专题4.1 数列（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题4.1 数列 教学目标 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。 3.根据递推关系或特殊项求通项公式。 教学重难点 1.重点 （1）数列的有关概念； （2）数列的周期性与单调性； （3）数列的递推关系与通项公式。 2.难点 （1）累加法、累乘法求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和，求数列的通项公式。 知识点01 数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法 【即学即练】．（多选题）下面四个结论正确的是（   ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的第6项是13 D．数列的项数是无限的 知识点02 数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 知识点03 数列两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【即学即练】．已知数列满足，求的通项． 题型01 数列的概念及辨析 【典例1】．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（25-26高二上·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 【变式2】．（25-26高二下·安徽安庆·期末）数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）（多选题）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 【变式4】．（25-26高二上·陕西西安·期末）（多选题）下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 题型02 求数列的通项公式-观察法 【典例2】．的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【变式1】．（25-26高二下·湖北·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，3，6，10被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其第7个数为（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 【变式2】．如图，这是一个正六边形的序列： 则第个图形的边数为________． 【变式3】．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【变式4】．某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则____________． 题型03 数列的周期性 【典例3】．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）数列满足，则等于（      ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知数列满足，，则__________． 【变式4】．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知数列满足，，则________． 题型04 数列的单调性-求数列中最大（小）项 【典例4】．已知数列的通项公式为，求该数列的最大项． 【变式1】．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（   ） A．1 B．2 C．6 D．7 【变式2】．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式4】．（25-26高二下·全国·课后作业）已知在数列中，，求的最大项． 题型05 求数列的通项公式-累加法 【典例5】．（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【变式1】．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【变式2】．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）在数列中，，则_______． 【变式3】．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 题型06 求数列的通项公式-累乘法 【典例6】．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【变式2】．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 题型07 求数列的通项公式-已知前n项和，求an 【典例7】．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 【变式1】．已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． 【变式2】．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 【变式3】．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知数列的前项和为，求的通项公式. 【变式4】．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）已知数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前20项和． 题型08 递推数列问题 【典例8】．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: . 【变式1】．（24-25高二下·辽宁·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【变式2】．（24-25高二下·广东深圳·期末）若数列满足，，则的个位数字为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 1．有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 8．已知数列的通项公式为． (1)计算，并判断其符号； (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 9．在数列中，，，求. 10．已知数列满足，，求． 11．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）数列中，若，，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 12．将按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则： ①表示的数是___________； ②若在，则的值为___________． 13．（2026·甘肃嘉峪关·三模）记数列的前n项和为，已知． (1)求； (2)记数列的前n项和为，证明：． 14．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知数列满足． (1)设，求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 数列 教学目标 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数。 3.根据递推关系或特殊项求通项公式。 教学重难点 1.重点 （1）数列的有关概念； （2）数列的周期性与单调性； （3）数列的递推关系与通项公式。 2.难点 （1）累加法、累乘法求数列的通项公式； （2）已知数列的前n项和，求数列的通项公式。 知识点01 数列的概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法 【即学即练】．（多选题）下面四个结论正确的是（   ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的第6项是13 D．数列的项数是无限的 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】有穷数列和无穷数列、数列的概念及辨析、判断或写出数列中的项 【分析】根据数列的定义、特征，数列与函数的关系逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因为数列的项是有顺序的，这两个数列虽然项的组成相同，但不是相同的数列，A错误； 对于B，由数列和函数的关系可知B正确； 对于C，数列的第6项即，故C正确； 对于D，因为数列的项数可以是有限的也可以是无限的，故D错误． 故选：BC. 知识点02 数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分： 知识点03 数列两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【即学即练】．已知数列满足，求的通项． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】由特征根法求解. 【详解】特征方程为，则特征根为． 通项公式为， 又，所以，解得， 所以． 题型01 数列的概念及辨析 【典例1】．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】判断命题的真假、数列的概念及辨析、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列的定义与性质来判断即可 【详解】数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列，当知道首项和递推公式时，不一定可以写出这个数列的任何一项， 例如,若只知道首项是写不出后续项的，故①错，②中的,当时，故②错， 因为数列中的的取值为正整数，所以数列的图像是一个个孤立的点，故③对， 数列与数列排列顺序不一样，所以不是同一数列，故④错.所以正确的个数为1个. 【变式1】．（25-26高二上·湖北十堰·期末）下列说法中正确的是（    ） A．数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列 B．与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C．数列0，2，4，6，…可记为 D．已知，则数列是递增数列 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数列的概念及辨析、判断数列的增减性 【分析】根据数列的定义及通项公式的概念，依次判断每个选项的正确性即可. 【详解】选项A：数列是按一定顺序排列的一列数，具有有序性， 数列 与 的顺序完全不同，因此是两个不同的数列，A选项错误； 选项B：集合中的元素具有互异性，而数列的项可以重复。 例如常数列 就是一个合法的数列，B选项错误； 选项C：数列 的通项公式为 （）， 而 对应的数列是 ，首项为2，与题目中的首项0不符，C选项错误； 选项D：函数 是指数函数，底数 ，故 单调递增， 数列 是该函数在正整数点上的取值，所以是递增数列，D 选项正确. 故选：D. 【变式2】．（25-26高二下·安徽安庆·期末）数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】根据规律填写数列中的某项、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】根据数列构造方法可知：，；根据变化规律可得，从而得到结果. 【详解】由数列的构造方法可知，，，，可得 ， 即 ， 【变式3】．（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）（多选题）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】数列的概念及辨析、判断数列的增减性、观察法求数列通项 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A正确； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 【变式4】．（25-26高二上·陕西西安·期末）（多选题）下列叙述不正确的有（    ） A．数列与是同一数列 B．数列的通项公式是 C．是常数列 D．是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】有穷数列和无穷数列、数列的概念及辨析、判断数列的增减性、观察法求数列通项 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC 题型02 求数列的通项公式-观察法 【典例2】．的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】由题意可知，代入计算即可求解. 【详解】由题意可知，故第9项为． 故选：B 【变式1】．（25-26高二下·湖北·期中）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，3，6，10被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其第7个数为（   ） A．15 B．21 C．28 D．36 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据题图及前4个三角形数找到规律，即可得第7个数. 【详解】由题图及三角形数知：后一个数与前一个数的差依次为2，3，4，5，6，， 所以三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，即第7个数为28. 【变式2】．如图，这是一个正六边形的序列： 则第个图形的边数为________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根据规律填写数列中的某项、图与形中的归纳推理 【详解】第 1 个图形（1 个正六边形），边数是 ， 第 2 个图形（2 个拼接正六边形），总边数是， 第 3 个图形（3 个拼接正六边形），总边数是 ， 第个图形（n 个拼接正六边形），总边数是. 【变式3】．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第__________项. 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】根据规律填写数列中的某项、判断或写出数列中的项 【详解】因为数列，，，，， 则该数列的通项公式为， 由，解得， 所以是这个数列的第项. 【变式4】．某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则____________． 【答案】609 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、递推数列的实际应用 【分析】数列前几项总结规律，然后计算结果. 【详解】解析  由题意知，，，，，，…，，所以路线数满足斐波那契递推，则前14项分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，则，，，，． 则．故答案为609． 题型03 数列的周期性 【典例3】．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】数列周期性的应用 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 【变式1】．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】判断数列的周期性，结合周期性求解即可. 【详解】，， ，， 则数列是周期为4的数列， 所以. 【变式2】．（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）数列满足，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据递推公式逐项计算得到数列是周期为3的数列，即可求解. 【详解】因为 ，所以, ，，，， 所以数列是周期数列，周期为 ，故． 【变式3】．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知数列满足，，则__________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】由递推公式，确定数列周期，即可求解. 【详解】由，， 得 ， ， ， 因此数列是周期为3的周期数列， 因为， 所以. 【变式4】．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知数列满足，，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】通过计算数列确定其周期性，再利用周期性质计算的值. 【详解】由题意，，，根据递推公式， 所以，， 即，，因此数列是周期为的周期数列. 又因为，故. 题型04 数列的单调性-求数列中最大（小）项 【典例4】．已知数列的通项公式为，求该数列的最大项． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】利用二次函数的图像求解. 【详解】因为，又因为且， 所以当或时，最大，最大值为． 【变式1】．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，（   ） A．1 B．2 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【详解】依题意，， 当时，，数列单调递减，且， 当时，，数列单调递减， 因此，， 所以当取得最小值时，. 【变式2】．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 【变式3】．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】由数列的通项对应的函数为二次函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】因为，其对应的函数为二次函数， 开口向下，对称轴为，又， 所以或2时，取得最大值，故数列的最大值是. 故选：C. 【变式4】．（25-26高二下·全国·课后作业）已知在数列中，，求的最大项． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】由可判断数列单调性，据此可得答案. 【详解】因， 当时，，则此时递增， 当时，，则此时递减， 又注意到，所以最大项为． 题型05 求数列的通项公式-累加法 【典例5】．（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】根据题干已知的递推公式，结合累加法，即可求出的值. 【详解】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 【变式1】．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】累加法求数列通项 【详解】由可得， 则 . 【变式2】．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）在数列中，，则_______． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、累加法求数列通项 【分析】先将递推数列进行变形化简，然后利用累加法求出结果. 【详解】由得，， 所以， 累加得． 故答案为：4. 【变式3】．（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . 题型06 求数列的通项公式-累乘法 【典例6】．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得. 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 【变式1】．（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 【变式2】．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【变式3】．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】当时，推导出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】数列中，，前项和，且， 当时，，整理可得. 所以，，，，， 将以上个式子的等号两端分别相乘，得到. 又因为，所以. 也满足，故对任意的，. 题型07 求数列的通项公式-已知前n项和，求an 【典例7】．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【难度】0.83 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定的前n项和公式，依次赋值计算即得. （2）利用结合已知求出通项． 【详解】（1）由数列的前n项和为，得， ，． （2）当时，， 而不满足上式，所以的通项公式为． 【变式1】．已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【详解】（1）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，符合上式，所以． （2）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，不符合上式，所以． 【变式2】．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知数列的前项和为. (1)写出数列的前3项：，，； (2)当取最小值时，求的值； (3)求出的通项公式. 【答案】(1),, (2)当或时，取最小值. (3) 【难度】0.86 【知识点】确定数列中的最大（小）项、由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1），再利用退位相减法可求，， （2）根据对称轴可求取最小值时的值； （3）根据可求通项. 【详解】（1），， . （2）， 故当或时，取最小值. （3）当时，， 故. 【变式3】．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知数列的前项和为，求的通项公式. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用公式求数列的通项公式. 【详解】当时，； 当时，. 因为不满足上式， 所以. 【变式4】．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）已知数列的前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前20项和． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用，可求得数列的通项公式； （2）代入的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得答案. 【详解】（1），. 当时，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）， 故. 题型08 递推数列问题 【典例8】．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: . 【答案】(1)能，当时，此时为常数列且. (2) 因为， 所以， 又因为，故，而，故， 所以，所以， 又， 所以. 【难度】0.85 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据可求的值，从而得到相应的常数列及对应的通项； （2）根据题设中的递推关系和分子有理化可证题设中的不等式. 【详解】（1）若为常数列，则，其中， 故，故（舍）或， 而当时，，此时为常数列且. （2）略 【变式1】．（24-25高二下·辽宁·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】由题意得，利用累乘法可求得数列的通项公式，代入通项公式求解即可. 【详解】由题意得， 当时，，满足该式， 故，所以. 故选：B 【变式2】．（24-25高二下·广东深圳·期末）若数列满足，，则的个位数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】令得是公差为2的等差数列，赋值计算可得，得，运用累加法可得，计算求解即可. 【详解】令得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以， 取，得：，取，得：， 取，得：，取，得：， 所以，解得：，因此， 所以， 累加得， 故，所以个位数为5. 故选：D. 【变式3】．（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 【答案】(1), (2) 【难度】0.74 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】（1）根据递推公式建立方程，求出，代入求出； （2）利用累乘法求通项公式. 【详解】（1），所以， （2）当时，，即, 当时，， 所以，因为，所以， 经检验符合，所以. 1．有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数列的概念及辨析、判断数列的增减性、观察法求数列通项 【分析】由数列的概念即可求解②③④，对于①，通过验证即可判断. 【详解】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项 【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第8项. 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 故选：B 3．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【详解】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】将通项公式变形为，通过分析其在分母临界点两侧的单调性来求解最大值. 【详解】对分离常数得：， 令，得， 当（为正整数）时，，因此； 当（为正整数）时，，因此， 因此的最大值一定出现在中，排除C、D， 在时，增大，（负数）增大，减小，增大， 因此随增大而增大，所以时，取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值， 故. 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 6．（2026·山西忻州·模拟预测）数列满足，，则（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【难度】0.66 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】应用递推公式逐个计算求解. 【详解】由， 依次计算： 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，即； 令得，所以． 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】利用累加法和裂项相消法求和，即可求通项公式. 【详解】由 当时，由上式可得： ， 当时，满足， 故答案为： 8．已知数列的通项公式为． (1)计算，并判断其符号； (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 【答案】(1)， (2)最小项为首项，无最大项 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）根据已知直接计算即得； （2）由（1）得单调性后可得最值. 【详解】（1）由题可知，， ，即． （2）由（1）可得数列是递增数列，则最小项为首项，即，无最大项. 9．在数列中，，，求. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【详解】由题意，则，，，，…，，以上各项相加得.所以. 因为也适合上式，所以. 10．已知数列满足，，求． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】累加法求数列通项 【分析】利用累加求和可得答案. 【详解】因为， 所以． 所以 ． 又也符合上式，所以，． 11．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）数列中，若，，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】根据递推公式，结合常数列的定义进行求解即可. 【详解】由， 所以数列是常数列， 因为，所以， 因此，所以. 故选：B 12．将按如图方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则： ①表示的数是___________； ②若在，则的值为___________． 【答案】 137 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据所给规律，分析出第n排的数字的个数，以及奇数排和偶数排的增减性和规律，结合题中条件，即可求得答案. 【详解】第一排有1个数，即为个； 第二排有3个数，即为个； 第三排有5个数，即为个； 第四排有7个数，即为个，故第n排有个数， 分析可得，奇数排（第1,3,5n排），从左向右递增，最后一个数为， 偶数排（第2,4,6m排），从左向右递减，第一个数为， 则前6排共有1+3+5+7+9+11=36个数，且第6排从左向右第1个数为， 第7排为奇数排，从左向右递增，第6个数的被开方数为， 所以表示的数是； 因为，所以为第45排，从左向右的最后一个数， 所以为第46排，从左向右的最后一个数，且第46排共有个数， 所以在，则. 故答案为：；137 13．（2026·甘肃嘉峪关·三模）记数列的前n项和为，已知． (1)求； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.72 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定条件，利用数列的前n项和与第n项的关系求出通项公式. （2）利用裂项相消法求和即可推理得证. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，而，满足上式， 所以. （2）依题意，， 则 ，而， 所以. 14．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知数列满足． (1)设，求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据已知可得，验证是否满足要求，即可得结果； （2）根据已知可得，且，讨论的奇偶性得关系，应用分组求和及已知列方程求. 【详解】（1）由①， 当时，②， ①②则，又满足上式， 所以． （2）由（1），知，则，故， 所以，且， 若为偶数，，则； 若为奇数，，则； 故， 解得或． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $