专题6.2 线段、射线、直线（12题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

专题6.2 线段、射线、直线 教学目标 ①进一步认识线段、射线、直线的概念，掌握用字母表示它们的方法。 ②理解“两点确定一条直线”的基本事实，并能运用它解释生活现象、解决简单实际问题。 ③经历从生活实物到几何图形的抽象过程，发展几何直观与符号化思维。 教学重难点 教学重点 ①线段、射线、直线的概念辨析与字母表示方法。 ②“两点确定一条直线”基本事实的理解与应用。 教学难点 ①射线的表示方法：用两个大写字母时，端点字母必须写在前面。 ②直线“无限延伸”的抽象理解，以及“两点确定一条直线”在实际情境中的灵活应用。 知识点01 线段、射线、直线的概念 1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段a；线段AB. 2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射线”两字 3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线m，直线AB；直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 B A A B B A 端点个数 无 一个 两个 表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA） 作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 【即学即练1-1】（25-26七年级上·四川达州·期末）下列说法正确的是（  ） A．射线与射线是同一条射线 B．射线的长度是12cm C．直线、相交于点 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查直线、射线、线段的相关概念及其表示法，两点确定一条直线等知识，根据射线的定义和表示方法判断A和B；根据直线的表示方法判断C；根据直线的公理判断D． 【详解】A．∵ 射线以P为起点，射线以A为起点，方向不同， ∴ 不是同一条射线，故选项A错误； B．∵ 射线是无限长的，不可度量长度， ∴ 不能说射线的长度是，故选项B错误； C．∵ 直线表示应使用两个大写字母(如)或一个小写字母(如l)，但“”使用两个小写字母，表示不规范， ∴ 选项C错误； D．∵ 两点确定一条直线是几何公理， ∴ 选项D正确． 故选：D． 【即学即练1-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 知识点02 直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线. 两条直线相交，只有一个交点. 【即学即练2-1】（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）在学校的劳动实践课程上，同学们体验插秧时发现：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗整齐地插在一条直线上，这样做的依据是_____________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了两点确定一条直线的公理，根据题意，确定两个点后就能确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解此题的关键． 【详解】解：根据几何公理，两点确定一条直线，因此确定两个秧苗的位置后，就能使同一行秧苗插在一条直线上， 故答案为：两点确定一条直线． 知识点03 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 【即学即练3-1】（25-26六年级下·上海·期末）2025年12月6日，经过52个月的艰苦建设，天山胜利隧道顺利贯通．此前，车辆沿盘山公路翻越天山需要3.5个小时，隧道贯通后，穿越天山仅需约20分钟．请你用所学数学知识解释这一现象________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】原有盘山公路为弯曲路线，路程更长，隧道近似为两地之间的直线路段，路程更短，结合路程速度时间的关系即可解释． 【详解】解：通行的起点和终点为两个固定点，原有盘山公路为弯曲路线，路程大于两点间的直线距离， 隧道贯通后，新路线近似为连接起点和终点的线段， 根据两点之间线段最短的性质，新路线的路程比原路线更短． 车辆行驶的平均速度相近，由时间路程速度可得，路程越短，所需行驶时间越少， 隧道贯通后穿越天山的时间远少于原来翻越天山的时间． 知识点04 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 【即学即练4-1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知______．（填写“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了线段的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知， 故答案为：． 知识点05 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 【即学即练5-1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，已知平面上四点、、、． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接并延长至点，使． 【答案】(1)如图，直线即为所求． (2)如图，射线即为所求 (3) 如图，线段，即为所求． 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，解题的关键是熟练掌握直线、射线和线段的定义． （1）根据直线的定义进行作图即可； （2）根据射线的定义进行作图即可； （3）根据尺规作一条线段等于已知线段的方法，作图即可． 【详解】（1）略 （2）略． （3）略 知识点06 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 【即学即练6-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，、、三点在同一条直线上，则关于线段、、有下列等式成立： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【分析】观察图形确定线段间的关系即可． 【详解】解：观察图形可知：（1）； （2）； （3）． 知识点07 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【即学即练7-1】（25-26七年级上·广东·阶段检测）如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由计算即可． （2）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． （3）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． 【详解】（1）解：∵点、、在同一直线上，在、之间， ∴， ∵，， ∴． （2）解：是中点，是中点， ， ， ， ． （3）解：是的中点，， ， 是中点，， ， ． 题型01 线段、射线、直线的联系与区别 【典例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点，，在同一直线上，下列说法不正确的是（   ） A．线段与线段是同一条线段 B．直线与直线是同一条直线 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线、射线、线段的概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义判断选项即可． 【详解】解：A、线段和线段的两个端点都是和，所以是同一条线段，该选项正确； B、直线没有端点，能够向两端无限延伸，直线和直线都在过点、、的同一条直线上，所以是同一条直线，该选项正确； C、射线和射线的端点都是，且都沿到的方向延伸，所以是同一条射线，该选项正确； D、射线的端点是，向的方向延伸；射线的端点是，向的方向延伸，延伸方向不同，所以不是同一条射线，该选项错误． 故选：D ． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，下列说法正确的有（    ） ①点在射线上；②是直线的一个端点；③直线和直线是同一条直线；④点在线段上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的有关概念是解题的关键． 由直线、射线、线段的有关概念即可判断． 【详解】解：点在射线的反向延长线上，故①错误； 直线没有端点，故②错误； 直线和直线是同一条直线，故③正确； 点在线段上，故④正确， 所以正确的有两个，为③④， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．射线与射线是同一条射线 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线 【答案】A 【分析】本题考查了射线的定义和对射线的理解，熟练掌握射线的定义是解题的关键． 根据分析每个选项中射线的起点和延伸方向，即可判断是否为同一条射线． 【详解】解：A、射线和射线在同一条直线上，且都从点出发，并且延伸方向相同，所以射线和射线是同一条射线，符合题意； B、射线和射线虽然在同一条直线上，但延伸方向相反，故不是同一条射线，不符合题意； C、射线与射线起点不同，故不是同一条射线，不符合题意； D、射线与射线起点不同，故不是同一条射线，不符合题意． 故选： A． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 【答案】D 【分析】本题主要考查几何语言的规范性，准确掌握规范的几何语言是学好几何的保障． 根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误，不符合题意； B、直线是向两方无限延伸的，不能延长，故本选项错误，不符合题意； C、射线向一个方向无限延伸，故延长射线，说法错误，不符合题意； D、延长线段到点，使，说法正确，符合题意． 故选：D． 题型02 点与线的位置关系 【典例2】（2025七年级上·河北唐山·专题练习）如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有n条，再添一颗黑子，使n不变，则位置在（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查点与直线的关系，熟练掌握该知识点是关键． 根据点与直线位置关系，逐项判定即可． 【详解】解：A．位置在①，如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线仍只有1条，n没有变化； B．位置在②，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有2条，n有变化，增加了一条； C．位置在③，如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有3条，n有变化，增加了两条； D．位置在④，如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有2条，n有变化，增加了一条． 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·山东临沂·阶段检测）按下面语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相交线、点与直线的位置关系，正确理解题意、认识图形是解题的关键．根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：A、点在直线上，也在直线上，不在直线上，但直线、不相交，故本选项不符合题意； B 、直线，，两两相交，且点在直线上，也在直线上，不在直线上，故本选项符合题意； C、直线，，两两相交，但点在直线上，故本选项不符合题意； D、直线，，两两相交，但点在直线上，且不在直线上，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 题型03 两点确定一条直线 【典例3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 【变式1】（2026·山西晋中·二模）墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线， ∴其蕴含的数学道理是两点确定一条直线． 【变式2】（2026·广西南宁·二模）如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（     ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】根据公理“两点确定一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上， ∴这一操作利用了“经过两点有且只有一条直线”的性质 即两点确定一条直线． 【变式3】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定，才能稳固不动．其中的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【详解】解：由题意得，其中的数学原理是两点确定一条直线． 题型04 直线相交的交点个数问题 【典例4】（2025七年级上·湖北·专题练习）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则_________． 【答案】37 【分析】本题考查了直线的交点问题，代数式求值，掌握直线相交于一点时交点最少为1个，任意n条直线两两相交时交点最多为个是关键． 由题意可得9条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案． 【详解】解：对于9条直线，任两条都相交，最多交点数m为无三线共点时的交点数，即； 最少交点数n为所有直线交于一点时，即， 因此，， 故答案为：37． 【变式1】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成________区域． 【答案】7 【分析】本题考查了直线相交对平面区域划分的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据三条直线在平面内的位置关系进行作答，即可求解； 【详解】解：三条平行直线可以把平面分成4部分， 三条直线中，有两条平行时可以把平面分成6部分， 三条相交直线可以把平面分成7部分； 故答案为：7； 【变式2】（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）平面上6条直线两两相交，最多有_______个交点． 【答案】15 【分析】本题考查求直线的交点个数问题．根据条直线相交最多有个交点，进行求解即可． 【详解】解：两条直线两交有1个交点， 三条直线相交最多有3个交点， 四条直线相交有6个交点， 五条直线相交最多有10个交点， ， ∴条直线相交最多有个交点， ∴6条直线相交，最多有个交点； 故答案为：15． 【变式3】（25-26九年级上·湖南长沙·自主招生）平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为________． 【答案】64 【分析】本题考查了直线的交点问题，熟练掌握 （，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点是解题的关键．由题意可得，再代入适当的值，计算即可得出结果． 【详解】解：∵（，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点， 由题意可得， 当时，最大交点数为， 当时，最大交点数为， ∴平面上的条直线恰有2011个交点时，的最小值为64， 故答案为：64． 题型05 画直线、射线、线段 【典例5】（25-26七年级上·贵州·期末）按要求作答：如图，已知四点，请仅用直尺和圆规作图，并保留画图痕迹． (1)画直线； (2)连接； (3)画射线； (4)在直线上确定一点，使的值最小，依据是________________． 【答案】(1) 如图，直线即为所求； (2) 如图，线段即为所求； (3) 如图，射线即为所求； (4)如图， 【分析】本题考查的是直线，射线，线段的画图，两点之间线段最短的应用，理解画图语句，根据直线，射线，线段的性质进行画图是解本题的关键． ()根据直线的性质画图即可； ()根据线段的性质画图即可； ()根据射线的性质画图即可； ()如图，先画直线，再连接交于，根据两点之间，线段最短可得的值最小． 【详解】（1）解：用直尺连接点和点，并向两端无限延长，得到直线． （2）解：用直尺连接点和点，线段即为所求． （3）解：以点为端点，用直尺连接和，并向的方向无限延长，得到射线． （4）解：先画直线，再连接交于，根据两点之间，线段最短可得的值最小，故点即为所求． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知平面内有A，B，C，D四个点，按下列语句画出图形（保留作图痕迹并标注相关字母）． (1)画射线和直线； (2)连接，并延长至点E，使得． 【答案】(1) 射线和直线即为所求图形： (2)如图所示，点E即为所求． 【分析】本题主要考查线段，射线，直线，掌握其定义和特点是关键， （1）根据射线，直线的定义和特点作图即可； （2）根据线段定义及特点作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，已知平面内有A、B、C三点，按下列要求画图： (1)用直尺作直线，射线，线段；在射线上取点M，使（点不与点重合．） (2)在（1）的条件下，以点C为顶点，射线为一边，在内部用尺规作一个，使它等于．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) 如图，直线，射线，线段，点即为所求作． (2) 如图，即为所求作． 【分析】本题主要考查了尺规作图：直线、线段、射线，作一条线段等于已知线段以及作一个角等于已知角，熟练掌握作图的方法是解题的关键． （1）根据直线，射线和线段的定义作图，以点C为圆心，为半径画弧交射线于即可． （2）以点B为圆心，适当长度为半径画弧交于，交于，以点C为圆心，为半径画弧交于，以点为圆心，为半径画弧交前弧于，再作射线即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26七年级上·广东珠海·期末）如图，平面上有三个点． (1)画直线，画射线； (2)在线段的延长线上作线段，再连接（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)___________（填“”“”或“”），依据是___________． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求： (3)；两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线和线段，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据直线和射线的画法作图即可； （2）以点B为圆心，线段的长为半径画弧交的延长线于点D，再连接即可； （3）根据两点之间，线段最短即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型06 两点之间线段最短 【典例6】（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短，过两点有且只有一条直线，可得答案． 【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，过两点有且只有一条直线，故①错误； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，过两点有且只有一条直线，故②错误； ③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段架设，“两点之间，线段最短”，故③正确； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，“两点之间，线段最短”，故④正确； 故选D． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）“弯曲的公路改直能缩短路程”用到的数学原理是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间直线最短 【答案】B 【分析】“弯曲的公路改直缩短路程”的本质是选择两点间的最短路径，对应“两点之间线段最短”的几何性质． 【详解】解：弯曲公路的起点和终点可看作两个定点，将弯曲公路改直，是把两点间的弯曲路径替换为两点之间的线段， 根据“两点之间线段最短”的数学原理，改直后的路程会缩短， 因此对应的原理是选项B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两直线相交只有一个交点 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】将周长变化的问题转化为线段长度的比较，利用“两点之间，线段最短”的性质解释剩余木板周长变大的原因． 【详解】解：原三角形木板截去一部分后，其一条边被两段折线替代，根据线段的性质，两点之间，线段最短，可得这两段折线的长度之和大于被替换的原三角形的那条边的长度；原三角形的另外两条边长度未改变， 故剩余木板的周长比原三角形木板的周长大． 【变式3】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，用剪刀沿直线剪银杏叶，发现剩下的银杏叶周长比原来周长要小，理由是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短，即可求解． 【详解】用剪刀沿直线剪银杏叶，发现剩下的银杏叶周长比原来周长要小，理由是两点之间线段最短 故选：A． 题型07 线段的数量问题的应用 【典例7】（26-27七年级上·全国·单元复习）如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和上海在内），那么共需要准备多少种不同的车票（    ） A．400 B．25 C．300 D．100 【答案】C 【分析】将车站转化为直线上的点，通过计算线段总数求解车票种数． 【详解】解：∵乘火车从北京到上海为单向行程，任意两个车站间对应一种车票，等价于求25个点构成的线段总条数， ∴车票种数为． 【变式1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【答案】20 【分析】本题考查线段计数的实际应用，将站点转化为线段上的点，先求出不同站点间的路线数量，结合车票往返不同计算总票数即可． 【详解】解：根据题意，将列车运行路线看作一条线段， 所有停靠站点看作线段上的点，运行途中停靠个站，加上起点甲和终点乙，总共有个站点， 不同站点间的路线总数为： ， 因为往返车票方向不同，属于不同车票，因此总车票数为： ． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一条铁路线上有4个站点（如图），那么一共要设计_________种不同的车票． 【答案】12 【分析】车票是有方向的，从站点A到站点B与从站点B到站点A属于不同的车票，每个站点均可作为起点前往其余 个站点，利用计数原理计算总数即可． 【详解】解：由题意可知，一条铁路线上有4个站点， 每个站点都可以作为起点， 对于每一个起点，除自身外还有 个站点可以作为终点， 所以一共要设计的车票种数为：． 故答案为：12． 【变式3】（25-26七年级上·重庆·期中）一条铁路上有10个站，需要制作________种火车票． 【答案】 90 【分析】从甲站到乙站与从乙站到甲站是两种不同的火车票，结合总站点数计算总票数即可； 【详解】解：由题意得，共有个站点，每个站点需要开往其余个站点的不同火车票， 因此总票数为：. 题型08 线段的和与差 【典例8】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知线段，，且、、三点在同一直线上，则线段的长为________． 【答案】2或8/8或2 【分析】本题考查了线段的和差计算，解题的关键是考虑点在线段上和线段延长线上两种情况，避免漏解． 先分析点的位置，分两种情况计算线段的长度；再分别求和或求差，得到两种可能的结果． 【详解】解：∵ M、N、P三点在同一直线上，，， ∴ 当点在线段的延长线上时，． 当点在线段上时，． 故答案为：或． 【变式1】（25-26七年级上·山东聊城·期末）点在同一直线上，如果，，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和与差，根据点的位置分两种情况讨论：当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一直线上，且，， ∴当点在线段上时，如图， 则； 当点在线段的延长线上时，如图， 则， 故答案为：或． 【变式2】（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）如图，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． (1)直接写出线段_________，_________； (2)求线段的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据，计算即可； （2）先求出和的值，进而根据中点的定义得到，，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵点M和点N分别是线段和的中点， ∴，， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）如图，已知点为线段上一点，，，，分别是的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)的长度为或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 题型09 作线段（尺规作图） 【典例9】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知线段与、C两点，用圆规和无刻度的直尺按下列要求画图并计算： (1)画直线、射线；并在的延长线上取点，使，(保留作图痕迹) (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)如图，点即为所作； (2) 【分析】本题考查了直线、射线与线段．解题的关键在于正确的作图． （1）如图，直线、射线即为所作；连接并延长，以A为圆心，为半径画弧与延长线的交点即为所作； （2）根据即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ． 【变式1】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)画线段交于点F； (2)连接，并将其反向延长； (3)作射线； (4)延长至点M，使． 【答案】(1)如图所示为所求： (2)如图所示为所求： (3)如图所示为所求： (4) 如图所示为所求： 【分析】本题考查作图的知识，难度不大，要熟悉直线、射线、线段的概念，并熟悉基本工具的用法． （1）根据线段的定义作图即可； （2）连接并延长即可； （3）根据射线的定义作图即可； （4）连接并延长，以点D为圆心，在射线上作线段，以点E为圆心，在射线上作线段即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【变式2】（25-26七年级上·河北邢台·期末）如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句进行尺规作图． (1)画射线，直线，线段； (2)在线段上找一点F，使得； (3)在射线上确定点O，使得最小；作图的依据为_____． 【答案】(1) 如图所示，射线，直线，线段即为所求； (2)如图所示，点F即为所求； (3) 如图所示，点O即为所求． 作图的依据为：两点之间，线段最短． 【分析】此题主要考查了基本作图中的线段、射线、直线的作法以及两点之间线段最短的性质， （1）依据射线，直线和线段的概念进行画图即可； （2）在上截取交于点F即可； （3）连接与交于点O即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式3】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线和点，，． (1)请用直尺和圆规按下列要求作图（不写步骤，需保留痕迹，作图时先用铅笔画出，再用黑色字迹的签字笔描黑）． ①画射线； ②连接，在线段的延长线上找一点，使线段； (2)连接，则________（填“”“”“”），成立的理由是________． 【答案】(1) 如图，射线即为所作； ②如图所示，线段即为所作； (2)，两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线和线段，线段的尺规作图，两点之间线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）①根据射线的定义画图即可；②以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则线段即为所求； （2）根据两点之间线段最短可得答案． 【详解】（1）解：①略 ②略 （2）解：如图，连接， 则，理由是：两点之间线段最短． 故答案为：，两点之间线段最短． 题型10 线段中点的有关计算 【典例10】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，为线段上一点，为的中点，，． (1)求的长； (2)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据线段的和差及线段中点求解即可； （2）根据线段的和差分两种情况求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，； 当点在点的右侧时，； 综上：的长为或. 【变式1】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）如图．线段长．C点是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据线段中点定义得，然后根据求解即可； （2）由求出，从而，然后根据N是线段的中点即可求解． 【详解】（1）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，线段长， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，则， 又∵N是线段的中点， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，C为线段上一点，D在线段上，且，E为的中点． (1)图中共有______条线段． (2)若，，求线段、的长． 【答案】(1)10 (2)； 【分析】（1）从左到右依次数出线段的条数； （2）先根据中点定义求出，根据求出，再根据求出，最后求出． 【详解】（1）解：图中有线段，，，，，，，，，共10条； （2）解：为的中点，且， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测）如图，线段，点C为线段的中点，点D在线段上，． (1)求的长． (2)若点E在线段上，使得，求的长． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，线段之间的数量关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先利用线段中点的意义求得，再结合，利用线段的和求得； （2）先利用线段差求得，再利用，求得，然后分点E在点D的右侧、点E在点D的左侧两种情况讨论，分别求得． 【详解】（1）解：∵线段，点C为线段的中点， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵点E在线段上，使得， ∴， 当点E在点D的右侧时，有， 当点E在点D的左侧时，有， ∴或． 题型11 线段n等分点的有关计算 【典例11】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)3 (2)20 【分析】（1）将，，转化为 ，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出 ，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 即， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，已知线段，点C是线段的中点，延长线段到点D，使． (1)求线段的长． (2)点E是线段的一个三等分点，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算： （1）利用中点求出，再由求出，最后由求解即可； （2）分两种情况讨论，分别求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵线段，点C是线段的中点 ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：当点为靠近点D的三等分点时，如图： 则， ∴； 当点为靠近点A的三等分点时，如图： 则， ∴， ∴的长为或． 【变式2】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，点为线段上一点，，，点、分别是、的中点． (1)求线段的长； (2)如果点在直线上，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据中点，求出和的长度，从而求出的长度． （2）根据题意，分情况讨论，①在线段间，且靠近点，利用中点先求出的长度，进而求出的长度，结合已知条件即可求出的长度；②当点在线段的反向延长线上，则靠近点，观察线段，根据线段端点所在位置，即可直接算出的长度． 【详解】（1）解：点、分别是、的中点，，， ，， ， ． 故答案为：． （2）解：①当点在线段上，，则在线段间，且靠近点， 有． 点分别是的中点，， ． ，， ． ， ． ②当点在线段的反向延长线上，则靠近点，有， ， ． 综上所述：如果点在直线上，线段的长度为13cm或7cm． 故答案为：13cm或7cm 【变式3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，线段，C为线段延长线上一点，． (1)求线段的长； (2)若D是图中最长线段的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义， 熟练掌握线段中点的定义是解题的关键 （1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）当点D是图中最长线段的中点，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】（1）， ， ， ， .； （2）∵图中最长线段是， ∴D为线段的中点， 由（1）知， ∴， ∴． 题型12 与线段有关的动点问题 【典例12】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 【答案】(1)，； (2)存在，； (3)或 【分析】（1）利用路程速度时间，求出，，即可得解； （2）设运动时间为，则，，进而表示出，，列方程求解即可； （3）设运动时间为，则，，结合，求出，，再判断出点在点的右侧，分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在的延长线上时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：当点 C、D运动了，，， ，， ， ； （2）解：存在， 设运动时间为，则，， ，， ，， ， ， 解得：， 即点C、D运动时存在，运动时间为； （3）解：设运动时间为，则，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，即， 点在点的右侧， 分两种情况讨论： ①当点在上时，，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，， ， ， ； 综上可知，或． 【变式1】（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离________，线段的中点C表示的数为_________； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为________；点Q表示的数为________； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10；；②；； (2)1或3 (3)解：不变， ∵数轴上点A表示的数为，点P表示的数为，点M为的中点， ∴点M表示的数为， ∵点B表示的数为8， 点N为的中点， ∴点N表示的数为， ∴， 即点P在运动过程中，线段的长度不变，线段的长为5． 【分析】（1）根据“数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为”，即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离公式可得，再根据，即可求解； （3）根据数轴上线段中点的公式，可得点M，N表示的数，即可求解． 【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8， ∴；线段的中点C表示的数为； ②根据题意得：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为； （2）解：∵点P表示的数为；点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或3， 即当t为1或3时，； （3）略 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或16 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据线段中点的定义可得，再根据新定义，即可求解； （2）①求出时，，，再根据新定义，即可求解； ②根据题意，分当点Q在点A右侧时和当点Q在点A左侧时两种情况，利用定义列出方程，然后解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点是线段的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：①当时，，， ∴； ②依题意，当点Q在点A右侧时，，， ， ， ， 解得； 当点Q在点A左侧时，，， ， ， ， 解得， 综上，的值为或16． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山西阳泉·期末）毛主席在《七律·长征》中写道“金沙水拍云崖暖，大渡桥横铁索寒”，铭记了红军飞夺泸定桥的壮烈史诗．大渡河自古为天堑，水流湍急、两岸高崖对峙，泸定桥以两岸山崖为固定端点，精准锁定连通两岸的直线通道．这一设计，用所学数学知识解释恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离 【答案】B 【分析】本题考查直线的基本事实，理解题意是解决本题的关键． 根据泸定桥以两岸山崖为两个固定端点，精准锁定连通两岸的直线通道即可判断． 【详解】解：由题意得，泸定桥以两岸山崖为两个固定端点，精准锁定连通两岸的直线通道， 这一设计符合“两点确定一条直线”的数学基本事实， 故选B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法：①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段；④过两点只能画两条射线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线和线段的性质，过两点有且只有一条直线，比较简单。由题意根据直线、射线和线段的概念利用排除法即可求解． 【详解】解：①经过两点，有且只有一条直线，故①说法正确，符合题意； ②经过两点，能画两条射线，故②说法不正确，不符合题意； ③过两点只能画一条线段，故③说法正确，符合题意； ④经过两点只能画两条射线，故④说法正确，符合题意； 其中正确的有①③④，有个， 故选： C． 3．（26-27七年级上·辽宁沈阳·开学考试）数一数，如图中一共有（     ）条线段． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图中的线段有：，共条． 4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．延长线段到C   B．射线经过点A C．点P既在直线a上，也在直线b上 D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了两点之间的距离，理解题意是解题的关键． 根据相关知识点解题即可． 【详解】解：两点之间的距离是以这两点为端点的线段的长度，即线段的长． 故答案为：② ． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知10条直线两两相交，最多会有的交点数可能是_________个． 【答案】45 【分析】要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，求得n条直线相交，最多有个交点；将代入上式即可求解． 【详解】解：3条直线相交，最多有个交点； 4条直线相交，最多有个交点； 5条直线相交，最多有个交点； 5条直线相交，最多有个交点； … ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点． 故答案为：45． 7．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有_______种不同的票价（去程与返程票价相同） 【答案】10 【分析】把三个站和甲乙两地看作线段上的5个点，先求出线段条数，一条线段就是一种票价． 【详解】解：此题相当于一条线段上有5个点，有多少种不同的票价即有多少条线段， 故不同的票价有：． 8．（25-26七年级上·广东·阶段检测）线段，点在线段上，且，则___________． 【答案】 【分析】根据已知条件列出方程，解方程即可． 【详解】，， ， ， ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知不在同一条直线上的，，三点．按下列要求作图： (1)分别作射线，线段； (2)在线段的延长线上作． 【答案】(1) 如图，射线、线段即为所求； (2) 如图，线段即为所求． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，掌握基本作图方法是解题的关键． （1）根据射线和线段的概念作图即可得； （2）以A为圆心，长为半径画弧交延长线于点D，则． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 10．（25-26七年级上·山西·期末）如图，点为线段上一点，点为的中点，且，． (1)求的长； (2)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)8 (2)7或13 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，明确线段之间的和差关系是解题关键． （1）由题意得，根据即可求解； （2）分类讨论①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上，两种情况即可求解． 【详解】（1）解：由点为的中点，得， ∵， 解得：， ； （2）解：由（1）得：， ①当点在线段上时，， 由线段的和差，得， ②当点在线段的延长线上， 由线段的和差，得 综上所述：的长为7或13． 11．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）如图，线段，是线段的中点，是线段的中点． (1)求线段的长． (2)若线段上存在一点，满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的性质，两点间的距离，线段的和差定义，灵活掌握线段中点性质以及线段和差定义是解题的关键． （1）根据线段中点的性质，算出的长，由即可求解； （2）先算出的长，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵A是的中点， ∴， ∵B是的中点， ∴， ∴ ； （2）解：∵点C在线段上，且， ∴， ∴ ． 12．（24-25七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点．      (1)求线段的长； (2)若在线段上有一点E，，求的长． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差关系． （1）由线段中点的有关计算得出，，再根据线段的和差关系即可得出． （2）根据已知条件可得出，再根据线段的和差关系即可得出． 【详解】（1）解：∵线段，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东滨州·期末）一条铁路上有5个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票的种数为（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】C 【分析】本题主要考查线段概念的实际应用，利用线段数计算车票种类，注意往返车票是不同的，需乘以2． 【详解】解：∵5个火车站可看作直线上的5个点， ∴线段总数为：（条）， ∵每两个车站之间的往返车票为不同的两种， ∴铁路局需准备的车票种类为（种）． 故选：C． 3．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题考查了图形类规律，直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴条直线两两相交最多能有个交点． 故选：D． 4．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 5．（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 二、填空题 6．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为_________．    【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是把． 【详解】解：如图，连接，则，    当N在A，C之间时，的最小值， 的最小值是， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，已知线段，点C是上任一点，是的中点，是的中点，则的长度为______cm．    【答案】5 【分析】由已知条件可知，，又因为M是的中点，N是的中点，则． 【详解】解： 是的中点，是的中点， ， ． 故答案为：5． 8．（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【答案】3或9/9或3 【分析】点D在直线上，需分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算的长度. 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵ 点是的中点， ∴ . ①当点在线段上时，. ②当点在的延长线上时，. 因此的长为或. 9．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，点C是的中点，点D在所在直线上，且，那么______． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段的中点、线段的比例关系以及线段的和差关系；找出线段之间的数量关系是解题的关键． 根据题意分当在线段上和当在线段延长线上两种情况，设，结合线段和差关系建立方程求解即可． 【详解】①如图，当在线段上时， 点C是的中点， ， ， 可设， ，解得， ； ②如图，当在线段延长线上时， 可设， ，解得， ， ； 综上，或． 故答案为：或． 10．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，点为线段的中点，点D，E分别为线段上的两点，且，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差． 根据线段中点的定义得到，根据得到，根据得到，，即，，即可求出的值． 【详解】解：∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图所示，同一平面中有点A，B，C，D，已知点C在线段上，请按照要求用无刻度直尺和圆规作图并解决问题（不要求写作图过程，保留作图痕迹）． (1)尺规作图：①作直线，射线； ②延长线段至点E，使得点D为线段的中点； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长度． 【答案】(1) ①如图所示， ②如图所示，点E即为所求； (2)10 【分析】本题主要考查线段、射线、直线的定义，线段中点的计算， （1）根据线段、射线、直线的定义作图，线段中点的定义作图即可； （2）根据线段和差，设，由此列方程求解即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：∵， ∴设，则， ∵点D为线段的中点， ∴， ∵ ∴， 解得，， ∴， ∴． 12．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)，理由： ∵M，N分别是线段的中点， ． ． ∴． (2)3 【分析】（1）利用线段中点的定义得到，即可解答； （2）利用线段中点的定义得到，再求得，利用线段之差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵点P是线段的中点， ． ． ∵N是线段的中点， ． ． 13．（25-26六年级下·山东威海·期中）如图，，，为的中点． (1)求线段的长． (2)若点在直线上，，为中点， 求长． 【答案】(1) (2)长为或 【分析】（1）根据线段的和差即可求解； （2）分情况讨论的位置，可以在点的左侧，也可以在右侧，然后根据求出线段的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． （2）解：当点在点B的左侧， ∵点E为的中点，， ∴， ∵， ∴； 当点P在点B的右侧， ∵点E为的中点，， ∴， ∴， ∴长为或． 14．（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，是线段的中点，是线段的三等分点且在点的左侧． (1)若线段的长为，求线段的长． (2)设线段的长为，若是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】本题主要考查了线段的中点、三等分点的定义及线段的和差计算，熟练掌握线段的延长线分类讨论，结合线段间的数量关系分析计算是解题的关键． （1）先根据中点和三等分点的定义，分别求出、的长度，再用减去得到的长． （2）先根据判断在延长线上，分在左侧、在右侧两种情况，结合的长度，利用线段和差计算的长． 【详解】（1）解：∵是的中点，， ∴． ∵是的三等分点且在左侧， ∴． ∴． （2）解：∵，若在上，则，而， ∴在线段的延长线上或在线段的延长线上． 情况：在的右侧时， ∵是的三等分点， ∴． 设，则， ∴， 解得，即． ∴． ∴． 情况：在的左侧 设，则， ∴， 解得，即． ∴． 综上，或． 15．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)8，2； (2)； (3)或4； (4)长度不变化，为4． 【分析】本题考查数轴动点问题，根据题意分析动点运动情况进行解题． （1）根据数轴上线段长度的计算方法，用点表示的数减去点表示的数，即为的长；根据中点的性质，确定出中点到点和点的距离，确定中点位置即可； （2）用含的表达式表示、，结合相遇问题，得出方程，解出时间即可； （3）做分类讨论，对相遇前和相遇后都进行计算分析，注意区分相遇前和相遇后的长度计算方式； （4）考虑点经过点和未经过点的情况，用含的表达式表示相关长度，计算的长度； 【详解】（1）解：∵表示，表示， ∴的长度为， 故的长度为， 则中点中点表示的数为 ∴中点表示的数为． （2）解：的长度为，的长度为， 若、点相遇，则， 即，解得． （3）在、点未相遇的情况下： ， 若，即， 解得； 在、点相遇后的情况下： ， 若，即， 解得； 故当的值为或时，． （4）解：当点未经过点时： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 当点经过点后： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 所以长度不会发生变化，的长度始终为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题6.2线段、射线、直线 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01线段、射线、直线的概念 知识点02直线的性质 知识点03线线的性质 知识点04线段大小比较 2.知识清单 知识点05尺现作图 知识点06线线的和与差 知识点07线段的中点 题型01线段、射线、直线的联系与区别 题型02点与线的位置关系 线段、射线、直线 题型03两点确定一条直线 题型04直线相文的文点个数问题 题型05国直线、射线、线段 题型06两点之间线段最桓 3.题型精讲 题型07线段的教是问题的应用 题型08线线的和与差 题型09作线段（尺现作图） 题型0线段中点的有关计算 题型I1线段n等分点的有关计算 题型12与线投有关的动点问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 教学目标①进一步认识线段、射线、直线的概念，掌握用字母表示它们的方法。 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②理解“两点确定一条直线”的基本事实，并能运用它解释生活现象、解决简单实际 问题。 ③经历从生活实物到几何图形的抽象过程，发展几何直观与符号化思维。 教学重点 ①线段、射线、直线的概念辨析与字母表示方法。 ②“两点确定一条直线”基本事实的理解与应用。 教学重难点 教学难点 ①射线的表示方法：用两个大写字母时，端点字母必须写在前面。 ②直线“无限延伸”的抽象理解，以及“两点确定一条直线”在实际情境中的灵活应 用。 知识清单 知识点01线段、射线、直线的概念 1.线段的表示也有两种：一个小写字母或用端点的两个大写字母.但前面必须加“线段”两字，如：线段 a:线段AB. 2.射线的表示同样有两种：一个小写字母或端点的大写字母和射线上的要给大写字母，前面必须加“射 线”两字 3.直线的表示有两种：一个小写字母或两个大写字母.但前面必须加“直线”两字，如：直线；直线， 直线AB;直线CD 基本概念： 名称 直线 射线 线段 图形 a a ● a A B A B A 乃 端点个数 无 一个 两个 直线a 射线a 线段a 表示法 直线AB(BA) 射线AB 线段AB(BA) 作线段a 作直线a 作射线a 作法叙述 作线段AB 作直线AB 作射线AB 连接AB 2/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长 【即学即练1-1】(25-26七年级上四川达州：期末)下列说法正确的是() A.射线PA与射线AP是同一条射线 B.射线OA的长度是12cm C.直线AB、cd相交于点M D.两点确定一条直线 【即学即练1-2】(25-26七年级上吉林长春期中)直线AB，BC,CA的位置关系如图所示，下列语句： ①点A在直线BC上；②直线BC经过点B;③直线AC,BC交于点C;④点C在直线AB外；⑤图中共有 6条射线，以上表述正确的有 ·(只填写序号) 知识点02直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单地：两点确定一条直线。两条直线相交，只有一个交点。 【即学即练2-1】(2026七年级上·江苏淮安·专题练习)在学校的劳动实践课程上，同学们体验插秧时发 现：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗整齐地插在一条直线上，这样做的依据是 知识点03 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点 之间的距离. 【即学即练3-1】(25-26六年级下·上海·期末)2025年12月6日，经过52个月的艰苦建设，天山胜利隧 道顺利贯通.此前，车辆沿盘山公路翻越天山需要3.5个小时，隧道贯通后，穿越天山仅需约20分钟.请 你用所学数学知识解释这一现象 知识点04线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1)目测法；（2)度量法；(3)叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端 点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.如下图： 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B D D D B AB=CD AB>CD AB<CD 【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法. 【即学即练41】(24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测)如图，用圆规比较两条线段AB和AB的长短， 可知AB AB.(填写“>”，“<”，“=”) B 知识点05尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图 【说明】(1)只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题 (2)直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以 在上面画刻度 (3)圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度. 【即学即练51】(25-26七年级上山西吕梁·期末)如图，已知平面上四点A、B、C、D. B C d (I)画直线AB: (2)画射线BC; (3)连接CD并延长至点E,使DE=CD 知识点06 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C,则AC+BC=AB;AC=AB·BC;BC=AB·AC, 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. C B 【即学即练6-1】(26-27七年级上全国课后作业)如图，A、B、C三点在同一条直线上，则关于线段 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB、BC、AC有下列等式成立： A B (1)AB+BC= (2)AC-BC= (3)AC-AB= 知识点07线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点，如下图所示，点C是线段AB的中 1 点，则AC=CB=2AB,或AB=2AC-2BC.A B 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上 【即学即练7-1】(25-26七年级上广东阶段检测)如图，点A、B、C在同一直线上，B在A、C之间， M是AB的中点，N是BC的中点，AB=6cm,BC=4cm,P是AC的中点. 6cm 4cm A M B N (1)求线段AC的长： (2)求线段MN的长； (3)求线段PM的长. 题型精讲 题型01线段、射线、直线的联系与区别 【典例1】(25-26七年级上·全国课后作业)如图，点A,B,C在同一直线上，下列说法不正确的是 () A B C A.线段AB与线段BA是同一条线段 B.直线AB与直线BC是同一条直线 C.射线AB与射线AC是同一条射线 D.射线BA与射线BC是同一条射线 5/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(2025七年级上·全国专题练习)如图，下列说法正确的有() 1 0 A B ①点O在射线AB上；②B是直线AB的一个端点；③直线OB和直线AB是同一条直线；④点A在线段OB 上 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】(25-26七年级上·全国课后作业)如图所示，下列说法正确的是() 0 M W A.射线OM与射线ON是同一条射线 B.射线MO与射线MN是同一条射线 C.射线OM与射线MW是同一条射线 D.射线NO与射线MO是同一条射线 【变式3】(25-26七年级上全国课后作业)下列语句准确规范的是() A.直线a,b相交于一点m B.延长直线AB C.延长射线AO D.延长线段AB到点C,使BC=AB 题型02点与线的位置关系 【典例2】(2025七年级上河北唐山专题练习)如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有条，再添一 颗黑子，使n不变，则位置在() ①②③ )○4 A.① B.② C.③ D.④ 【变式1】(24-25七年级下山东临沂阶段检测)按下面语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但 不在直线c上，直线4，b,c两两相交，图中正确的是（) 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式2】(2025·河北廊坊·一模)如图，P为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为() d A.直线a B.直线b C.直线C D.直线d 【变式3】(25-26七年级上·福建福州期末)下列几何图形与相应语言描述不相符的是()· P B Bt A B A 甲 乙 丙 丁 A.如图乙所示，直线a与直线b交于点O B,如图甲所示，直线AB不经过点P C.如图丁所示，线段AB与射线CD一定相交D.如图丙所示，点C在线段AB上 题型03 两点确定一条直线 【典例3】(25-26六年级下·山东烟台~期末)2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40 年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目 标三点一线即可命中目标.如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是() 缺口 准星 A.垂线段最短 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.以上说法都不对 【变式1】(2026山西晋中·二模)墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具.如图，木匠师傅锯木料 时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧 并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线.其蕴含的数学道理是() 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.两点之间线段最短 B.垂线段最短 C.三角形内角和定理 D.两点确定一条直线 【变式2】(2026广西南宁·二模)如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原 理是() A.两点确定一条直线 B.经过一点有无数条直线 C.垂线段最短 D.两点之间，线段最短 【变式3】(25-26六年级下·山东烟台期中)如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆.安装时需在 两头加以固定，才能稳固不动.其中的数学原理是() 固定 定点 A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.点动成线 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 题型04直线相交的交点个数问题 【典例4】(2025七年级上湖北专题练习)平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有个，最少 有n个，则m+n= 【变式1】(2425七年级上·江苏盐城期末)一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域 【变式2】(25-26七年级下云南曲靖阶段检测)平面上6条直线两两相交，最多有 个交点. 【变式3】(25-26九年级上：湖南长沙自主招生)平面上的n条直线恰有2011个交点，则n的最小值为 题型05 画直线、射线、线段 【典例5】(25-26七年级上·贵州期末)按要求作答：如图，已知四点AB、CD,请仅用直尺和圆规 作图，并保留画图痕迹. 8/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P B C (1)画直线AB: (2)连接BC: (3)画射线AD: (4)在直线BD上确定一点P,使PA+PC的值最小，依据是 【变式1】(25-26七年级上浙江绍兴期末)如图，己知平面内有A,B,C,D四个点，按下列语句画出 图形（保留作图痕迹并标注相关字母）· A B D C (I)画射线DC和直线DB: (2)连接AB,并延长至点E,使得BE=AB 【变式2】(25-26七年级上河北邯郸期末)如图，已知平面内有A、B、C三点，按下列要求画图： ●A B. c (I)用直尺作直线AB,射线BC,线段CA,在射线BC上取点M,使CM=BC(点M不与点B重合.) (2)在(I)的条件下，以点C为顶点，射线CM为一边，在∠ABC内部用尺规作一个∠PCM,使它等于 ∠ABC.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)· 【变式3】(25-26七年级上广东珠海·期末)如图，平面上有三个点4B,C. S B (I)画直线AC,画射线AB: (2)在线段AB的延长线上作线段BD=AB,再连接CD(尺规作图，保留作图痕迹)； (3)AC+CD AD(填“>”“<”或“=”)，依据是 9/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06 两点之间线段最短 【典例6】(25-26七年级下陕西榆林·开学考试)下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最 短”来解释的现象有() ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段AB架设： ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程。 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【变式1】(25-26七年级上福建漳州期末)“弯曲的公路改直能缩短路程”用到的数学原理是() A.垂线段最短 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.两点之间直线最短 【变式2】(25-26七年级上·江苏无锡期末)如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周 长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是() A.两直线相交只有一个交点 B.垂线段最短 C.经过一点有无数条直线 D.两点之间，线段最短 【变式3】(25-26七年级上江苏扬州期末)如图，用剪刀沿直线剪银杏叶，发现剩下的银杏叶周长比原 来周长要小，理由是() A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.对项角相等 题型07线段的数量问题的应用 10/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例7】(26-27七年级上全国·单元复习)如果乘火车从北京到上海，沿途共有25个车站（包括北京和 上海在内)，那么共需要准备多少种不同的车票() A.400 B.25 C.300 D.100 【变式1】(24-25七年级上江苏苏州阶段检测)往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则 需要为这次列车制作 张车票 【变式2】(25-26七年级下·黑龙江大庆·期中)一条铁路线上有4个站点（如图），那么一共要设计 种不同的车票. 【变式3】(25-26七年级上·重庆·期中)一条铁路上有10个站，需要制作 种火车票. 题型08 线段的和与差 【典例8】(25-26七年级上江苏泰州·期末)已知线段MW=5Cm,NP=3cm,且M、N、P三点在同一 直线上，则线段MP的长为 cm 【变式1】(25-26七年级上山东聊城期末)点ABC在同一直线上，如果AB=20cm,AC=5cm,则 BC= cm 【变式2】(25-26六年级下·山东东营·阶段检测)如图，已知线段AB=20©m,点C、D为线段AB上两点， 且AB=4AD=5BC,点M和点N分别是线段AC和BD的中点. A DM N C B (1)直接写出线段AD= cm.BC= cm; (2)求线段MN的长. 【变式3】(25-26七年级下河南信阳开学考试)如图，已知点C为线段AB上一点，AC=14Cm, CB=6cm,D,E分别是AC,AB的中点. D E C B (I)求DE的长度； (2)若点F在直线AB上，且BF=4cm,求DF的长度. 题型09作线段（尺规作图) 【典例9】(25-26七年级上河南周口期末)如图，已知线段DA与B、C两点，用圆规和无刻度的直尺按 下列要求画图并计算： 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ()画直线AB、射线DC;并在DA的延长线上取点E,使AE=AB,(保留作图痕迹) (2)若AB=2Cm,AD=4cm,求线段AE的长 【变式1】(25-26七年级上新疆乌鲁木齐期末)如图，平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画 图：（不写作法，保留作图痕迹） A B D c (①)画线段AC,BD交于点F: (2)连接AD,并将其反向延长： (3)作射线BC: (4)延长BD至点M,使DM=BD+BC」 【变式2】(25-26七年级上河北邢台期末)如图，平面上有A,B,C,D四个点，根据下列语句进行尺 规作图。 D A。 B (I)画射线AC,直线CD,线段AB: (2)在线段AC上找一点F,使得CF=AC-AB: (3)在射线AC上确定点O,使得BO+DO最小；作图的依据为一 作图的依据为：两点之间，线段最短. 【变式3】(25-26七年级上·新疆鸟鲁木齐期末)如图，已知直线I和点A,B,P. P。 A (1)请用直尺和圆规按下列要求作图（不写步骤，需保留痕迹，作图时先用铅笔画出，再用黑色字迹的签字 笔描黑)· 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①画射线PA: ②连接BP,在线段BP的延长线上找一点C,使线段PC=PB: (2)连接AC,则BC AC+AB(填“>”“<”“=”)，成立的理由是 题型10 线段中点的有关计算 【典例10】(25-26七年级上江苏无锡·阶段检测)如图，C为线段AD上一点，B为CD的中点， AD=20 cm,AC=12 cm A C B D (I)求BD的长： (2)若点E在直线BD上，且DE=3cm,求AE的长. 【变式1】(25-26七年级上江西南昌·阶段检测)如图.线段AB长9Cm.C点是线段AB上一点，M是线 段AC的中点，N是线段CB的中点. L AM C B (I)求线段MN的长： (2)若CB=2AC,求线段CN的长. 【变式2】(25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测)如图，C为线段AB上一点，D在线段AC上，且 D=3AC,B为BC的中点 A D CE B (1)图中共有一条线段 (2)若AC=6,BE=1,求线段AB、DE的长， 【变式3】(25-26七年级上·甘肃酒泉·阶段检测)如图，线段AB=12,点C为线段AB的中点，点D在线 段AC上，CD=2」 y D C B (I)求BD的长 (2)若点E在线段AB上，使得AD:DE=4:3,求CE的长. 题型11 线段n等分点的有关计算 【典例11】(25-26六年级下·山东烟台期中)如图，已知点C在线段AB上，点M,N分别在线段AC与线 段BC上，且AM=3MC,BN=3NC. 13/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M CN ()若AC=8,BC=4,求线段MN的长： (2)若MN=5,求线段AB的长. 【变式1】(24-25七年级上：广东惠州期末)如图，已知线段AB=8cm,点C是线段AB的中点，延长线 段AB到点D,使BD=3BC B (I)求线段AD的长 (2)点E是线段AD的一个三等分点，求线段CE的长 【变式2】(24-25七年级上广东深圳期末)如图，点C为线段AB上一点，AC=8cm,BC=4cm,点 D、E分别是AC、BC的中点， A D C E B (I)求线段DE的长； (2)如果点M在直线AB上，AM=3cm,求线段EM的长度. 【变式3】(24-25七年级上·浙江温州期末)如图，线段AB=12,C为线段AB延长线上一点， AC=4BC. A B (1)求线段AC的长： (2)若D是图中最长线段的中点，求线段BD的长. 题型12与线段有关的动点问题 【典例12】(25-26七年级下·黑龙江大庆·期末)己知：如图，点M是线段AB上一定点，AB=18cm, C、D两点分别从M、B出发以lcm/s、2Cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线 段AM上，D在线段BM上). ←一 A CM D B (I)若MB=10cm;当点C、D运动了4s,此时AC=_,DM=_.(直接填空) (2)若MB=I0cm,点C、D运动时是否存在AC=MD?若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由. MN (3)若点C、D运动时，总有MD=2AC,N是直线AB上一点，且AN-BN=MN,则AB=-(直接填 空) 【变式1】(26-27七年级上辽宁沈阳阶段检测)【背景知识】 14/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规 律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b,则A,B两点之间的距离AB=a-),线段AB的中点表示 a+b 的数为2· 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数 轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒 (（t>0) 20 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离AB= 线段AB的中点C表示的数为. ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 一；点Q表示的数为 (②求当1为何值时，P四=方4B: (3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化， 请说明理由；若不变，请求出线段MN的长 【变式2】（25-25七年级上江苏泰州期末)定义：若点4BC在同一直线上，则4c- AC,例如 1 AB=6AC=3,则dac=2,ds-2如图，己知线段AB=12cm A O B A B A B 图1 备用图 备用图 (1)如图1，若点O是线段AB的中点，则os= (②)P卫是直线AB上的两个动点，点P从点A出发向右运动，点从点B出发向左运动：若点P运动速度 为lcm/s,点Q的运动速度为2cm/s,设运动时间为t; ①当t=3时，求dos-dp的值； ②当d0s-ds=3时，试求出可能的，的值. 【变式3】(25-26七年级上四川成都期末)已知点A,B,C,D在直线上，其中点A在点B左侧，点 c在点o左侧.B公，c0 =2,点E为线段AC中点，点F为线段BD中点. 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B(C)F D (I)如图，当点B,C重合时，求线段EF的长： (2)当线段CD从图所示位置在直线I上向右移动时，AE-BF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值； 若不是，请说明理由： 11 (3)当线段CD从图所示位置在直线，上向左移动，移动的距离为mm≤2时，是否存在m使得 AD+EF=5CD,若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由. 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26七年级上山西阳泉·期末)毛主席在《七律·长征》中写道“金沙水拍云崖暖，大渡桥横铁索 寒”，铭记了红军飞夺泸定桥的壮烈史诗.大渡河自古为天堑，水流湍急、两岸高崖对峙，泸定桥以两岸 山崖为固定端点，精准锁定连通两岸的直线通道，这一设计，用所学数学知识解释恰当的是() A.过一点可以画多条直线 B.两点确定一条直线 C.两点之间线段最短 D.连接两点间线段的长度是两点间的距离 2.(25-26七年级上全国课后作业)下列说法：①过两点只能画一条直线：②过两点只能画一条射线： ③过两点只能画一条线段；④过两点只能画两条射线.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(26-27七年级上辽宁沈阳开学考试)数一数，如图中一共有()条线段。 A B C D E A.4 B.8 C.10 D.9 4.(25-26七年级上辽宁沈阳·阶段检测)下列几何图形与相应语言描述相符的是() A.延长线段AB到CCA B 16121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。A B.射线经过点A BC B a C.点P既在直线a上，也在直线b上 P C D.射线 与线段 没有交点 D CD AB A B 二、填空题 5.(25-26七年级上湖南益阳期末)如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A,B两点 之间的距离的线是」 (填序号) ① ② B ③ ④ 6.(25-26七年级上湖北武汉期末)已知10条直线两两相交，最多会有的交点数可能是 个 7.(25-26七年级下黑龙江大庆开学考试)往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有 种 不同的票价（去程与返程票价相同） 8.(25-26七年级上广东阶段检测)线段AB=I5Cm,点C在线段AB上，且AC=2CB,则CB= cm 三、解答题 9.(25-26七年级上·全国期末)如图，已知不在同一条直线上的A,B,C三点.按下列要求作图： S (I)分别作射线BA,线段AC: (②)在线段BA的延长线上作AD=AC. 10.(25-26七年级上山西期末)如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB=12, AC=4CD 17/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C D (1)求AC的长： (2)若点E在直线AB上，且AE=3,求DE的长. 11.(25-26七年级上·湖北孝感期未)如图，线段MN=12,A是线段MN的中点，B是线段MA的中点. M B A W (I)求线段BN的长， (②若线段BM上存在点C,满足C1=BC,求CN的长 12.(24-25七年级下·湖南衡阳开学考试)如图，线段AB=8,点C是线段AB的中点，点D是线段BC 的中点. y E C D B (I)求线段AD的长： 四老在线段AC上有一点8，CB=aC.求pB的长 4 能力提升 一、单选题 1.(2425七年级上山西吕梁期末)如图，下列表述不正确的是() D A.线段BC和射线AC都是直线AB的一部分B.点D在直线AB上 C.直线AC和直线BD相交于点B D.直线BD不经过点C 2.(25-26七年级上山东滨州期末)一条铁路上有5个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车 站，则铁路局需为这条线路准备车票的种数为() A.5 B.10 C.20 D.30 3.(25-26七年级上四川乐山期末)如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最 多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是 () 18/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 火 A.n(n+1)个 B.n(n-1)个 C.(n+1 个 D.4(n-1) 2 2 4.(25-26七年级上·安徽蚌埠期末)若线段AP,BP,AB满足AP+BP>AB,则关于P点的位置，下列说法 正确的是() A.P点一定在直线AB上 B.P点一定在直线AB外 C.P点一定在线段AB上 D.P点一定在线段AB外 5.(25-26七年级下山东淄博期末)若A,B,C三点在同一条直线上，线段AB=12cm,BC=4cm, 点E,F分别是线段AB,BC的中点，则线段EF的长为() A.8cm B.4cm C.8cm或2cm D.8cm或4cm 二、填空题 6.(25-26七年级上四川成都期末)如图，在平面内，AB为线段，射线AM上有一点C到A的距离为 7,N是平面内一点，且始终保持AN=3BN,则BN+?CN的最小值为 /M B 7.(25-26七年级下甘肃定西期末)如图，己知线段AB=10cm,点C是AB上任一点，M是AC的中点， N是BC的中点，则MN的长度为_cm. A M C N B 8.(26-27八年级上辽宁鞍山开学考试)线段AB=12Cm,点C是AB的中点，点D在直线AB上，若 AB:AD=41,则CD的长为 cm 9.(25-26七年级上湖北武汉阶段检测)如图，AB=12,点C是AB的中点，点D在AB所在直线上， 且AD:DB=5:7,那么CD= A B 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26七年级上重庆期末)如图，点C为线段AB的中点，点D,E分别为线段AC上的两点，且 CD E=)DE,若BD=5AD,则AE的值头 B 三、解答题 11.(25-26七年级下·重庆·阶段检测)如图所示，同一平面中有点A,B,C,D,已知点C在线段BD上， 请按照要求用无刻度直尺和圆规作图并解决问题（不要求写作图过程，保留作图痕迹）· A· B (1)尺规作图：①作直线AB,射线CA: ②延长线段BD至点E,使得点D为线段BE的中点： (2)在(1)的条件下，若BC:CE=2:3,CD=1,求线段BE的长度. 12.(25-26六年级下山东威海期末)如图，点C在线段AB上，点M,N分别是线段AC,BC的中点. A M CP N B (I)线段AB与MN存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段AB的中点，AC=6,CP=2,求线段PW的长. 13.(25-26六年级下山东威海期中)如图，AC=10cm,BC=6cm,0为AB的中点. OC B (1)求线段OC的长， (2)若点P在直线AB上，BP=2Cm,E为BP中点，求CE长 14.(2026七年级上重庆·专题练习)如图，C是线段AB的中点，D是线段AB的三等分点且在点C的左 侧. A D C B (1)若线段AB的长为30，求线段CD的长， ②设线段B的长为。：若p是直线B上一点月4P+F-子，求线段p的长。 15.(25-26七年级上重庆·阶段检测)综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许 多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b,则4B两点之间的距离AB=a-b,线段AB 20121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+b 的中点表示的数为2· 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长 度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动 时间为t秒(t>0) A B B -2 0 6 -2 0 6 备用图 【综合运用】 (I)AB两点间的距离AB= 线段AB的中点表示的数为， (2)求当t= 秒时，P卫两点相遇： e)求当，为何值时，PQ=4B; (4)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化， 请说明理由；若不变，求出线段MW的长， 21/21