第十五章 综合与实践 最短路径问题（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“最短路径问题（饮马问题）”，通过古代将军饮马情境导入，关联“两点之间线段最短”旧知，以任务驱动引导学生从直线两侧两点问题过渡到同侧问题，搭建“作对称点—连线—找交点”的转化学习支架。 此资料以核心素养为特色，通过情境抽象培养数学眼光，如将饮马问题转化为“直线同侧两点到直线上一点距离和最短”模型，通过作对称点转化并验证体现数学思维，例题结合几何作图与计算发展数学语言。采用实验探究与小组合作，助学生发展几何直观与推理能力，为教师提供清晰教学流程与方法支持。

人教版八年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 八年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 综合与实践 最短路径问题（第1课时） 课 型 新授课 教学 目标 1.理解“两点之间线段最短”在最短路径问题中的应用。 2.会解决“直线同侧两点到直线上一点距离和最短”的问题（饮马问题）。 3.体会轴对称在解决最短路径问题中的转化作用，发展应用意识。 重点 利用轴对称解决最短路径问题（饮马问题）。 难点 理解为什么作对称点后连线与直线的交点就是最短路径点（转化为两点之间线段最短）。 教学 方法 实验探究法、讲练结合法、小组合作法 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.情境导入：古代将军从A地出发到河边饮马，再到B地，怎样走路径最短？引出“饮马问题”（最短路径问题）。 2.出示学习目标：①会用轴对称解决最短路径；②理解转化思想。 任务驱学 任务1：回顾“两点之间线段最短”，思考A、B在直线l两侧时，l上哪一点到A、B距离和最短。 任务2：若A、B在直线l同侧，怎样转化为两侧的问题？ 任务3：作图找出最短路径点，并说明理由。 二次备课 探究新知 二、合作探究 探究1 基本事实：两点之间，线段最短。 探究2 饮马问题：A、B在直线l同侧，在l上找一点P，使PA+PB最小。方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l交于点P，则P为所求，PA+PB=A'B最短。 【问题情境】牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？这就是著名的"饮马问题"（将军饮马问题）。 【数学抽象】将A、B两地抽象为两个点，将河边l抽象为一条直线。问题转化为：在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 【探究步骤】①探究：A、B在直线l同侧时，直接连接AB不与l相交，怎么办？②猜想：作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P，则P为所求。③验证：在l上任取另一点P'，比较PA+PB与P'A+P'B的大小，证明P点确实使路径最短。 探究3 原理：由轴对称得PA=PA'，∴PA+PB=PA'+PB≥A'B（两点之间线段最短），当P在A'B与l交点时取等号。 【原理详解】①由轴对称性质得PA=PA'；②所以PA+PB=PA'+PB；③根据"两点之间线段最短"，PA'+PB≥A'B；④当且仅当P在A'B与l的交点时，PA'+PB=A'B，取最小值。所以P点就是A'B与l的交点。 【方法提炼】"饮马问题"解法三步法：①作对称（作其中一点关于直线的对称点）；②连线（连接对称点与另一点）；③交点（连线与直线的交点即为所求点）。口诀："同侧化异侧，连线找交点"。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 如图，A、B在直线l同侧，在l上找一点P使PA+PB最小，写出作法。 【变式】如图，A、B在直线l同侧，在l上找一点P使PA+PB最小，写出作法并画出图形。 【作法】①作点A关于直线l的对称点A'；②连接A'B，交直线l于点P；③点P即为所求。 【证明】在直线l上任取另一点P'，连接P'A、P'A'、P'B。由轴对称得P'A=P'A'，PA=PA'。所以P'A+P'B=P'A'+P'B>A'B=PA'+PB=PA+PB。所以P点使PA+PB最小。 （作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P） 例2 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，A、B到河边的距离分别为2km和3km，A、B水平距离为6km，求最短路径长度。 【变式】如图，牧马人从A地出发，到河边l饮马后到B地，A、B到河边的距离分别为2km和3km，A、B水平距离为6km，求最短路径长度。 【解题步骤】①作A关于l的对称点A'，则A'到l的距离也为2km；②过B作l的垂线，垂足为C，则BC=3km；③过A'作l的平行线，交BC延长线于D，则A'D=6km，BD=2+3=5km；④在Rt△A'DB中，A'B=√(6²+5²)=√61 km。所以最短路径为√61 km。 （作对称点，构造直角三角形，A'B== km） 方法归纳：同侧最短路径→作对称点转化为异侧→连线交点；原理是两点之间线段最短。 【模型拓展】饮马问题的常见变式：①两定点+一定直线（基本型）；②一定点+两定直线（两次对称）；③两定点+一定角（在角两边上找点）；④坐标系中的饮马问题（用坐标法求对称点和交点）。 【思想方法】①转化思想：将同侧问题转化为异侧问题（作对称）；②建模思想：将实际问题抽象为数学模型；③数形结合：作图与计算相结合；④极限思想：验证最短时取"两点之间线段最短"的等号条件。 二次备课 展示交流，深化理解 学生展示作图和计算；教师点评转化思想和勾股定理的应用（注：勾股定理在八下，此处可用距离公式或留给后续，实际八上可用构造直角三角形说明）。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.最短路径问题的基本依据是____。 2.A、B在直线l同侧，找l上点P使PA+PB最小，作法是作____关于l的对称点，连接____交l于P。 3.作图：A、B在直线l同侧，找出使PA+PB最小的点P。 4.解答：如图，A、B在直线l同侧，A到l的距离为2，B到l的距离为4，A、B水平距离为6，在l上找一点P使PA+PB最小，求PA+PB的最小值。 5.拓展：如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,4)，在x轴上找一点P使PA+PB最小，求P点坐标和PA+PB的最小值。 【参考答案】1.两点之间线段最短（轴对称转化） 2.A（或B）；A'B（或AB'） 3.作图题 反馈订正：讲评作图规范和转化原理。 反馈订正 学生互批作图；重点讲评“作对称点转化”的方法和原理说明。 二次备课 课 堂 小 结 1.依据：两点之间线段最短。 2.饮马问题：同侧→作对称点→连线交点。 3.转化思想：把折线和转化为线段。 课后 作业 1.必做：完成综合与实践的作图题。 2.选做：探究“两直线之间一点到两直线上点距离和最短”的问题。 板 书 设 计 最短路径问题 一、依据：两点之间线段最短 二、饮马问题：作对称点→连线 三、转化：折线和→线段 课 后 反 思 两优：1. 2. 三不足：1. 2. 3. 学科网（北京）股份有限公司 $