湖北武汉市第三中学2026-2027学年高二上学期10月素养调研数学试题

武汉市第三中学2026-2027学年度上学期10月素养调研 高二数学 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.从1到20的正整数中，任取一个数，得到的数是3的倍数的概率是 A. B. C. D. 2.已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，则椭圆C的标准方程为    A. B. C. D. 3.设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“”是“”的    A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知向量，，，若，，三向量共面，则实数     A. B. 2 C. D. 3 5.已知直线在x轴、y轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为    A. B. C. 或 D. 0或 6.已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为    A. B. C. D. 8.已知实数，，，满足，，，则2的最大值为(    ) A. B. 8+ C. D.10+ 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.某校开学初组织新生进行数学摸底测试，现从1000名考生中，随机抽取200人的成绩满分为100分作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为。则下列说法正确的是      A. B. 估计这次考试的分位数为 C. 在该样本中，若采用分层随机抽样的方法，从成绩低于60分和90分及以上的学生中共抽取10人，则应在中抽取2人 D. 若成绩在60分及以上算合格，估计该校新生成绩合格的人数为860人 10.圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的是  A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值是1 C. 从Q点向圆C引切线，切线长的最小值是3 D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 11.在长方体中，分别是棱的中点，G是的中点，直线与平面ABCD交于点P，则   A. 异面直线EF与CD所成角的余弦值是 B. 点C到平面DEF的距离是 C. 三棱锥的体积为 D. 四面体CDEF外接球的表面积是 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.若椭圆的焦距为4，则m的值为          . 13.已知三棱锥，如图所示，G为重心，点M，F为PG，PC中点，点D，E分别在PA，PB上，，，若四点共面，则          . 14.2024年新课标I卷数学多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，共18分;②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分;③部分选对的得部分分（若有两个正确选项，选中一个得3分；若有三个正确选项，选中一个得2分，选中两个得4分）.考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分相同总分只记录一次的第80百分位数为          . 四、解答题：本大题共5小题，共60分。 15.（13分）一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． 若，求第二次取到红球的概率； 若取出的2个球都是红球的概率为，求 16.（15分）已知直线l经过点，且点到直线l的距离为 求直线l的方程； 为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线OA上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标． 17.（15分）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为 求C的焦距； 若过点的直线l与C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 18.（17分）如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面MAD是等边三角形，，，二面角的大小为，P，Q分别为AB和MC的中点. 求证平面 求MC与平面AMD所成角的正弦值； 设N为侧棱MC上一点，四边形AENF是过A，N两点的截面，分别交于两点，且平面AENF，是否存在点N，使得平面AENF与平面AMD夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19.（17分）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”;若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆，P为圆A的“黄金点”. 求点P所在曲线的方程. 已知圆，P，Q均为圆“”的“钻石点”. ⅰ求直线PQ的方程. ⅱ若圆H是以线段PQ为直径的圆，直线与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分若存在，求出点W的坐标;若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】从1到20的正整数中是3的倍数有6个数，概率是 2.【答案】C  【解析】根据椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a，知，得，又，所以，所以椭圆C的标准方程为 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，直线的斜率，将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解，属于基础题. 对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案. 【解答】 解：直线，的斜率和倾斜角分别为，和，， 当倾斜角均为锐角时，或均为钝角时，若“”，则“”， 若“”，则“”， 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”，则“”， 若“”，则“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选： 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理的运用，属于基础题. 根据三个向量共面，可得，再利用坐标运算即可得答案.  【解答】 解：已知向量，，， 由于三个向量共面，所以存在实数m，n， 使得，即有， 解得，， 故选 5.【答案】B  【解析】略 6.【答案】A  【解析】解：根据题意，圆是以为圆心，半径的圆， 设，则，，所以，整理得，因此，点P的轨迹方程为，是以为圆心，半径为的圆．结合题意，可知圆与有公共点，可得，即，解得 即实数a的取值范围是故选： 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查与圆有关的轨迹问题，考查转化与化归的思想方法，逻辑推理能力和直观想象能力，属于难题. 根据题意判断P点轨迹为球面S与球面O的交线圆，求出交线圆的半径即可. 【解答】 解：如图，在平面中，作的角平分线交AB于点，根据角平分线定理，， 故点为定点，即的角平分线交AB于定点 作外角平分线交直线AB于点，根据外角平分线定理，， 故点为定点，即外角平分线交直线AB于定点可得， 故在空间中满足的P点轨迹是以为直径的球面，取中点为S，即该球的球心. 则题目所求P点轨迹为球面S与球面O的交线圆. 因为，且，则为等边三角形，， 可得，，则 以O为圆心，3为半径的圆与以S为圆心，2为半径的圆的公共弦长的一半即为所求交线圆的半径， 圆心距， 假设此时两圆的其中一个交点为C，因为，则有， 所以公共弦长一半为， 所求轨迹长度为 故选 8.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于较难题． 设，是单位圆上的两点，且，利用点到直线的距离公式，推导出2等于C到直线的距离的倍，结合 算出CD长的最大值，进而可得所求答案． 【解答】 解：由，， 可知点，在圆O：上， 因为，所以，即， 设直线l：，则2， 表示点M到直线l距离的2倍， ， 表示点N到直线l距离的倍， 根据题意，圆O：在直线l的下方， 故点M、N都在直线的下方， 取MN的三等分点C（靠近M），过M、N、C分别作直线l的垂线，垂足分别为A、B、D， 可得2，， 因为CD= 可得2， 由，， ,得， 因为点O到直线l的距离， 所以点C到直线l的距离， 所以当CD经过原点O时， 2，取得最大值． 故选： 9.【答案】BD  【解析】【分析】 本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的计算，是基础题． 根据频率分布直方图逐项判断即可． 【解答】 解：对于选项A，由频率分布直方图可知，， 得，故选项A错误; 对于选项B，设第75百分位数为x ，则： ， 解得，故选项B正确; 对于选项C，成绩在、和90分及以上的学生人数的比例为 ，则在内应抽取的人数为，故选项C错误; 对于选项D，根据频率分布直方图可得60分及以上的频率为， 所以估计该校新生成绩合格的人数为人，故选项D正确. 故选： 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查了点到直线的距离公式，斜率公式，直线与圆的位置关系，有关圆的最值问题，属于中档题. 由圆心到直线的距离可判断A，当时，的值最小，可判断B，当时，切线长最小，可判断C，由数形结合可得到 【解答】 解：圆， ，圆心，， 圆心C到直线的距离为：d ， 直线l与圆C相离，故A错误； 当且P，Q，C共线时，的值最小， 最小值是圆心到直线l的距离减去半径，即，故B正确； 从Q点向圆C引切线， 当时，切线长最小，最小值是，故C正确； 根据题意画出图形，如图所示： 由题意可得：直线恒过，， 又曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆， 当直线与半圆相切，C为切点时，圆心到直线的距离， 即，解得： 当直线过B点时，直线的斜率为， 则直线与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为 故选： 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查直线与直线所成角的向量求法，点面距离的向量求法，棱锥的体积，球的切、接问题，球的表面积，空间中两点间距离公式，属于较难题. 建立如图所示的空间直角坐标系，求出与利用夹角的余弦公式计算后可判断A的正误，利用向量法求点C到平面DEF的距离后可判断B的正误，求出P的坐标后可计算三棱锥的体积，从而可判断C的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半径，计算表面积后可判断D的正误. 【解答】 解：以D为坐标原点，DC，DA，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 故⟨⟩ ， 故异面直线所成角的余弦值为，故A正确； 因为， 设平面DEF的法向量为， 则由 ，可得， 令，得， 故平面DEF的一个法向量为， 而， 故点C到平面DEF的距离为 ，故B错误； 又，设， 则， 因为共线，所以， 故，即， 故，且P在y轴上， 故，故C正确； 设四面体CDEF外接球的球心为， 则， 即； ， ， 整理得到：，故， 故外接球半径为， 故外接球的表面积为，故D正确. 故选： 12.【答案】7或11  【解析】[由已知可得，解得 若椭圆的焦点在x轴上， 可得解得 若椭圆的焦点在y轴上， 可得解得 因此m的值为7或 13.【答案】4  【解析】解：设BC中点为H，连接，如图所示：    因为点G为重心， 所以点G在线段AH上面， 则 ， 又点M，F为PG，PC中点，且，， 所以， 所以 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为： 14.【答案】13分  【解析】 甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，因此甲此题的得分是0分或6分;第二小题选了两个选项，因此甲此题的得分是0分或4分或6分;第三小题选了一个选项;因此甲此题的得分是0分或2分或3分.因此甲在此卷多选题的所有可能总得分为0分，2分，3分，4分，6分，7分，8分，9分，10分，12分，13分，14分，15分，共13种情况，因为，所以甲多选题的所有可能总得分相同总分只记录一次的第80百分位数为13分 15.【答案】解：由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第i次取到红球＂为事件，则＂第i次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为 两次都取到红球为事件 所以两次取出红球的概率为， 即，解得   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：由题意知直线l经过点，当直线l斜率不存在时，方程为， 此时点到直线l的距离为1，符合题意； 当直线l斜率存在时，设方程为，即， 则由点到直线l的距离为1，得， 解得，即得，即， 故直线l的方程为或； 由点，可得直线OA的方程为， 故点关于的对称点为， 连接，则， 则， 当且仅当共线时，等号成立， 即的最小值为10， 此时的方程为，与联立 ， 解得，即   【解析】本题考查点到直线的距离，考查点、直线间的对称问题，考查直线方程的求解，属于中档题. 考虑直线l的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案； 确定点B关于直线OA的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案. 17.【答案】解：由题意可得，且， 解得，则， 因此焦距 由于过点的直线l与C交于A，B两点，且，即D在AB的垂直平分线上. 分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时：直线方程为，此时交点， ， 满足，因此符合题意. 当直线斜率存在时：设直线l的方程为， 联立方程 整理得：， 设，，中点为， 由韦达定理得，， 代入直线方程得中点纵坐标， 由得，即斜率乘积为，， ，代入得，解得， 即直线方程为， 综上所述：直线l的方程为或或   【解析】根据椭圆定义中a，b，c的关系从而求解焦距。由题意可知点D在AB的垂直平分线上，再联立椭圆方程，利用垂直平分线的性质列出等式，从而求解。 18.【答案】解：取MD的中点H，连接AH，HQ，PQ， 在中，H，Q分别为MD和MC的中点， 所以且长为DC的一半， 又因为底面ABCD为平行四边形，P为AB的中点， 所以且， 所以四边形APQH为平行四边形， ， 又面MAD，面MAD， 所以平面 取AD的中点O，连接PO， 由，则 所以，分别以OA，OP所在直线为x轴和y轴，以过O垂直于底面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面AMD的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以平面AMD的一个法向量， 又， 设MC与平面AMD所成角为， 则，， 所以MC与平面AMD所成角的正弦值为 平面AENF，平面平面，， 不妨设 则， 设平面AENF的一个法向量为， 由，则， 即， 令，则，， 所以， 设平面AENF与平面AMD夹角为， 则又有可知平面AMD的法向量， 则由题意：， 令，则，得，所以， 当时，舍去， 所以当时，，此时， 不妨设， 则， 又因为平面AENF的法向量， ，即，得， 所以存在点N，使得平面AENF与平面AMD夹角的余弦值为，此时  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：因为P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为；  因为P为圆B的“黄金点”，所以， 即点P在圆上， 则P是圆和的交点， 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线PQ即为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线PQ的方程为；  设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为3， 直线ST的方程为，得P，Q的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，  所以圆H的方程为， 假设y轴上存在点满足题意， 设，，， 若y轴平分，则， 即，整理得， 又，， 所以代入上式可得， 整理得①， 由，得， 所以，， 代入①并整理，得，此式对任意的k都成立， 所以，故y轴上存在点，使得y轴平分  【解析】本题考查圆锥曲线新定义问题，属于较难题； 求出点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，即可求出曲线方程； 直线PQ即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得答案； 求出圆H的方程，假设y轴上存在点满足题意，设，，， 若y轴平分，则，即，整理可得，①在联立直线和圆的方程，结合根与系数关系进行求解即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $