专题6.1 几何图形（8题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

专题6.1 几何图形 教学目标 1. 经历从实物抽象几何图形的过程，认识点、线、面、体。 2. 了解立体图形与平面图形的概念，能识别常见几何体。 3. 感受图形与生活的联系，发展空间观念与抽象能力。 教学重难点 教学重点 1. 进一步认识点、线、面、体，感受四者之间的关系。 2. 区分立体图形与平面图形，掌握几何图形的分类。 教学难点 1. 从实物中抽象出几何图形，理解点、线、面、体的抽象关系。 2. 发展空间想象能力，实现立体与平面图形之间的思维转换。 知识点01 立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【即学即练1-1】（2026·河南信阳·一模）下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的分类．柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：正方体是四棱柱，棱柱和圆柱都是柱体，则属于柱体的有3个， 【即学即练1-2】（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 知识点02 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 【即学即练2-1】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一个圆锥，这说明_____________，“齐天大圣”孙悟空有一个宝贝——金箍棒，当他快速旋转金箍棒时，展现在我们眼前的是一个圆的形象，这说明_____________． 【答案】 面动成体 线动成面 【详解】解：直角三角形是平面图形（属于面），绕直角边旋转时面的运动形成了圆锥（属于立体图形），因此该现象说明面动成体． 金箍棒可近似看作一条线段（属于线），快速旋转时线的运动形成了圆形的面，因此该现象说明线动成面． 【即学即练2-2】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）将长和宽分别为和的长方形分别绕图1、图2中的虚线旋转一周得到A，B两个几何体． (1)将长方形绕图1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是__________，这能说明的事实是__________． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)这两个几何体的体积相等吗？如果不相等，请通过计算说明哪一个体积较大． 【答案】(1)圆柱，C； (2)解：两个圆柱的体积不相等．图2的体积较大． 过程如下： 图1形成的圆柱的体积是； 图2形成的圆柱的体积是； ∵， ∴图2的体积较大． 【分析】（1）观察图形旋转，得出将长方形绕图1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是圆柱，说明的事实是面动成体，即可作答． （2）根据圆柱的体积公式分别算出图1、图2的体积，再比较，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，将长方形绕图1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是圆柱，这能说明的事实是面动成体； （2）略 题型01 常见的几何体 【典例1】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列实物图可以抽象为圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：实物图可以抽象为圆锥的是． 【变式1】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）如图，是一个底面为正六边形的茶叶盒，可以近似的看成什么几何体（   ） A．圆柱 B．长方体 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的认识． 直接根据图形作答即可． 【详解】解：一个底面为正六边形的茶叶盒，可以近似的看成六棱柱． 故选：D． 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）下面几何体中为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱、正方体、球、圆锥、三棱锥的形体特征是正确解答的关键．根据棱柱、正方体、球、圆锥、三棱锥的形体特征进行判断即可． 【详解】解：A．选项A中几何体是正方体，即四棱柱，因此选项A符合题意； B．选项B中的几何体是球，因此选项B不符合题意； C．选项C中的几何体是圆锥，因此选项C不符合题意； D．选项D中的几何体是三棱锥，因此选项D不符合题意． 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·湖北随州·期末）下列如图所示的生活物品中，从整体上看形状是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握圆柱的定义． 根据圆柱的概念和定义知：圆柱由两个相等的圆形底面，一个封闭的曲面围成，据此进行判断即可． 【详解】解：A、形状类似圆柱，故选项符合题意； B、形状不是圆柱，故选项不符合题意； C、形状类似正方体，故选项不符合题意； D、形状类似球，故选项不符合题意． 故选：A． 题型02 立体图形的分类 【典例2】（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）下列几何体中，属于柱体的是（     ） ①圆柱 ②圆锥 ③长方体 ④球 ⑤三棱柱 A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【详解】解：①圆柱属于柱体； ②圆锥不属于柱体； ③长方体属于柱体； ④球不属于柱体； ⑤三棱柱属于柱体； 综上，属于柱体的有①③⑤． 【变式1】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查常见立体图形的识别，掌握常见立体图形的特征是解题关键． 根据柱体、锥体、球的定义和特征对选项依次判断即可． 【详解】解：柱体：有两个互相平行且全等的底面，侧面为平行四边形或曲面． 图中正方体、长方体、六棱柱、五棱柱、三棱柱、圆柱，都符合柱体特征， 故柱体有：； 锥体：只有一个底面，顶部有一个顶点，侧面为三角形或曲面． 图中圆锥符合锥体特征， 故锥体有：； 球：只有一个曲面，没有顶点和棱． 图中球符合特征， 故球有：． 故答案为：，，． 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元复习）观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 【答案】(1)平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩ (2)柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨ (3)各面都是平面的立体图形：③⑥ 【分析】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解决； （2）根据柱体、锥体、球的定义可得结论； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 【详解】（1）解：平面图形：①②④⑤⑦，立体图形：③⑥⑧⑨⑩； （2）柱体：③⑥⑧；锥体：⑩；球体：⑨； （3）各面都是平面的立体图形：③⑥． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）将下图中的几何体分类． 【答案】 解：按柱体、锥体，球体划分： 柱体：①②④⑤⑦⑧； 锥体：⑥； 球体：③． 【分析】本题主要考查的是基本立体图形的认识，以及立体图形分类，根据立体图形的特点进行分类即可． 【详解】略 题型03 几何体中的点、棱、面 【典例3】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）七棱柱有__________个顶点，__________条棱． 【答案】 【分析】根据棱柱的结构特征，分别计算七棱柱的顶点数和棱数即可． 【详解】解：∵ 七棱柱有2个底面，每个底面为七边形，所有顶点都在两个底面上，每个底面有个顶点， ∴ 总顶点数为 ， ∵ 每个底面有条边，两个底面之间还有条侧棱， ∴ 总棱数为 ． 【变式1】（26-27七年级上·山东济南·开学考试）一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有______面，共有______个顶点，它是______棱柱． 【答案】 八 【分析】根据棱柱的棱数、顶点数、面数的数量关系，先由已知棱数求出，再计算对应面数和顶点数. 【详解】解：棱柱的棱数为，顶点数为，面数为. ∵该棱柱共有条棱， ∴， 解得. 因此该棱柱是八棱柱. 顶点总数为. 面的总数为. 【变式2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个五棱柱框架，它的底面边长都是，侧棱长．观察这个框架，回答下列问题： (1)这个五棱柱有__________个顶点，它的底面是__________形； (2)这个五棱柱所有的侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)10，五边形 (2) 【分析】（1）根据棱柱的特征回答即可； （2）根据矩形的面积公式，先算一个侧面的面积，再算所有侧面积之和． 本题考查了棱柱的特征：n棱柱有n个侧面，2个底面，每个侧面都是长方形． 【详解】（1）略 （2）一个侧面的面积为， 侧面积之和为． 答：这个五棱柱所有的侧面的面积之和是． 【变式3】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，是一个直六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长是． (1)这个棱柱共有_____________个顶点，共有____________条棱，所有棱长的和是___________； (2)求这个棱柱所有侧面的面积之和． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由n棱柱有个顶点即可求解；由n棱柱有条棱求解可得； （2）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 【详解】（1）解：六棱柱有12个顶点；有18条棱， 所有的棱长的和是． （2）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 题型04 探究几何体中的点、棱、面之间的关系 【典例4】（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是__________ (2)若一个多面体的面数比顶点数少12，且有42条棱，则这个多面体有________个面？ 【答案】(1)表格如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 (2)16 【分析】（1）观察图形即可得出结论，根据表格可得：顶点数+面数棱数=2； （2）设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为，代入（1）中的式子即可求解． 【详解】（1）解：观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6； 表格略， 由表格可知，关系式为：； （2）解：设多面体的顶点数为x，则多面体的面数为， 由题意得：， 解得， ∴这个多面体有个面． 【变式1】（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 9 五棱柱 10 六棱柱 8 (2)设n棱柱（n为正整数，且）的顶点数为a、棱数为b、面数为c，根据表中数据猜想 ． 【答案】(1) 顶点数 面数 棱数 三棱柱 6 5 9 五棱柱 10 7 15 六棱柱 12 8 18 (2) 【分析】（1）结合三棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，即可填表； （2）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，根据这个规律得出之间的关系． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得知棱柱一定有个面，个顶点和条棱， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 【变式3】（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 【答案】(1) 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 8 9 12 15 面数（） 4 5 5 6 7 顶点数（） 4 5 6 8 10 (2) (3)2 (4)3，2 (5)30，20，3 【分析】（1）仔细分析所给图形的特征即可得到结果； （2）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （3）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （4）根据表格中的数据依次分析即可得到结果； （5）应用所发现的规律即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中的数据发现：简单几何中，； （3）解：简单几何体中，每条棱都是2个面的公共边； （4）解：在正方体中，每个顶点处有3条棱，每条棱都有2个顶点，所以有； （5）解：有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有30条棱，20个顶点，每个顶点处有3条棱． 题型05 动态认识点、线、面、体 【典例5】（26-27七年级上·陕西·期中）在2025年举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式中，空军八一飞行表演队飞过后留下的彩烟轨迹，以其精美的设计和深刻的寓意，成为空中梯队最绚丽的风景，这一现象用数学知识可解释为___． 【答案】点动成线 【分析】飞机飞行时作为一个点移动，其彩烟轨迹形成线，符合点动成线的几何原理即可． 【详解】解：飞机在空中飞行时，可视为一个点在运动，其留下的彩烟轨迹就是该点运动所形成的图形，即线，这体现了点动成线的数学知识． 【变式1】（26-27七年级上·全国·随堂练习）旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，解释为____________________． 【答案】面动成体 【分析】本题主要考查点、线、面、体之间的关系，解题的关键在于理解点动成线、线动成面、面动成体的数学概念，通过分析题目中描述的现象，将其与点、线、体的运动关系对应起来，得出答案即可． 【详解】解：门可以看作一个平面，当门旋转时，这个平面在空中运动，形成了一个立体的空间，也就是一个体，所以“旋转一扇门，门在空中运动的痕迹”解释为面动成体． 故答案为：面动成体． 【变式2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用_____的数学原理来解释． 【答案】面动成体 【分析】本题考查了点、线、面的相关知识，由平面图形变成立体图形的过程是面动成体． 【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故答案为：面动成体． 【变式3】（26-27七年级上·山东济南·开学考试）用数学知识解释下列现象： (1)飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释为________； (2)一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释为________； (3)汽车雨刷刷过的路径，解释为________． 【答案】(1) 点动成线 (2) 面动成体 (3) 线动成面 【分析】根据点、线、面、体之间的动态关系，对应每个实际现象判断即可，核心是抓住运动的图形是什么，运动后得到的图形是什么． 【详解】（1） 飞机可看作一个点，飞行过程中拉出的线是点运动形成的，因此“飞机拉线”解释为点动成线． （2）半圆是一个平面图形，绕它的直径所在直线旋转一周形成立体的球，因此这个现象解释为面动成体． （3）汽车雨刷可看作一条线，雨刷运动刷过的路径是线运动形成的面，因此这个现象解释为线动成面． 题型06 平面图形旋转所得立体图形 【典例6】（26-27七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，将下面的三角形绕虚线旋转一周后得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形得出旋转一周后得到的几何体是由两个底面重合的圆锥组成的立体图形，从而得解． 【详解】解：将下面的三角形绕虚线旋转一周后得到的几何体是由上下两个圆锥组成，如图： ． 【变式1】（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：左边的图形中的矩形有两条边与直线平行，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是中空的圆柱体．选项D符合题意． 【变式2】（26-27七年级上·山东济南·开学考试）如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．图形绕着虚线旋转一周得到圆台，故A不符合题意； B．图形绕着虚线旋转一周得到球，故B不符合题意； C．图形绕着虚线旋转一周得到圆柱，故C不符合题意； D．图形绕着虚线旋转一周得到圆锥，故D符合题意． 【变式3】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察立体图形可知，其顶面和底面是由两条线段旋转得到的两个大小不同的圆，其侧面是由向内凹陷的曲线旋转而成， 观察四个选项可知，选项A中的图形绕虚线旋转一周可以得到这个立体图形． 题型07 求平面图形旋转所得立体图形体积 【典例7】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，有一长，宽的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是________； (2)当，时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大；（结果保留π） 【答案】(1)圆柱 (2)方式①得到的几何体体积大 【分析】（1）长方形旋转可得圆柱； （2）分别算出两个圆柱体的体积，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：∵根据面动成体，长方形旋转一周得到圆柱， ∴方式①、②得到的几何体都为圆柱； （2）解：方式①的体积为：， 方式②的体积为：， ∵， ∴方式①得到的几何体体积大． 【变式1】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知直角三角形纸板，，绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是___________； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，圆锥的底面半径，圆锥的高， ∴． 【变式2】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有一长，宽的长方形纸板．将它分别绕其两条对称轴旋转，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是_____； (2)当，时，请你任意选择其中一种方式来计算得到的几何体体积． 【答案】(1)圆柱体 (2)方式①的体积为；方式②的体积为：． 【分析】（1）长方形旋转可得圆柱； （2）分别算出两个圆柱体的体积，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵根据面动成体，长方形旋转一周得到圆柱体， ∴方式①、②得到的几何体都为圆柱体； 故答案为：圆柱体； （2）解：方式①的体积为：， 方式②的体积为：． 【变式3】（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，． (1)将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到_________种大小不同的几何体． (2)分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积，结果保留） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直角三角形共有条边，绕每条边所在直线旋转一周均可得到几何体； （2）根据（1）中画出的几何体，并结合圆锥的体积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周得到几何体，如图： 能得到种大小不同的几何体． （2）解：以所在直线为旋转轴旋转一周，体积为， 以所在直线为旋转轴旋转一周，体积为， 综上所述，绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积为或． 题型08 平面图形旋转所得立体图形体积多解问题 【典例8】33．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆锥； (2)或． 【分析】本题主要考查了圆锥的形成原理和圆锥的体积公式的应用． （1）根据“面动成体”可知这个几何体为圆锥； （2）根据不同的旋转轴确定圆锥的底面半径和高，进而计算体积即可． 【详解】（1）解：这个几何体的名称为圆锥， 故答案为：圆锥； （2）解：根据题意，可分两种情况讨论： ①绕直角三角形较长的直角边旋转时，圆锥的体积为； ②绕直角三角形较短的直角边旋转时，圆锥的体积为； 综上所述，圆锥的体积为或． 【变式1】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一张长为，宽为的长方形纸片，将这张长方形纸片绕着它的一条边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形的名称是______； (2)求得到的这个立体图形的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)或 【分析】本题考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． （1）根据面动成体解答即可； （2）分长方形的长为轴旋转和以长方形的宽为轴旋转两种情况根据圆柱的表面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解：当绕宽所在直线旋转一周时，得到的立体图形的体积为：； 当绕长所在直线旋转一周时，得到的立体图形的体积为：， 所以得到的这个立体图形的体积为或． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，某直角三角形纸片两直角边分别为，将纸片绕着它的某条直角边所在的直线旋转，可以得到一个几何体． (1)如果把直角三角形纸片看成一个面，那么这一过程体现的数学原理是______，最终形成的几何体是______； (2)求最终形成几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)面动成体；圆锥 (2)最终形成几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体，理解题意是解决本题的关键． （1）根据面动成体可知，将直角三角形纸片绕它的某条直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥； （2）分两种情况确定出圆锥的底面半径和高，再根据圆锥的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将直角三角形纸片绕它的某条直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：面动成体，圆锥； （2）解：圆锥体积公式为（r为底面半径，h为高），分两种旋转情况： 情况1：绕的直角边（）旋转： 此时圆锥的高，底面半径， 代入公式得 ； 情况2：绕的直角边（）旋转： 此时圆锥的高，底面半径， 代入公式得 ． 综上所述，最终形成几何体的体积为或． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，在长方形中，，现将这个长方形纸片绕其一边所在直线旋转一周． (1)旋转后形成的几何体是___________； (2)求旋转后的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)或 【分析】本题主要考查了面动成体，求圆柱的体积，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）绕长方形的一边所在的直线将长方形旋转一周所得的几何体是圆柱； （2）分绕所在的直线旋转一周和绕所在的直线旋转一周两种情况，根据圆柱的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，旋转后形成的几何体是圆柱； （2）解：当绕所在的直线旋转一周时，则旋转后的几何体的体积为； 当绕所在的直线旋转一周时，则旋转后的几何体的体积为； 综上所述，旋转后的几何体的体积为或． 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下面立体图形中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查认识立体图形．三棱柱是一种底面为三角形的柱体，直接根据三棱柱的几何特点解答即可． 【详解】解：根据三棱柱的特点可知选项C中的图形是三棱柱． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列实物：①篮球；②圆柱形笔筒；③地球仪；④课本；⑤热水瓶；⑥粉笔盒．其中形状类似棱柱的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查棱柱的定义，熟记定义并正确识别各种物体的形状是解题的关键． 棱柱有两个平行且全等的多边形底面，侧面是矩形，据此判断即可． 【详解】解：∵①篮球是球体，不符合棱柱特征；②圆柱形笔筒是圆柱体，底面是圆，侧面是曲面，不符合棱柱特征；③地球仪是球体，不符合棱柱特征；④课本是长方体，底面是矩形，侧面是矩形，符合棱柱特征；⑤热水瓶是圆柱体，不符合棱柱特征；⑥粉笔盒是长方体，符合棱柱特征． ∴类似棱柱的有④和⑥，共2个． 故选B 3．（2026·陕西渭南·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“面动成体”的原理，分析平面图形各部分旋转后形成的立体图形即可． 【详解】解：观察平面图形可知，该图形是一个三角形，且有一条边在旋转轴l上， ∵ 三角形绕其一边所在直线旋转一周，上半部分边旋转形成圆锥侧面，下半部分边旋转形成圆锥侧面， ∴ 得到的立体图形是两个底面重合的圆锥． 4．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）重阳节小颖想给奶奶一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的近似为直三棱柱的礼盒．以下关于直三棱柱的说法正确的是（     ） A．它有9个顶点 B．它有6条棱 C．它的上、下底面形状不相同 D．它的所有侧棱长都相等 【答案】D 【分析】根据直棱柱的特点，结合图形分析即可求解． 【详解】解：直三棱柱有6个顶点，故A选项错误，不符合题意； 直三棱柱有9条棱，故B选项错误，不符合题意； 直三棱柱的上、下底面形状相同，故C选项错误，不符合题意； 直三棱柱的所有侧棱长都相等，故D选项正确，符合题意． 二、填空题 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）下面图形中为圆柱的是________．（只填序号） 【答案】④ 【分析】圆柱的上下底面是完全相同的2个圆，侧面是曲面，且从上到下一样粗． 【详解】解：观察图形可知：图形①的上下底面不平行，不是圆柱； 图形②是四棱柱，不是圆柱； 图形③的上下底面大小不相等，是圆台，不是圆柱； 图形④的上下底面是大小相等的圆，且互相平行，侧面是曲面，是圆柱． 6．（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：②______；⑥______； （2）在以上几何体中，是柱体的有______（填序号）；含曲面的有______（填序号）． 【答案】 圆锥 五棱柱 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ 【分析】本题考查了常见的几何体，立体图形的分类，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据所给的图形确定图形的名称； （2）先说出各个图形的名称，再归类即可． 【详解】（1）解：②圆锥，⑥五棱柱， 故答案为：圆锥，五棱柱； （2）①是圆柱，②是圆锥，③是长方体，④是正方体，⑤是四棱柱，⑥是五棱柱，⑦是球，⑧是三棱柱， 所以在以上几何体中，是柱体的有①③④⑤⑥⑧；含曲面的有①②⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧，①②⑦． 7．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【答案】④ 【分析】当长方形绕其自身的一条边旋转一周时，会形成实心圆柱，而当矩形绕一条与自身边平行且保持一定距离的直线旋转时，因内外侧旋转半径不同，会形成空心圆柱，二者均具备两个平行且全等的圆形底面和曲面侧面． 【详解】解：图形①是直角三角形，绕直线旋转一周后得到圆锥； 图形②是半圆，绕直线旋转一周后得到球； 图形③是一边与直线重合的长方形，绕直线旋转一周后得到实心圆柱； 图形④是与直线平行且有一定距离的长方形，绕直线旋转一周后，形成两个同轴的圆柱面，中间为空心，即空心圆柱； 综上，能得到空心圆柱的是图形④． 8．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，若一个棱柱有12个顶点，那么这个棱柱有______条棱． 【答案】18 【分析】结合三棱柱、四棱柱、五棱柱的特点，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，据此解答即可． 【详解】解：n棱柱一定有个面，个顶点和条棱， ∴， 解得， ∴， 即这个棱柱有18条棱． 三、解答题 9．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）根据如图所示的图形，完成下列各题： (1)指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ (2)把立体图形按柱体、锥体、球分类； (3)指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． 【答案】(1)平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨ (2)柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥ (3)③⑨ 【分析】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解答即可； （2）根据柱体、锥体、球的定义进行解答即可； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 【详解】（1）解：平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨； （2）解：柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥； （3）解：各面既有平面又有曲面的立体图形：③⑨． 10．（26-27七年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，一个直角三角形的三条边长分别为、和． (1)将此直角三角形绕着它直角边所在直线旋转一周，求所得到的几何体的名称 ； (2)求（1）中所得到的几何体的体积． 【答案】(1)圆锥 (2)或 【分析】（1）根据题意可得旋转所形成的几何体为圆锥； （2）分两种情况根据圆锥的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：将此直角三角形绕着它直角边所在直线旋转一周，所得到的几何体为圆锥； （2）解：当直角三角形绕着的直角边所在的直线旋转一周能得到一个圆锥， 此时圆锥的底面圆半径为，高为， 体积为； 当直角三角形绕着的直角边所在的直线旋转一周能得到一个圆锥， 此时圆锥的底面圆半径为，高为， 体积为； 综上，所得到的圆锥的体积为或． 11．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，直角三角形纸片的两条直角边的长分别为a，b，将它分别绕直线（图1）和直线（图2）旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_____； (2)若，，则图2中，绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积为多少？（结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，图形的旋转变换，圆锥的定义及圆的面积公式，熟练掌握圆锥的定义及圆的面积公式是解答此题的关键． （1）根据圆锥的定义可知即可得出答案； （2）根据圆锥的底面是圆，运用圆面积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据圆锥的定义可知：旋转所得的几何体都是圆锥． 故答案为：圆锥； （2）绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积． 12．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给几何体的形状即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）根据（2）所求可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）将一个直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体可能是（   ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 【答案】C 【分析】本题考查了面动成体的几何变换，解题的关键是理解直角三角形绕不同边旋转后形成的几何体形状． 当直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周时，形成的几何体是圆锥；当绕斜边所在直线旋转一周时，形成的是两个同底圆锥的组合体，据此判断选项． 【详解】解：A、圆柱是由矩形绕其一边旋转而成，此选项不符合题意； B、三棱柱是由平面图形平移形成，不是旋转体，此选项不符合题意； C、直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周，可形成圆锥，此选项符合题意； D、三棱锥是由平面图形拼接而成，不是旋转体，此选项不符合题意． 故选：． 2．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如果一个棱柱共有24条棱，那么下面说法正确的是（     ） A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有10个顶点 C．这个棱柱的底面为八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 【答案】C 【分析】根据一个棱柱的总棱数是，求出该棱柱为八棱柱，逐项判断即可求解． 【详解】解：设该棱柱为棱柱，则， 即该棱柱为八棱柱，底面为八边形，有8个侧面，16个顶点，8条侧棱， 故选项C符合题意． 3．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查对正多面体概念的理解，熟练掌握对正多面体概念的理解是解题的关键．根据正多面体只有个即可得到答案． 【详解】解：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体， 故可以以之为面数构成正多面体的是12． 故选C． 4．（2026·陕西·一模）下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成如图所示的陶罐的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“面动成体”进行判断即可． 【详解】 解：将平面图形绕着虚线旋转一周可以得到的几何体为． 5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱、点动成线、圆锥等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键．根据棱柱、点动成线、圆锥等知识分别进行判断即可． 【详解】解：A、五棱柱有10个顶点，A正确，故不符合要求； B、棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是一个三角形，B错误，故符合要求； C、“天空划过一道流星”能说明“点动成线”， C正确，故不符合要求； D、圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的，D正确，故不符合要求； 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查了点线面的相关知识，解题的关键是掌握点线面之间的联系与定义． 根据初中几何基本概念，“枪挑一条线”对应点运动形成线，“棍扫一大片”对应线运动形成面． 【详解】在几何中，点的运动轨迹形成线，线的运动轨迹形成面． “枪挑一条线”中枪尖可视为点，挑的动作使点运动成线； “棍扫一大片”中棍子可视为线，扫的动作使线运动成面． 故答案为：点动成线；线动成面． 7．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有______（填写序号即可） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查对常见几何体特征的理解，以及空间想象能力，解题关键在于依据正方体盒子的形状特点和水未装满的条件，结合长方体、正方体、圆柱体、三棱锥、三棱柱的几何特征，通过想象不同放置方式下水的形状来判断． 【详解】①当正方体盒子水平放置时，水在盒子里可以形成长方体； ②因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体； ③正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体； ④将正方体盒子倾斜放置，让水刚好充满三棱锥的空间部分，可以形成三棱锥； ⑤把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状． 综上所述：可能是盒子里的水形成的几何体的有①长方体，④三棱锥，⑤三棱柱； 故答案为：①④⑤． 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列说法中：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形，正确的个数是______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了柱体和锥体的认识，根据柱体和锥体的定义，逐一判断各说法的正确性 【详解】解：①柱体的两个底面平行且全等，因此一样大，正确； ②圆柱和圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以是任意多边形，不一定是四边形，错误； ④长方体是棱柱的一种，属于柱体，正确； ⑤棱柱的侧面在直棱柱中是长方形，但斜棱柱中为平行四边形，因此不一定总是长方形，错误； 综上，正确说法有①②④，共3个． 故答案为：3． 9．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知长方形长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．绕长所在直线旋转的圆柱侧面积记为，绕宽所在直线旋转的圆柱侧面积记为，则与的大小关系为_______（请用“”“”“”填写）． 【答案】 【分析】根据题意，分别计算出与，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：由题意可知、， ． 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知一个长方形的长为，宽为，将这个长方形绕它的长所在直线旋转一周，所得到的几何体的体积是_____．（计算结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆柱的形成，圆柱的体积的计算，掌握立体图形的认识是解题的关键．画出以长为旋转轴旋转后的圆柱，再利用圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱，如图， 该圆柱的体积为：， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 12．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． 13．（24-25七年级上·江西九江·阶段检测）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【答案】(1)C (2)①侧面积相等  ②体积比为 (3)侧面积相等；体积比为 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）① 分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可； ②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可； （3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系． 【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：①甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：， 所以甲乙两圆柱的侧面积相等； ②甲圆柱的体积为：， 乙圆柱的体积为：， 所以甲乙两圆柱的体积比为：； （3）解：由（2）知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的四个图形都是平面图形．观察图和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． (1)数一数每个图各有多少个顶点、多少条边、这些边围成多少个区域，将结果填入下表． 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 7 边数 9 区域数 3 (2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系． (3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为_____． 【答案】(1) 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 (2) (3)30 【分析】根据图中的四个平面图形数出其顶点数、边数、区域数得题（1）的结果，再根据表（1）数据总结出归律得题（2）的结果，根据题（2）的公式把20个顶点和11个区域代入即可得平面图形的边数． 【详解】（1）解：结合图形我们可以得出： 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 （2）根据以上数据，顶点用V表示，边数用E表示，区域用F表示，他们的关系可表示为：； （3）代入上式得：．故如果平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为30． 故答案为：30． 15．（26-27七年级上·四川·期中）初2025级的同学们在学习“面动成体”的过程中，就不同图形的旋转方式做了研究，三个小组的研究情况如下图所示： (1)一、二小组就相邻两边分别为3和4的长方形做了旋转； ①第一小组沿边所在直线旋转一周，请帮助第一小组计算旋转后所得几何体的体积；（结果保留） ②第二小组延长到，使，延长到，使，然后将原长方形沿着直线旋转一周，请帮助第二小组计算旋转后所得几何体的表面积；（结果保留） (2)第三小组画了一个正方形，并且连接交于点，取的中点，连接，取的中点，连接．若 ，将正方形绕直线旋转一周，三角形和三角形旋转一周得到的几何体体积分别记为和．则的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)的值为定值；3 【分析】（1）① 根据圆柱的体积公式进行求解即可； ② 根据圆柱的表面积计算公式进行求解即可； （2）先求出和的值，再求出其比值即可． 【详解】（1）解：① 沿边所在直线旋转一周，旋转后所得几何体的体积为：； ② ， 第二小组旋转后所得几何体的表面积为： ； （2）解：的值为定值，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴点F到的距离为： ； 同理可得：点E到的距离为； ， ， ∴ ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 几何图形 教学目标 1. 经历从实物抽象几何图形的过程，认识点、线、面、体。 2. 了解立体图形与平面图形的概念，能识别常见几何体。 3. 感受图形与生活的联系，发展空间观念与抽象能力。 教学重难点 教学重点 1. 进一步认识点、线、面、体，感受四者之间的关系。 2. 区分立体图形与平面图形，掌握几何图形的分类。 教学难点 1. 从实物中抽象出几何图形，理解点、线、面、体的抽象关系。 2. 发展空间想象能力，实现立体与平面图形之间的思维转换。 知识点01 立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【即学即练1-1】（2026·河南信阳·一模）下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练1-2】（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 知识点02 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 【即学即练2-1】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一个圆锥，这说明_____________，“齐天大圣”孙悟空有一个宝贝——金箍棒，当他快速旋转金箍棒时，展现在我们眼前的是一个圆的形象，这说明_____________． 【即学即练2-2】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）将长和宽分别为和的长方形分别绕图1、图2中的虚线旋转一周得到A，B两个几何体． (1)将长方形绕图1、图2的虚线旋转一周得到的两个几何体都是__________，这能说明的事实是__________． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)这两个几何体的体积相等吗？如果不相等，请通过计算说明哪一个体积较大． 题型01 常见的几何体 【典例1】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列实物图可以抽象为圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）如图，是一个底面为正六边形的茶叶盒，可以近似的看成什么几何体（   ） A．圆柱 B．长方体 C．五棱柱 D．六棱柱 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）下面几何体中为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·湖北随州·期末）下列如图所示的生活物品中，从整体上看形状是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 题型02 立体图形的分类 【典例2】（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）下列几何体中，属于柱体的是（     ） ①圆柱 ②圆锥 ③长方体 ④球 ⑤三棱柱 A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 【变式1】（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元复习）观察如下图所示的图形，回答下列各题： (1)按平面图形和立体图形分类． (2)把立体图形按柱体、锥体、球体分类． (3)指出各面都是平面的立体图形． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）将下图中的几何体分类． 题型03 几何体中的点、棱、面 【典例3】（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）七棱柱有__________个顶点，__________条棱． 【变式1】（26-27七年级上·山东济南·开学考试）一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有______面，共有______个顶点，它是______棱柱． 【变式2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个五棱柱框架，它的底面边长都是，侧棱长．观察这个框架，回答下列问题： (1)这个五棱柱有__________个顶点，它的底面是__________形； (2)这个五棱柱所有的侧面的面积之和是多少？ 【变式3】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，是一个直六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长是． (1)这个棱柱共有_____________个顶点，共有____________条棱，所有棱长的和是___________； (2)求这个棱柱所有侧面的面积之和． 题型04 探究几何体中的点、棱、面之间的关系 【典例4】（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是__________ (2)若一个多面体的面数比顶点数少12，且有42条棱，则这个多面体有________个面？ 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 【变式1】（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 9 五棱柱 10 六棱柱 8 (2)设n棱柱（n为正整数，且）的顶点数为a、棱数为b、面数为c，根据表中数据猜想 ． 顶点数 面数 棱数 三棱柱 6 5 9 五棱柱 10 7 15 六棱柱 12 8 18 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 【变式3】（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）丰富的图形世界里有奇妙的数量关系，让我们通过下面这些几何体开始神奇的探索之旅． 【观察】：下面这些几何体都是简单的几何体，请你仔细观察． 【统计】： (1)每个几何体都会有棱（棱数为）、面（面数为）、顶点（顶点数为），现将有关数据统计，完成下表． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 9 15 面数（） 4 5 5 6 顶点数（） 4 8 【发现】： (2)简单几何体中，_____； (3)简单几何体中，每条棱都是_____个面的公共边； (4)在正方体中，每个顶点处有_____条棱，每条棱都有_____个顶点，所以有． 【应用】： (5)有一个叫“正十二面体”的简单几何体，它有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有_____条棱，_____个顶点，每个顶点处有_____条棱． 几何体编号 ① ② ③ ④ ⑤ 棱数（） 6 8 9 12 15 面数（） 4 5 5 6 7 顶点数（） 4 5 6 8 10 题型05 动态认识点、线、面、体 【典例5】（26-27七年级上·陕西·期中）在2025年举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式中，空军八一飞行表演队飞过后留下的彩烟轨迹，以其精美的设计和深刻的寓意，成为空中梯队最绚丽的风景，这一现象用数学知识可解释为___． 【变式1】（26-27七年级上·全国·随堂练习）旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，解释为____________________． 【变式2】（25-26七年级上·广东梅州·期中）如图，你见过一种折叠灯笼吗？它折叠起来是一张圆形的纸，打开后就变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用_____的数学原理来解释． 【变式3】（26-27七年级上·山东济南·开学考试）用数学知识解释下列现象： (1)飞机进行飞行表演时的“飞机拉线”，解释为________； (2)一个半圆绕着它的直径所在直线旋转一周形成球，解释为________； (3)汽车雨刷刷过的路径，解释为________． 题型06 平面图形旋转所得立体图形 【典例6】（26-27七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，将下面的三角形绕虚线旋转一周后得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·山东济南·开学考试）如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（     ） A． B． C． D． 题型07 求平面图形旋转所得立体图形体积 【典例7】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，有一长，宽的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是________； (2)当，时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大；（结果保留π） 【变式1】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知直角三角形纸板，，绕这个直角三角形的边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是___________； (2)计算这个几何体的体积．（，，结果保留） 【变式2】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有一长，宽的长方形纸板．将它分别绕其两条对称轴旋转，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是_____； (2)当，时，请你任意选择其中一种方式来计算得到的几何体体积． 【变式3】（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）如图所示，已知直角三角形纸板，直角边，． (1)将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到_________种大小不同的几何体． (2)分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积，结果保留） 题型08 平面图形旋转所得立体图形体积多解问题 【典例8】33．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【变式1】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一张长为，宽为的长方形纸片，将这张长方形纸片绕着它的一条边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形的名称是______； (2)求得到的这个立体图形的体积．（结果保留） 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，某直角三角形纸片两直角边分别为，将纸片绕着它的某条直角边所在的直线旋转，可以得到一个几何体． (1)如果把直角三角形纸片看成一个面，那么这一过程体现的数学原理是______，最终形成的几何体是______； (2)求最终形成几何体的体积（结果保留）． 【变式3】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，在长方形中，，现将这个长方形纸片绕其一边所在直线旋转一周． (1)旋转后形成的几何体是___________； (2)求旋转后的几何体的体积．（结果保留） 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下面立体图形中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列实物：①篮球；②圆柱形笔筒；③地球仪；④课本；⑤热水瓶；⑥粉笔盒．其中形状类似棱柱的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·陕西渭南·二模）将如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）重阳节小颖想给奶奶一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的近似为直三棱柱的礼盒．以下关于直三棱柱的说法正确的是（     ） A．它有9个顶点 B．它有6条棱 C．它的上、下底面形状不相同 D．它的所有侧棱长都相等 二、填空题 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）下面图形中为圆柱的是________．（只填序号） 6．（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察如图所示的8个几何体． （1）按序号写出各自几何体的名称：②______；⑥______； （2）在以上几何体中，是柱体的有______（填序号）；含曲面的有______（填序号）． 7．（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 8．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，若一个棱柱有12个顶点，那么这个棱柱有______条棱． 三、解答题 9．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）根据如图所示的图形，完成下列各题： (1)指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ (2)把立体图形按柱体、锥体、球分类； (3)指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． 10．（26-27七年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，一个直角三角形的三条边长分别为、和． (1)将此直角三角形绕着它直角边所在直线旋转一周，求所得到的几何体的名称 ； (2)求（1）中所得到的几何体的体积． 11．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，直角三角形纸片的两条直角边的长分别为a，b，将它分别绕直线（图1）和直线（图2）旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_____； (2)若，，则图2中，绕直线旋转一周后形成的几何体的底面积为多少？（结果保留） 12．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）将一个直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体可能是（   ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 2．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如果一个棱柱共有24条棱，那么下面说法正确的是（     ） A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有10个顶点 C．这个棱柱的底面为八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 3．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 4．（2026·陕西·一模）下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成如图所示的陶罐的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）下列说法不正确的是（   ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 二、填空题 6．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 7．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有______（填写序号即可） 8．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列说法中：①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形，正确的个数是______个． 9．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知长方形长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱．绕长所在直线旋转的圆柱侧面积记为，绕宽所在直线旋转的圆柱侧面积记为，则与的大小关系为_______（请用“”“”“”填写）． 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知一个长方形的长为，宽为，将这个长方形绕它的长所在直线旋转一周，所得到的几何体的体积是_____．（计算结果保留） 三、解答题 11．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 12．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 13．（24-25七年级上·江西九江·阶段检测）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的四个图形都是平面图形．观察图和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题． (1)数一数每个图各有多少个顶点、多少条边、这些边围成多少个区域，将结果填入下表． 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 7 边数 9 区域数 3 (2)根据表中的数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的关系． (3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域，那么这个平面图形的边数为_____． 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 图形 ① ② ③ ④ 顶点数 4 7 8 10 边数 6 9 12 15 区域数 3 3 5 6 15．（26-27七年级上·四川·期中）初2025级的同学们在学习“面动成体”的过程中，就不同图形的旋转方式做了研究，三个小组的研究情况如下图所示： (1)一、二小组就相邻两边分别为3和4的长方形做了旋转； ①第一小组沿边所在直线旋转一周，请帮助第一小组计算旋转后所得几何体的体积；（结果保留） ②第二小组延长到，使，延长到，使，然后将原长方形沿着直线旋转一周，请帮助第二小组计算旋转后所得几何体的表面积；（结果保留） (2)第三小组画了一个正方形，并且连接交于点，取的中点，连接，取的中点，连接．若 ，将正方形绕直线旋转一周，三角形和三角形旋转一周得到的几何体体积分别记为和．则的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $