专题03 椭圆（3知识&11题型&2易错）（期中知识清单）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03 椭圆 （3知识&11题型&2易错） 【清单01】椭圆的定义 1、椭圆的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）椭圆定义的集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0． （3）对定义的理解： ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的焦点三角形 （1）定义：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． （2）常用结论：若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 【清单02】椭圆的标准方程与几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 轴长 长轴长：；短轴长： 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 【清单03】直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 【题型一】椭圆定义的理解及简单应用 1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程； 2、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值； 利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值． 【例1】（24-25高二上·天津·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 【变式1-1】（24-25高二上·江苏邗江·月考）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【变式1-2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆的标准方程为()，并且焦距为6，则实数的值为____________． 【变式1-3】（25-26高二上·宁夏罗平·月考）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【题型二】与椭圆有关的轨迹问题 与椭圆有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足椭圆定义或符合椭圆方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配椭圆的定义． 【例2】（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·山东·期中）已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·重庆江北·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·云南丽江·月考）已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为 ． 【题型三】椭圆的焦点三角形问题 椭圆的焦点三角形的求解思路： （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 【例3】（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 【变式3-1】（24-25高二上·福建泉州·期中） 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则的面积为(    ) A．3 B．5 C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【题型四】椭圆中距离和差的最值问题 椭圆中“距离和的最值”主要分为“椭圆上一点到两定点的距离和”和“椭圆内一点到椭圆上一点与焦点的距离和”，核心解法“利用椭圆定义转化为两点间距离”（几何法），避免代数硬算． 椭圆中“距离差的最值”主要是“椭圆上一点到两个定点的距离差”和“椭圆上一点到两焦点的距离差”，核心解法是“三角形三边关系”（几何法），注意椭圆的封闭性导致距离差的范围有限制． 【例4】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（    ） A．－5 B．－4 C．－3 D．－2 【变式4-1】（24-25高二上·河南·期中）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【变式4-2】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为 . 【题型五】椭圆标准方程形式与求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 【例5】（24-25高二上·河南漯河·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·辽宁·开学考试）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·陕西西安·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【题型六】求椭圆离心率的值或范围 1、求椭圆离心率的3种方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2、求椭圆离心率范围的2种方法 （1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 【例6】（24-25高二上·河南信阳·期中）已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 . 【变式6-1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型七】直线与椭圆的位置关系判断 通过联立直线与椭圆的方程，将几何位置关系转化为方程解的个数问题． 1、求解步骤：先明确直线与椭圆的方程，再联立方程消元得到一元二次方程，最后通过判别式判断； 2、特殊情况：若直线过定点，可先判断定点的位置． 【例7】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式7-1】（24-25高二上·天津·期中）直线与椭圆（）的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式7-2】（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【变式7-3】（24-25高二上·北京·月考）直线与曲线的公共点的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型八】根据直线与椭圆的位置关系求参数 将“位置关系”转化为“代数条件”（如判别式符号、交点坐标特征、切线公式约束等），再通过解方程或不等式求解参数范围． 【例8】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ． 【变式8-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【题型九】椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则． 【例9】（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·河南南阳·期中）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 【题型十】直线与椭圆相交弦长问题 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 【例10】（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 【变式10-1】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式10-2】（24-25高二下·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【变式10-3】（24-25高三下·湖南株洲·期中）设椭圆经过点，其离心率. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积. 【题型十一】椭圆的综合应用 【例11】（24-25高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【变式11-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． (1)求椭圆E的长轴长及离心率； (2)证明：M，N两点横坐标之和为． 【变式11-2】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的右顶点为，上顶点为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，点为椭圆上不同于顶点的一点，若直线，与轴相交，交点分别为，，且，求点的横坐标. 【变式11-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设椭圆过两点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，若不存在，说明理由. 【易错一】忽略直线斜率不存在致错 点拨：设直线为时，默认斜率存在，需单独讨论斜率不存在的直线（）是否满足条件，否则会漏解． 【典例】（24-25高二上·辽宁·期中）设圆的圆心为A，直线l过点，F是圆A上的任意一点，线段BF的垂直平分线与AF交于E点. (1)求出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线，直线l交曲线于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 【变式】（24-25高二下·重庆·期中）已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交于，与椭圆交于、两点.若，求点的坐标. 【易错二】利用“韦达定理”时，忽略“”的前提致错． 点拨：已知直线与椭圆相交（如求弦长、中点），需用韦达定理，但韦达定理的适用前提是“方程有两个不同实根”，即，若忽略此条件，会得到“虚解”。 【典例】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点坐标是，且椭圆上的点到距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点，． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数取值范围． 【变式】（24-25高二下·福建厦门·期中）在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交于两点，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆 （3知识&11题型&2易错） 【清单01】椭圆的定义 1、椭圆的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）椭圆定义的集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0． （3）对定义的理解： ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2、椭圆的焦点三角形 （1）定义：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． （2）常用结论：若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 【清单02】椭圆的标准方程与几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 轴长 长轴长：；短轴长： 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 【清单03】直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 【题型一】椭圆定义的理解及简单应用 1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程； 2、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值； 利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值． 【例1】（24-25高二上·天津·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 【答案】 【解析】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 【变式1-1】（24-25高二上·江苏邗江·月考）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【解析】因为，所以， 当且仅当时，取到最大值.故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆的标准方程为()，并且焦距为6，则实数的值为____________． 【答案】4或 【解析】因为2c＝6，所以c＝3， （1）当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知，解得 （2）当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，解得 综上，解得或． 【变式1-3】（25-26高二上·宁夏罗平·月考）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【解析】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形．故选：D. 【题型二】与椭圆有关的轨迹问题 与椭圆有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足椭圆定义或符合椭圆方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配椭圆的定义． 【例2】（24-25高二下·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为.故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·山东·期中）已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则 所以， 又因为，所以， 化简得到，整理得到， 所以点的轨迹方程为.故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·重庆江北·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为，由题意， 两式相加可得， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以，所以椭圆方程为．故选：A. 【变式2-3】（24-25高二上·云南丽江·月考）已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设动点，由点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 得，即， 整理得：，点P的轨迹方程为. 【题型三】椭圆的焦点三角形问题 椭圆的焦点三角形的求解思路： （1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法； （2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等． 【例3】（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 【答案】D 【解析】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为.故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·福建泉州·期中） 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 是椭圆上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点， ， ， ， ， 在中，， ，故选 ． 【变式3-2】（24-25高二上·广西玉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则的面积为(    ) A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的定义可知，，且，因为， 所以，又， 故，所以.故选：A. 【变式3-3】（24-25高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【解析】因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即， 所以， 故的面积， 设的内切圆半径为， 则，解得,. 【题型四】椭圆中距离和差的最值问题 椭圆中“距离和的最值”主要分为“椭圆上一点到两定点的距离和”和“椭圆内一点到椭圆上一点与焦点的距离和”，核心解法“利用椭圆定义转化为两点间距离”（几何法），避免代数硬算． 椭圆中“距离差的最值”主要是“椭圆上一点到两个定点的距离差”和“椭圆上一点到两焦点的距离差”，核心解法是“三角形三边关系”（几何法），注意椭圆的封闭性导致距离差的范围有限制． 【例4】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（    ） A．－5 B．－4 C．－3 D．－2 【答案】B 【解析】在椭圆中，，，则，则， 则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为1， 由椭圆的定义可得， 所以， 再由圆外的点到圆上动点的最小值为到圆心的距离减去半径， 所以有， 利用当且仅当、、三点共线且在线段上时，取最小值， 所以有 故的最小值为－4.故选：B． 【变式4-1】（24-25高二上·河南·期中）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】B 【解析】 如图，连接,因，则， 由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小， 最小值为,此时，的最小值为.故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部， 所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为；故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为 . 【答案】11 【解析】如图： 由椭圆可知，， 在椭圆中， 又因为圆心为，所以当三点共线时（如图），最大， 此时. 【题型五】椭圆标准方程形式与求解 （1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 ①定位：确定焦点在那个坐标轴上； ②定量：依据条件及确定的值； ③写出标准方程． （2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为； （3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数． 【例5】（24-25高二上·河南漯河·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即， 由题有，所以，故选：A. 【变式5-1】（24-25高二下·辽宁·开学考试）“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由方程表示椭圆，可得，解得， 因为， 所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.故选：B. 【变式5-2】（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为.故选：B. 【变式5-3】（24-25高二上·陕西西安·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）设椭圆方程为， 由题可得，解得， 所以所求椭圆标准方程为. 【题型六】求椭圆离心率的值或范围 1、求椭圆离心率的3种方法 （1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． （2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． （3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2、求椭圆离心率范围的2种方法 （1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 【例6】（24-25高二上·河南信阳·期中）已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为 . 【答案】 【解析】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示： 由圆：可知圆心，半径； 显然，且， 因此可得，所以，可得； 即可得，又易知； 由余弦定理可得， 解得， 再由椭圆定义可得，即， 因此离心率. 【变式6-1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以.故选：D. 【变式6-2】（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是.故选：C. 【变式6-3】（24-25高二上·湖南永州·期中）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以点在以为直径的圆上，即， 由题意可知，圆在椭圆内部，故， 所以， 所以.故选：C. 【题型七】直线与椭圆的位置关系判断 通过联立直线与椭圆的方程，将几何位置关系转化为方程解的个数问题． 1、求解步骤：先明确直线与椭圆的方程，再联立方程消元得到一元二次方程，最后通过判别式判断； 2、特殊情况：若直线过定点，可先判断定点的位置． 【例7】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【解析】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交.故选：A 【变式7-1】（24-25高二上·天津·期中）直线与椭圆（）的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交.故选：C. 【变式7-2】（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题意直线与圆相离， 所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2.故选：D. 【变式7-3】（24-25高二上·北京·月考）直线与曲线的公共点的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】当时，曲线，即，双曲线右半部分； 一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行； 当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示： 根据图像知有个公共点.故选：B 【题型八】根据直线与椭圆的位置关系求参数 将“位置关系”转化为“代数条件”（如判别式符号、交点坐标特征、切线公式约束等），再通过解方程或不等式求解参数范围． 【例8】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得．故选:B． 【变式8-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部， 所以直线与椭圆必有公共点.故选：D 【变式8-2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）若直线与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 ． 【答案】 【解析】由得，， ∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴，解得， ∴m的范围是. 【变式8-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 【题型九】椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则． 【例9】（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求.故选：A. 【变式9-1】（24-25高二上·河南南阳·期中）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则其中点坐标为， 则，两式相减可得， 即， 因为A，B关于直线对称，则， 又，所以， 即，所以， 且点在直线上，则， 解得，所以.故选：A 【变式9-2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点、，由题意可得， 若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，两式相减得， 即 0，所以 所以，即直线的斜率为.故选：A. 【变式9-3】（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 【题型十】直线与椭圆相交弦长问题 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 【例10】（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 【答案】 【解析】由，得， 解得或，则或， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 【变式10-1】（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得．故选：B． 【变式10-2】（24-25高二下·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则， 由于，又， 则，整理得到，解得， 又时，，所以满足题意. 【变式10-3】（24-25高三下·湖南株洲·期中）设椭圆经过点，其离心率. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为椭圆经过点，其离心率， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为. （2） 由得，，， 设，则， 所以. 因为点到的距离为， 所以. 【题型十一】椭圆的综合应用 【例11】（24-25高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得：，解得， 由椭圆过点，得，联立解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可设， 因点在第一象限，则， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ，当时，， 所以，， 所以， ，，直线的一般式方程：， 所以，， 所以， 所以， 当时，有最大值为. 【变式11-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． (1)求椭圆E的长轴长及离心率； (2)证明：M，N两点横坐标之和为． 【答案】(1)长轴长为6，离心率为；(2)证明见解析 【解析】（1）由椭圆方程得，，； 所以， 所以，； 所以椭圆长轴长为6，离心率为． （2）设点，，，， 设直线，联立方程 ， 消去y可得： 则；； 椭圆上顶点A坐标为， 所以直线；直线； 将，分别代入直线AB、AC 解得；； 所以 所以 将、代入 解得，得证． 【变式11-2】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的右顶点为，上顶点为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，点为椭圆上不同于顶点的一点，若直线，与轴相交，交点分别为，，且，求点的横坐标. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得，， 所以椭圆的方程为； （2）如图    法一：设，其中且， 因为直线，与轴相交，所以直线，斜率都存在， 直线方程为， 令，得， 直线方程为， 令，得， 所以， 又因为，所以， 代入中，可得， 整理得，即， 所以或， 又因为，，所以， 所以点的横坐标为； 法二：由题意直线斜率存在，且不为0， 设直线的方程为， 令，得， 由，得， 易知， 设，其中且，则， 所以，即， 直线的方程为， 令，得， 所以， 所以（舍）或， 代入中，得， 满足，， 所以点的横坐标为. 【变式11-3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设椭圆过两点，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）因为椭圆过两点， 将，的坐标代入椭圆的方程得， 解得，， 所以椭圆的方程为. （2） 假设满足题意的圆存在，其方程为，其中， 设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点， 当直线的斜率存在时，令直线的方程为，① 将其代入椭圆的方程并整理得， 由韦达定理得，，② 因为，所以，③ 将①代入③并整理得， 联立②得，④ 因为直线和圆相切，因此，由④得， 所以存在圆满足题意. 当切线的斜率不存在时，则， 由椭圆方程得，显然， 综上所述，存在圆满足题意. 【易错一】忽略直线斜率不存在致错 点拨：设直线为时，默认斜率存在，需单独讨论斜率不存在的直线（）是否满足条件，否则会漏解． 【典例】（24-25高二上·辽宁·期中）设圆的圆心为A，直线l过点，F是圆A上的任意一点，线段BF的垂直平分线与AF交于E点. (1)求出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线，直线l交曲线于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）圆的标准方程为，得，半径. 由线段BF的垂直平分线与AF交于E点，可得. 因为，且， 由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为两焦点的椭圆， 又， 则点的轨迹方程为：. （2）当直线斜率不存在时，即方程为，，， 四边形的面积为. 当直线斜率存在时，设的方程为，，. 由，得. 恒成立， 由韦达定理可得，. . 过点且与垂直的直线：， 因点到的距离为，则. 因,故四边形的面积为： . 又，则， 故四边形的面积取值范围为. 综上，四边形面积的取值范围为. 【变式】（24-25高二下·重庆·期中）已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交于，与椭圆交于、两点.若，求点的坐标. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由的面积为，得，解得，所以①， 又因为点在椭圆上，所以②， 联立①②解得，所以椭圆的标准方程为 （2） 设，联立方程， 消得：，直线与线段交于点，则， 所以 ，所以， 由得：，即，又. 所以，所以，则， 所以，又， 所以，所以， 所以为线段的中垂线与椭圆的交点， 由，解得：或， 因此，的坐标为 【易错二】利用“韦达定理”时，忽略“”的前提致错． 点拨：已知直线与椭圆相交（如求弦长、中点），需用韦达定理，但韦达定理的适用前提是“方程有两个不同实根”，即，若忽略此条件，会得到“虚解”。 【典例】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点坐标是，且椭圆上的点到距离的最大值为，过点的直线交椭圆于点，． (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数取值范围． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由焦点坐标可知， 又椭圆上的点到距离的最大值为，可知， 所以； 故椭圆方程是； （2）设，，， 显然直线斜率存在，设直线的方程为， 由，整理得， 则，解得， 又，， 因且，则， 于是有， 化简得，则， 即，所以， 由得， 则，， 而点在椭圆上，即，化简得， 从而有，而，即， 于是得，解得或， 故实数的取值范围为或. 【变式】（24-25高二下·福建厦门·期中）在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，则，过作轴的垂线，垂足为,则， 因为，则， 则整理得代入中得， 整理得，所以曲线C的方程为． （2） 依题意知道，直线不垂直于轴， 则设其方程为， 由消去并整理得， ，解得， 设，则 则， 令，则，且 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $