第4章 4.4 第2课时 数学归纳法的综合应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学数学归纳法的综合应用，系统梳理用数学归纳法证明不等式、归纳—猜想—证明数列问题、证明整除问题等核心内容，通过实例解析、反思感悟及跟踪训练搭建学习支架，衔接数学归纳法基本原理与实际应用。 资料以“问题情境—方法提炼—应用拓展”设计，通过数列通项猜想、整除证明等实例，引导学生用数学眼光发现规律、用数学思维进行逻辑推理，规范的证明步骤强化数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后练习帮助学生巩固提升，弥补知识薄弱点。

第2课时　数学归纳法的综合应用 学习目标　1.能用数学归纳法证明数学中的一些简单问题.2.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题. 一、用数学归纳法证明不等式 例1　用数学归纳法证明： ＋…＋<1－(n≥2，n∈N*). 证明　(1)当n＝2时，左边＝， 右边＝1－. 显然<，所以不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即＋…＋<1－， 则当n＝k＋1时， ＋…＋<1－ ＝1－ ＝1－<1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据(1)和(2)可知，对任意n≥2的正整数，不等式都成立. 反思感悟　用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法. (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等. 跟踪训练1　求证：＋…＋>(n≥2). 证明　(1)当n＝2时，左边＝>0＝右边， ∴不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立. 即＋…＋>成立. 那么当n＝k＋1时，＋…＋＋…＋ >＋…＋> ＝， ∴当n＝k＋1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立. 二、归纳—猜想—证明 例2　在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2，n∈N*)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明. 解　∵a2＝， 且an＋1＝(n≥2)， ∴a3＝， a4＝. 猜想：an＝(n∈N*). 下面用数学归纳法证明猜想正确： (1)当n＝1，2时易知猜想正确. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时猜想正确， 即ak＝. 当n＝k＋1时， ak＋1＝ ＝ ＝. ∴当n＝k＋1时猜想也正确. 由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确. 反思感悟　(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式. 跟踪训练2　已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想前n项和Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解　S1＝； S2＝； S3＝； S4＝. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1. 于是可以猜想Sn＝. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想. (1)当n＝1时，左边＝S1＝， 右边＝， 猜想成立. (2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即 ＋…＋ ＝， 当n＝k＋1时， ＋…＋ ＝ ＝ ＝， 所以当n＝k＋1时猜想也成立. 根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立. 三、整除问题 例3　用数学归纳法证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. 证明　(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除. (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64. 故f(k＋1)也能被64整除. 综合(1)(2)，知当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除. 反思感悟　用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明. 跟踪训练3　用数学归纳法证明当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除. 证明　(1)当n＝1时，xn＋yn＝x＋y显然能被x＋y整除. (2)假设当n＝k(k∈N*且k为奇数)时命题成立， 即xk＋yk能被x＋y整除， 当n＝k＋2时，xk＋2＋yk＋2＝x2(xk＋yk)＋yk＋2－x2yk＝x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y). 又根据假设xk＋yk能被x＋y整除， ∴x2(xk＋yk)能被x＋y整除. 又(x＋y)(x－y)·yk能被x＋y整除， ∴x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y)能被x＋y整除， ∴当n＝k＋2时命题成立. 由(1)(2)知，命题成立. 1.知识清单： (1)利用数学归纳法证明不等式. (2)归纳－猜想－证明. (3)利用数学归纳法证明整除问题. 2.方法归纳：数学归纳法. 3.常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化. 1.用数学归纳法证明1＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A.1＋<2 B.1＋<2 C.1＋<3 D.1＋<3 答案　B 解析　由题意得，当n＝2时，不等式为1＋<2. 2.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的过程中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　) A.5＋3×2k B.＋4×5k－2k C.(5－2) D.2－3×5k 答案　A 解析　假设当n＝k时，命题成立， 即5k－2k能被3整除， 则当n＝k＋1时， 5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k ＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k ＝5＋5×2k－2×2k ＝5＋3×2k. 3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝. 4.观察下列不等式：1>，1＋>1，1＋＋…＋>，1＋＋…＋>2，1＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为　　　　　　　　　(n∈N*).  答案　1＋＋…＋> 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共12分 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步应验证(　　) A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4 答案　C 解析　由题意知，n的最小值为3， 所以第一步验证n＝3是否成立. 2.已知f(n)是关于正整数n的命题.小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，并对任意的正整数k，在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明f(n)对一切正整数n均成立，则m的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　由题意可知，f(n)对n＝1，2，3都成立， 假设f(k)成立的前提下，证明了f(k＋m)成立，由此推得，对n>m的任意整数f(n)均成立，因此m的最大值可以为3. 3.用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项　　　　能被9整除(　　)  A.3·7k＋6 B.3·7k＋1＋6 C.3·7k－3 D.3·7k＋1－3 答案　B 解析　假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1 ＝(3k＋4)·7k＋1－1 ＝(3k＋1＋3)·7k＋1－1 ＝(3k＋1)·7k＋1＋3·7k＋1－1 ＝7[(3k＋1)·7k－1]＋3·7k＋1＋6 ∵(3k＋1)·7k－1能被9整除. ∴要证上式能被9整除，还需证明3·7k＋1＋6也能被9整除. 4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…， 可推测an＝. 5.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是(　　) A.若f(5)≥6成立，则f(6)≥7成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 答案　AD 解析　若f(5)≥6成立，由题意知f(6)≥7成立，故A正确；若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N*)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确.所以选AD. 6.(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　CD 解析　取n＝1，则，，>不成立； 取n＝2，则，，>不成立； 取n＝3，则，，>成立； 取n＝4，则，，>成立； 证明：当n≥3时，>成立. 当n＝3时，，，>成立； 假设当n＝k时，有>成立， 则当n＝k＋1时，有， 令t＝，则＝3－， 因为t>，故>3－， 因为>0， 所以>， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立， 由数学归纳法可知，>对任意的n≥3都成立. 7.(5分)已知f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝　　　　　　.  答案　＋…＋ 解析　f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋…＋ ＝f(2k)＋＋…＋， ∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋…＋. 8.(5分)已知Sn＝＋…＋，n∈N*，则S1＝　　　，S2＝　　　　，S3＝　　　　，S4＝　　　　，猜想Sn＝　　　　.  答案　　　　　 解析　当n＝1时，S1＝； 当n＝2时，S2＝； 当n＝3时，S3＝； 当n＝4时，S4＝. 观察猜想得Sn＝. 9.(10分)已知数列{an}满足a1＝，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3，a4的值；(3分) (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.(7分) 解　(1)∵a1＝，前n项和Sn＝an， ∴令n＝2，得a1＋a2＝3a2，∴a2＝a1＝. 令n＝3，得a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝. 令n＝4，得a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝. (2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明. ①当n＝1时，结论成立； ②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，结论成立，即ak＝， Sk＝·ak＝，则当n＝k＋1时， ·， 即Sk＋·， ∴·， ∴·， ∴， ∴当n＝k＋1时结论成立. 由①②可知，对一切n∈N*都有an＝成立. 10.(10分)用数学归纳法证明：11n＋1＋122n－1(n∈N*)能被133整除. 证明　①当n＝1时，11n＋1＋122n－1＝112＋12＝133能被133整除，所以当n＝1时结论成立. ②假设当n＝k(k∈N*)时，11k＋1＋122k－1能被133整除， 那么当n＝k＋1时， 11k＋2＋122(k＋1)－1＝11k＋1×11＋122k－1×122 ＝11k＋1×11＋122k－1×11－122k－1×11＋122k－1×122 ＝11(11k＋1＋122k－1)＋133×122k－1， 由假设可知11(11k＋1＋122k－1)＋133×122k－1能被133整除，即11k＋2＋122k＋1能被133整除， 所以当n＝k＋1时结论也成立. 综上，11n＋1＋122n－1(n∈N*)能被133整除. 11.在用数学归纳法证明f(n)＝＋…＋<1(n∈N*，n≥3)的过程中：假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n＝k＋1时，f(k＋1)<1也成立.若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　当n＝k＋1时，f(k＋1)＝＋…＋，又f(k)＝＋…＋，所以g(k)＝. 12.上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法总数为f(n)，则下列猜想中正确的是(　　) A.f(n)＝n B.f(n)＝f(n－1)＋f(n－2) C.f(n)＝f(n－1)f(n－2) D.f(n)＝ 答案　D 解析　由于n＝1，B，C选项中f(n－1)＝f(0)，f(n－2)＝f(－1)没实际意义，排除选项B，C. 当有一层台阶时，走法只有一种，即f(1)＝1， 有两层台阶时，有两种走法，即f(2)＝2， 同样f(3)＝3，f(4)＝5. 由f(4)＝5，A中f(4)＝4≠5，排除选项A. 13.用数学归纳法证明不等式＋…＋>－1(n∈N*，n≥2)时，以下说法正确的是(　　) A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k项 D.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋…＋ 答案　D 解析　第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确； 因为＋…＋ ＝＋…＋， 所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋…＋，所以B不正确，D正确； 所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C不正确. 14.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　) A.(k＋3)3 B.(k＋2)3 C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3 答案　A 解析　假设当n＝k时，原式能被9整除， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除. 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可. 15.已知f·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f，则最大的m的值为(　　) A.30 B.9 C.36 D.6 答案　C 解析　由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，得f(1)＝36， f(2)＝3×36，f(3)＝10×36， f(4)＝34×36，由此猜想m＝36. 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，显然成立. (2)假设n＝k时，f(k) 能被36整除， 即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除； 当n＝k＋1时， [2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝3－18＋2×3k＋1 ＝3＋18. ∵3k－1－1是2的倍数， ∴18能被36整除， ∴当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36. 16.(13分)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论. 解　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立. 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立. 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边>右边； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边. (2)假设当n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2. 那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立. 根据(1)和(2)可知，原不等式对于任意n∈N*都成立. 学科网（北京）股份有限公司 $