1.4 正方形的性质与判定&问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

答案详解详 高效同步练习1认识特殊的平行四边形 1.D2.C3.D4.D 5.5【解析】AB=3,BC=4,∠ABC=90°，.AC=√AB2+BC2 =5 6.C7.C 8.证明：.·四边形ABCD为菱形，·.AB=AD,∠B=∠D。.·∠AEC =∠AFC,·.∠AEB=LAFD,在△ABE和△ADF中， (∠AEB=∠AFD ∠B=∠D ,.△ABE≌△ADF(AAS),.BE=DF。 AB=AD 高效同步练习2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 1 B 2.A【解析】.菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6,8，. A0=2AC=3,B0=2BD=4,AC L BD。在Rt△AB0中，A0= 3,B0=4,由勾股定理得AB=5。故选A。 变式】12 3.B 4.B【解析】.·四边形ABCD是菱形，∠ADC=130°，∴.AB∥CD, ∴.∠BAO= 7∠BAD,∠ADC+∠BAD=180°，∠BAD=50°， ∠BAO= 2×50°=25°。0E1AB,.∠AE0=90°，.∠A0E= 90°-∠BA0=65°。故选B。 5.B 6.12 【归纳总结】过对角线交点的直线将菱形分割成面积相等的 两部分。 7.C8.D 9.C【解析】作，点M关于AC的对称，点M',连接M'N交AC于 P,此时MP+NP有最小值，为M'N。:M是AB边上的中点 PM=PM',M'是AD的中点。又.N是BC边上的中，点，四边形 ABCD是菱形，∴.AM'∥BN,AM”=BN,即四边形AM'NB是平行 四边形，.M'N=AB,.PM+PN=PM'+PN=M'N=AB=1。故 选C 10.解：（I).四边形ABCD是菱形，AB=20m,∴.AC⊥BD,A0= C0,B0=D0,LABD=7LABC=30°，.A0=号AB=10m,B0 =√AB-A02=10W3m,∴.AC=2A0=20m,BD=2B0=20W3m; （Ⅱ)菱形花坛ABCD的面积=2 ACxBD= 21 20×20W3= 200w3(m2)。 第2课时菱形的判定 1.D 2.四边相等的四边形是菱形， 3.证明：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD,∠DAB= ∠DCB,AC平分∠DAB,CA平分∠DCB,∴.∠DAC=∠BAC= 2∠DMB,∠DCA=LACB=了LDcB,∠DAC=∠BMC ∠DCA=∠ACB。,·AE=CF,·.△DAE≌△BAE≌△BCF≌ △DCF(SAS),∴.DE=BE=BF=DF,∴.四边形DEBF是菱形。 4.2165.C 6C【解析】：DE∥AC,DF∥AB,四边形AEDF为平行四边 形，∠EAD=∠FDA。·.AD平分∠BAC,.∠EAD=∠FAD= ∠FDA,.FA=FD,.平行四边形AEDF为菱形。AF=8, =4AF=32。故选C 菱形AEDF 7.(1)证明：点D是AC的中点，∴.AD=DC。,AF∥BC, ∠FAD=∠ECD,∠AFD=∠CED,∴.△AFD≌△CED(AAS),· AF=EC,∴.四边形AECF是平行四边形，又，：DE⊥AC,即EFI AC,:四边形AECF是菱形。 (2)解：过点A作AG⊥BC于点G,由(1)知四边形AECF是菱 形，.AE=CE=AF=CF=2,AF∥EC,∠FAC=30°，∠FAE= 2LFAC=60°，LAEB=LFAE=60°。AG⊥BC,.∠AGB= ∠AGE=90°，∠GAE=30°，.GE=7AE=1,AG=VAE-CE √3。∠B=45°，∴.△ABG是等腰直角三角形，∴.BG=AG= 同步练习，精炼高效抓考 行·易错剖析 √3，.BC=√3+1+2=√3+3，AB=√6，.四边形ABCF的周长= AB+BC+CF+AF=√6+√3+7。 高效同步练习3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.B2.90°3.B4.D【变式】D5.D 6.4cm2或12cm2【解析】如图所示，矩形ABCD ED 中BE平分∠ABC交AD于E点。：AB=CD AD=BC,AD∥BC,.∠AEB=∠CBE。.·BE平 分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE,∴.∠AEB= ∠ABE,∴.AB=AE。①当AE=1cm时，AB=CD =1cm,AD=BC=4cm,S矩形Aen=1×4=4(cm2)。②当AE=3cm 时，4B=CD=3cm,AD三BC=4cm,此时Secw=3×4=12 (cm2)。故矩形ABCD的面积为4cm2或12cm。 7.C8.A 9.证明：(1)四边形ABCD是矩形，CD∥AB,∠0CF= ∠OAE。LCOF=∠AOE,OC=OA,.△COF≌△AOE (ASA),∴.AE=CF: (2)连接OB。EF⊥AC,∴.△AOE是直角三角形，∴.OG=AG =GE,LBMC=∠A0G=30°，0E=2AB=AG=GE,∠AB0= ∠BAC=30°，.∴.∠A0B=180°-30°-30°=120°，.∴.∠B0E= LA0B-90°=30°，.△0EB是等腰三角形，.0E=EB,0G= AG=GE=EB=0B,0G=AB=DC,即DC=30G。 第2课时矩形的判定 1.∠B=90°（答案不唯一）2.合理3.D4.B 5.对角线相等的平行四边形是矩形 6.D【解析】连接AD。,∠BAC=90°，且BA=6,AC=8,∴.BC= √JAB2+AC2=10。.DM⊥AB,DN⊥AC,∴.∠AMD=∠AND= 90°，∴.四边形AMDN为矩形，∴.AD=MW,∴.当AD最小时，MW 最小。当AD⊥BC时，AD最小，此时S△MBc=2×6X8= 2×10x AD,.AD=4.8。故选D。 7.①④ 8.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,DC=AB .FC=AE,∴，DC-FC=AB-AE,即DF=BE,∴.四边形DEBF是 平行四边形 又DE⊥AB,.∠DEB=90°，∴.平行四边形 DEBF是矩形 (2)解：AF平分∠DAB,∠DAF=∠BAF。DC∥AB, ∠DFA=∠BAF,∴.∠DFA=∠DAF,∴.AD=DF=10。在Rt △AED中，由勾股定理，得DE=√AD-AE2=8,由(1)得四边 形DEBF是矩形，∴.BF=DE=8。 高效同步练习4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.D 2.A【解析】.四边形ABCD为正方形，.AB=AD,∠BAD=90° ·△ABE是等边三角形，∴.AB=AE,∠BAE=∠AEB=60°，.AD =AE,∠DAE=∠BAD+∠BAE=150°，∴.∠ADE=∠AED=15°。 故选A。 【变式】135 3.C4.22.5°5.B 6.A【解析】取BE的中，点H,连接MH。四边形ABCD是正方 形，∴.AB=BC,AB⊥BC。,点M是FE的中点，点H是BE的 中点，EH=2BE,MH=2BF,MH/BF,MH LBC。BF= 2,..MH= BF=1AF=CE,..AB=AF+2=CE+2,..BE= BC+CE=AB+CE=2CE+2,..EH=BE=CE+1,.CH=EH-CE =1,∴.CM=√MH+C=√2。故选A。 7.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∠D=∠B=90°，AD= AB=BC=CD。又，·E,F分别为DC,BC的中点，∴DE=BF,在 (AD=AB △ADE和△ABF中，∠D=∠B,∴.△ADE≌△ABF(SAS); (DE=BF (2)解：.四边形ABCD为正方形，边长为4，E,F分别为DC, BC的中点，.∴.∠B=∠D=∠C=90°，AD=AB=BC=CD=4,DE= CE=BF=CF=2。.S△ABr=SE方形BCD-S AADE-SAABF-SAEFC=4X4 BS九年级数学上册 69 24x2、 24x21 ×2x2=6。 第2课时正方形的判定 1.D2.D3.①②4.B5.C6.D 7.(1)证明：AB=AC,AD⊥BC,.AD平分∠BAC,∠ADC=90° ∴.∠BAD=∠CAD= 2LBMC。:∠CMN=2LCAM,:∠DAE =∠CAN+∠DAC= 2∠CAM 2∠BAC= 2×180°=90°。CE ⊥AN,.∠AEC=90°，.∠AEC=∠ADC=∠DAE=90°，∴.四边 形ADCE为矩形 (2)解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正 方形。理由如下：由(1)知四边形ADCE为矩形。∠BAC 90°，∴.∠BAD=∠CAD=45°，∴.∠ACD=45°，∴.AD=DC,∴.四 边形ADCE为正方形。 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.解：(1)1 (2)证明：.·矩形ABCD,ANCM为两个大小一样的矩形纸片 ..AD∥BC,AN∥CM,AM=CD,∠M=∠D=90°，..四边形AFCE I∠AEM=∠CED 是平行四边形，在△AME和△CDE中， ∠M=∠D LAM=CD △AME兰△CDE(AAS),AE=CE,∴.四边形AECF是菱形； (3)如图3，四边形AECF即为所求： (4)方法一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6,BC=18,.S矩形CD =6×18=108,由(1)可知，S菱形Gp=2S矩形BcD=54; 方法二：如图2，设菱形AECF边长为x,即AF=CF=x,·AB= 6,BC=18,∴.BF=18-x,在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+ BF=AF2,62+(18-x)2=x2,解得x=10,.S菱形Cr=CF·AB =60. 方法三：如图3，由方法二可知，同理可得菱形AECF的边长为 10,.S菱形Bcr=60。:54<60,.此矩形的内接菱形的面积最大 值为60。 图1 图2 图3 追梦第一章章末复习特殊平行四边形 1.B2.B3.A4.C5.B 6.C【解析】.·四边形ABCD是正方形，∴.AD=AB,∠B=∠ADC ∠DAF=90°，∠BAC=45°。'BE=AF,.△ABE≌△DAF (SAS),∴.∠ADF=∠BAE。.'AE平分∠BAC,∴.∠BAE= 22.5,.LADF=22.5°，.∠CDF=LADC-∠ADF=67.5。 故选C 7.A【解析】设PQ交MN于点F,连接AF、CF、AC。.四边形 ABCD是矩形，PQBC,MW∥AB,可证得四边形APFM、四边形 CQFN是矩形，.PM=AF,NQ=CF,∴.PM+NQ=AF+CF。.'FA +FC≥AC,AC=√32+4=5，.AF+FC的最小值为5，.PM+ NO的最小值为5。故选A。 8.∠ABC=90°（答案不唯一）9.10 10.(2+√3,1)【解析】过点D作DG⊥x轴于点G,DM⊥BC于 点M,易证四边形MCGD为矩形，.MC=DG。四边形 BDCE是菱形，∴.BD=CD。BC=2,∠D=60°，∴.△BCD是 等边三角形，CM=DG=1,CD=2。∠DCC=90°，CG= √22-12=√5，.D(2+3,1) 11.(1)解：：∠A=60°，AG=EG,△AGE是等边三角形， ∠AGE=60°.·.∠EGB=120°： (2)证明：由(1)知，∠EGB=120°。.·四边形ABCD为菱形， AB∥CD,AB=AD,.∠A+∠D=180°。：∠A=60°， ∠D= 120° 角形∠DEF+∠DFE=60°，LD=人BGB。△AGE是等边 ,.AE=AG,∠AEG=60°，.DE=GB。,∠BEF=60 ∴.∠DEF+∠GEB=6O°，∴.∠DFE=∠GEB,∴.△DFE≌△GEB （AAS),∴.EF=BE。 70 同步练习，精炼高效抓考 12.解：(1)四边形ABCD是菱形，∴.ADBC,AD=BC=CD=AB CF=BE,∴.CF+EC=BE+EC,∴.EF=BC,∴.EF=AD。.AD∥ BC,.四边形AEFD是平行四边形。AE⊥BC,.LAEF= 90°。∴.平行四边形AEFD是矩形； (2)'BC=CD,BF=16,∴.CF=16-CD。.·四边形AEFD是矩 形，∠F=90°。.DF=8,在Rt△CFD中，CD=√DF2+CF =√82+(16-CD)2,解得CD=10。 13.(1)DE=CF (2)证明：.·四边形ABCD是正方形，∴.AD=DC,AD∥BC ∠ADE=∠DCF=90°。：AE=DF,.Rt△ADE≌RL△DCF (HL) :DE=CF,又：CH=DE,.CF=CH。点H在BC的 延长线上，.LDCH=∠DCF=90°。在△DCF和△DCH中， (CF=CH ∠DCF=∠DCH,∴.△DCF≌△DCH(SAS),∴.∠DHC= DC=DC ∠DFC。AD∥BC, ∴.∠ADF=∠DFC,∴.∠ADF=∠DHC; (3)解：延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG。·四边形 ABCD是菱形，.AD=DC,AD∥BC,.LADE=∠DCG。在 (AD=DC △ADE和△DCG中， ∠ADE=∠DCG,∴.△ADE≌△DCG DE=CG (SAS),.∠DGC=∠AED=60°，DG=AE。.'DF=AE,∴.DG= DF,∴.△DFG是等边三角形，∴.FG=CF+CG=DF=11,∴.CF= FG-CG=11-8=3. 高效同步练习1认识一元二次方程 1.D 【知识点拨】一元二次方程需要满足的三个条件：1.是整式方 程；2.整理后的方程只含有一个未知数；3.整理后的方程未知 数的最高次数是2。 2.A【解析】2x2=x+3化为一般形式为2x2-x-3=0,二次项系 数、一 次项系数、常数项分别是：2，-1，-3。故选A。 3.B4.C5.A6.B 7.1【解析】，·关于x的方程(m+1)xm1+1+x-3=0是一元二次 ∫m+1≠0 方程，{ml+12解得m=1。 8.解：将x=1代人方程ax2+bx+c=0,得：a+b+c=0;又，b= √a-2+√2-a-1,a-2≥0,2-a≥0，∴.a=2,b=-1,则c= 9解：行建美愁方器次方程为210， 1,c=-8,.∴.3a-2b+c=6 -(-2)+(-8)=0。故此方程为美妙方程 (2)将x=-1代入原方程，得a-2+c=0①，，·此方程为美妙方 方程，3a-4+c=0②，由①②解得{81这个美妙方程为 +2x+1=0 高效同步练习2求解一元二次方程 第1课时直接开平方法和配方法 1.C2.D 3.B【解析】原方程移项可得x2-12x=5,配方得：x2-12x+36=5 +36,即（x-6)2=41,∴.m=41。故选B。 4.解：(1)配方，得2-4+(2×4)2-(（2×4)2-3=0，即(x-2)2- 7=0。移项，得(x-2)2=7。两边开平方，得x-2=±√7，即x-2 =√7，或x-2=-√7。所以x1=2+√7，x2=2-√7； (2)配方，得-2x+(2×2)2-(2×2)2-5=0,即(x-1)2-6= 0。移项，得(x-1)2=6。两边开平方，得x-1=±√6，即x-1= √6，或x-1=-√6。所以x1=1+√6，x2=1-√6。 5.解：(1)② (2)配方，得x2-2x+1-1-9=0,即(x-1)2-10=0。移项，得(x 1)2=10。两边开平方，得x-1=±W10,即x-1=√10，或x-1 =-√/10。所以x1=1+√10，x2=1-√10。 6.解：(1)由题意，.a2-2a+b2-8b+17=0,.a2-2a+1+b2-8b+16 =0,.（a-1)2+(b-4)2=0,.a-1=0,b-4=0,.a=1,b=4; (2)由题意，a=1,b=4,.4-1<c<4+1,即3<c<5,c为偶 数，∴.c=4,∴.△ABC周长=a+b+c=1+4+4=9。 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.C2.D 3.-12【解析】小.2x-3=±√6，∴.（2x-3)2=6,∴.4x2-12x+9=6, ∴.4x2-12x+3=0,.4x+bx+a=0,∴.b=-12,a=3。 4.-10【解析】由题意得m-3m=5,.-2m2+6m=-2(m2-3m) =-2×5=-10。 解：(1)两边都除以3，得2+2x-4=0。配方，得x+2x+(〉 BS九年级数学上册高效同步练习4正 第1课时 正 第 知识点)正方形的性质 1.（3分)下列结论中，正确的有( ①正方形具有平行四边形的一切性质 ②正方形具有矩形的一切性质 ③正方形具有菱形的一切性质 ④正方形有两条对称轴 ⑤正方形有4条对称轴 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 2.（3分)如图，在正方形ABCD的外侧作等边 △ABE,则∠AED的大小为( A.15° B.35 C.45° D.55° B 第2题图 变式题图 变式(3分)如图，以正方形ABCD的边AB 为一边向内作等边△ABE,则∠BED的度数 为 3.生活情境·地理位置(3分)某天放学，三名同 学准备从学校回家。如图，点0为学校所在 的位置，三名同学的家在平面直角坐标系中 的位置如图所示，正方形OABC的顶点O,B 的坐标分别是(0,0)，(2,0)，则顶点C的坐 标是() A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1) 第3题图 第4题图 4.(3分)已知正方形ABCD的边长为1，连接 AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则 ∠ACE= 6 15分钟同步练习，精炼高效扔 方形的性质与判定 方形的性质 5.学科内融合(3分)如图，正方形OABC的两边 OA,OC分别在x轴，y轴上。点D(5,3)在边 AB上，以C为中心，把△CDB顺时针旋转 90°，则旋转后点D的对应点D'的坐 标是() A.(2,10) B.(-2,0) C.(2,10)或(-2,0)D.（10,2)或(2,0) A D B D 第5题图 第6题图 6.(3分)如图，正方形ABCD中，F为AB上一 点，E是BC延长线上一点，且AF=EC,连接 EF,DE,DF,M是FE的中点，连接MC,若BF =2,设EF与DC交于点N,与BD交于点G, 则MC的值为() A.√2 B.√3 C.1 D.23 7.(9分)如图，正方形ABCD的边长为4。E,F 分别为DC,BC的中点。 (1)求证：△ADE≌△ABF; (2)求△AEF的面积。 考点BS九年级数学上册 第2课时 知识点①正方形的判定 1.(3分)小琦在复习几种特殊四边形的关系时 整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件， 则下列条件添加错误的是( 矩形 A D(1) 平行 正方 四边形 形 (3) A 菱形 (4) A.（1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=AB C.(3)处可填DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D 2.(3分)如图所示，在△ABC中，∠ACB=90° BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于 点E,且BE=BF,添加一个条件，仍不能证明 四边形BECF为正方形的是( A.BC=AC B.CF⊥BF C.BD=DF D.AC=BF 添加条件 四边形 正方形 第2题图 第3题图 3.新考法(3分)如图，数学课上老师给出了以 下四个条件：a两组对边分别相等：b一组对 边平行且相等；c一组邻边相等；d一个角是直 角。有三位同学给出了不同的组合方式：① a,c,d;②b,c,d;③a,b,c。你认为能得到正方 形的是 。(填写你认为正确的序号) 知识点②中点四边形 4.（3分)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,点 E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则 四边形EFGH是( A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 15分钟同步练习，精炼高效专 E方形的判定 易错点混淆特殊平行四边形的判定与 5.新考法(3分)四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,假设有下列条件：①AB=AD; ②∠DAB=90°；③A0=C0,B0=D0;④四边形 ABCD为矩形；⑤四边形ABCD为菱形；⑥四 边形ABCD为正方形。则下列推理不成立 的是() A.①④→⑥ B.①③→⑤ C.①②→⑥ D.②③→④ 6.(3分)如图，点E,F,G,H分别为四边形AB CD的边AB,BC,CD,DA的中点，下列说法中 不正确的是( A.四边形EFGH一定是平行 四边形 B.若AC=BD,则四边形EF GH是菱形 C.若AC⊥BD,则四边形EFGH是矩形 D.若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH是 正方形 7.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, 垂足为D。AN是△ABC外角∠CAM的平分 线，CE⊥AN垂足为点E。 (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明。 /M E D 考点BS九年级数学上册 7 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.（10分)阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务。 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫作矩形的内接菱形。在实践活动课上，数学老师提出 来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”。实践小组成员经过思考 后，分别给了3种不同的方法。 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后 就是菱形EHGF(如图1)，则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形。 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形 AECF,则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形。（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF,与AD边交于点E,与BC 边交于点F,连接AF,CE,则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形。 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接 菱形。 图1 图2 图3 任务：(1)图1中菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为 (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形； (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程；（保留作图痕迹，不要求写作 法) (4)若在矩形ABCD中，AB=6,BC=18,请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱 形的面积最大值。 8 15分钟同步练习，精炼高效抓考点BS九年级数学上册