专题02 直线与圆的方程（知识&考点&公式&9高频&4易错&6重难&3模型，期中知识清单）高二数学上学期人教A版

专题02 直线与圆的方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(6类) 公式清单(9类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(1类) 答题技巧清单 知识点01 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． （2）倾斜角的范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 2、直线的斜率 （1）斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点02 两直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 知识点03 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点内容：直线的倾斜角、倾斜角的取值范围；直线的斜率；斜率公式；倾斜角与斜率的关系；斜率不存在的情形． 常见考法： ①判断所给直线倾斜角的范围，区分倾斜角为锐角、直角、钝角的情况； ②由倾斜角求斜率，或由斜率求倾斜角（结合正切函数）； ③由两点坐标求直线斜率，注意横坐标相等时斜率不存在； ④利用斜率判断三点共线或两条直线的位置关系 考点02 直线方程的几种形式 考点内容：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式；各种形式的适用条件与相互转化． 常见考法： ①根据已知条件选择合适形式求直线方程； ②由直线方程写出斜率、截距、定点等几何要素； ③处理含参数的直线方程，讨论斜率是否存在、截距是否为零； ④求直线在坐标轴上的截距，或由截距求直线方程． 考点03 两直线的位置关系 考点内容：两条直线平行与垂直的判定；两直线的交点；直线系方程；两点间距离、点到直线距离、两平行线间距离． 常见考法： ①由斜率或一般式系数判断两直线平行、垂直、相交； ②联立方程求两直线交点坐标； ③利用距离公式求两点间距离、点到直线距离、平行线间距离； 考点04 圆的方程 考点内容：圆的标准方程与一般方程；圆心、半径的求法；点与圆的位置关系；二元二次方程表示圆的条件． 常见考法： ①根据圆心、半径或已知条件写出圆的标准方程； ②将圆的一般方程配方化为标准方程，求圆心与半径； ③判断点与圆的位置关系； ④由方程表示圆的条件求参数范围． 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点内容：直线与圆相交、相切、相离的判定；圆的切线方程与切线长；弦长问题；圆与圆的位置关系；公共弦． 常见考法： ①用圆心到直线距离与半径比较，或联立方程判别式判断位置关系； ②求过圆上一点或圆外一点的切线方程，注意斜率不存在的情况； ③利用垂径定理或弦长公式求弦长； 考点06 直线与圆的综合应用 考点内容：轨迹方程的求法；与直线、圆有关的最值与范围问题；对称问题；数形结合思想． 常见考法： ①按“建系、设点、列式、化简、检验”求动点轨迹方程； ②求圆上点到定点、定直线距离的最值，或代数式的最值； ③处理点关于点、点关于直线、直线关于直线的对称问题； 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 过两点斜率 适用x₁≠x₂；x₁＝x₂时斜率不存在 2 中点坐标 求中点或点关于点对称 3 平行（斜截式） l₁∥l₂⇔k₁＝k₂且b₁≠b₂ 斜率不存在时也可能平行 4 垂直（斜截式） l₁⊥l₂⇔k₁k₂＝－1 一条斜率为0，另一条不存在也垂直 5 平行（一般式） A₁B₂－A₂B₁＝0 还需排除重合 6 垂直（一般式） A₁A₂＋B₁B₂＝0 与斜率是否存在无关 7 两点间距离 平面内任意两点 8 点到直线距离 点(x₀，y₀)到Ax＋By＋C＝0 9 两平行线间距离 两直线为Ax＋By＋C₁＝0与Ax＋By＋C₂＝0 辨析01 倾斜角与斜率不是一回事，斜率不存在不等于斜率为零 倾斜角是直线向上的方向与 x 轴正方向所成的角，范围是 0°≤α＜180°；斜率是倾斜角的正切值，即 k＝tanα。当 α＝90° 时，直线垂直于 x 轴，斜率不存在，但倾斜角是存在的；当 α＝0° 时，直线平行于 x 轴，斜率等于 0。不要把“斜率不存在”与“斜率为零”混为一谈，前者对应竖直直线，后者对应水平直线。 辨析02 截距不是距离，截距可以是负数 直线在 x 轴、y 轴上的截距，是指直线与坐标轴交点的横坐标、纵坐标，它是一个实数，可正可负也可为零；而“距离”一定是非负数。使用截距式 x/a＋y/b＝1 时，必须保证 a≠0 且 b≠0，即直线不能过原点，也不能与坐标轴平行。过原点的直线虽然横、纵截距都为 0，但不能用截距式表示。 辨析03 两直线平行或垂直时，不要忽略斜率不存在的情况 用 k₁＝k₂ 且 b₁≠b₂ 判断平行，用 k₁k₂＝－1 判断垂直，前提是两条直线的斜率都存在。若一条直线斜率不存在、另一条直线斜率为 0，则两直线垂直；若两条直线斜率都不存在，则它们平行或重合。因此判断位置关系时，应先讨论斜率是否存在，再考虑用一般式系数判断更稳妥。 辨析04 点到直线的距离公式中，直线必须化为一般式 点到直线的距离公式 d＝｜Ax₀＋By₀＋C｜/√(A²＋B²) 只适用于直线的一般式 Ax＋By＋C＝0。若已知直线是斜截式 y＝kx＋b，应先化为 kx－y＋b＝0 或 －kx＋y－b＝0，再代入公式。使用两平行线间距离公式时，也要先保证两条直线中 x、y 的系数分别相同。 辨析05 圆的一般方程不一定表示圆 方程 x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0 只有在 D²＋E²－4F＞0 时才表示圆；当 D²＋E²－4F＝0 时，它只表示一个点 (－D/2，－E/2)；当 D²＋E²－4F＜0 时，它不表示任何图形。另外，一般方程中 x² 与 y² 的系数必须相等且不为零，否则不是圆。 辨析06 判断直线与圆的位置关系，不能只看方程组解的个数 联立直线与圆的方程，消元后得到一元二次方程，判别式 Δ＞0 对应相交，Δ＝0 对应相切，Δ＜0 对应相离，这是代数法。但更常用的是几何法：比较圆心到直线的距离 d 与半径 r。两种方法结论一致，但几何法往往更简便。注意相切时直线与圆只有一个公共点，相交时有两个公共点，相离时没有公共点。 辨析07 求过圆外一点的切线，不要遗漏斜率不存在的情况 过圆外一点求圆的切线，通常设切线斜率为 k，用点到直线的距离等于半径求 k。但若所求切线垂直于 x 轴，则斜率不存在，无法用斜截式设出，必须单独讨论。因此解题时应先判断该点是否在圆上，再分“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况讨论，避免漏解。 辨析08 两圆相切包括外切和内切，不能只考虑一种 判断两圆位置关系时，设圆心距为 d，两半径分别为 r₁、r₂（r₁＞r₂）。外切满足 d＝r₁＋r₂，内切满足 d＝r₁－r₂，两者都属于“相切”，但位置不同，公共点个数都是一个。相交满足 r₁－r₂＜d＜r₁＋r₂，外离满足 d＞r₁＋r₂，内含满足 d＜r₁－r₂。解题时要注意题目说的是“相切”还是“外切”，避免漏掉内切的情况。 辨析09 弦长问题中，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形 在直线与圆相交的弦长问题中，常作圆心到弦的垂线，垂足平分弦。此时弦心距 d、半弦长 |AB|/2、半径 r 满足 r²＝d²＋(|AB|/2)²，所以 |AB|＝2√(r²－d²)。不要把弦长直接写成 √(r²－d²)，也不要忽略“半弦”这一关系。用代数法求弦长时，注意公式 |AB|＝√(1＋k²)·|x₁－x₂| 中 k 是直线的斜率。 辨析10 轨迹问题中，求出方程后要检验范围 求动点轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验。化简过程中可能会出现增解或漏解，因此最后必须检验。例如，求到两定点距离相等的点的轨迹，得到的是线段的中垂线；求到定点的距离等于定长的点的轨迹，得到的是圆。若动点受到某些限制，轨迹可能只是圆的一部分或直线的一部分，不能只写方程而不说明范围。 【题型一】直线的倾斜角与斜率 【例1】（25-26高二上·重庆·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，直线过，两点，且，点的横坐标相同， 所以直线垂直于轴，所以直线的倾斜角的大小为.故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【解析】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 【题型二】五种直线方程的求解 【例2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为______. 【答案】 【解析】因为，，所以的中点， 又，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 【变式2-1】（25-26高二上·贵州毕节·期中）将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 【答案】 【解析】直线，即， 向右平移2个单位长度后得到，即. 故答案为： 【变式2-2】25-26高二上·山东淄博·期中）设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 【答案】或 【解析】当截距为0时，设l方程为，代入点，可得，解得， 所以方程为，即； 当截距不为0时，因为截距相等，所以设方程为， 代入点，可得，解得， 所以方程为，即， 综上，直线l的一般方程为或. 故答案为：或. 【变式2-3】（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． （2）由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 【题型三】两条直线平行与垂直关系 【例3】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，解得或， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则当时，， 故“”是“”的充分必要条件.故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知，直线，直线则“”的充要条件是_____. 【答案】 【解析】由得，解得， 当时，直线方程为，直线方程为，此时， 所以“”的充要条件是. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知直线，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，即得，解得，故A正确.故选：A. 【变式3-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线与垂直，则______． 【答案】12 【解析】因为直线与垂直， 所以，解得， 故． 【题型四】直线的距离公式及应用 【例4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 【例4-2】（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由得， 所以直线与间的距离是． 【变式4-1】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】设点的坐标为， 则点到直线的距离为，解得或， 所以点的坐标为或．故选：D． 【变式4-2】（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【解析】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 【题型五】圆的标准方程与一般方程 【例5-1】（25-26高二上·重庆·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得， 即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为.故选：D. 【例5-2】（25-26高二上·天津和平·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点，， 则线段的中点为，， 可知所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为.故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【答案】 【解析】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 【变式5-2】（25-26高二上·湖南湘潭·期中）过三点的圆的标准方程为_____. 【答案】 【解析】以点为端点的线段的中垂线的方程为， 以点为端点的线段的中垂线方程为， 则过三点的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为. 【题型六】直线与圆的位置关系判断 【例6-1】（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 【例6-2】（25-26高二上·广东汕头·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 点到直线的距离， 所以直线与圆相切.故选：B 【变式6-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【解析】因点在圆内，则， 则点到直线的距离， 则直线与圆相离.故选：C 【变式6-2】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在直线上，则直线与圆相交 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与圆相切 【答案】CD 【解析】对于A，由点在直线上，得，即. 此时由圆心到直线的距离，所以直线与圆相切,所以A错误； 对于B，由点在圆外，得，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交.所以B错误； 对于C，点在圆内，得，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离.所以C正确； 对于D，由点在圆上，得，求圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切.所以D正确.故选：CD. 【题型七】直线与圆的相交弦长问题 【例7-1】（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为.故选：C. 【例7-2】（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离为，所以弦长为， 所以，解得，所以圆的半径为. 【变式7-1】（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】圆，即， 可知圆心为，半径，且， 圆心到直线的距离， 因为圆与相交于两点，且为正三角形， 所以，即，解得.故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线，圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与l和y轴均相切． (1)求圆C的方程； (2)过点直线与圆C交于A,B两点，且，求该直线方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）设圆心坐标为 ，半径为. 因为圆与直线 相切， 所以圆心到该直线的距离等于半径，所以； 因为圆与轴相切，则 . 故. 故该圆的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，直线与圆无交点，不合题意，故直线斜率存在. 设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则. 由垂径定理得：，即，解得， 即，解得. 所以该直线方程为：或. 【题型八】圆与圆的位置关系 【例8-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆，则两圆（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【解析】由两圆方程知：圆心，半径；圆心，半径； 圆心距，两圆外离.故选：D. 【例8-2】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】C 【解析】由圆的圆心，半径为， 与圆的圆心，半径为， 则圆心距， 所以两圆位置关系是相外切，故选：C. 【变式8-1】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆，外切，得，即， 所以.故选：D. 【变式8-2】（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）圆：与圆：相交，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】ABC 【解析】因为圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心，半径为， 由于两圆相交，则， 所以，解得， 故的值可以是4,5,6.故选：ABC. 【题型九】两圆的公共弦问题 【例9-1】（25-26高二上·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】即①，②， ①－②化简可得直线的方程为.故选:A. 【例9-2】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为；故选：D. 【变式9-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由圆：可得圆心，半径， 由圆：和圆：方程相减可得公共弦的直线方程：， 由圆心到公共弦的距离为：， 所以公共弦长为，故选：D. 【变式9-2】25-26高二上·重庆·期中）已知 与相交于点 ，则 _____ 【答案】 【解析】两圆相减得直线的方程， 圆心到直线的距离， 所以. 【题型一】误解“截距”与“距离”致错 【例1】（25-26高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】令，得，所以直线在轴的截距为.故选：A 【变式1】（25-26高二上·上海·月考）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 【答案】和 【解析】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和. 【题型二】忽略斜率不存在的情况致错 【例2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或.故选：C 【变式2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 【答案】 【解析】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 【题型三】平行直线间的距离公式使用不当致错 【例3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可变为， 则两条平行直线间的距离为.故选：B 【变式3】（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 【答案】 【解析】直线的方程可化为，由题意可知，， 所以，直线与直线的距离为. 【题型四】遗漏二元二次方程表示圆的条件致错 【例4】（25-26高二上·福建厦门·期中）若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆， 所以，解得， 故实数a的取值范围为．故选：C 【变式4】（25-26高二上·山东威海·期中）过原点可以作两条线与圆相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，即 圆心为，半径，且，∴ 又因为过原点可作两条直线与圆相切，所以原点在圆外， ∴，解得且，故选：B. 【题型一】直线与线段相交求范围问题 【例1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过定点， 又点，，所以，， 又因为直线的斜率为， 所以结合图形可得的取值范围为.故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或.故选：B 【变式1-2】（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题， 如图，由图可知直线斜率.故选：B 【题型二】直线的对称关系及应用 【例2】（25-26高二上·广东深圳·期中）原点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设原点关于直线的对称点坐标为， 直线的斜率， 因为直线与已知直线垂直，，即，① 且线段的中点在已知直线上 将代入直线得：，② 联立①②解得： 的坐标为.故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上， 所以，解得，故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【答案】 【解析】设关于直线的对称点为， 关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则，解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 【变式2-3】（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为.故选：D. 【题型三】由直线与圆的位置关系求参数 【例3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的方程可整理为：， 因此圆心，半径. 因为直线与圆相交， 故圆心到直线的距离， 得，即.故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·吉林·期中）若直线与圆相切，则实数m的值为________． 【答案】或3 【解析】由圆心为，半径为1， 即， 则，解得或． 故答案为：或3. 【变式3-2】（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 【题型四】圆的切线与切线长问题 【例4】（25-26高二上·云南楚雄·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，因为点在圆上，且， 所以所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为.故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离，解得，则； 综上所述：的方程为或.故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则______. 【答案】5 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 连接，因为是圆的切线，所以， 又因为，可得， 所以. 【题型五】两圆的公切线问题 【例5】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为，故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·天津·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是_________. 【答案】或5 【解析】由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【解析】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 【题型六】圆的轨迹问题 【例6】（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：.故选：B 【变式6-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为.故选：B 【变式6-2】（24-25高二上·广东·期中）在中，若动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，即， 即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 又，所以的取值范围为.故选：C 【题型一】直线系方程 【模型解读】 过点的直线系方程为(其中不全为零) 平行于直线的直线系方程； 垂直于直线的直线系方程； 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 【例1】求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程． 过点； 和直线垂直． 【答案】. 【解析】由 解得，． 方法一 由两点的坐标求得斜率为， 由点斜式求得直线方程为， 化简得． 方法二 设过点的直线方程为， 过点，， 故所求直线方程为. 方法一 依题意得所求直线的斜率为， 由点斜式求得直线方程为，即． 方法二 设所求直线为 过点，， 故所求直线方程为. 此题是直线系问题.从本题来看，用直线系方程的方法求解对于一般的解法也没有优势，这里只是拓展大家的思路. 【变式1-1】求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： 斜率为；过点；平行于直线． 【答案】 【解析】直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 方法二 由直线系方程可设所求直线为 (1) 直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为． (2) 过点时，代入方程得， 故所求直线方程为． (3) 平行于直线时，，解得, 故所求直线方程为． 【题型二】圆系方程 【模型解读】 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 ； 过两圆，交点的圆系方程为此圆系不含 特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 【例2】求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程． 【答案】 【解析】设所求的圆的方程为， 即， 该圆的半径的平方为[， 故当时，圆的半径的平方最小，圆的面积最小， 此时，圆的方程为 ． 【变式2-1】求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【答案】 或 【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为， 令得，化简得 ， 由两边平方得 ，化简得 解得或 所求圆的方程为， 或 所求圆的方程为或 【变式2-2】求圆心在直线上，且过两圆与的交点的圆的方程． 【答案】 【解析】方法一 (先求出两个交点，再求圆心与半径得圆的方程，思路很直接) 将两圆的方程联立得方程组， 解方程组求得两圆的交点坐标．(这里还是有些计算量的) 弦的中垂线为， 它与直线交点就是圆心，又半径， 故所求圆的方程为． 方法二 过两圆与的交点的圆的方程可设为， 整理得 其圆心为， 又由圆心在直线上， 则有，解得, 所以所求圆的方程为. 【题型三】与圆有关的最值问题 【模型解读】将目标式转化为圆心到定点或定直线的距离→利用“距离±半径”求最值→验证取等条件。 【例3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得可得，解得， 由可得， 故的最大值为.故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【解析】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， 所以， 由此知.故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【解析】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 【变式1-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，是圆上的一条动弦，且，设中点为，则到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为是圆上的一条动弦，且，且中点为，则， 所以， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 故到直线距离的最大值.故选：C. 技巧 一句话要点 判断倾斜角与斜率——"分象限讨论法" 倾斜角为锐角时 k＞0，为钝角时 k＜0，为直角时 k 不存在，为 0° 时 k＝0。 由两点求斜率——"先看横坐标" 先比较 x₁ 与 x₂：不等用斜率公式，相等则斜率不存在，不要直接代入。 判断三点共线——"斜率相等法" 先排除斜率不存在的情况，再验证 kAB＝kAC，即三点共线。 求直线方程——"选形式看条件" 已知一点和斜率用点斜式；已知斜率和截距用斜截式；已知两点用两点式；已知两截距用截距式。 含参数的直线方程——"先讨论斜率是否存在" 设斜截式前先判断直线是否可能垂直于 x 轴，避免漏解。 判断两直线平行——"斜率相等且截距不等" k₁＝k₂ 且 b₁≠b₂；若斜率都不存在，则需另判是否重合。 判断两直线垂直——"斜率乘积为－1" k₁k₂＝－1；若一条斜率为 0、另一条斜率不存在，也垂直。 求两直线交点——"联立解方程组" 把两直线方程联立，方程组的解就是交点坐标；无解则平行，无穷多解则重合。 点到直线距离——"先化一般式" 把直线化为 Ax＋By＋C＝0，再代入 d＝｜Ax₀＋By₀＋C｜/√(A²＋B²)。 两平行线间距离——"系数先统一" 先使两直线中 x、y 的系数分别相同，再用公式计算。 求圆方程——"定圆心、定半径" 标准方程看圆心和半径；一般方程先配方，注意 D²＋E²－4F＞0 才表示圆。 判断点与圆位置——"比较距离与半径" d＞r 在圆外，d＝r 在圆上，d＜r 在圆内；也可直接代入方程比较。 判断直线与圆位置——"比较 d 与 r" d＜r 相交，d＝r 相切，d＞r 相离；比联立方程更简便。 求切线——"先分点在圆上还是圆外" 点在圆上，切线唯一；点在圆外，两条切线，注意斜率不存在的情况。 求公共弦——"两圆方程相减" 两圆方程相减消去 x²、y²，所得直线即为公共弦所在直线，再用弦长公式求弦长。 求轨迹方程——"建、设、列、化、验" 建系、设点、列等量关系、化简、检验范围，五步缺一不可。 直线过定点——"分离参数法" 把含参数的直线方程整理为关于参数的方程，令参数系数和常数项分别为 0，解出定点。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆的方程 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(6类) 公式清单(9类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(9类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(1类) 答题技巧清单 知识点01 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． （2）倾斜角的范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 2、直线的斜率 （1）斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为 ． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 知识点02 两直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条 的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ ． ②当直线l1，l2不重合且斜率 时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的 ，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ ． ②当其中一条直线的 ，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 知识点03 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到 的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心： ，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于 时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是 ． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是 ． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即 ． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成 ，所以由勾股定理得 . ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 考点01 直线的倾斜角与斜率 考点内容：直线的倾斜角、倾斜角的取值范围；直线的斜率；斜率公式；倾斜角与斜率的关系；斜率不存在的情形． 常见考法： ①判断所给直线倾斜角的范围，区分倾斜角为锐角、直角、钝角的情况； ②由倾斜角求斜率，或由斜率求倾斜角（结合正切函数）； ③由两点坐标求直线斜率，注意横坐标相等时斜率不存在； ④利用斜率判断三点共线或两条直线的位置关系 考点02 直线方程的几种形式 考点内容：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式；各种形式的适用条件与相互转化． 常见考法： ①根据已知条件选择合适形式求直线方程； ②由直线方程写出斜率、截距、定点等几何要素； ③处理含参数的直线方程，讨论斜率是否存在、截距是否为零； ④求直线在坐标轴上的截距，或由截距求直线方程． 考点03 两直线的位置关系 考点内容：两条直线平行与垂直的判定；两直线的交点；直线系方程；两点间距离、点到直线距离、两平行线间距离． 常见考法： ①由斜率或一般式系数判断两直线平行、垂直、相交； ②联立方程求两直线交点坐标； ③利用距离公式求两点间距离、点到直线距离、平行线间距离； 考点04 圆的方程 考点内容：圆的标准方程与一般方程；圆心、半径的求法；点与圆的位置关系；二元二次方程表示圆的条件． 常见考法： ①根据圆心、半径或已知条件写出圆的标准方程； ②将圆的一般方程配方化为标准方程，求圆心与半径； ③判断点与圆的位置关系； ④由方程表示圆的条件求参数范围． 考点05 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点内容：直线与圆相交、相切、相离的判定；圆的切线方程与切线长；弦长问题；圆与圆的位置关系；公共弦． 常见考法： ①用圆心到直线距离与半径比较，或联立方程判别式判断位置关系； ②求过圆上一点或圆外一点的切线方程，注意斜率不存在的情况； ③利用垂径定理或弦长公式求弦长； 考点06 直线与圆的综合应用 考点内容：轨迹方程的求法；与直线、圆有关的最值与范围问题；对称问题；数形结合思想． 常见考法： ①按“建系、设点、列式、化简、检验”求动点轨迹方程； ②求圆上点到定点、定直线距离的最值，或代数式的最值； ③处理点关于点、点关于直线、直线关于直线的对称问题； 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 过两点斜率 适用x₁≠x₂；x₁＝x₂时斜率不存在 2 中点坐标 求中点或点关于点对称 3 平行（斜截式） l₁∥l₂⇔k₁＝k₂且b₁≠b₂ 斜率不存在时也可能平行 4 垂直（斜截式） l₁⊥l₂⇔k₁k₂＝－1 一条斜率为0，另一条不存在也垂直 5 平行（一般式） A₁B₂－A₂B₁＝0 还需排除重合 6 垂直（一般式） A₁A₂＋B₁B₂＝0 与斜率是否存在无关 7 两点间距离 平面内任意两点 8 点到直线距离 点(x₀，y₀)到Ax＋By＋C＝0 9 两平行线间距离 两直线为Ax＋By＋C₁＝0与Ax＋By＋C₂＝0 辨析01 倾斜角与斜率不是一回事，斜率不存在不等于斜率为零 倾斜角是直线向上的方向与 x 轴正方向所成的角，范围是 0°≤α＜180°；斜率是倾斜角的正切值，即 k＝tanα。当 α＝90° 时，直线垂直于 x 轴，斜率不存在，但倾斜角是存在的；当 α＝0° 时，直线平行于 x 轴，斜率等于 0。不要把“斜率不存在”与“斜率为零”混为一谈，前者对应竖直直线，后者对应水平直线。 辨析02 截距不是距离，截距可以是负数 直线在 x 轴、y 轴上的截距，是指直线与坐标轴交点的横坐标、纵坐标，它是一个实数，可正可负也可为零；而“距离”一定是非负数。使用截距式 x/a＋y/b＝1 时，必须保证 a≠0 且 b≠0，即直线不能过原点，也不能与坐标轴平行。过原点的直线虽然横、纵截距都为 0，但不能用截距式表示。 辨析03 两直线平行或垂直时，不要忽略斜率不存在的情况 用 k₁＝k₂ 且 b₁≠b₂ 判断平行，用 k₁k₂＝－1 判断垂直，前提是两条直线的斜率都存在。若一条直线斜率不存在、另一条直线斜率为 0，则两直线垂直；若两条直线斜率都不存在，则它们平行或重合。因此判断位置关系时，应先讨论斜率是否存在，再考虑用一般式系数判断更稳妥。 辨析04 点到直线的距离公式中，直线必须化为一般式 点到直线的距离公式 d＝｜Ax₀＋By₀＋C｜/√(A²＋B²) 只适用于直线的一般式 Ax＋By＋C＝0。若已知直线是斜截式 y＝kx＋b，应先化为 kx－y＋b＝0 或 －kx＋y－b＝0，再代入公式。使用两平行线间距离公式时，也要先保证两条直线中 x、y 的系数分别相同。 辨析05 圆的一般方程不一定表示圆 方程 x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0 只有在 D²＋E²－4F＞0 时才表示圆；当 D²＋E²－4F＝0 时，它只表示一个点 (－D/2，－E/2)；当 D²＋E²－4F＜0 时，它不表示任何图形。另外，一般方程中 x² 与 y² 的系数必须相等且不为零，否则不是圆。 辨析06 判断直线与圆的位置关系，不能只看方程组解的个数 联立直线与圆的方程，消元后得到一元二次方程，判别式 Δ＞0 对应相交，Δ＝0 对应相切，Δ＜0 对应相离，这是代数法。但更常用的是几何法：比较圆心到直线的距离 d 与半径 r。两种方法结论一致，但几何法往往更简便。注意相切时直线与圆只有一个公共点，相交时有两个公共点，相离时没有公共点。 辨析07 求过圆外一点的切线，不要遗漏斜率不存在的情况 过圆外一点求圆的切线，通常设切线斜率为 k，用点到直线的距离等于半径求 k。但若所求切线垂直于 x 轴，则斜率不存在，无法用斜截式设出，必须单独讨论。因此解题时应先判断该点是否在圆上，再分“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况讨论，避免漏解。 辨析08 两圆相切包括外切和内切，不能只考虑一种 判断两圆位置关系时，设圆心距为 d，两半径分别为 r₁、r₂（r₁＞r₂）。外切满足 d＝r₁＋r₂，内切满足 d＝r₁－r₂，两者都属于“相切”，但位置不同，公共点个数都是一个。相交满足 r₁－r₂＜d＜r₁＋r₂，外离满足 d＞r₁＋r₂，内含满足 d＜r₁－r₂。解题时要注意题目说的是“相切”还是“外切”，避免漏掉内切的情况。 辨析09 弦长问题中，弦心距、半弦长、半径构成直角三角形 在直线与圆相交的弦长问题中，常作圆心到弦的垂线，垂足平分弦。此时弦心距 d、半弦长 |AB|/2、半径 r 满足 r²＝d²＋(|AB|/2)²，所以 |AB|＝2√(r²－d²)。不要把弦长直接写成 √(r²－d²)，也不要忽略“半弦”这一关系。用代数法求弦长时，注意公式 |AB|＝√(1＋k²)·|x₁－x₂| 中 k 是直线的斜率。 辨析10 轨迹问题中，求出方程后要检验范围 求动点轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验。化简过程中可能会出现增解或漏解，因此最后必须检验。例如，求到两定点距离相等的点的轨迹，得到的是线段的中垂线；求到定点的距离等于定长的点的轨迹，得到的是圆。若动点受到某些限制，轨迹可能只是圆的一部分或直线的一部分，不能只写方程而不说明范围。 【题型一】直线的倾斜角与斜率 【例1】（25-26高二上·重庆·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【题型二】五种直线方程的求解 【例2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为______. 【变式2-1】（25-26高二上·贵州毕节·期中）将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 【变式2-2】25-26高二上·山东淄博·期中）设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 【变式2-3】（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【题型三】两条直线平行与垂直关系 【例3】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知，直线，直线则“”的充要条件是_____. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知直线，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线与垂直，则______． 【题型四】直线的距离公式及应用 【例4-1】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-1】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【题型五】圆的标准方程与一般方程 【例5-1】（25-26高二上·重庆·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26高二上·天津和平·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【变式5-2】（25-26高二上·湖南湘潭·期中）过三点的圆的标准方程为_____. 【题型六】直线与圆的位置关系判断 【例6-1】（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【例6-2】（25-26高二上·广东汕头·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式6-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【变式6-2】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在直线上，则直线与圆相交 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与圆相切 【题型七】直线与圆的相交弦长问题 【例7-1】（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线，圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与l和y轴均相切． (1)求圆C的方程； (2)过点直线与圆C交于A,B两点，且，求该直线方程． 【题型八】圆与圆的位置关系 【例8-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆，则两圆（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【例8-2】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【变式8-1】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式8-2】（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）圆：与圆：相交，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型九】两圆的公共弦问题 【例9-1】（25-26高二上·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式9-2】25-26高二上·重庆·期中）已知 与相交于点 ，则 _____ 【题型一】误解“截距”与“距离”致错 【例1】（25-26高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（    ） A． B． C． D．3 【变式1】（25-26高二上·上海·月考）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 【题型二】忽略斜率不存在的情况致错 【例2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 【题型三】平行直线间的距离公式使用不当致错 【例3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 【题型四】遗漏二元二次方程表示圆的条件致错 【例4】（25-26高二上·福建厦门·期中）若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·山东威海·期中）过原点可以作两条线与圆相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型一】直线与线段相交求范围问题 【例1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二】直线的对称关系及应用 【例2】（25-26高二上·广东深圳·期中）原点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【变式2-3】（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型三】由直线与圆的位置关系求参数 【例3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·吉林·期中）若直线与圆相切，则实数m的值为________． 【变式3-2】（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型四】圆的切线与切线长问题 【例4】（25-26高二上·云南楚雄·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式4-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则______. 【题型五】两圆的公切线问题 【例5】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·天津·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是_________. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【题型六】圆的轨迹问题 【例6】（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·广东·期中）在中，若动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型一】直线系方程 【模型解读】 过点的直线系方程为(其中不全为零) 平行于直线的直线系方程； 垂直于直线的直线系方程； 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 【例1】求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程． 过点； 和直线垂直． 【变式1-1】求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： 斜率为；过点；平行于直线． 【题型二】圆系方程 【模型解读】 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 ； 过两圆，交点的圆系方程为此圆系不含 特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 【例2】求过直线和圆的交点，并且面积最小的圆的方程． 【变式2-1】求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【变式2-2】求圆心在直线上，且过两圆与的交点的圆的方程． 【题型三】与圆有关的最值问题 【模型解读】将目标式转化为圆心到定点或定直线的距离→利用“距离±半径”求最值→验证取等条件。 【例3】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．4 【变式3-2】（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 技巧 一句话要点 判断倾斜角与斜率——"分象限讨论法" 倾斜角为锐角时 k＞0，为钝角时 k＜0，为直角时 k 不存在，为 0° 时 k＝0。 由两点求斜率——"先看横坐标" 先比较 x₁ 与 x₂：不等用斜率公式，相等则斜率不存在，不要直接代入。 判断三点共线——"斜率相等法" 先排除斜率不存在的情况，再验证 kAB＝kAC，即三点共线。 求直线方程——"选形式看条件" 已知一点和斜率用点斜式；已知斜率和截距用斜截式；已知两点用两点式；已知两截距用截距式。 含参数的直线方程——"先讨论斜率是否存在" 设斜截式前先判断直线是否可能垂直于 x 轴，避免漏解。 判断两直线平行——"斜率相等且截距不等" k₁＝k₂ 且 b₁≠b₂；若斜率都不存在，则需另判是否重合。 判断两直线垂直——"斜率乘积为－1" k₁k₂＝－1；若一条斜率为 0、另一条斜率不存在，也垂直。 求两直线交点——"联立解方程组" 把两直线方程联立，方程组的解就是交点坐标；无解则平行，无穷多解则重合。 点到直线距离——"先化一般式" 把直线化为 Ax＋By＋C＝0，再代入 d＝｜Ax₀＋By₀＋C｜/√(A²＋B²)。 两平行线间距离——"系数先统一" 先使两直线中 x、y 的系数分别相同，再用公式计算。 求圆方程——"定圆心、定半径" 标准方程看圆心和半径；一般方程先配方，注意 D²＋E²－4F＞0 才表示圆。 判断点与圆位置——"比较距离与半径" d＞r 在圆外，d＝r 在圆上，d＜r 在圆内；也可直接代入方程比较。 判断直线与圆位置——"比较 d 与 r" d＜r 相交，d＝r 相切，d＞r 相离；比联立方程更简便。 求切线——"先分点在圆上还是圆外" 点在圆上，切线唯一；点在圆外，两条切线，注意斜率不存在的情况。 求公共弦——"两圆方程相减" 两圆方程相减消去 x²、y²，所得直线即为公共弦所在直线，再用弦长公式求弦长。 求轨迹方程——"建、设、列、化、验" 建系、设点、列等量关系、化简、检验范围，五步缺一不可。 直线过定点——"分离参数法" 把含参数的直线方程整理为关于参数的方程，令参数系数和常数项分别为 0，解出定点。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $