1.4正方形的性质与判定同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

1.4 正方形的性质与判定 同步训练 第1课时 正方形的性质 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点 正方形的性质 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 （ ） A. 四个角都为直角 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2. 如图1-4-1，正方形ABCD中，AB=1，则AC的长是 （ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 如图1-4-2，在正方形ABCD中，在BA延长线上取一点E，使BE=BD，连接DE，则∠EDA的度数为 （ ） A. 10° B. 15° C. 30° D. 22.5° 4. 如图1-4-3，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为 （ ） A. 10° B. 12.5° C. 15° D. 20° 5. 若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是 （ ） A. 8 B. 4 C. 8 D. 16 6. 如图1-4-4，在正方形ABCD中，延长BC到点E，使CE=AC，连接AE交CD于点F，则∠AFC的度数为 （ ） A. 112.5° B. 120° C. 125° D. 135° 7. 如图1-4-5，在正方形ABCD中，F为对角线AC上一点，连接BF，DF．如果∠DFB=140°，那么∠ADF=________°． 8. 如图1-4-6，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F．若AD=4，则EF的长为________． 9. 如图1-4-7，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠BAE=∠DAF．求证：CE=CF． 10. 如图1-4-8，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）求∠AED的度数． 11. 如图1-4-9，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在边CD，BC上，且CE=BF，连接OE，OF． （1）求证：OE=OF； （2）若正方形ABCD的边长为2，求四边形OECF的面积． B 规律方法综合练 训练思维 12. 如图1-4-10，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠AED=∠FBC，其中正确的结论有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 如图1-4-11，在正方形ABCD中，CD=4，E，F分别是边CD，BC上的动点，且DE=CF，AE与DF交于点P，则线段CP长的最小值为________． 14. 如图1-4-12，在正方形ABCD的右侧作等边三角形ABE，连接DE，AC交于点F，连接BF．求证： （1）△BAF≌△DAF； （2）∠AFE=60°． C 拓广探究创新练 提升素养 15. 如图1-4-13，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，已知AD=6，DF=2，则△AEF的面积为________． 16. 如图1-4-14，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，边长为6，顶点D的坐标为(3,3)．在正方形的边AB，BC，CD，AD上各有一点M，P，N，Q，顺次连接M，P，N，Q四点所得四边形MPNQ为矩形．若点M的坐标为(-3,2)，点N的坐标为(3,-2)，则点P和点Q的坐标分别为________． 第2课时 正方形的判定 A 知识要点分类练 夯实基础 知识点1 根据正方形的定义进行正方形的判定 1. 已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________（填一个即可）． 知识点2 根据菱形进行正方形的判定 2. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将学具调整为图1-4-15①所示的菱形，并测得∠B=60°，接着调整学具，当∠B=________°时，学具成为图②所示的正方形． 3. 如图1-4-16，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：________，使得菱形ABCD为正方形． 4. 如图1-4-17，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向终点B，C，D，A移动．请判断四边形PQEF的形状，并说明理由． 知识点3 根据矩形进行正方形的判定 5. 如图1-4-18，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE．若沿EF剪开，将折叠部分展开得到的四边形ABFE是一个正方形，其数学原理是 （ ） A. 有一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 6. 如图1-4-19，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件：________，使得矩形ABCD为正方形． 7. 如图1-4-20，在▱ABCD中，AB⊥BC，E，F是对角线BD上的两点，连接AE，CE，AF，CF，构成的四边形AECF是一个菱形．求证：▱ABCD是正方形． 知识点4 中点四边形 8. 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 （ ） A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 9. 如图1-4-21，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法不正确的是 （ ） A. 若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形 B. 若AC=BD，则四边形EFGH为菱形 C. 若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分 D. 若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等 B 规律方法综合练 训练思维 10. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD（如图1-4-22）为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是 （ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 11. 如图1-4-23，菱形ABCD的面积为10，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为 （ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 12. 如图1-4-24，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O也是正方形A₁B₁C₁O的一个顶点，OA₁交AB于点E，OC₁交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△BOF； （2）如果两个正方形的边长都为4，求四边形OEBF的面积； （3）若两个正方形的边长都为a，在正方形A₁B₁C₁O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少？请直接写出结果． 参考答案 第1课时 正方形的性质 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 7. 20 8. 2-2 9. 略 10.（1）略 （2）30° 11.（1）略 （2）1 12. C 13. 2-2 14. 略 15. 15 16. P(3,2)，Q(-3,-2) 第2课时 正方形的判定 1. AB=BC（答案不唯一） 2. 90 3. AC=BD（答案不唯一） 4. 四边形PQEF是正方形，理由略 5. A 6. AB=BC（答案不唯一） 7. 略 8. B 9. C 10. B 11. B 12.（1）略 （2）四边形OEBF的面积为4 （3）a²/4 学科网（北京）股份有限公司 $