专题27 圆锥的侧面积专项训练（7大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题27 圆锥的侧面积 题型01 求圆锥的侧面积和全面积 题型02 求圆锥底面半径 题型03 求圆锥的高 题型04 求圆锥的母线长 题型05 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型06 圆锥的实际应用 题型07 圆锥侧面上最短路径问题 ▌题型01 求圆锥的侧面积和全面积 【典例1】如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 【变式1-1】“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可． 【详解】解： ∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为， ∴底面半径， ∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴根据勾股定理有， ∴， ∴圆锥的侧面积为： ∴该斗笠锅盖的表面积大约为． 【变式1-2】已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，确定旋转得到的圆锥的底面半径和母线长，再分别计算圆锥的侧面积和底面积，求和得到全面积． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ 由勾股定理得 ． 将绕所在直线旋转一周后，得到的圆锥底面半径， 母线长， 圆锥的侧面积为 ， 圆锥的底面积为 ， ∴ 圆锥的全面积为 ． 【变式1-3】已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在的直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求这个几何体的表面积． 【答案】这个几何体的表面积为 【分析】利用勾股定理求出该直角三角形的斜边长，利用等面积法求出斜边上的高，旋转一周得到的几何体由两个圆锥组成，分别求出两个圆锥的侧面积，求和即可得到答案． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边分别为和， ∴这个直角三角形的斜边为； 设该直角三角形斜边上的高为，则， 解得； 以该直角三角形的斜边所在的直线为轴旋转一周，得到一个几何体，该几何体由两个圆锥组成，一个圆锥的底面圆半径为，母线长为，另一个圆锥的底面圆半径为，母线长为， ∴该几何体的表面积为． ▌题型02 求圆锥底面半径 【典例1】如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 【变式1-1】若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 【变式1-2】如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 【变式1-3】用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ， 解得 ． ▌题型03 求圆锥的高 【典例1】如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 【变式1-1】将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 【答案】 【分析】扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，再结合勾股定理，利用圆锥母线长等于扇形半径，计算得到圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 由扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，列出关系式：， ，， ， 解得． 圆锥母线长等于扇形半径，即母线长为，底面圆半径为， 根据勾股定理得圆锥的高为：． 【变式1-2】数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【答案】 【分析】先求得，即圆锥的底面圆的周长为，进而求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径为，即， 在中，． 【变式1-3】圆锥的侧面积为，侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的高为___________． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式求解，解题的关键是牢记圆锥的有关公式，根据扇形的面积计算公式，设母线长为，求得，根据求得底面半径，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设母线长为，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积， ∴， 又∵ ∴ ∴这个圆锥的高为： 故答案为：． ▌题型04 求圆锥的母线长 【典例1】若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长的性质，结合弧长公式列方程求解母线长． 【详解】解：设该圆锥的母线长为 ∵圆锥底面半径为 ∴圆锥底面周长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图圆心角为直角，即， ∴ 解得 ∴该圆锥母线长为． 【变式1-1】（1）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为________； （2）若圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°． 【答案】 4 216 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式和弧长计算公式是解题的关键． （1）设这个圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面积公式列关于R的一元一次方程并求解即可； （2）设该圆锥侧面展开图的圆心角是，根据弧长公式列关于n的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：（1）设这个圆锥的母线长为R，则， 解得， ∴这个圆锥的母线长为4． 故答案为：4． （2）设该圆锥侧面展开图的圆心角是． 该圆锥的底面半径为，则， 解得， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角是． 故答案为：216． 【变式1-2】如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长是__________． 【答案】4 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 连接，根据扇形圆心角为，得到B，O，C三点共线，为圆O的直径，首先求得扇形的弧长，再利用弧长公式求出圆锥的母线长即可． 【详解】解：如图，连接， ， 为圆O的直径， B，O，C三点共线， 围成圆锥的底面半径为1， ， ， ， 故答案为：4． 【变式1-3】如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． ▌题型05 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例1】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心角为，根据圆锥的底面的周长展开图扇形的弧长，列出方程求出即可． 【详解】解：设圆心角为， 由题意：圆锥的底面的周长展开图扇形的弧长， ∴ ， 解得， 故选：D． 【变式1-1】已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 【变式1-2】圆锥的底面半径是6，母线长18，求它的侧面展开图的圆心角． 【答案】圆锥侧面展开图的圆心角为 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥底面半径为6， ∴底面圆的周长为； ∵圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径等于母线长，且弧长等于底面圆周长， ∴， 解得， ∴圆锥侧面展开图的圆心角为． 【变式1-3】已知圆锥体的母线长，底面圆的直径为．（计算结果保留） (1)求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； (2)求该圆锥的表面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形的弧长公式、圆锥的侧面积和底面积公式．解决本题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长公式、圆锥底面圆的周长公式、圆锥侧面和底面的面积公式． （1）根据圆锥侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程求出的值就是圆锥的侧面展开图的圆心角度数； （2）由（1）可知该圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据扇形的面积公式可以求出圆锥的侧面积，根据圆锥底面圆的直径是，求出圆锥底面圆的面积，这两个面积之和就是圆锥的表面积． 【详解】（1）解：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径， 设扇形圆心角为，则， 解得， 该圆锥的侧面展开图的圆心角为； （2）解：圆锥的底面积为：， 圆锥的侧面积为：， ． 该圆锥的表面积为． ▌题型06 圆锥的实际应用 【典例1】如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作个这样的烟囱帽至少需要多少平方米铁皮（π取，结果保留小数点后一位）？ 【答案】制作个烟囱帽至少需要平方米铁皮 【分析】圆锥侧面积公式：． 【详解】解：， 一个烟囱帽需要的铁皮面积：， 个烟囱帽需要的铁皮面积：， ， 答：制作个烟囱帽至少需要平方米铁皮． 【变式1-1】工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 【答案】 【分析】根据圆锥的体积为，求解即可； 【详解】解：根据题意，得圆锥底面圆的半径为：，高为， 根据题意，得； 答：这堆沙子的体积大约是； 【变式1-2】（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 【答案】 【分析】根据“剩余部分的体积原圆锥体积已燃圆锥体积”列式求解即可． 【详解】解： ， 答：剩余部分的体积为 【变式1-3】如图，一堆沙子，其形状近似于圆锥，其底面周长是米，高是米．（取） (1)这堆沙子的体积是多少立方米？ (2)如果用这堆沙子铺一条宽5米、厚2厘米的小路，可以铺小路多少米？ 【答案】(1)这堆沙子的体积是立方米 (2)可以铺米的小路 【分析】本题考查有理数的乘除运算，圆锥的体积公式，长方形的体积公式，掌握知识点是解题的关键． （1）先根据圆锥的底面周长公式，求出底面半径，再根据圆锥的体积计算公式，求出这堆沙的体积，即可解答． （2）根据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度． 【详解】（1）解：（米） （立方米） 答：这堆沙子的体积是188．4立方米． （2）2厘米米 （米） 答：可以铺1884米的小路． ▌题型07 圆锥侧面上最短路径问题 【典例1】如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 【答案】B 【分析】连接，交于，证明，根据角所对直角边等于斜边的一半得出，由即可得出点与点重合，进而得出结论． 【详解】解：由题意可得，点是的中点，连接，交于， ， ， ， 中，， A，B，C依次是的四等分点， ， ， ，即点与点重合． 【变式1-1】如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 【答案】 【分析】沿过点A的母线将圆锥侧面展开，根据底面半径求出侧面展开的扇形的圆心角，再由两点之间线段最短确定最短路线，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：沿过点A的母线将圆锥侧面展开，如图所示，则的长是最短的路线长， 底面半径是2， 底面圆的周长为， 即圆锥侧面展开得到的扇形弧长为， 圆锥的母线长是8， 圆锥侧面展开得到的扇形半径为8， 设圆锥侧面展开的扇形圆心角为，则， 解得， 即扇形的圆心角为． ， 在中，由勾股定理得， 即最短的路线长是． 【变式1-2】如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】/3厘米 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 【变式1-3】如图，圆锥母线的长等于底面半径的倍， (1)求它的侧面展开图的圆心角． (2)当圆锥的底面半径时，求从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径的长 【答案】(1)它的侧面展开图的圆心角为； (2)． 【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后求出的值即可； （2）连接，如图，根据两点之间线段对短得到为从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径，然后利用为等腰直角三角形得到的长． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得 ， 而， 所以 ，解得， 所以它的侧面展开图的圆心角为； （2）连接，如图， 此时为从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27 圆锥的侧面积 题型01 求圆锥的侧面积和全面积 题型02 求圆锥底面半径 题型03 求圆锥的高 题型04 求圆锥的母线长 题型05 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型06 圆锥的实际应用 题型07 圆锥侧面上最短路径问题 ▌题型01 求圆锥的侧面积和全面积 【典例1】如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 【变式1-3】已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在的直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求这个几何体的表面积． ▌题型02 求圆锥底面半径 【典例1】如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． ▌题型03 求圆锥的高 【典例1】如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 【变式1-2】数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【变式1-3】圆锥的侧面积为，侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的高为___________． ▌题型04 求圆锥的母线长 【典例1】若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（1）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为________； （2）若圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°． 【变式1-2】如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长是__________． 【变式1-3】如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． ▌题型05 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例1】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【变式1-2】圆锥的底面半径是6，母线长18，求它的侧面展开图的圆心角． 【变式1-3】已知圆锥体的母线长，底面圆的直径为．（计算结果保留） (1)求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； (2)求该圆锥的表面积． ▌题型06 圆锥的实际应用 【典例1】如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作个这样的烟囱帽至少需要多少平方米铁皮（π取，结果保留小数点后一位）？ 【变式1-1】工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 【变式1-2】茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 【变式1-3】如图，一堆沙子，其形状近似于圆锥，其底面周长是米，高是米．（取） (1)这堆沙子的体积是多少立方米？ (2)如果用这堆沙子铺一条宽5米、厚2厘米的小路，可以铺小路多少米？ ▌题型07 圆锥侧面上最短路径问题 【典例1】如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 【变式1-1】如图，圆锥的母线长是8，底面半径是2，点A是底面圆周上任意一点，一只蚂蚁从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是________． 【变式1-2】如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【变式1-3】如图，圆锥母线的长等于底面半径的倍， (1)求它的侧面展开图的圆心角． (2)当圆锥的底面半径时，求从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径的长 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $