专题05 椭圆、双曲线、抛物线（基础篇，选填）（考点清单+知识导图+ 12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）

清单05 椭圆、双曲线、抛物线（选填） （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【清单02】椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【清单03】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【清单04】双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【清单05】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【清单06】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【考点题型一】椭圆,双曲线，抛物线定义辨析 【例1-1】（23-24高二下·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【例1-2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 【例1-3】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 【变式1-1】.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【变式1-2】（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 【变式1-3】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 【例2-1】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆M与圆C1：和圆C2：一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为 . 【例2-3】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，点到直线的距离比到点的距离大2，记的轨迹为，求的方程； 【变式2-1】（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·湖北·开学考试）已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知定点，直线，记过点且与直线相切的圆的圆心为点.则动点的轨迹方程为 ． 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 【例3-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（ ） A．8 B．6 C．20 D．10 【例3-2】（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知抛物线的焦点为为上一点，则（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【变式3-1】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）椭圆上的动点到其左焦点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式3-2】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为为上一点，且，则 ． 【变式3-3】（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是抛物线上纵坐标为4的点，则与的焦点的距离为 . 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（周长问题） 核心方法：圆锥曲线定义+余弦定理 【例4-1】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【例4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ． 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，写出的周长的一个可能取值 ． 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别是，点在双曲线上，且线段经过焦点，，则的周长为 . 【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 核心方法：圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式 【例5-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，点M在E上，如果，则的面积为 ． 【变式5-1】（23-24高二上·新疆昌吉·期末）若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过原点O的直线l：与C交于A，B两点，O为坐标原点.若，则的面积为 . 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（其他问题） 【例6-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的离心率为，上下焦点分别为，，M为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（    ） A． B． C．若为直角三角形，则 D．若，则的面积为 【例6-2】（2024·贵州六盘水·三模）（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 【变式6-1】（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）已知点P是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．内切圆的面积为 D．点P的纵坐标为 【变式6-2】（2024·广东广州·二模）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线与交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题 【例7-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【例7-3】（2024·江西九江·一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 【变式7-1】（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【变式7-2】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式7-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为 . 【考点题型八】求圆锥曲线方程 【例8-1】（24-25高二上·上海·开学考试）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【例8-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 【例8-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 . 【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知为双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足（为半虚轴长），则双曲线的标准方程为 . 【变式8-2】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 【变式8-3】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件 【例9-1】（多选）（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程，下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D．若，则该方程表示两条直线 【例9-2】（多选）（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 【变式9-1】（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知曲线，则下列说法错误的是（    ）. A．若，则曲线C是圆 B．若，则曲线C是椭圆 C．若，则曲线C是双曲线 D．曲线C可以是抛物线 【变式9-2】.（多选）（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率（定值） 【例10-1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上一点，且，H是线段上靠近的四等分点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例10-2】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【变式10-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·广西来宾·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率（最值+范围） 【例11-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【例11-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式11-2】（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 【考点题型十二】圆锥曲线中新定义题（小题） 【例12-1】（23-24高二下·湖南益阳·期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12-2】（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 【变式12-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ． 提升训练 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京朝阳·二模）已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24高三下·全国·开学考试）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2024安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 7．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知椭圆是左，右焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（     ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 10．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知F₁，F₂分别是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，以F₁F₂ 为直径的圆与E在第一、二象限交于Q，P两点，PF₂与QF₁交于点M，记△PF₁M的面积为S△PF₁M，△QF₁F₂的面积为S△QF₁F₂，若， 则E 的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 13．（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 14．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是 ；当取得最大值时，椭圆的焦距为 . 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 . 17．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知抛物线的焦点为，，，为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，若直线AB，AD，BD的斜率分别为，，，则的值为 ； ． 18．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 椭圆、双曲线、抛物线（选填） （12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 【清单02】椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 【清单03】双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【清单04】双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 【清单05】抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【清单06】抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 【考点题型一】椭圆,双曲线，抛物线定义辨析 【例1-1】（23-24高二下·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案. 【详解】由得， 等式左边表示点和点的距离， 等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 【例1-2】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线的定义即可求解 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以，，所以，，. 由双曲线的定义可知，令，则. 故答案为： 【例1-3】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 【答案】答案见详解 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆定义讨论判断. 【详解】表示点到点的距离，表示点到点的距离， 所以表示点到点和的距离之和， 当时，方程表示的曲线是椭圆； 当时，方程表示的曲线是线段； 当时，方程表示的曲线不存在. 【变式1-1】.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 【变式1-2】（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，，依题意可得为等边三角形，从而得到直线过，再根据线段垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，， 依题意可得长半轴长，半焦距，且， 所以为等边三角形，则直线过， 所以 ，即的周长为. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 【答案】2 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则, 所以, 故答案为：2. 【考点题型二】利用圆锥曲线定义求轨迹方程 【例2-1】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用椭圆定义求方程、由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——椭圆 【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程. 【详解】圆：和：的圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为, 由题意，，, 两式相加可得, 故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C 【例2-2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知圆M与圆C1：和圆C2：一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为 . 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据内切和外切的性质及双曲线的定义得到点的轨迹为双曲线，然后求方程即可. 【详解】当圆与圆内切，与圆外切时，，， 当圆与圆外切，与圆内切时，，， 所以，点的轨迹为双曲线，设轨迹方程为，，，则，所以轨迹方程为. 故答案为：. 【例2-3】（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，点到直线的距离比到点的距离大2，记的轨迹为，求的方程； 【答案】 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】 根据题意转化为到直线的距离等于到的距离，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】 解：由点到直线的距离比到点的距离大2 可转化为到直线的距离等于到的距离 所以的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 可得，所以，所以曲线的方程为. 【变式2-1】（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用椭圆定义求方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二下·湖北·开学考试）已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用双曲线定义求方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程. 【详解】如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知定点，直线，记过点且与直线相切的圆的圆心为点.则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】设已知圆的圆心为，根据题意，得到，其中d为点C到直线l的距离，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】设已知圆的圆心为， 因为过点的圆与直线相切，可得，其中d为点C到直线l的距离， 所以的轨迹是以原点为顶点，为焦点，为准线的抛物线， 所以可设动点的轨迹方程为， 由已知， 所以所求动圆圆心的轨迹方程为． 故答案为：． 【考点题型三】圆锥曲线上点到焦点距离及最值 【例3-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若，则的值为（ ） A．8 B．6 C．20 D．10 【答案】A 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】 先求解出的值，再根据椭圆的定义求解出的值. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 又因为，所以， 故选：A. 【例3-2】（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知抛物线的焦点为为上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】将代入抛物线的方程中解得，由抛物线定义可求. 【详解】将代入，解得，由抛物线的定义可知. 故选：B 【例3-3】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】设，且，通过可求得最小值. 【详解】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左定点时去最小值. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）椭圆上的动点到其左焦点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距 【分析】利用椭圆的性质计算即可. 【详解】由题意可知该椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为， 设， 则，时取得等号. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为为上一点，且，则 ． 【答案】6或10 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的焦距，点到直线距离公式，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】因为双曲线的左、右焦点分别为，且， 所以，设该双曲线的方程为， 设该双曲线的一条渐近线方程为， 因为左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为， 所以， 所以， 由双曲线的定义得，又， 解得或． 故答案为：6或10 【变式3-3】（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是抛物线上纵坐标为4的点，则与的焦点的距离为 . 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】求出点P的坐标及焦点坐标，然后由抛物线的定义可得. 【详解】由C：可得的横坐标为， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为： 由抛物线的定义可得，与的距离． 故答案为：． 【考点题型四】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（周长问题） 核心方法：圆锥曲线定义+余弦定理 【例4-1】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆的有界性求范围或最值、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解. 【详解】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 【例4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义以及性质可知，根据已知可求得加双曲线焦距长可求得. 【详解】方程化为，则，根据题意知 又， 所以，则的周长为． 故答案为：12    【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，写出的周长的一个可能取值 ． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题 【分析】根据三角形的边长之间的关系，可知当过焦点时，的周长取得最大值，再结合，，的最小值，可得的周长的最小值.根据的周长的取值范围写出答案. 【详解】如图：    设椭圆左焦点为， 则，当且仅当直线经过左焦点时，取得最大值， 又，,，所以， 所以的周长的取值范围为：. 所以的周长可以为4． 故答案为：4（答案不唯一） 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别是，点在双曲线上，且线段经过焦点，，则的周长为 . 【答案】 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义可得，，进而可得. 【详解】 由双曲线的定义可得①，②， 两式相加得，即， 所以，故的周长为. 故答案为： 【考点题型五】椭圆，双曲线中焦点三角形问题 核心方法：圆锥曲线定义+正、余弦定理+面积公式 【例5-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】 结合椭圆定义，有，即可得各边长与的关系，得到，结合即可求解. 【详解】设，则，所以， 因为，即，故， 所以， 所以，故，即， 所以. 故选：B. 【例5-2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，点M在E上，如果，则的面积为 ． 【答案】16 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意求出a,b,c,由及双曲线的定义求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意得,所以, 不妨设, 根据双曲线定义可得①， 又, 所以②， 联立①②解得, 所以的面积. 故答案为：16. 【变式5-1】（23-24高二上·新疆昌吉·期末）若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件及椭圆的定义，结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由，得，，即， 由椭圆的定义可知，， 在中，由余弦定理得， 可得，解得. 所以的面积为. 故选：C. 【变式5-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过原点O的直线l：与C交于A，B两点，O为坐标原点.若，则的面积为 . 【答案】2 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解 【分析】先得到平行四边形为矩形，设，则，由勾股定理得到方程，从而求出三角形的面积. 【详解】由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形，    因为，所以平行四边形为矩形， 故，， 不妨设点A在C的右支上，，则， 所以，得， 所以. 故答案为：2 【考点题型六】椭圆，双曲线中焦点三角形问题（其他问题） 【例6-1】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知椭圆的离心率为，上下焦点分别为，，M为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（    ） A． B． C．若为直角三角形，则 D．若，则的面积为 【答案】AC 【知识点】椭圆定义及辨析、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据给定条件，求出判断AB；确定直角顶点计算判断C；利用定义求出并求出三角形面积判断D. 【详解】对于AB，椭圆半焦距，由离心率为，得，，A正确，B错误； 对于C，由知，以线段为直径的圆在椭圆内，即不可能是直角， 由为直角三角形，得或，由椭圆对称性不妨令， 直线，由，得，即，则， 所以，C正确； 对于D，由椭圆定义得，而，解得， 而，则是边长为2的正三角形，其面积为，D错误. 故选：AC 【例6-2】（2024·贵州六盘水·三模）（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 【答案】BCD 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由离心率公式和点到直线的距离公式，可得a，b，c，由双曲线的定义可判断A；由焦点三角形的面积公式可判断B；由轴，计算可判断C；由双曲线的定义和内切圆的性质，可判断D． 【详解】渐近线方程为， 由题意可得，焦点到渐近线的距离为，结合，解得，则双曲线的方程为 ， ，所以 或，选项A错； 记，则， 由，可得，即有，所以，选项B对： 因为的中点在轴上，所以,故轴，故，选项C对； 取点在双曲线的右支上，如图所示， ， 又因为，解得，， 所以切点是双曲线的右顶点，从而内切圆圆心的横坐标为1，选项D对． 故选：BCD． 【变式6-1】（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）已知点P是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．内切圆的面积为 D．点P的纵坐标为 【答案】AC 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】 由椭圆的定义得，焦点三角形中结合余弦定理，得，由面积公式求值判断选项A；定义法求向量数量积判断选项B；面积法求内切圆半径，计算面积判断选项C；由面积求点P的纵坐标判断选项D. 【详解】椭圆的方程为，则，，，根据椭圆定义得. 对于A选项，（Ⅰ）， 在中，由余弦定理得，即（Ⅱ）， 由（Ⅰ）和（Ⅱ）得， 则的面积，故A选项正确. 对于B选项，设点，则， ， 当时，取得最大值5，故B选项错误. 对于C选项，设内切圆的半径为r，由A选项知的面积为， 则，即，解得， 所以内切圆的面积为，故C选项正确. 对于D选项，由A选项知的面积为，则，即，故D选项错误. 故选：AC. 【变式6-2】（2024·广东广州·二模）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线与交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 【答案】ACD 【知识点】数量积的运算律、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的顶点坐标 【分析】根据双曲线的定义判断A；取直线可判断B；由向量的数量积公式和运算律进行化简判断C；根据双曲线的定义判断D. 【详解】对A，得，所以， 所以， 当为双曲线右支与轴交点时，取等号， 即的最小值为8，故A正确； 对B，若直线经过，当直线的斜率为0时，直线的方程为， 与双曲线的两个交点为，此时，故B错误； 对C，因为， 所以，， 两式相加得，， 所以，故C正确； 对D，设为的内心， ， ， ， 在双曲线上，,为定值，D正确， 故选：ACD． 【考点题型七】圆锥曲线中线段和差最值问题 【例7-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题． 【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即， 则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为， 故选：D． 【例7-2】（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可. 【详解】 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， ，，则左焦点， 由双曲线的定义得， 因为，即当，，三点共线时最大， 所以， 最大值为. 故选：D. 【例7-3】（2024·江西九江·一模）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果. 【详解】如图所示：      由圆的标准方程为可知圆心，半径为， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线定义可知， 圆外一点到圆上点的距离满足，即； 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立； 即的最小值为． 故答案为： 【变式7-1】（23-24高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 【变式7-2】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值. 【详解】    由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 【变式7-3】（2024高二上·全国·专题练习）已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】利用椭圆的定义，得到，从而得解. 【详解】因为椭圆，则， 所以为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则， 由椭圆的定义得，， 所以P为射线FA与椭圆交点时，取最小值， 此时． 故答案为： 【考点题型八】求圆锥曲线方程 【例8-1】（24-25高二上·上海·开学考试）焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】由题意确定可得，进而求得标准方程. 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆经过点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【例8-2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】由题意可知，结合可求出，从而可写出的一个标准方程． 【详解】因为，所以， 所以， 又因为，则，即， 又因为，所以， 解得， 当时，的一个标准方程为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 【例8-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 . 【答案】或 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】设出抛物线的标准方程，点的坐标代入计算即可. 【详解】依题意可设抛物线的标准方程为和， 将代入分别解得和， 则抛物线的标准方程为或. 故答案为：或. 【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知为双曲线的两个焦点，双曲线上一点满足（为半虚轴长），则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由题意可知双曲线焦点在轴上，且，结合可求出，进而得到标准方程. 【详解】依题意， 则由可得， 因为焦点在轴上，因此双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式8-2】（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】过点向轴作垂线，求得坐标，即可求解. 【详解】过点向轴作垂线，垂足记为, 由题意可知，所以点坐标为， 代入抛物线方程得，所以 故答案为： 【变式8-3】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情形，结合几何性质列式求解； （2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解. 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 【考点题型九】判断方程为椭圆、双曲线的条件 【例9-1】（多选）（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程，下列说法正确的是（    ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D．若，则该方程表示两条直线 【答案】ACD 【知识点】由方程研究曲线的性质、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断方程是否表示椭圆 【分析】AC选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B选项，化为，得到B正确；D选项，化为，故D正确. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误； 对于C，，则可化为， 由于，所以，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则可化为，即， 此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 故选：ACD 【例9-2】（多选）（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，方程表示椭圆 B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 C．当时，方程表示圆 D．当或时，方程表示双曲线 【答案】BCD 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线 【分析】根据方程中分母的正负及是否相等可判断选项即可. 【详解】当时，由，且即时，此方程表示圆，故A不正确； 当时，，，由方程可知表示焦点在轴上的双曲线，故B正确； 由A可知，当时，方程表示圆，故C正确； 当时，，，故方程表示焦点在轴上的双曲线，当时，由B可知，方程表示双曲线，故D正确. 故选：BCD 【变式9-1】（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知曲线，则下列说法错误的是（    ）. A．若，则曲线C是圆 B．若，则曲线C是椭圆 C．若，则曲线C是双曲线 D．曲线C可以是抛物线 【答案】ABD 【知识点】判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线、抛物线方程的四种形式与位置特征 【分析】，，则曲线C不存在，即可判断选项A，B；时，曲线C是双曲线，故C正确；无论为何值，曲线C不可能是抛物线即可判断选项D. 【详解】对于A，若，则曲线C不存在，错误； 对于B，若，，时，则曲线C不存在，错误； 对于C，若，，，或，，则曲线C是双曲线，正确； 对于D，抛物线的方程是或，与曲线C形式不一致，错误. 故选：ABD. 【变式9-2】.（多选）（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 【答案】CD 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线 【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断. 【详解】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错； 对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错； 对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对. 故选：CD. 【考点题型十】圆锥曲线中的离心率（定值） 【例10-1】（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上一点，且，H是线段上靠近的四等分点，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出大致图像，由解析式求出点坐标，利用向量数量积为0得到等量关系，得出离心率. 【详解】由题意可作图如下： 由题意可知：， ∴中点：，即 ∴四等分点：，即 ∴， ∴，即 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵离心率 ∴ ∴ 故选：C 【例10-2】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求点到直线的距离、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和向量的数量积为零得到，最后结合三角形的面积公式求出离心率即可. 【详解】设，则，即， 双曲线C的渐近线方程为， 所以， 又，平方后得， 又在中，由可得， 所以， 两式相减，整理得， 所以， 因为， 所以，解得． 故选：C. 【变式10-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法求得关系，再利用椭圆的离心率公式可得答案. 【详解】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为， 所以，因为在椭圆上， 所以①， 两式相减，得， 根据，上式可化简为， 整理得，又，所以，即， 所以. 故选：B. 【变式10-2】（2024·广西来宾·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先由结合正弦定理和双曲线定义求出和，接着由求出和，再结合勾股定理、和离心率公式即可计算得解. 【详解】因为，所以由正弦定理得即， 又，所以即， 故，由得，， 由题可得且， 所以， 所以即. 故答案为： 【考点题型十一】圆锥曲线中的离心率（最值+范围） 【例11-1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 【例11-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长，再根据不等式整理可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B 【变式11-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、基本不等式求和的最小值、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆以及双曲线定义利用余弦定理和基本不等式计算可得当时，取得最小值为3. 【详解】设，由余弦定理得，即； 在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此， 在双曲线中，等于双曲线的实轴长，因此， 则． 所以， 当且仅当时等号成立 故选：A 【变式11-2】（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、轨迹问题——圆 【分析】探求动点的轨迹，找出满足的不等关系，再转化为离心率解之即可. 【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上. 又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得， 所以， 则，即， 同除得，解之得. 故答案为： 【考点题型十二】圆锥曲线中新定义题（小题） 【例12-1】（23-24高二下·湖南益阳·期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、圆锥曲线新定义 【分析】根据条件设出到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别， 所以，得到， 又，所以，得到，故. 故选：C. 【例12-2】（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 【答案】 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、圆锥曲线新定义 【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解. 【详解】因为，即，解得，所以的虚轴长为， 故答案为：. 【变式12-1】（23-24高二上·江苏徐州·期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、根据椭圆方程求a、b、c、圆锥曲线新定义 【分析】根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果. 【详解】由题意可知的蒙日圆方程为， 因为圆与圆仅有一个公共点， 所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值， 所以或， 由此解得， 故选：B. 【变式12-2】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 ． 【答案】 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题、圆锥曲线新定义 【分析】根据离心率可得关于的方程，从而可求其值，根据角平分线的形状结合椭圆的定义可得的值. 【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故， 连接，因为为内心，故为角平分线， 由角平分线性质，有，故， 故答案为：，. 提升训练 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果. 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以. 故选：D 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】由题意得，解得． 故选：A. 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线的标准方程即焦点的定义计算即可. 【详解】，此时焦点在纵轴上，为. 故选：D 4．（2024·北京朝阳·二模）已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线的标准方程可得，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 由抛物线的定义知，，得， 即点P的横坐标为7. 故选：C 5．（23-24高三下·全国·开学考试）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，故，即，， 解得，故，即渐近线方程是，故D正确. 故选：D 6．（2024安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的焦点的位置进行分类讨论，结合双曲线渐近线方程和实轴长的定义进行求解即可. 【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：； 当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：， 因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有， 因此，所以双曲线的方程为：. 综上所述，双曲线的方程为或. 故选：D 7．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知椭圆是左，右焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】先根据椭圆的定义及余弦定理求出，即可得解. 【详解】由题意， 在中，由余弦定理得， ， 即，所以， 所以.    故选：A. 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率. 【详解】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率. 故选：A 9．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的a、b、c即可判断求解． 【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率， 因为，所以， 曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中，，， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率 故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对； 故选：B 10．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，作出图形，取的中点，连接，分别求出和，利用余弦定理即可求得离心率. 【详解】如图，取的中点，连接,则易得，，    在中，，则,又， 在中，由余弦定理，， 即，整理得，， 解得或（舍去），则. 故选:B. 11．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知F₁，F₂分别是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，以F₁F₂ 为直径的圆与E在第一、二象限交于Q，P两点，PF₂与QF₁交于点M，记△PF₁M的面积为S△PF₁M，△QF₁F₂的面积为S△QF₁F₂，若， 则E 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】如图，根据圆与椭圆的对称性可知，点M在y轴上，转成 设 则运用三角形相似得到将线段长度用c表示，借助椭圆定义构造齐次方程，求出离心率即可. 【详解】如图，根据圆与椭圆的对称性可知，点M在y轴上， 若 则 设 则易得 所以 易知 QF₁⊥QF₂，则△QF₁F₂∽△OF₁M， 则 即 解得 且 解得 所以在中，由勾股定理得 所 以由椭圆的定义得 得 即 故E的离心率为 故选 ：B. 12．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】过分别作的垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可； 【详解】 过分别作的垂线，垂足分别为， 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， ， 则， 又，则，即， ，故离心率为， 故选：B. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】应用双曲线的定义，结合已知，计算得出且符合到焦点距离范围. 【详解】由题知点在双曲线右支上，根据双曲线的定义得， 因为，所以，即， 又因为，所以满足题意. 故选：B. 14．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（方法一）首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可. （方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可. 【详解】（方法一）    因为抛物线的焦点到准线的距离为，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. （方法二）由方法一可得，则， 因此 ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 二、填空题 15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是 ；当取得最大值时，椭圆的焦距为 . 【答案】 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆的焦点、焦距 【分析】知道点在椭圆内，建立不等式，得到参数范围；再利用椭圆解析式的特点得出焦点，利用椭圆的定义转化线段和，利用三角形三边定理建立不等关系，解出参数取值范围. 【详解】因为点是椭圆内一点，所以， 由，可得. ∵，则，知为椭圆的下焦点， 设椭圆的上焦点为，则.又， 当且仅当三点共线时等号成立，所以， 所以，所以， 故的取值范围是：. 当取得最大值25时，椭圆的方程为，故其焦距为4. 故答案为：；4. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据题干双曲线上点满足,得到，代入方程计算求解即可得出结果. 【详解】依题意， 即，故， 又点在曲线上，所以，即， 故双曲线的标准方程为. 故答案为： 17．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知抛物线的焦点为，，，为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，若直线AB，AD，BD的斜率分别为，，，则的值为 ； ． 【答案】 2 0 【知识点】三角形的心的向量表示、抛物线的焦半径公式 【分析】根据三角形重心公式以及抛物线焦半径公式求解即可；根据题意求得直线的斜率，代入等式计算即可求解. 【详解】因为为抛物线上任意三点，且， 所以F为的重心，， 所以， 又，即. 因此抛物线的方程为， 则，， 两式相减得：， 所以， 同理可得，， 所以. 故答案为：2；0. 18．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、轨迹问题——椭圆 【分析】设动点，斜率用坐标表示，由斜率之积为可得出之间的关系式，进而得的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$