4.2.2 第1课时 等差数列的通项公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学等差数列的通项公式，从北京天坛圜丘坛石板数实例切入，引导学生观察数列特点，通过归纳法、迭代法、逐差法推导公式，建立与一次函数的联系，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化问题培养数学眼光，多种推导方法发展数学思维，结合出租车计费、公司利润等实际应用提升数学语言表达能力。课中助力教师引导探究，课后通过分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

4.2.2　等差数列的通项公式 课标 要求 1.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）. 2.体会等差数列与一元一次函数的关系（数学抽象、数学运算）. 第1课时　等差数列的通项公式 　　北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，从内到外每一圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，※. 【问题】　观察上述数列的特点，你能猜出※代表的数字吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为　an＝a1＋（n－1）d　. 提醒：由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何等差数列都有通项公式.（　√　） （2）若等差数列{an}的首项a1＝0，公差d＝0，则an＝0.（　√　） （3）数列{an}的通项公式为an＝则{an}是等差数列.（　×　） 2.已知等差数列{an}中，a5＝10，a9＝20，则a1＝（　　） A.－　　 　B.0 C.2　　 　D.5 解析：B　设等差数列{an}的公差为d，因为a5＝10，a9＝20，所以解得d＝，a1＝0，故选B. 3.若数列{an}为等差数列且a2＝5，a5＝11，则数列{an}的通项公式an＝　2n＋1　. 解析：设数列{an}的公差为d，则解得a1＝3，d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×2＝2n＋1. 题型一　等差数列通项公式的推导 〔一题多解〕已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.求证：an＝a1＋（n－1）d. 证明：法一（归纳法）　a1＝a1＋0·d， a2＝a1＋d， a3＝a2＋d＝（a1＋d）＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝（a1＋2d）＋d＝a1＋3d， … 归纳可得an＝a1＋（n－1）d. 法二（迭代法）　已知{an}是等差数列，则an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋（n－1）d. 法三（逐差法）　已知{an}是等差数列，则an＝an－an－1＋an－1＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋an－2＝…＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝a1＋（n－1）d. 规律方法 　　等差数列{an}的通项公式是由a1和d唯一确定的，其公式的推导除教科书中的累加法外，还可由归纳法、迭代法、逐差法推导出，以上方法均为数学中的常用方法. 已知等差数列{an}中的任意两项ap，aq（p，q∈N*且p≠q）.证明对于任意的n（n∈N*），都有an＝（ap－aq）＋ap. 证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵an＝a1＋（n－1）d，　① ap＝a1＋（p－1）d，　② aq＝a1＋（q－1）d，　③ ①－②得，an－ap＝（n－p）d，　④ ②－③得，ap－aq＝（p－q）d，∴d＝，代入④式得an－ap＝（ap－aq），整理得an＝·（ap－aq）＋ap，n∈N*. 题型二　等差数列通项公式的应用 角度1　等差数列基本量的计算 （链接教科书第143页例4）在等差数列{an}中. （1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 解：∵a5＝－1，a8＝2， ∴解得 （2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. 解：设数列{an}的公差为d， 由已知得，解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1， ∴a9＝2×9－1＝17. 角度2　等差数列通项公式的应用 （链接教科书第145页练习2题）已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解：设首项为a1，公差为d， 则an＝a1＋（n－1）d， 由已知得 解得 所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153， 解得n＝45∈N*， 所以153是所给数列的第45项. 【母题探究】 （变设问）若例3条件不变，求a38及a30＋a46的值，并判断2a38与a15＋a61是否相等？a30＋a46与a15＋a61是否相等？ 解：由例3知a15＋a61＝33＋217＝250， an＝4n－27， 所以a38＝4×38－27＝125， a30＋a46＝4×30－27＋4×46－27＝250， 故2a38＝a15＋a61，a30＋a46＝a15＋a61. 规律方法 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可； （2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 1.（2026·无锡月考）2 026是等差数列4，6，8，…的（　　） A.第1 009项 B.第1 010项 C.第1 011项 D.第1 012项 解析：D　∵此等差数列的公差d＝2，a1＝4，∴an＝4＋（n－1）×2＝2n＋2，令2 026＝2n＋2，解得n＝1 012. 2.在等差数列{an}中， （1）已知a1＝6，d＝3，求a8； （2）已知a7＝，d＝－2，求a1； （3）已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n； （4）〔一题多解〕已知a4＝10，a10＝4，求a7和d. 解：（1）∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3（n－1）＝3n＋3， ∴a8＝3×8＋3＝27. （2）∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝. （3）∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－（－2）＝14， ∴an＝14－2（n－1）＝16－2n，令16－2n＝－20，∴n＝18. （4）法一　由题意知解得 ∴a7＝13＋6×（－1）＝7. 法二　∵a4＝10，a10＝4，∴d＝＝－1， ∴an＝a4＋（n－4）×（－1）＝－n＋14， ∴a7＝－7＋14＝7. 题型三　等差数列的实际应用 （链接教科书第144页例5）某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N*）， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 规律方法 解决等差数列实际应用问题的步骤 提醒：在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. （2026·盐城质检）某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km（不含4 km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费　23.2　元. 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）. 1.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是（　　） A.1，4 B.－1，－4 C.4，1 D.－4，－1 解析：B　因为当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4. 2.已知数列{an}中各项均为非负数，a2＝1，a5＝16，若数列{}为等差数列，则a13＝（　　） A.169 B.144 C.12 D.13 解析：B　由题意a2＝1，a5＝16，所以＝1，＝4，又因为数列{}是等差数列，所以d＝＝1，且＝0满足各项为非负数，则有＝＋（13－1）d＝12，可得a13＝122＝144.故选B. 3.〔一题多解〕在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝　6n－14　. 解析：法一　设公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14. 法二　设等差数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，由题意可得解得所以{an}的通项公式为an＝6n－14. 1.数列中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么这个数列的通项公式是（　　） A.an＝3n－1 B.an＝3n＋2 C.an＝3n－2 D.an＝3n＋1 解析：B　因为an＋1－an＝3，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则an＝5＋3＝3n＋2，n∈N*. 2.已知在等差数列中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n＝（　　） A.90 B.96 C.98 D.100 解析：D　由题意知1＋3（n－1）＝298，解得n＝100. 3.在等差数列中，a3＋a9＝32，a2＝4，则a10＝（　　） A.25 B.28 C.31 D.34 解析：B　因为在等差数列中，a3＋a9＝32，a2＝4，所以2a1＋10d＝32，a1＋d＝4，解得a1＝1，d＝3，所以a10＝a1＋9d＝28. 4.（2026·淮安月考）《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（　　） A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤 解析：B　依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝. 5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（　　） A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 解析：B　∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.故数列中第一个负数项是第8项. 6.〔多选〕在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列{}是等差数列，公差为d，则（　　） A.a4＝ B.a3＝1 C.d＝ D.d＝ 解析：ABD　由题意得解得因此＝＋3d＝，故a4＝，＝＋2d＝，解得a3＝1. 7.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝　0　. 解析：由题意知，解得∴a6＝a1＋5d＝0. 8.在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为　an＝2（n＋1）2　. 解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋（n－1）＝n＋，故an＝2（n＋1）2. 9.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有　20　人. 解析：由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150，设末项为第n项，则17＋7（n－1）＝150，解得n＝20，则队伍里一共有20人. 10.在等差数列{an}中， （1）已知a1＝2，d＝3，求a10； （2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n. 解：（1）a10＝a1＋（10－1）d＝2＋9×3＝29. （2）由an＝a1＋（n－1）d，得3＋2（n－1）＝21， 解得n＝10. 11.（2026·泰州月考）一个等差数列的首项为，从第10项起各项都比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（　　） A.d＞ B.d＜ C.＜d＜＜d≤ 解析：D　由题意可得即解得＜d≤. 12.〔多选〕若数列{an}为等差数列，则下列说法正确的是（　　） A.数列2a1，2a2，2a3，…，2an，…为等差数列 B.数列a2，a4，a6，…，a2n，…为等差数列 C.数列{anan＋1}为等差数列 D.数列{an＋an＋1}为等差数列 解析：ABD　A选项：因为{an}为等差数列，所以设an－an－1＝d（d为常数），又2an－2an－1＝2（an－an－1）＝2d，所以数列{2an}也为等差数列，故A正确；B选项：a2n－a2n－2＝2d，所以数列{a2n}为等差数列，故B正确；C选项：anan＋1－an－1an＝2dan，不是常数，故{anan＋1}不是等差数列，故C错；D选项：an＋an＋1－（an－1＋an）＝2d，所以数列{an＋an＋1}为等差数列，故D正确.故选A、B、D. 13.数列{an}的首项a1＝，a3＝且对任意n∈N*，－＝1恒成立，则a10＝　　. 解析：因为－＝1，且a1＝，则数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋（n－1）×1＝n＋1，则an＝，所以a10＝＝. 14.在等差数列{an}中，a1＝23，公差d为整数，若a6＞0，a7＜0. （1）求公差d的值； （2）求{an}的通项公式. 解：（1）因为{an}是等差数列，a1＝23，a6＞0，a7＜0， 所以解得－＜d＜－. 又公差d为整数，所以d＝－4. （2）因为等差数列{an}的首项为23，公差为－4， 所以an＝23－4（n－1）＝－4n＋27. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $