角线． 5．如图，E 为正方形 ABCD 内一点， 是等边三角形，连接 DE，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 等边三角形中 ，正方形中 ，所以 ， 是等腰三角形； ； 所以 ．选 D． 【解题提示】正方形内接等边三角形模型： 得等腰，顶角为 ． 6．如图，在正方形 ABCD 中，延长 BC 至点 E，使 ，连接 AE 交 CD 于点 F，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 正方形对角线平分内角，，所以 ； 由 ，得 ； 正方形中 ，即 ； 是的外角，．选 A． 【解题提示】等腰三角形顶角 给出底角 ，再用外角定理一步合成． 7．如图，正方形 ABCD 的边长为 ，对角线 AC，BD 相交于点 O，OE 交 AB 于点 E，OF 交 BC 于点 F，且 ，则四边形 EBFO 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 正方形对角线互相垂直平分且相等，，，； 由 得 ，所以 （同角的余角相等）； 故 ，； 四边形 EBFO 的面积等于 的面积，即正方形面积的四分之一：．选 A． 【解题提示】中心旋转全等模型：过正方形中心的两条互相垂直的直线，把角上的四边形面积转化为正方形面积的四分之一． 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 ，E，F 是对角线 AC 上的两点，四边形 BEDF 是边长为 的菱形，则菱形 BEDF 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 正方形边长为 ，对角线 ； 菱形对角线互相垂直平分，设 AC 与 BD 交于点 O，则 ； 在 Rt 中，，，所以 ； 菱形面积 ．选 D． 【解题提示】菱形面积用对角线乘积的一半；半条对角线与边长构成直角三角形，用勾股定理求另一半． 9．如图，在中，，D，E 分别为 BC，AB 的中点，连接 DE 并延长至点 F，使 ，连接 BE，EC，CF，FB。要使四边形 BECF 是正方形， 还需添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 D 是 BC 的中点，且 ，所以四边形 BECF 的对角线互相平分，是平行四边形； DE 是的中位线，，又 ，所以 ，平行四边形 BECF 是菱形； 要成为正方形，还需 ；而 （中位线性质），故需 ，即 为等腰直角三角形，．选 C． 【解题提示】对角线互相平分定平行四边形，垂直升级菱形，相等升级正方形；把 翻译成 是关键． 10．如图，正方形 ABCD 的边长为 ，E 为 BC 上一点，连接 DE，作点 C 关于直线 DE 的对称点 F，点 F 恰好落在对角线 BD 上，连接 EF，则 的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由对称知 ，； 正方形边长为 ，对角线 ，所以 ； 的周长 ．选 A． 【解题提示】对称带来两组等线段，把折线 拉直成边 BC，周立刻简化． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，H 为 CD 的中点，连接 OH。若正方形 ABCD 的周长为 ，则 OH 的长为______． 【答案】 【解析】 正方形周长为 ，所以边长 ； O 为 BD 的中点，H 为 CD 的中点，所以 OH 是的中位线； 故 ． 【解题提示】对角线交点即中点，中点配中点必出中位线． 12．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O。从 ①；②；③ 中选取两个作为条件，能使平行四边形 ABCD 成为正方形的是______（填序号）． 【答案】 ①②（或①③） 【解析】 条件①使平行四边形成为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； 条件②、③分别使平行四边形成为矩形（对角线相等、有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 既是菱形又是矩形的平行四边形是正方形，故应选 ①② 或 ①③． 【解题提示】正方形 = 菱形 + 矩形；三个条件中①管「菱形」，②③管「矩形」，各取其一搭配． 13．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 C 作 ，过点 D 作 ，CE 与 DE 交于点 E。若 ，则点 E 到 AB 的距离为______． 【答案】 【解析】 ，，所以四边形 OCED 是平行四边形； 正方形对角线 且 ，所以平行四边形 OCED 是正方形； ，故正方形 ABCD 的边长 ，； OE 是正方形 OCED 的对角线，； 由 及 OCED 为正方形知 ，又 ，故 ； 点 O 到 AB 的距离为 ，所以点 E 到 AB 的距离为 ． 【解题提示】先证 OCED 是正方形，再把「点到直线的距离」拆成 OE 与中心到边的距离两段相加． 14．如图，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 上一点，。若 ，，则 EF 的长为______． 【答案】 【解析】 将 绕点 A 顺时针旋转 ，AD 与 AB 重合，点 F 落在 CB 延长线上的点 F′ 处； 则 ，，； ； 又 AE 公共，所以 ； 故 ． 【解题提示】正方形半角模型：旋转 把 DF 搬到 BC 延长线上，结论 ． 15．在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 ，，，，则四边形 ABCD 的面积为______． 【答案】 【解析】 由两点间距离公式，，同理 ，所以四边形 ABCD 是菱形； ； 因为 ，由勾股定理的逆定理得 ，所以菱形 ABCD 是正方形； 面积 ． 【解题提示】坐标给出四边相等先判菱形，再算一条对角线用勾股逆定理证直角即得正方形． 16．如图，正方形 ABCD 的边长为 ，E 为 BC 的中点，将 沿直线 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 CF，则 CF 的长为______． 【答案】 【解析】 连接 BF 交 AE 于点 G，由折叠知 AE 垂直平分 BF； 在 Rt 中，，，； 由面积法，，所以 ； 由折叠知 ， 为等腰三角形；取 BF 的中点 M，则 ，，； ； 过 F 作 于 H，由 得 ； 在 Rt 中，，故 ； 所以 ． 【解题提示】折叠先连对应点得垂直平分；等腰三角形里两次用面积桥（、），最后在 Rt 中勾股收束． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，，连接 AE，AF． 求证：． 【答案】 见解析 【解析】 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ，，； 又 ，所以 ； 故 ； 所以 ，即 ． 【解题提示】正方形提供等边与直角，ASA 证全等后等量减等量． 18．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，且 ，连接 AE，BF 交于点 G． (1) 求证：； (2) 求证：． 【答案】 见解析 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ，； 又 ，所以 ，故 ； (2) 由 (1) 得 ； 因为 ，所以 ； 在 中，，即 ． 【解题提示】正方形「十字模型」：等边直角加 出全等，旋转 的位置关系使两线必垂直． 19．（6 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别在 OB，OD 上，且 ，连接 AE，EC，CF，FA． (1) 求证：四边形 AECF 是菱形； (2) 若 ，求证：四边形 AECF 是正方形． 【答案】 见解析 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ，，； 由 得 ，即 ； 又 ，所以四边形 AECF 是平行四边形； 而 ，所以平行四边形 AECF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； (2) 因为 ，，，所以 ； 对角线相等的菱形是正方形，所以菱形 AECF 是正方形． 【解题提示】菱形的垂直平分性搬到小四边形上；第 (2) 问把 翻译成对角线 ． 20．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，F 为 BC 上一点，连接 EF，过点 D 作 于点 M． 求证：． 【答案】 见解析 【解析】 过点 D 作 ，交 BC 的延长线于点 N； 因为 ，即 ，又 ，所以四边形 EFND 是平行四边形； 因为 ，，所以 ，，故 ； 正方形中 ，所以 ，在 Rt 中 ； 所以 （同角的余角相等）； 由 ，得 （两直线平行，同位角相等）； 故 ． 【解题提示】两组边分别垂直（或平行）的角相等：作平行线把目标角搬到同一直角三角形中，用互余过渡． 21．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 OC 的中点，连接 BE 并延长，与过点 C 且平行于 BD 的直线交于点 F，连接 CF． (1) 求证：； (2) 当 ， 时，判断四边形 OCFD 的形状，并说明理由． 【答案】 (2) 四边形 OCFD 是正方形 【解析】 (1) 因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）； 又 （对顶角相等），且 E 为 OC 的中点，； 所以 ； (2) 四边形 OCFD 是正方形．理由如下： 由 (1) 得 ，又 ，而平行四边形对角线互相平分，，所以 且 ，故四边形 OCFD 是平行四边形； 当 且 时，平行四边形 ABCD 是正方形，所以 且 ； 于是平行四边形 OCFD 的邻边相等且有一个角是直角，所以四边形 OCFD 是正方形． 【解题提示】第 (2) 问走「平行四边形→菱形→正方形」的升级链，外层的条件恰好给出内层所需的等边与直角． 22．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，M，N 分别为 AD，BC 的中点，P，Q 分别为 BM，DN 的中点，连接 PN，QM． (1) 求证：； (2) 求证：四边形 MPNQ 是菱形； (3) 当 时，判断四边形 MPNQ 的形状，并说明理由． 【答案】 (3) 四边形 MPNQ 是正方形 【解析】 (1) 矩形中 ，；M，N 分别为 AD，BC 的中点，所以 ，且 ； 所以四边形 BMDN 是平行四边形，故 ； (2) 由 (1) 知 ；P，Q 分别为 BM，DN 的中点，所以 ，且 ，故四边形 MPNQ 是平行四边形； 矩形中 ，，所以 ； 在 Rt 中，P 为斜边 BM 的中点，所以 ； 邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形 MPNQ 是菱形； (3) 四边形 MPNQ 是正方形．理由如下： 取 BD 的中点 K，连接 PK，QK；则 PK 是 的中位线， 且 ；同理 ，； 由 且 知 P，K，Q 共线，； 当 时，； 菱形 MPNQ 的两条对角线相等，所以四边形 MPNQ 是正方形． 【解题提示】斜边中线制造邻边相等是证菱形的关键；第 (3) 问比较两条对角线 与 即可． 23．（8 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，以 AE 为边在 AE 的右侧作正方形 AEFG，连接 DG． (1) 求证：； (2) 如图 2，连接 AF 交 CD 于点 H，连接 EH，求证：． 【答案】 见解析 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD、四边形 AEFG 都是正方形，所以 ，，； 故 ； 所以 ； 故 ； (2) 因为 AF 是正方形 AEFG 的对角线，所以 ； 又 ，AH 公共，所以 ，故 ； 由 (1) 知 ，所以 G，D，C 在同一直线上，； 由 (1) 中全等知 ； 所以 ． 【解题提示】手拉手模型：两个正方形共顶点必出一对旋转全等；第 (2) 问借对角线的 再全等一次，把 EH 翻到 GH 后拆成两段． 24．（8 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 BC 延长线上一点，连接 DE，F 为 DE 的中点，连接 CF，OF。若 ， 的周长为 ． (1) 求正方形 ABCD 的边长； (2) 求 OF 的长． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 正方形中 ，所以 ； 在 Rt 中，F 为斜边 DE 的中点，所以 ； 的周长 ，又 ，所以 ； 由勾股定理，，即正方形 ABCD 的边长为 ； (2) 正方形对角线互相平分，O 为 BD 的中点；又 F 为 DE 的中点， 所以 OF 是 的中位线； ，故 ． 【解题提示】斜边中线把 的周长转化为 ；第 (2) 问中位线一步到位，切勿再用勾股硬算． 学科网（北京）股份有限公司 $