第一章 特殊平行四边形 能力提升卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

能力提升卷第一章特殊平行四边形2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.1 认识特殊平行四边形；1.2 菱形的性质与判定；1.3 矩形的性质与判定；1.4 正方形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知菱形的两条对角线长分别为 和 ，则该菱形的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 垂直平分 BO，垂足为 E．若 ，则 AB 的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形 ABCD 是正方形，以边 BC 为边在正方形内部作等边三角形 CBE，连接 AE，DE，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC 与 BD 的交点，，DE 为边 AB 上的高，连接 OE，则 OE 的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 CD 上一点，点 F 是点 E 关于直线 AD 的对称点，连接 AF，BE，若四边形 ABEF 是菱形，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是正方形 7．如图，在 ABC 中，BE，CF 是中线，交点为 O，G，H 分别是 OB，OC 的中点，连接 GH，HE，EF，FG，AO．给出下列结论：①四边形 EFGH 是平行四边形；②若 ，则四边形 EFGH 是矩形；③若 ，则四边形 EFGH 是菱形；④若 且 ，则四边形 EFGH 是正方形．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 ，点 E 是边 AB 上一点，在边 BC 的延长线上取一点 F，使 ，连接 AC，EF，EF 与 AC 交于点 G．若 ，则 AE 的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在 ABC 中，，点 P 为斜边 AB 上一动点，过点 P 作 于点 D， 于点 E，连接 DE．若 ，，则 DE 的长不可能等于（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 是边 CD 上一点，，将 沿 AE 折叠得到 ，射线 EF 交边 BC 于点 G，则 FG 的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，在菱形 ABCD 中，，以 BC 为边向外作正方形 BFEC，连接 AF，则 的大小为______． 12．如图，在 RtABC 中，，D，E 分别为 AC，BC 的中点，点 F 在线段 DE 上，，，，则 BE 的长为______． 13．如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFC 都是矩形，且点 B 在边 EF 上．若 ，，则矩形 AEFC 的面积为______． 14．如图，在菱形 ABCD 中，，，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，将 沿 EF 翻折得到 ，若点 M 恰好为 AD 的中点，则 MF 的长为______． 15．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，点 F 在边 CD 的延长线上，且 ，连接 EF 交边 AD 于点 G，过点 A 作 ，垂足为点 M，交边 CD 于点 N．若 ，，则线段 DN 的长为______． 16．如图，形状为直角三角形的木块斜靠在竖直的墙上，顶点 B 在墙面上滑动，顶点 C 在地面上滑动，O 为墙面与地面的交点，O，A，B，C 在同一平面内，．若 ，，则顶点 A 到墙角 O 的距离 OA 的最大值为______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 BD 平分 ；过点 A 作 ，垂足为 E；对角线 AC 与边 AB 相等． (1) 求证：四边形 ABCD 是菱形； (2) 若 ，求 AE 的长． 18．（6 分）如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C′ 处，E，F 分别在边 AD，BC 上．若 ，． (1) 求 和 的度数； (2) 求矩形纸片 ABCD 的面积． 19．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，M 是边 AB 的中点，DE 垂直平分 CM，DE 分别交 BC，CM 于点 E，F，连接 DM． (1) 求证： 是等边三角形； (2) 若 ，求 BE 的长． 20．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，CD 上的点，，连接 EF，BF，EF 与对角线 AC 交于点 O，且 ，． (1) 求证：； (2) 若 ，求 AB 的长． 21．（6 分）石家庄火车站新购进一批精致的吊灯，其正面的平面图 如图所示：四边形 ABCD 是一个菱形外框架，对角线 AC，BD 相交于点 O，四边形 AECF 是其内部框架，且点 E，F 在 BD 上，． (1) 求证：四边形 AECF 是菱形； (2) 若 ，F 为 DE 的中点，，求四边形 ABCD 的周长． 22．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 CD 延长线上一点，连接 AE，F 为 AE 的中点，连接 BF，CF，DF． (1) 若 ，，求 DF 的长； (2) 若 ，求证：． 23．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， 的平分线 交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，以 CE，CF 为邻边作平行四边形 ECFG． (1) 求证：平行四边形 ECFG 是菱形； (2) 若 ，连接 BG，CG，DG，求证：① ；② 是等边三角形； (3) 若 ，，，M 是 EF 的中点，直接写出 DM 的长． 24．（8 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 ，交射线 BC 于点 F，以 DE，EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． (1) 求证：矩形 DEFG 是正方形； (2) 若 ，，求 CG 的长； (3) 当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 能力提升卷第一章特殊平行四边形2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.1 认识特殊平行四边形；1.2 菱形的性质与判定；1.3 矩形的性质与判定；1.4 正方形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知菱形的两条对角线长分别为 和 ，则该菱形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半， 所以面积为 ．选 D． 【解题提示】菱形面积 = 对角线乘积的一半． 2．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 垂直平分 BO，垂足为 E．若 ，则 AB 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 因为 AE 垂直平分 BO，所以点 A 到 B，O 两端的距离相等，即 ； 矩形的对角线相等且互相平分，所以 ； 所以 ．选 C． 【解题提示】垂直平分线上的点到线段两端等距，矩形对角线互相平分且相等． 3．如图，四边形 ABCD 是正方形，以边 BC 为边在正方形内部作等边三角形 CBE，连接 AE，DE，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 正方形 ABCD 中 ，； 是等边三角形，所以 ，； 所以 ，，，同理 ； 等腰 中 ，同理 ； 所以 ，； 在 中，．选 B． 【解题提示】正方形加等边三角形，边等角直拆出两个等腰三角形． 4．如图，在菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC 与 BD 的交点，，DE 为边 AB 上的高，连接 OE，则 OE 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 菱形 ABCD 的对角线互相平分，所以 O 是 BD 的中点； DE 为边 AB 上的高，所以 ； 在 中，OE 是斜边 BD 上的中线， 所以 ．选 A． 【解题提示】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 5．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 CD 上一点，点 F 是点 E 关于直线 AD 的对称点，连接 AF，BE，若四边形 ABEF 是菱形，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 四边形 ABEF 是菱形，所以 ，；又矩形中 ，点 E 在 CD 上，故点 F 在直线 DC 上，F，E，D 三点共线； 点 F 与点 E 关于直线 AD 对称，所以 ，故 ， 是等边三角形，； 由 得 ，所以 ，； 点 D 在 EF 上，所以 ；由对称性 ．选 D． 【解题提示】对称加菱形，把边等关系汇聚出等边三角形． 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是正方形 【答案】 C 【解析】 一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是矩形，A 假； 对角线相等的平行四边形是矩形，B 假； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C 真； 四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，D 假．选 C． 【解题提示】菱形看「垂直」，矩形看「相等」，正方形要「垂直且相等」且先要是平行四边形． 7．如图，在 ABC 中，BE，CF 是中线，交点为 O，G，H 分别是 OB，OC 的中点，连接 GH，HE，EF，FG，AO．给出下列结论：①四边形 EFGH 是平行四边形；②若 ，则四边形 EFGH 是矩形；③若 ，则四边形 EFGH 是菱形；④若 且 ，则四边形 EFGH 是正方形．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 E，F 分别是 AC，AB 的中点，EF 是 的中位线， 且 ；G，H 分别是 OB，OC 的中点，GH 是 的中位线， 且 ； 所以 且 ，四边形 EFGH 是平行四边形，①正确； 若 ，可证 ，得 ，由等腰三角形三线合一知 ；又 FG 是 的中位线，，所以 ，平行四边形 EFGH 是矩形，②正确； 若 ，由 ， 得 ，平行四边形 EFGH 是菱形，③正确； 若 且 ，由②③知 EFGH 既是矩形又是菱形，从而是正方形，④正确； 综上，正确的结论有 4 个．选 D． 【解题提示】中位线架桥，平行四边形打底，再逐级加判定条件． 8．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 ，点 E 是边 AB 上一点，在边 BC 的延长线上取一点 F，使 ，连接 AC，EF，EF 与 AC 交于点 G．若 ，则 AE 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 过点 E 作 交 AC 于点 H，则 ； 正方形中 ，所以 是等腰直角三角形，； 设 ，则 ； 由 得 ，，又 ，所以 ，； ，所以 ； 由 ，正方形边长为 12 得 ，即 ，解得 ，即 ．选 B． 【解题提示】作平行线构等腰直角三角形，全等出等段，沿对角线把方程列出来． 9．如图，在 ABC 中，，点 P 为斜边 AB 上一动点，过点 P 作 于点 D， 于点 E，连接 DE．若 ，，则 DE 的长不可能等于（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 连接 CP．因为 ，，，所以四边形 CEPD 是矩形，； 由勾股定理 ； 当 时 CP 最短，由等积法 ，得 ； 点 P 在斜边 AB 上运动，所以 ，即 ； 因为 ，所以 DE 不可能等于 ．选 A． 【解题提示】矩形对角线相等把 DE 换成 CP，垂线段最短定下限． 10．如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 是边 CD 上一点，，将 沿 AE 折叠得到 ，射线 EF 交边 BC 于点 G，则 FG 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 由折叠的性质，，，，所以 ； 设 ，则 ；在 中，； 在 中，，所以 ； 又 ，在 中，； 而 ，所以 ，解得 ； 所以 ．选 B． 【解题提示】折叠保边保角，补出直角后三段勾股列方程收尾． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图，在菱形 ABCD 中，，以 BC 为边向外作正方形 BFEC，连接 AF，则 的大小为______． 【答案】 【解析】 菱形 ABCD 中 ，； 正方形 BFEC 中 ，； 所以 ，； 在等腰 中，． 【解题提示】菱形边等加正方形边等，周角减出顶角再求底角． 12．如图，在 RtABC 中，，D，E 分别为 AC，BC 的中点，点 F 在线段 DE 上，，，，则 BE 的长为______． 【答案】 【解析】 D，E 分别为 AC，BC 的中点，所以 DE 是 的中位线，，； ； 在 中，D 为斜边 AC 的中点，所以 ； 在 中，； 所以 ． 【解题提示】中位线加斜边中线，两条直角边靠勾股． 13．如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFC 都是矩形，且点 B 在边 EF 上．若 ，，则矩形 AEFC 的面积为______． 【答案】 【解析】 矩形 ABCD 中 ，，，所以 ； 矩形 AEFC 中 ，，且 ，； 点 B 在边 EF 上，所以点 B 到 AC 的距离等于 平行线 EF 与 AC 间的距离，即等于 CF； 所以 ，故 ． 【解题提示】同底等积：矩形面积是对角线分出的三角形面积的 2 倍． 14．如图，在菱形 ABCD 中，，，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，将 沿 EF 翻折得到 ，若点 M 恰好为 AD 的中点，则 MF 的长为______． 【答案】 【解析】 菱形 ABCD 中 ，，所以 是等边三角形； M 为 AD 的中点，由等边三角形三线合一得 ； 在 中，，； 设 ，则 ；由翻折的性质得 ； 由 ， 得 ，即 ； 在 中，，即 ，解得 ，即 ． 【解题提示】60° 菱形藏等边，翻折等边加勾股列方程． 15．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上一点，点 F 在边 CD 的延长线上，且 ，连接 EF 交边 AD 于点 G，过点 A 作 ，垂足为点 M，交边 CD 于点 N．若 ，，则线段 DN 的长为______． 【答案】 【解析】 连接 AE，AF，EN．正方形中 ，，又 ，所以 ； 所以 ，，进而 ， 是等腰直角三角形； 因为 ，由三线合一知 AN 垂直平分 EF，所以 ； 设 ，则 ，，，，故 ； 在 中，，即 ，解得 ，即 ． 【解题提示】全等转出等腰直角，垂直平分线把 EN 与 FN 接通． 16．如图，形状为直角三角形的木块斜靠在竖直的墙上，顶点 B 在墙面上滑动，顶点 C 在地面上滑动，O 为墙面与地面的交点，O，A，B，C 在同一平面内，．若 ，，则顶点 A 到墙角 O 的距离 OA 的最大值为______． 【答案】 【解析】 取 BC 的中点 D，连接 OD，AD； 因为 ，D 为 BC 的中点，所以 ； 因为 ，，在 中，； 由两点之间线段最短，，当 O，D，A 三点共线时取等号； 所以 OA 的最大值为 ． 【解题提示】斜边中线定长加勾股定长，两边之和夹出最大值． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 BD 平分 ；过点 A 作 ，垂足为 E；对角线 AC 与边 AB 相等． (1) 求证：四边形 ABCD 是菱形； (2) 若 ，求 AE 的长． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ，； 因为 BD 平分 ，所以 ，故 ； 所以平行四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； (2) 由 (1) 知 ，又对角线 AC 与边 AB 相等，即 ，所以 ， 是等边三角形，； 在 中，，，所以 ； 由勾股定理 ． 【解题提示】角平分线加平行线出邻边相等；等边三角形中作高，30° 所对直角边等于斜边一半． 18．（6 分）如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C′ 处，E，F 分别在边 AD，BC 上．若 ，． (1) 求 和 的度数； (2) 求矩形纸片 ABCD 的面积． 【答案】 (1) ，；(2) 【解析】 (1) 矩形 ABCD 中 ，所以 （内错角）； 由折叠的性质，； 又 A，E，D 在同一直线上，所以 ； 在 中，，所以 ； (2) 在 中，，，所以 ； 由勾股定理 ； 由折叠的性质，，所以 ； 所以矩形 ABCD 的面积 ． 【解题提示】折叠对应角相等，平角拆三角，30° 直角三角形定边． 19．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，M 是边 AB 的中点，DE 垂直平分 CM，DE 分别交 BC，CM 于点 E，F，连接 DM． (1) 求证： 是等边三角形； (2) 若 ，求 BE 的长． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 矩形 ABCD 中，M 是 AB 的中点，所以 ，，； 所以 ，故 ； 因为 DE 垂直平分 CM，所以 ； 所以 ， 是等边三角形； (2) 连接 ME．由 (1) 知 ；； 在 中，； DE 垂直平分 CM，所以 ，，又 ，所以 ，； 因为 是等边三角形，，所以 ； 在 中，，，所以 ； 由 ，得 ． 【解题提示】中点加 SAS 出等边；HL 全等搬边，30° 直角三角形翻倍． 20．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，E，F 分别是边 AB，CD 上的点，，连接 EF，BF，EF 与对角线 AC 交于点 O，且 ，． (1) 求证：； (2) 若 ，求 AB 的长． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 矩形 ABCD 中 ，所以 ，； 又 ，所以 ，故 ； (2) 连接 OB．因为 ，，由等腰三角形三线合一得 ，即 ； 由 (1) 知 ，又 ，所以 ，故 ； 设 ，则 ；由外角性质 ，得 ，所以 ； 在 中，，即 ，解得 ，即 ； 在 中，，，所以 ； 由勾股定理 ． 【解题提示】等腰三线合一出垂直，斜边中线出等角，互余方程解出 30°． 21．（6 分）石家庄火车站新购进一批精致的吊灯，其正面的平面图 如图所示：四边形 ABCD 是一个菱形外框架，对角线 AC，BD 相交于点 O，四边形 AECF 是其内部框架，且点 E，F 在 BD 上，． (1) 求证：四边形 AECF 是菱形； (2) 若 ，F 为 DE 的中点，，求四边形 ABCD 的周长． 【答案】 (2) 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ，，； 因为 ，所以 ，即 ； 又 ，所以四边形 AECF 是平行四边形； 因为 ，即 ，所以平行四边形 AECF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； (2) 由 (1) 知四边形 AECF 是菱形，，所以 ； 因为 ，F 为 DE 的中点，所以 AF 是 斜边 DE 上的中线，； 在 中，； 所以菱形 ABCD 的周长为 ． 【解题提示】对角线互相平分加垂直出菱形；斜边中线等于斜边的一半． 22．（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 CD 延长线上一点，连接 AE，F 为 AE 的中点，连接 BF，CF，DF． (1) 若 ，，求 DF 的长； (2) 若 ，求证：． 【答案】 (1) 【解析】 (1) 矩形 ABCD 中 ，E 在 CD 的延长线上，所以 ； 在 中，，，； 因为 F 为 AE 的中点，所以 （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； (2) 矩形 ABCD 中 ，； 由 (1) 知 ，所以 ； 所以 ； 又 ，，所以 ，故 ； 因为 ，即 ，所以 ，即 ； 又 F 为 AE 的中点，，所以 CF 垂直平分线段 AE，故 ． 【解题提示】斜边中线出等腰，SAS 全等搬角，垂直平分线判定收尾． 23．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， 的平分线 交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，以 CE，CF 为邻边作平行四边形 ECFG． (1) 求证：平行四边形 ECFG 是菱形； (2) 若 ，连接 BG，CG，DG，求证：① ；② 是等边三角形； (3) 若 ，，，M 是 EF 的中点，直接写出 DM 的长． 【答案】 (3) 【解析】 (1) 因为 AF 平分 ，所以 ； 平行四边形 ABCD 中 ，，所以 ，； 所以 ，故 ； 所以平行四边形 ECFG 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； (2) ① 平行四边形 ABCD 中 ，所以 ，； 菱形 ECFG 的对角线 CG 平分 ，所以 ； ② 由 且 ，知 是等边三角形，，； 由 得 ，又 ，所以 ； 由 得 ，又 ，所以 ； 所以 ，故 ，； 所以 ， 是等边三角形； (3) 连接 BM，BD，MC．，所以平行四边形 ABCD 是矩形，； 菱形 ECFG 中 ，所以 ECFG 是正方形； 由 得 ； M 为 EF 的中点，所以 ，，； 所以 ，故 ，，进而 ， 是等腰直角三角形； 在 中，； 所以 ． 【解题提示】角平分线加平行线出邻边相等；中点加 SAS 全等，等腰直角三角形斜边与直角边差 倍． 24．（8 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 ，交射线 BC 于点 F，以 DE，EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG． (1) 求证：矩形 DEFG 是正方形； (2) 若 ，，求 CG 的长； (3) 当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数． 【答案】 (2) ；(3) 或 【解析】 (1) 过点 E 作 于点 P，作 于点 Q，则 ； 正方形 ABCD 中 AC 平分 ，由角平分线的性质得 ，且四边形 CPEQ 是正方形，； 所以 ；矩形 DEFG 中 ，即 ； 所以 ，又 ，，故 ，得 ； 所以矩形 DEFG 是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）； (2) 正方形 ABCD 中 ，所以 ； 又 ，所以 ，即 E 是 AC 的中点，故 ，； 因为 ，，所以点 F 在直线 AC 上；又点 F 在射线 BC 上，故点 F 与点 C 重合； 由 (1) 知 DEFG 是正方形，所以 ； (3) ① 当 时，；在四边形 CDEF 中，，所以 ； ② 当 时，设 CD 与 EF 交于点 O，由 ，（对顶角），得 ； 综上， 的度数为 或 ． 【解题提示】角平分线出双垂等距，ASA 出邻边相等；分类讨论夹角在 AD 侧还是 CD 侧． 学科网（北京）股份有限公司 $