专题13 圆中求阴影部分面积五大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以五大题型为框架，系统提炼圆中阴影面积求解方法，从直接公式到等积转换形成递进逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01|2典例+3变式|直接套用公式，找准半径、圆心角|以圆、扇形面积公式为基础，解决规则图形面积| |题型02|2典例+3变式|规则图形面积直接加减|组合图形面积计算，衔接基础公式与图形组合| |题型03|2典例+3变式|作辅助线构造规则图形|通过辅助线实现不规则图形向规则图形转化| |题型04|2典例+3变式|利用容斥原理处理重叠区域|解决图形重叠问题，强化区域面积关系推理| |题型05|2典例+3变式|等积转换（同底等高、半径相等）|通过面积等价替换简化计算，提升空间观念|

专题13 圆中求阴影部分面积五大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 ：直接利用公式法求阴影部分的面积 题型02 ：直接和差法求阴影部分的面积 题型03 ：构造和差法求阴影部分的面积 题型04 ：利用容斥原理求阴影部分的面积 题型05 ：利用等积转换法求阴影部分的面积 ▌题型01 直接利用公式法求阴影部分的面积 【典例1-1】【答案】D． 【典例1-2】【答案】C． 【变式1-1】【答案】． 【变式1-2】【答案】π． 【变式1-3】【答案】 ▌题型02 直接和差法求阴影部分的面积 【典例2-1】【答案】A 【典例2-2】【答案】 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】 【答案】(1)证明：连接， ，为中点， ， 又以为圆心的圆过点， 为圆的半径， ∴与相切． (2) 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质证明后得证． （2）阴影部分面积为面积减去扇形面积，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度及的度数，而后代入扇形面积公式计算． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ，， ∴ ． 点是的中点， ， ， 又，， ，即， ， ． 【变式1-3】 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证得，即可利用证明； （2）根据 代入计算即可； （3）求出圆锥底面圆的半径长，利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 答：阴影部分的面积是． （3）圆锥底面圆的半径为，母线长为， ∴圆锥的高． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和扇形的面积，勾股定理， 正确掌握扇形的面积公式是解题的关键． ▌题型03 构造和差法求阴影部分的面积 【典例3-1】【答案】A 【典例3-2】 【答案】(1)见解析 (2)①；②阴影部分的图形面积为． 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，度角的性质，扇形面积公式，勾股定理． （1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，得到，根据等边对等角得到，进而得到，即可证明是的角平分线； （2）①设，根据度角的性质得到，，可得，求解即可； ②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）①解：设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴阴影总分的面积为． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】 【答案】(1)证明：如图，连接． 为的直径， ． ． 又， ． (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ，，． 在中，， ． ， 即阴影部分的面积为． 【变式1-3】 【答案】(1) 与相切，理由如下： 如图，连接、，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）连接、，由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）先求出，，再由计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点，    ∵圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、证明直线是圆的切线、等边三角形的性质、扇形面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． ▌题型04 利用容斥原理求阴影部分的面积 【典例4-1】【答案】C 【典例4-2】【答案】A 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】 ▌题型05 利用等积转换法求阴影部分的面积 【典例5-1】【答案】C 【典例5-2】【答案】B． 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，证明，连接，证明即可得到结论； （2）连接，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)连接， 是的切线， ， 又， ， 过圆心， ∴， ， 平分． (2) 【分析】（1）连接， 根据圆的切线性质和平行线性质得， 由垂径定理得， 得， 即得平分． （2）由直径性质得，得.设交于，证明，得，得，，得．由，得，即得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵AD是的直径， ， ∴. 设交于， ，， ，， ∵， ∴． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴弓形弓形， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆中求阴影部分面积五大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 ：直接利用公式法求阴影部分的面积 题型02 ：直接和差法求阴影部分的面积 题型03 ：构造和差法求阴影部分的面积 题型04 ：利用容斥原理求阴影部分的面积 题型05 ：利用等积转换法求阴影部分的面积 ▌题型01 直接利用公式法求阴影部分的面积 1. 熟记基础面积公式：圆；扇形（圆心角度数，半径，扇形弧长）；三角形、正方形等基础几何图形面积公式。 2. 适用条件：阴影部分是规则图形（扇形、半圆、四分之一圆等），可以直接套公式计算，不需要做割补变换。 3. 关键：找准对应图形的半径、圆心角，代入对应公式直接算出阴影面积。 【典例1-1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　） A．π B．π C．π D．2π 【典例1-2】如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．12π 【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 　 ． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为　 　（结果保留π）． 【变式1-3】如图所示，在扇形中，O，E，F为矩形三边的中点，与相切．若，则扇形的面积为____．（结果保留） ▌题型02 直接和差法求阴影部分的面积 1. 核心思想：阴影面积 = 几个规则图形面积直接相加或相减。 2. 适用条件：阴影由若干个已知的规则图形拼接、相减得到，图形边界清晰，不需要做辅助线构造新图形。 3. 常用组合： · 阴影 = 扇形面积三角形面积 · 阴影 = 大圆面积小圆面积（圆环） · 阴影 = 几个扇形面积之和 4. 步骤：分别算出每个规则图形面积，再直接做加减运算。 【典例2-1】如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【变式1-1】如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式1-2】如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式1-3】如图，把两个扇形与扇形的圆心重合叠放在一起，且，连接． (1)求证：； (2)若，弧的长为，弧的长为，求阴影部分的面积； (3)在（2）的条件下求由扇形围成的圆锥的高． ▌题型03 构造和差法求阴影部分的面积 1. 核心思想：原图中阴影不是现成规则图形，需要作辅助线，分割、补全图形，构造出扇形、三角形等规则图形，再用和差计算。 2. 关键操作：画辅助线，把不规则阴影转化成 “规则图形相加减” 的形式。 3. 易错点：构造之后要分清哪些面积是需要保留、哪些是要减去的，不要重复或者漏算部分面积。 4. 步骤：添加辅助线→拆分出规则图形→分别求面积→和差得到阴影。 【典例3-1】如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 【变式1-1】如图，在菱形中，，，点是上一点，以为圆心，为半径作弧，该弧与，相切，切点分别为和，且与边相交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 【变式1-3】如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    (1)判断直线与的位置关系．并说明理由； (2)若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． ▌题型04 利用容斥原理求阴影部分的面积 1. 容斥原理核心：两个图形重叠时，总面积重叠部分面积；求阴影要分清重叠区域。 2. 常见模型：两个扇形相交，出现重叠，阴影由叠加、重叠产生。 3. 公式思路： 4. 要点：注意重叠区域被重复计算，必须减去重复部分；看清阴影包含哪些区域，区分重叠部分是阴影还是空白。 【典例4-1】如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点D，E，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交于点G，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式1-2】如图，中，，，，以A为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点E，以B为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【变式1-3】如图，在中， 分别以为直径作半圆，两个半圆交于边上的点D处，则两个半圆的重叠部分（图中阴影部分）的面积为___________． ▌题型05 利用等积转换法求阴影部分的面积 1. 核心思想：等面积替换，把位置不好算的阴影，转换为面积相等、便于计算的图形。 2. 常用等积转换场景： · 同底等高的三角形面积相等； · 平行线间同底三角形面积相等； · 利用圆半径相等，实现三角形面积互换； 3. 效果：转换之后，不规则阴影变成扇形、三角形等简单图形，不用复杂割补。 4. 解题步骤：找到面积相等的图形→把原阴影等价替换成新图形→直接计算替换后的图形面积。 【典例5-1】如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为(　　) A．π B． C． D． 【典例5-2】如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB＝4，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，直径，弦，且C、D是半圆的三等分点，则弦、、弧所围成的阴影部分的面积等于_________． 【变式1-2】如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【变式1-3】（2026·江苏宿迁·二模）已知内接于，与相切，交的延长线于E．且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，当为直径时，若，求图中阴影部分的面积之和． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 圆中求阴影部分面积五大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 ：直接利用公式法求阴影部分的面积 题型02 ：直接和差法求阴影部分的面积 题型03 ：构造和差法求阴影部分的面积 题型04 ：利用容斥原理求阴影部分的面积 题型05 ：利用等积转换法求阴影部分的面积 ▌题型01 直接利用公式法求阴影部分的面积 1. 熟记基础面积公式：圆；扇形（圆心角度数，半径，扇形弧长）；三角形、正方形等基础几何图形面积公式。 2. 适用条件：阴影部分是规则图形（扇形、半圆、四分之一圆等），可以直接套公式计算，不需要做割补变换。 3. 关键：找准对应图形的半径、圆心角，代入对应公式直接算出阴影面积。 【典例1-1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　） A．π B．π C．π D．2π 【答案】D． 【分析】先由圆周角定理可得∠AOC的度数，再由扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵∠ABC＝40°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝80°， ∴扇形AOC的面积为， 故选：D． 【点睛】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC的度数是解答此题的关键． 【典例1-2】如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．12π 【答案】C． 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形的外角和为360°， ∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°， ∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°， ∵正五边形的边长为6， ∴S阴影π， 故选：C． 【点睛】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 　 ． 【答案】． 【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，AB＝AE，利用勾股定理求出DE，即可证得∠DAE＝45°，进而求得∠BAE＝45°，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB， ∴∠D＝∠DAB＝90°， ∵AE＝AB， ∴DE1， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝45°， ∴∠BAE＝45°， ∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出∠EAB的度数是解此题的关键． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为　 　（结果保留π）． 【答案】π． 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S＝S扇形BDE+S扇形ACD． 【详解】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2， ∴∠B＝30°，AB＝2AC＝4， ∴BC2， ∴阴影部分的面积S＝S扇形BDE+S扇形ACDπ， 故答案为：π． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式1-3】如图所示，在扇形中，O，E，F为矩形三边的中点，与相切．若，则扇形的面积为____．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查扇形的面积计算，切线的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，设弧与相切的点为H，连接，证明四边形是矩形，得到，，根据，推出，同理：，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设弧与相切的点为H，连接，如图所示： 是扇形的半径，， 四边形是矩形，且， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 点E是的中点， ， 在中，， ， 同理：， ， 扇形的面积为： 故答案为：． ▌题型02 直接和差法求阴影部分的面积 1. 核心思想：阴影面积 = 几个规则图形面积直接相加或相减。 2. 适用条件：阴影由若干个已知的规则图形拼接、相减得到，图形边界清晰，不需要做辅助线构造新图形。 3. 常用组合： · 阴影 = 扇形面积三角形面积 · 阴影 = 大圆面积小圆面积（圆环） · 阴影 = 几个扇形面积之和 4. 步骤：分别算出每个规则图形面积，再直接做加减运算。 【典例2-1】如图，在中，，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交于点P，交于点M，交于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求阴影部分的面积，涉及扇形面积公式，直角三角形锐角互余的性质，勾股定理等知识点．利用直角三角形的面积减去两个扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以为圆心，长为半径画弧， ∴扇形和扇形的半径相同，均为， ∴两个扇形的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：； 故选：A． 【典例2-2】如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【分析】先根据圆周角定理可得，再根据，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和圆的半径相等，可得到，是等边三角形，由此可得圆心角的度数为，利用直角三角形所对的边等于斜边的一半和勾股定理可解得，，用扇形面积减去四边形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 【变式1-2】如图，在中，，点是的中点，以为圆心的圆过点． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ，为中点， ， 又以为圆心的圆过点， 为圆的半径， ∴与相切． (2) 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质证明后得证． （2）阴影部分面积为面积减去扇形面积，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度及的度数，而后代入扇形面积公式计算． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ，， ∴ ． 点是的中点， ， ， 又，， ，即， ， ． 【变式1-3】如图，把两个扇形与扇形的圆心重合叠放在一起，且，连接． (1)求证：； (2)若，弧的长为，弧的长为，求阴影部分的面积； (3)在（2）的条件下求由扇形围成的圆锥的高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证得，即可利用证明； （2）根据 代入计算即可； （3）求出圆锥底面圆的半径长，利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 答：阴影部分的面积是． （3）圆锥底面圆的半径为，母线长为， ∴圆锥的高． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和扇形的面积，勾股定理， 正确掌握扇形的面积公式是解题的关键． ▌题型03 构造和差法求阴影部分的面积 1. 核心思想：原图中阴影不是现成规则图形，需要作辅助线，分割、补全图形，构造出扇形、三角形等规则图形，再用和差计算。 2. 关键操作：画辅助线，把不规则阴影转化成 “规则图形相加减” 的形式。 3. 易错点：构造之后要分清哪些面积是需要保留、哪些是要减去的，不要重复或者漏算部分面积。 4. 步骤：添加辅助线→拆分出规则图形→分别求面积→和差得到阴影。 【典例3-1】如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 【答案】(1)见解析 (2)①；②阴影部分的图形面积为． 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，度角的性质，扇形面积公式，勾股定理． （1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，得到，根据等边对等角得到，进而得到，即可证明是的角平分线； （2）①设，根据度角的性质得到，，可得，求解即可； ②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）①解：设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴阴影总分的面积为． 【变式1-1】如图，在菱形中，，，点是上一点，以为圆心，为半径作弧，该弧与，相切，切点分别为和，且与边相交于点，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、切线、特殊角的三角函数以及扇形面积，连接，，先求出，进而得到两个三角形的面积，再计算扇形的面积，用菱形面积减去这三个面积即为阴影面积． 【详解】解：连接，， 弧与相切， ， 即， ，， ，，， 同理，，， 是菱形， ，， 菱形的面积为：，， ， 同理，， ， 阴影部分的面积为：． 【变式1-2】如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 【答案】(1)证明：如图，连接． 为的直径， ． ． 又， ． (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ，，． 在中，， ． ， 即阴影部分的面积为． 【变式1-3】如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    (1)判断直线与的位置关系．并说明理由； (2)若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 与相切，理由如下： 如图，连接、，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）连接、，由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）先求出，，再由计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点，    ∵圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、证明直线是圆的切线、等边三角形的性质、扇形面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． ▌题型04 利用容斥原理求阴影部分的面积 1. 容斥原理核心：两个图形重叠时，总面积重叠部分面积；求阴影要分清重叠区域。 2. 常见模型：两个扇形相交，出现重叠，阴影由叠加、重叠产生。 3. 公式思路： 4. 要点：注意重叠区域被重复计算，必须减去重复部分；看清阴影包含哪些区域，区分重叠部分是阴影还是空白。 【典例4-1】如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，，由折叠的性质可知，的对应点为，则，，推出，为等边三角形，再结合圆周角定理，推出，最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【典例4-2】如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求几何概率，扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为直角，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，求出阴影部分的面积． 【变式1-1】如图，在中，，，，以点C为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点D，E，以点E为圆心，的长为半径画弧，交于点F，交于点G，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接CG,EG，则阴影部分的面积为，计算即可. 【详解】如图，连接CG,EG， ∵，，， ∴AC=CG=CD=CE=EG=4，∠A=60°， ∴△ACD是等边三角形，△CEG是等边三角形， ∴∠GCD=∠DCE =30°，∠GCE=60°， ∴阴影部分的面积为： = =. 故答案为：. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，拱形的面积，熟练运用扇形的面积公式，正确进行图形面积的分割是解题的关键. 【变式1-2】如图，中，，，，以A为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点E，以B为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】求解，，利用阴影部分的面积等于两个扇形面积之和减去三角形面积的倍即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 设，， ∴，，， ∴图中阴影部分的面积为 ． 【变式1-3】如图，在中， 分别以为直径作半圆，两个半圆交于边上的点D处，则两个半圆的重叠部分（图中阴影部分）的面积为___________． 【答案】 【分析】设的中点分别为，连接．证明 为等边三角形， 为顶角为的等腰三角形，标记．则，根据即可求出答案． 【详解】解：如图，设的中点分别为，连接． 在中， ∴．， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∴ 为等边三角形， 为顶角为的等腰三角形， 如图，标记． ∵， ∴ ▌题型05 利用等积转换法求阴影部分的面积 1. 核心思想：等面积替换，把位置不好算的阴影，转换为面积相等、便于计算的图形。 2. 常用等积转换场景： · 同底等高的三角形面积相等； · 平行线间同底三角形面积相等； · 利用圆半径相等，实现三角形面积互换； 3. 效果：转换之后，不规则阴影变成扇形、三角形等简单图形，不用复杂割补。 4. 解题步骤：找到面积相等的图形→把原阴影等价替换成新图形→直接计算替换后的图形面积。 【典例5-1】如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为(　　) A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求扇形面积公式，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置， ，， ， 故选：C． 【典例5-2】如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB＝4，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S半圆﹣2S扇形 ACO，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示：连接OC， ∵CD垂直平分半径OA， ∴AC＝OC， ∵OC＝OA， ∴OA＝OC＝AC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴S阴影S⊙O﹣2S扇形ACO 2 4π﹣24π ＝2ππ π． 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键． 【变式1-1】如图，直径，弦，且C、D是半圆的三等分点，则弦、、弧所围成的阴影部分的面积等于_________． 【答案】 【分析】根据半圆弧的三等分点，可得的度数，再根据平行线的性质得出，进而将问题转化为即可． 【详解】解：如图，连接，， 点，点是半圆弧的三等分点， ， ∵直径， ∴， ∵， ， ． 【变式1-2】如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）连接，证明，连接，证明即可得到结论； （2）连接，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵点C为劣弧的中点， ∴ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 【变式1-3】（2026·江苏宿迁·二模）已知内接于，与相切，交的延长线于E．且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，当为直径时，若，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)连接， 是的切线， ， 又， ， 过圆心， ∴， ， 平分． (2) 【分析】（1）连接， 根据圆的切线性质和平行线性质得， 由垂径定理得， 得， 即得平分． （2）由直径性质得，得.设交于，证明，得，得，，得．由，得，即得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵AD是的直径， ， ∴. 设交于， ，， ，， ∵， ∴． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴弓形弓形， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $