专题3.2 双曲线（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学双曲线专题，系统梳理定义、标准方程、几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等）及应用，从定义到方程再到性质，结合直线与双曲线位置关系等形成递进式学习支架。 资料亮点在于11类题型设计（含典例与变式），融合高考真题与阶段检测，通过轨迹问题培养抽象能力，证明题发展推理意识，实际应用提升数学语言表达，课中助力分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题3.2 双曲线 教学目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2.掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）． 3.了解双曲线的简单应用． 教学重难点 1.重点 （1）双曲线的定义与轨迹方程； （2）双曲线的标准方程和几何性质； （3）直线与双曲线的位置关系。 2.难点 （1）双曲线的定义、方程与性质的综合应用； （2）定点与定值问题、最值与范围问题、开放性与探索性问题。 知识点01 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点02 双曲线的方程、图形与性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点03 与双曲线有关的结论 1、双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． 2、点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． 3、双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 4、双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 5、双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 题型01 双曲线的定义及轨迹问题 【典例1】．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 【变式1】．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 【变式3】．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用双曲线定义求方程 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 【变式4】．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用双曲线定义求方程、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可. 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 题型02 双曲线方程的充要条件 【典例2】．（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以 【变式1】．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 【变式2】．（2026·广西河池·三模）双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】求双曲线的焦点坐标 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得， 所以有，双曲线焦点在轴上， 其中，，则，所以， 所以焦点坐标为. 【变式3】．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 【变式4】．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.91 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【详解】由题意得：，解得或. 题型03 求双曲线的标准方程 【典例3】．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 【变式1】．（24-25高二上·四川绵阳·期中）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】根据椭圆方程可得焦点坐标，设双曲线方程为，根据题意列式求解即可. 【详解】由椭圆方程可知，即焦点坐标为， 设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：C. 【变式2】．（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求共焦点的双曲线方程 【分析】由题意可得椭圆的焦点为从而得双曲线的焦点为设所求双曲线的方程为，代入点坐标，结合，求解即可. 【详解】因为在椭圆中， 所以， 所以椭圆的焦点为 所以所求双曲线的焦点也为 设所求双曲线的方程为， 则有， 解得， 所以所求双曲线方程为. 故答案为： 【变式3】．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求共焦点的双曲线方程 【分析】（1）由题意可得，，从而可求出椭圆的标准方程； （2）由题意设双曲线的方程为，则，再将的坐标代入方程，进而即得. 【详解】（1）因为椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点， 所以分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在轴上， 可设方程为， 所以，， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点为， 可设双曲线的方程为，且， 将点代入曲线方程可得， 解得， 所以双曲线的标准方程为. 【变式4】．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据题意求出，再结合焦点在轴上即可求出答案； （2）设双曲线的方程为，利用待定系数法即可求出答案. 【详解】（1）依题意可得，所以， 又焦点在x轴上，所以椭圆方程为. （2）设双曲线方程为 依题意得， 解得，， 所以所求双曲线的标准方程为. 题型04 直线与双曲线的位置关系 【典例4】．已知双曲线. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值. 【答案】(1)1 (2)或 【难度】0.85 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据离心率定义和的关系计算可得； （2）直线方程联立双曲线方程消元，分二次系数是否为0求解可得. 【详解】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当，即时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述，或. 【变式1】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 【答案】(1) (2)3 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求双曲线的焦点坐标、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）由双曲线方程可得，进而得到直线方程，由韦达定理即可求得点坐标； （2）利用弦长公式可求得. 【详解】（1）由双曲线方程知：，则直线方程为， 得：，则， 直线方程与双曲线有两个不同的交点. 设，，中点为， 得：，，； ； （2）由（1）得 . 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】(1) (2) 设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以. 【难度】0.85 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. 【详解】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. （2）略 【变式3】．（2025·河北保定·二模）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、根据离心率求双曲线的标准方程、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 【变式4】．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【答案】(1) (2)6 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）根据条件可求的值，进而求双曲线的离心率. （2）根据双曲线的对称性可得三角形的面积为，进而可得点的纵坐标，进而求. 【详解】（1），，，. ，. 双曲线的离心率. （2）直线与双曲线交于A，B两点， 如图： 两点关于原点为O对称，设，. 又，三角形的面积为. ，. 又点在双曲线上，则. 所以， 所以. 题型05 中点弦问题 【典例5】．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 【变式1】．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 【变式2】．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线中的弦长、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 【变式3】．过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】利用点差法求解. 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 【变式4】．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 题型06 求双曲线的离心率 【典例6】．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.6 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设点在的右支上，,则，由，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②即可得与的关系，再根据离心率公式求解即可. 【详解】不妨设点在的右支上，, 则， 又因为为中点， 所以， 平方得， 即， 整理得，① 在中，由余弦定理可得：, 即， 整理得，② 由①②可得：，即， 所以双曲线的离心率， 又因为， 所以. 【变式1】．（2026高三·全国·专题练习）如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.38 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 【变式2】．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 【变式3】．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设的内切圆半径为，结合双曲线定义与三角形面积公式推导、的关系，进而求出离心率。 【详解】设的内切圆半径为, 根据双曲线的定义，点在双曲线右支上，故，双曲线的焦距, 由三角形面积公式可得 ，，, 代入题设条件， 得 ，得 ,由于，两边约去得， 故双曲线的离心率. 【变式4】．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用正三角形与中点条件得到焦点三角形两边长度，结合椭圆、双曲线定义分别求出离心率，再借助平方差公式化简乘积求值. 【详解】由题意，，则在椭圆中，则； 双曲线中，则； 所以. 题型07 双曲线中焦点三角形的面积与周长问题 【典例7】．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积. 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 【变式1】．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 【变式2】．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 【变式3】．（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】方法一：先利用双曲线定义得，再结合勾股定理，通过两式运算求出，进而得面积； 方法二：直接用双曲线焦点三角形面积公式，代入即得结果. 【详解】方法一：①，② 得． 的面积. 方法二：双曲线焦点三角形的面积公式：， 又， 所以． 故选：C. 【变式4】．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上的动点，过点作圆的两条切线.若两条切线与线段所成锐角均不小于，记，.记的面积为S，则的值可能为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【详解】由双曲线，得，，，所以得，. 因为点是双曲线右支上的动点，，，所以，所以. 设过点作圆的两条切线，切点是，， 因为两条切线与线段所成锐角均不小于，所以， 所以，所以，所以，， 设，则 的面积，所以， 因为，所以，因为，，所以， 从而，整理得，即， 因为点在双曲线右支上，所以，所以，所以，所以，从而， 所以，所以， 所以，，设，， 易知当时，，所以在上单调递增，所以 且，，所以， 所以，因为，，，所以选项A，B，D错误，选项C正确. 题型08 渐近线相关问题 【典例8】．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.42 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】首先根据双曲线定义求出的长度，结合已知的，先在中利用余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理建立与的等量关系，最后借助双曲线中的关系求出的值，即可得到渐近线方程. 【详解】∵ 点在双曲线的右支上，根据双曲线的定义，可得. 又∵ ，∴ 代入得. 设，∵ 点也在双曲线的右支上，同理可得. ∵ 直线过且与双曲线右支交于两点，故在线段上， ∴ ，即，为等腰三角形. 在中，由余弦定理得： ， 将，，代入上式： ， 整理得， ∵ ，，∴ 解得，即，. 在中，再次应用余弦定理： ， 其中，代入已知值： ， 计算得， 化简得. 又∵ 双曲线满足，代入得， 整理得，即. ∵ 双曲线的渐近线方程为，代入得：， 整理为标准直线方程形式得，故选D. 【变式1】．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据双曲线定义求的长度，根据题意结合离心率的条件可得，利用余弦定理结合求出的值，进而得到渐近线方程. 【详解】因为点是双曲线右支上一点，， 则，即， 可知三边长为，，， 又因为双曲线离心率，得，即， 可知焦点三角形的最大内角与最小内角之和为， 则， 由余弦定理可得， 即，整理可得， 即，可得，即， 双曲线的渐近线方程为. 【变式2】．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 【答案】或/或 【难度】0.54 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】利用对称性构造直角三角形，结合双曲线的定义和勾股定理列方程，即可求解出，进而得到渐近线的斜率. 【详解】设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，易得， 因为，所以，如图，令， 则，又， 在中，，即， 化简得（*）； 在中，，即， 化简得，将其代入（*），化简得，即， 所以双曲线的渐近线的斜率为. 【变式3】．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【详解】依题意，设双曲线M的方程为， 将点代入得,解得， 所以双曲线M的方程为. 【变式4】．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由已知可直接写出，进而利用双曲线参数关系，求出，再通过双曲线的渐近线方程公式即可解决本题. 【详解】焦点在轴上的双曲线的标准方程为，焦点坐标为，其中， 双曲线的一个焦点为可知， 则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 题型09 双曲线中的最值问题 【典例9】．（2024·陕西安康·模拟预测）已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则__________. 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】圆的对称性的应用、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】设，运用圆的对称性和圆周角定理，得到直线斜率之间的关系，后用两点间的斜率公式代入即可得到刚好满足双曲线定义，用定义解题即可. 【详解】设，且，又，，， 根据直径所对圆周角是直角，知道，则， 则，， 即，则点在以为焦点的双曲线上，. 【变式1】．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 【变式2】．（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】首先判断出点在右支的右侧，根据双曲线定义以及三点共线可求出的最小值. 【详解】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图：    则. 当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 【变式3】．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，结合两点间距离公式即可求出最小值. 【详解】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ， 故的最小值为. 故选：B. 【变式4】．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】结合已知条件，利用双曲线的定义推出，结合曲线与圆的位置关系推出，进而求出最大值． 【详解】双曲线方程为，则， ， ，， 又、分别是圆和上的点， 即、在以为圆心，半径为的圆上， ， ． 故选：D． 题型10 双曲线中的定点与定值问题 【典例10】．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 【答案】(1) (2)是定值，定值为. 【难度】0.54 【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）设点．把已知用坐标表示后化简可得； （2）若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．设点，，由垂直得关系，从而用表示出点坐标，代入曲线的方程求出，切线斜率不存在时，同样求出，从而计算数量积可得. 【详解】（1）设点．由题意，，，的斜率分别为，， 代入，得，     整理得． 这是焦点在轴上的双曲线，其顶点为，即点，． 因此曲线的方程为． （2）显然， 法一：若切线斜率存在，设切线的方程为，由与圆相切得．     设点，． 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得．     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法二：设点，因为，则可令点． 因为切线与单位圆相切，故到直线的距离为， 在中，面积， 即，     化简得．①     又在双曲线上，可得，②     ①②，得，     所以为定值．     法三：设点，，若切线斜率存在，设直线的方程为， 由与圆相切得．     联立，得， 由韦达定理，得，，     由且点在直线上，设， 代入垂直条件并结合，推导得，     平方得， 代入韦达定理及化简可得，     若斜率不存在，此时易得或，与双曲线联立解得或， 又由，点与点的横坐标相同，解得．     所以为定值．     法四：显然切线的斜率不为，设切线， 由与圆相切得．     设点，， 由可得， 解得，故．     代入双曲线可得，     展开化简得，解得（显然，负值舍去）．     所以为定值． 【变式1】．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)设点、，， 由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，可得， 由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 由韦达定理可得，， ，，， 得，， ，， . 【难度】0.52 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题、椭圆中向量共线比例问题 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由，可得出、的表达式，结合韦达定理可计算得出为定值. 【详解】（1）因为双曲线的焦点坐标为，则， 设椭圆的方程为， 又椭圆过点，， 可得，，椭圆的标准方程为：； （2）略. 【变式2】．（2026·广东佛山·模拟预测）已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； (3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 此时且， 由韦达定理得，， 直线的方程为， 令，解得，即， 同理得， 因为O为的中点， 所以，即， 所以， 因为，， 所以， 整理得， 所以或， 若，即， 此时直线方程为，即， 则直线过点，不合题意； 若，此时直线方程为， 则直线恒过定点， 所以为定值， 因为为直角三角形，且为斜边． 所以当R为的中点时，． 【难度】0.51 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线的离心率与实轴长列出方程组即可求解； （2）根据直线与圆E相切，得出，设，则，求得的最小值即可求解的最小值； （3）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组得出韦达定理，再求得的坐标，由O为的中点，即可得出证明． 【详解】（1）因为双曲线C的离心率为，实轴长为， 所以，解得，， 则， 故双曲线C的方程为． （2） 因为圆E的方程为， 所以圆E的圆心，半径， 因为点S是双曲线C上的动点，T是圆E上的动点，直线与圆E相切， 所以， 此时， 设， 因为点S是双曲线C上的动点，所以 ，即 ， ， 当时，取得最小值，且， 则． （3） 略． 【变式3】．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 【难度】0.57 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由已知条件，列方程求出，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）略 题型11 双曲线中的开放性与探索性问题 【典例11】．动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点，使得. 【难度】0.51 【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中存在定点满足某条件问题 【详解】（1）利用点到直线与直线的距离之积等于建立方程，化简即可得到结果. （2）假设存在点，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及题目条件得到点坐标满足的关系式，利用点在双曲线上即可得到结果. （1）因为动点到直线的距离为，动点到直线的距离为， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以的方程为. （2）存在，使得，理由如下： 由得，， 由得，且. 设，则，故. 由题意得，. 设存在点满足， 则， 所以. 因为点在上，所以， 化简得，解得或（舍）， 因为，所以，故，即， 所以存在，使得. 【变式1】．（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②过定点，定点坐标为 【难度】0.52 【知识点】双曲线定义的理解、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）由已知可得，，由双曲线的定义可求得圆心M的轨迹方程E； （2）①设，联立直线与双曲线方程，消去，利用根与系数的关系可得，求解即可；②结合①，求得，利用，可得的关系，进而分类讨论可求得直线l所过定点. 【详解】（1）因为动圆M与圆外切，所以， 因为动圆M与圆内切，所以， 所以，根据双曲线的定义，点M的轨迹为双曲线的右支， 且，所以，所以， 所以圆心M的轨迹方程E为. （2）①由（1）知，E的方程为，设， 由，消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. ② 由①，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 【变式2】．（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【难度】0.53 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）将两点坐标代入双曲线方程即可求解. （2）（i）设出直线方程，联立方程，消去得到方程，利用方程根的情况可求解. （ii）假设存在满足条件的定点，利用轴平分得到即可求解出点的坐标. 【详解】（1）由双曲线：经过点，， 得，解得. 所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为：，联立， 整理得. 因为直线与双曲线的右支相交于两点，设，， 所以，解得或. 故斜率的取值范围为. （ii）由轴平分可知. 由（i）可得. 又，， 则，. 假设在轴上存在定点，则， 因为，所以， 展开可得， 即. 因为或，所以. 即， 即， 即，得. 所以轴上存在定点符合条件，且． 【点睛】本题考查直线与双曲线的问题，是常考内容， 角平分线转化为斜率关系，结合韦达求定点，体现解析几何的一般解题思想. 【变式3】．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，使． 【难度】0.57 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由已知可得，计算即可求得双曲线C的方程； （2）利用两点间距离公式，结合二次函数性质即可求得结果； （3）由题意，分直线斜率存在与不存在两种情况，设直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 则双曲线． （2）设，，，或， 则， 令（或）， 当，单调递减，所以在上， 当，单调递增，所以在上， 所以，所以的取值范围为. （3）存在． 双曲线的右焦点， 当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，此时， 存在，，，结论也成立． 综上，存在，使． 【变式4】．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【难度】0.55 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 一、单选题 1．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】三角形面积公式及其应用、求平面轨迹方程 【分析】以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用三角形面积公式得，设，根据条件，用表示出的坐标，进而可得与间的关系，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 记，由题知，得到， 不妨设在第一象限，因为，则， 设，则，得到，， 所以，整理得到， 所以点的轨迹为双曲线的一部分    2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示双曲线求参数的范围 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 3．（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可. 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 4．（2026·北京通州·一模）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】求双曲线的焦点坐标 【分析】根据双曲线的定义及标准方程求解即可. 【详解】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上， 方程可化为. 此时，，则， 所以该双曲线的焦点为. 5．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等轴双曲线、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点代入方程， 则，求解可得， 所以双曲线的标准方程为，即. 故选：C. 6．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 7．已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可. 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故选：D 8．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    9．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】不妨设，由，解出，进而得，计算，进而求解. 【详解】不妨设. 双曲线方程化成标准方程为，可得， 因为的面积为4，所以，则， 又，则，故.所以，， 则，所以， 故. 故选：C. 10．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】首先求双曲线方程，再根据条件求圆心，即可求解距离. 【详解】设双曲线方程为，代入点， 得，，所以双曲线方程为， 根据对称性不妨设圆经过双曲线的焦点，若过左顶点，则圆心所在的直线方程为与双曲线没有交点，所以应过右顶点， 所以圆心所在的直线方程为，代入，得， 所以圆心到双曲线中心的距离为. 二、填空题 11．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】利用双曲线的定义可求方程. 【详解】由题意，因为,所以的轨迹是以为焦点的双曲线的一支， 设双曲线的方程为，则，所以； 故方程为. 12．（25-26高二上·上海·期中）方程可化简为_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、利用双曲线定义求方程 【分析】利用方程的几何意义，结合双曲线的定义可得答案. 【详解】设，，， 表示点 到点 的距离， 表示点 到点 的距离， 因此，方程可以理解为：， 根据双曲线的定义得：， ， 故双曲线方程为：， 又， 所以点在双曲线的上支上， 所以双曲线方程为：. 故答案为： 13．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析、利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】由椭圆的定义可知， 所以， 因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 故它的轨迹方程为． 故答案为：. 14．（24-25高二上·上海·阶段检测）与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】求出双曲线的焦点坐标，并设出双曲线方程，利用待定系数法求解即得.. 【详解】由双曲线与椭圆有公共焦点，得双曲线的焦点坐标为， 设双曲线方程为，而双曲线过点， 于是，即，又，解得， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为： 15．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，再利用点斜式可得答案. 【详解】设 ， 在双曲线 上， 且 为 的中点, 则. 由， 两式相减并整理得 ， 代入 ，， 得： 化简得：， 即， 又因为直线过点， 故直线方程为 故答案为：. 16．（25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】利用点差法即可求得答案. 【详解】依题意，设，直线的斜率分别为， 则，两式相减，整理得， 因是线段的中点，则， 代入上式整理得：， 依题意，，则得， 即，因，则. 故答案为：. 17．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则的离心率为__________. 【答案】 【难度】0.86 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线实轴长、虚轴长分别为、，由题意得到，再利用及离心率求解． 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则实轴长为，虚轴长为． 由题意，，所以 又双曲线中，所以 因为，所以． 故双曲线 的离心率为 18．（25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，则， 由，解得， 因为，所以，求得，即， 由，解得， 由正弦定理可得：， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 19．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】不妨设点在双曲线的右支，令，则，令，得，利用函数的单调性求解． 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 三、解答题 20．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）借助待定系数法，设出该椭圆方程，结合椭圆性质计算即可得； （2）借助待定系数法，设出该双曲线方程，结合双曲线性质计算即可得. 【详解】（1）设椭圆标准方程为，焦距为， 则有，解得，即该椭圆标准方程为； （2）由该双曲线焦点在轴上， 设其标准方程为， 则焦距为，即，又该双曲线经过点，则，则， 则， 故该双曲线标准方程. 21．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 22．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线． (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与双曲线交于M，N两点，直线MA交y轴于点P，直线NB交y轴于点Q，记的面积为，的面积为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)由题意可得， 设直线l的方程为，， 联立， 整理可得， 则，， 即， 易知直线MA的方程为， 则P， 直线NB的方程为， 则，又，， 所以＝＝1． 故为定值． 【难度】0.45 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题意可得，再由双曲线渐近线方程可得，进而得到双曲线方程； （2）设直线，，把直线方程代入双曲线方程整理可得：，可得，，即有，求得方程，求得两点坐标，再由三角形面积公式，带入化简即可得解. 【详解】（1）由题意可知， 因为双曲线C的一条渐近线方程为， 所以，解得， 则双曲线C的标准方程为． （2）略. 23．（2026高三上·山东潍坊·专题练习）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支，点，证明：. （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）以AB为直径的圆恒过x轴上的定点. 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据条件列式可求的值，可得双曲线的方程. （2）（ⅰ）设，，分别表示出，，，，结合三点共线，即可证明结论. （ⅱ）设直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理表示出，，，，利用圆的直径式得到以为直径的圆的方程，求其与轴的交点坐标即可. 【详解】（1）双曲线的右顶点为，渐近线为，即. 由题意：，. 所以双曲线的方程为：. （2）（ⅰ）如图： 因为双曲线的右焦点为，设，， 所以， 同理. 又， 同理. 欲证，只需证， 即 等价于 因为 . 因为点三点共线，所以， 所以， 整理得. 所以成立，故. （ⅱ）因为直线斜率不能为0，可设直线：. 由， 整理得：. 则，. 于是，. 以为直径的圆的直径式方程为， 令得：， 所以 所以. 所以不管取何值，都是方程的解. 即以为直径的圆恒过点. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 双曲线 教学目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2.掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）． 3.了解双曲线的简单应用． 教学重难点 1.重点 （1）双曲线的定义与轨迹方程； （2）双曲线的标准方程和几何性质； （3）直线与双曲线的位置关系。 2.难点 （1）双曲线的定义、方程与性质的综合应用； （2）定点与定值问题、最值与范围问题、开放性与探索性问题。 知识点01 双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点02 双曲线的方程、图形与性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 知识点03 与双曲线有关的结论 1、双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． 2、点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． 3、双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 4、双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 5、双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 题型01 双曲线的定义及轨迹问题 【典例1】．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【变式1】．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二下·上海·期末）已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【变式4】．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 题型02 双曲线方程的充要条件 【典例2】．（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 【变式1】．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·广西河池·三模）双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式3】．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【变式4】．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 题型03 求双曲线的标准方程 【典例3】．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二上·四川绵阳·期中）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为____________． 【变式3】．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点两点的椭圆； (2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线； 【变式4】．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 题型04 直线与双曲线的位置关系 【典例4】．已知双曲线. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值. 【变式1】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线的右焦点倾斜角为的直线与双曲线有两个交点,. (1)求线段的中点坐标； (2)求. 【变式2】．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【变式3】．（2025·河北保定·二模）已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求C的方程； (2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【变式4】．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 题型05 中点弦问题 【典例5】．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【变式1】．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】．过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 题型06 求双曲线的离心率 【典例6】．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026高三·全国·专题练习）如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式2】．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【变式3】．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 【变式4】．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 题型07 双曲线中焦点三角形的面积与周长问题 【典例7】．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【变式1】．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式3】．（25-26高二上·新疆喀什·期末）设和是双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4】．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上的动点，过点作圆的两条切线.若两条切线与线段所成锐角均不小于，记，.记的面积为S，则的值可能为（    ） A．3 B． C． D． 题型08 渐近线相关问题 【典例8】．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，若，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知双曲线的离心率小于2，其左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且焦点三角形的最大内角与最小内角之和为，则双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知为双曲线：的右焦点，为坐标原点，点是右支上的一点，且.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为______. 【变式3】．已知焦点在x轴上的双曲线M与双曲线N:有共同的渐近线，且点在双曲线M上，则双曲线M的方程为____________. 【变式4】．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为______. 题型09 双曲线中的最值问题 【典例9】．（2024·陕西安康·模拟预测）已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则__________. 【变式1】．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式4】．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 题型10 双曲线中的定点与定值问题 【典例10】．（26-27高三上·湖南·开学考试）已知点，，为曲线上三点（其中点为曲线上除,外任意一点），且满足． (1)求曲线的方程； (2)已知圆，曲线的上焦点为，作圆的切线交曲线于，（，），在上取点使，判断是否为定值． 【变式1】．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C经过点，且与双曲线共焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C右焦点作直线l交椭圆C于，两点，交轴于点，且记，，求证：为定值. 【变式2】．（2026·广东佛山·模拟预测）已知双曲线，（）的离心率为，实轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：上的动点，且直线与圆E相切，求的最小值； (3)如图，A、B是双曲线C上两点，点也在双曲线上，直线与y轴分别交于点M、N，点Q在直线上．若M、N关于原点对称，且，证明：存在点R，使得为定值． 【变式3】．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 题型11 双曲线中的开放性与探索性问题 【典例11】．动点到直线与直线的距离之积等于，且.记点的轨迹方程为. (1)求的方程； (2)已知点，直线交于点，，上是否存在点满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【变式1】．（25-26高二上·四川成都·期末）设动圆M的半径为r，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心M的轨迹方程E (2)设点，直线与曲线E相交于A，B两点． ①若的中点为，求直线l的方程； ②若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式2】．（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【变式3】．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线的标准方程为．若虚轴长为，且双曲线上的任意一点到左右两个焦点和距离之差的绝对值为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，求的取值范围； (3)若斜率为k的直线过右焦点，且与的右支相交于、两点，问：在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式4】．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 一、单选题 1．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·湖南·三模）下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京通州·一模）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·内蒙古包头·期末）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 8．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）双曲线的左、右焦点分别为，右支上有一点，满足的面积为4，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 二、填空题 11．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 12．（25-26高二上·上海·期中）方程可化简为_____. 13．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为_____． 14．（24-25高二上·上海·阶段检测）与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线方程为________. 15．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为______. 16．（25-26高二上·上海·期末）已知斜率为2的直线交双曲线于两点，线段的中点为，直线的斜率等于__________. 17．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则的离心率为__________. 18．（25-26高二上·天津·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为_________. 19．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为___________． 三、解答题 20．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）求适合下列条件的圆锥曲线方程： (1)焦点在轴上，短轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程； (2)焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线标准方程． 21．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 22．（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线． (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与双曲线交于M，N两点，直线MA交y轴于点P，直线NB交y轴于点Q，记的面积为，的面积为，求证：为定值． 23．（2026高三上·山东潍坊·专题练习）已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支，点，证明：. （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $