第15章 轴对称 综合与实践-最短路径问题--教学设计2026-2027学年人教版数学八年级上册

综合与实践 最短路径问题 （教学设计） 2026—2027学年人教版数学八年级上册 课题名称 综合与实践 最短路径问题 课型 综合实践课 教学内容解析 内容 利用轴对称知识解决最短路径问题（将军饮马问题、造桥选址问题） 内容解析 《最短路径问题》是人教版八年级上册"综合与实践"内容，是在学生学习了轴对称性质之后的综合应用。本节课以两个经典数学问题——"将军饮马问题"和"造桥选址问题"为载体，引导学生将实际问题抽象为数学问题，利用轴对称变换将折线段转化为直线段，依据"两点之间，线段最短"解决最短路径问题。本节课体现了转化与化归的数学思想，是轴对称知识的重要应用。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是轴对称章节，主要学习轴对称的性质、等腰三角形等知识。通过本章学习，学生能够认识图形的对称美，发展空间观念、几何直观和推理能力。最短路径问题是轴对称知识的综合运用，体现了数学知识的实践价值。 课时目标 1. 【数学抽象】能将实际的最短路径问题抽象为数学中的线段和最小值问题，体会数学建模的过程。 2. 【直观想象】能利用轴对称变换，将折线段转化为直线段，找到最短路径的位置，发展几何直观。 3. 【逻辑推理】能运用"两点之间，线段最短"证明所找路径是最短的，发展合情推理与演绎推理能力。 4. 【数学建模】在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，增强应用意识。 课时目标解析 达成目标1的标志：学生能将"牧马人饮马"的实际问题，抽象为"A、B两点在直线l同侧，在l上求一点P使PA+PB最短"的数学问题。 达成目标2的标志：学生能作出点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于P，找到最短路径的位置。 达成目标3、4的标志：学生能通过在直线上任取另一点P'，证明PA+PB < P'A+P'B，说明P点是最短路径的位置。 学情分析 已有的知识、认知水平 八年级学生已经学习了轴对称的性质，能作出简单图形关于直线的对称图形，也知道"两点之间，线段最短"的基本事实。学生具备了探究最短路径问题的知识基础。同时，学生在生活中对走路选最短路线有感性认识，这为本节课的学习提供了经验支撑。 困惑点或探索点 学生的困惑在于：为什么要作对称点？学生容易直接连接AB与直线相交，但忽略了A、B在直线同侧时，这样做不符合实际路径。造桥选址问题中，学生对"平移转化"的思想理解有困难。 教学 重难点 教学重点 利用轴对称解决最短路径问题；理解"折线段转化为直线段"的转化思想 教学难点 探索并发现最短路径的作图方法；理解最短路径的证明思路；造桥选址问题中的平移转化。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：最短路径问题是轴对称知识的重要应用，体现了数学的实践价值，是培养学生数学建模能力的好素材。 学什么：将军饮马问题的解法（作对称点+连线段），造桥选址问题的解法（平移+连线段）。 怎么学：采用"问题情境—自主探究—合作交流—归纳总结"的教学路径，引导学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，通过动手操作、观察比较发现最短路径的作图方法。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动（含配图） 评价要点 情境导入 （5分钟） 复习回顾 提出问题 【复习回顾】师：我们学过哪些关于最短距离的基本事实？ 生1：两点之间，线段最短。 生2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【情境引入】师：唐朝有一位将军，每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，他应该走哪条路线才能让路程最短？这就是著名的"将军饮马问题"。 【板书课题】综合与实践 最短路径问题 学生能回忆起最短距离的基本事实； 激发学习兴趣，感受数学史的魅力。 探究一： 将军饮马问题 （15分钟） 问题转化 探究解法 【问题转化】师：我们如何把这个实际问题转化为数学问题？ 生：把A、B两地抽象为两个点，把河抽象为一条直线l。 问题转化为：如图，A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最短。 【探究解法】师：如果A、B在直线l的两侧，问题就简单了——连接AB与l的交点就是P。但现在A、B在同侧怎么办？ 引导思路：利用轴对称，把A点"搬"到另一侧去！ 作法：① 作点A关于直线l的对称点A'； ② 连接A'B，交直线l于点P； ③ 则点P即为所求，PA+PB最短。 【证明】在直线l上任取另一点P'（不与P重合），连接P'A、P'B、P'A'。 由轴对称性质，PA=PA'，P'A=P'A'。 所以 PA+PB = PA'+PB = A'B 而 P'A+P'B = P'A'+P'B > A'B（两点之间线段最短） 所以 PA+PB < P'A+P'B，即P点使PA+PB最短。 学生能将实际问题抽象为数学问题； 能理解作对称点的思路； 能看懂证明过程，理解转化思想。 探究二： 造桥选址问题 （12分钟） 迁移应用 变式探究 【问题呈现】如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） 【分析思路】师：桥必须与河岸垂直，所以桥的长度是固定的（等于河宽）。问题转化为使AM+NB最短。 引导思路：利用平移，把A点"平移"到河对岸去！ 作法：① 将点A沿垂直于河岸的方向，向下平移河宽的距离，得到点A'； ② 连接A'B，交靠近B的河岸于点N； ③ 过N作河岸的垂线，交另一河岸于M，桥MN即为所求。 【原理】由平移性质，AM=A'N，所以AM+NB=A'N+NB=A'B（最短）。 转化思想：通过平移把"两条折线段"转化为"一条直线段"。 学生能类比将军饮马问题； 理解平移转化的思路； 能掌握基本作图方法。 课堂小结 与板书设计 【课堂小结】师：今天我们学习了什么？你有哪些收获？ 生1：将军饮马问题——作对称点，连线段，找交点。 生2：造桥选址问题——平移点，连线段，找桥位。 生3：核心思想都是——把折线段转化为直线段，利用"两点之间线段最短"。 【板书设计】 一、将军饮马问题 方法：作对称点 → 连线段 → 找交点P 依据：两点之间，线段最短 二、造桥选址问题 方法：平移点 → 连线段 → 找桥位MN 依据：两点之间，线段最短 三、核心思想：转化与化归（折线段→直线段） 学科网（北京）股份有限公司 $