专题03 整式中的数字和图形规律问题有关的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

专题03 整式中的数字和图形规律问题有关的六种模型 题型一 数字类规律之排列问题 题型二 数字类规律之末尾数字问题 题型三 数字类规律之新运算问题 题型四 数字类规律之等式问题 题型五 图形类规律之数字问题 题型六 图形类规律之数量问题 题型一：数字类规律之排列问题 1．（26-27七年级上·湖南株洲·阶段检测）观察下面一列数，，，，，，，…，根据规律，第个数是__________________． 【答案】 【分析】观察题干的数的符号、分子与分母，从而归纳出结论，并得出第个数． 【详解】解：观察可得，这列数正负交替，偶数位的数为正，且分子固定为，分母是从开始递进的正整数， ∴第个数为． 2．（26-27七年级上·北京东城·阶段检测）通过观察：，，，，，⋯在这列数中，第7个数是_____；第个数是_____ 【答案】 【分析】根据前5个数归纳类推出一般规律，即可． 【详解】解：，，，，，⋯， 所以第7个数是；第个数是． 3．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）已知，，，，…，依此类推，则等于_________． 【答案】 【分析】按递推公式计算前几项，找出循环周期，计算除以周期的余数，根据余数得到对应项的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得数列每项为一个循环周期， ， ． 4．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）观察下面一列数，探究其规律： (1)第7个数、第8个数、第9个数分别是什么？ (2)第100个数是多少？它是正数还是负数？ (3)分数，是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 【答案】(1)， ， (2)，正数； (3)是这列数中的数，且是第2022个数，不是这列数中的数. 【分析】（1）根据题目给出的数据找出规律，写出第7个数、第8个数、第9个数即可； （2）根据题目给出的数据找出一般规律，写出第100个数即可； （3）根据题目给出的数据找出一般规律，确定分数是不是这列数中的数即可． 【详解】（1）解：∵ ∴第n个数是， ∴第7个数是，第8个数是，第9个数是； （2）解：∵第n个数是， ∴第100个数是，是一个正数； （3）解：∵第n个数是， ∴第2022个数是，第2023个数是， ∴是这列数中的数，且是第2022个数，不是这列数中的数． 5．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）观察下列数据，若第行、第列的数记为（，均为正整数），排列如下： 第1行：1 第2行：2   3   4 第3行：5   6   7   8   9 第4行：10  11  12  13  14  15  16 (1)第5行的最后一个数是________；第行的最后一个数是________（用含n的代数式表示）； (2)已知，且该数所在行的数字个数为，求的值； (3)设为第行的所有数字之和，求证：． 【答案】(1)25； (2)47 (3) 证明：根据题意得：第n行的最后一个数是，第n行的第一个数是，第n行数字个数为， ∴． 【分析】本题主要考查了数字类规律题： （1）根据题意得到前5行的最后一个数，可得到规律，即可求解； （2）根据，可得，根据规律可得第n行数字个数为，可得，即可求解． （3）根据题意得：第n行的最后一个数是，第n行的第一个数是，第n行数字个数为，即可求解． 【详解】（1）解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， 第4行的最后一个数是， 第5行的最后一个数是， …… 第n行的最后一个数是， 故答案为：25； （2）解：∵，且， ∴2026位于第46行、第1列， ∴， 根据题意得：第1行数字个数为1，第2行数字个数为3，第3行数字个数为5，第4行数字个数为7， ……， ∴第n行数字个数为， ∵该数所在行的数字个数为， ∴， ∴； （3）略 题型二：数字类规律之末尾数字问题 6．（2026七年级下·云南保山·竞赛）观察下列运算：，，，，，，则的个位数字是____． 【答案】 【分析】先探究的正整数次幂的个位数字的循环规律，确定循环周期，再计算除以循环周期的余数，根据余数得到的个位数字． 【详解】解：根据题意，得，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 观察可得，的正整数次幂的个位数字以为一个循环周期重复出现，周期为 的个位数字与循环周期中第个数的个位数字相同，即为. 7．（2026·河南·模拟预测）计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 【答案】9 【分析】根据已知数据得到的个位数字以四个一组循环，通过计算指数除以周期的余数，即可得到的个位数字． 【详解】解：由题意，可知的个位数字以四个一组循环， ， 的个位数字是循环组中的第2个数字，即为． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）观察下列等式：，个位数字为7；，个位数字为9；，个位数字是3；，个位数字是1；，个位数字是7……，根据其中规律可得的结果的个位数字是______ 【答案】7 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．先根据已知等式发现个位数字是7，9，3，1为一个循环，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴个位数字是以7，9，3，1为一个循环，且， ∴一个循环中的四个数的个位数字和为0， ∵，且的个位数字是7， ∴的结果的个位数字是7． 故答案为：7． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：，，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是__________；的个位数字是__________． 【答案】 2 7 【分析】本题考查了2的幂的个位数字规律问题． 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4．根据指数除以4的余数可确定个位数字． 【详解】通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4． 对于，指数9除以4的余数为1，对应个位数字为2； 对于，指数2025除以4的余数为1，对应个位数字为2， 计算的个位数字：2减5，被减数个位2小于减数个位5，因此向十位借1，相当于个位为． 故答案为：2，7． 10．（22-23七年级下·江苏常州·阶段检测）一、观察下列各式：，，，，，，，，，，，，，根据你发现的规律回答下列问题： （1）的个位数字是_________；的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________；的个位数字是_________； 二、自主探究回答问题： （1）的个位数字是_________，的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________，的个位数字是_________． （3）若是自然数，则的个位上的数字是（     ） A．恒为0        B．有时为0，有时非0 C．与的末位数字相同        D．无法确定 【答案】一、（1）；；（2）；；二、（1），；（2），；（3）A 【分析】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键． 一、（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （2）可以先列出43的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； 二、（1）可以先列出7的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （2）可以先列出7的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （3）根据（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同即可得出答案． 【详解】解：一、（1） 3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 故答案为：7；7； （2）由（1）可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7，的个位数字是7； 故答案为：7；7； 二、（1） 7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是3，的个位数字是3 故答案为：3；3 （2） 2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是8，的个位数字是8 故答案为：8；8 （3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同 的个位上的数字恒为0 故选A． 题型三：数字类规律之新运算问题 11.已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）是不为1的有理数，我们把称为的“差倒数”，如2的“差倒数”是，－1的“差倒数”是，已知是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，，依次类推，则______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类规律问题，根据差倒数的定义计算出前几项，找出循环周期，再通过计算除以周期的余数，即可确定的值． 【详解】解：由题意得， ， ， ，……， 可得这列数每个数为一个周期循环， ， ． 13.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】19 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数），需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2024次“运算”的结果是19． 故答案为：19． 14．（25-26七年级上·广西钦州·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：____； 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式． 例如： （2）类比上面的计算过程，请将运算转化为幂的形式，要求写出转化过程； （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （3）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ． （3）原式 ． 15．（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新运算的定义、指数运算、数字规律、整式运算等知识点，熟练掌握新运算的理解和相关运算法则是解题的关键． （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将根据不同的n值运算展开发现规律，据此确定，满足的关系； （3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，然后列举验证，找出正整数的解即可． 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． 题型四：数字类规律之等式问题 16．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）观察下列等式 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：______________； (2)求的值． (3)观察各式：①        ②        ③ 根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目内容，写出第5个等式即可； （2）找到规律推出第n个等式，再计算即可； （3）利用规律，求和即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …， ∴第n个等式：， ∴ ； （3）解： ． 17．（25-26七年级上·山西晋中·阶段检测）观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填空： ； ； (2)猜想并写出： ； (3)用你发现的规律计算：． 【答案】(1)，；，； (2)； (3)． 【分析】（1）观察题干给出的等式，总结规律：，将、代入规律直接填空． （2）把上面发现的规律推广到一般形式，用字母表示，写出代数式． （3）先利用猜想得到的公式把每一项拆成两个分数相乘，再展开连乘算式，通过约分化简式子，最后计算结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴，； （2）解：∵， ， ， ， ，， ， ∴； （3）解： ． 18．（26-27七年级上·山东聊城·阶段检测）观察： 例1： 例2： 解决下列问题： (1)若， 请仿照上面的例子填空：=______，=______，=______； (2)=______； (3)计算：． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）按例子仿写即可； （2）先按规律展开，再合并即可； （3）先把原式化为，再提出后合并即可求出结论； 【详解】（1）解：若， 则，，； （2）解： ； （3）解： ． 19．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）观察下列等式： ， 将以上三个等式的两边分别相加得： ． (1)猜想并写出_________________； (2)直接写出下式的计算结果：_______； (3)计算下式并写出计算过程：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据给出的等式归纳拆分规律得到结果； （2）利用规律拆分后抵消计算得到结果； （3）利用一般规律拆分后抵消计算得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解： ． 20．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空； _________； 猜想：________． (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 ②－①得： 即_____； (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． ①计算的值． ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：．（只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形） 【答案】(1)； (2) (3)①②； 【分析】（1）根据图形求解； （2）根据题中的等式类比求解； （3）根据题中的图形类比作图． 【详解】（1）解：， ； （2）解：设 则 即 化简得 得： 即： （3）解：①设 两边乘以2得： 下式减上式得： 所以，； ②设， 则： ∴ ∴． 作图法见答案． 题型五：图形类规律之数字问题 21．（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【答案】44 【分析】根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出，的值． 【详解】解：∵第1个图中，，， 第2个图中，，， 第3个图中，，， ∴第4个图中，，． 22．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第个图中，的值为______． 【答案】 【分析】观察各图形可发现的规律及它们之间的关系即可解答． 【详解】解：由题意得，所在的位置的数字规律为：，，，，， ∴第个为，即； 由题意得，所在的位置的数字规律为，，，， ∴第个为，即， 由题意得，， ∴当时， ． 23．（2026·湖北恩施·二模）数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． 【答案】 【分析】根据题干图形规律总结出算式 ，利用该规律分别计算两小题，第二小题需将带分数拆分为整数部分与分数部分分别求和. 【详解】解：①∵，，， ∴； ②由①可知：， . 24．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 25．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 题型六：图形类规律之数量问题 26．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）小明用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第1个图案中有5颗围棋子，第2个图案中有9颗围棋子，第3个图案中有13颗围棋子，第4个图案中有17颗围棋子，．．．，按此规律摆放下去． (1)第6个图案中有___________颗围棋子； (2)用含的代数式表示第个图案中围棋子的颗数； (3)求摆第527个图案比摆第312个图案多用多少颗围棋子？ 【答案】(1) (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为 (3)摆第527个图案比摆第312个图案多用颗围棋子 【分析】本题考查了图形的规律探究，代数式求值，根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第6个图案中有颗棋子，计算求解即可； （2）由题意知，第个图案中棋子的数量为，计算求解即可； （3）将和代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第1个图形中有5颗棋子， 第2个图案中有颗棋子， 第3个图案中有颗棋子， 第4个图案中有颗棋子， …， ∴第6个图案中有颗棋子， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第个图案中棋子的数量为， ∴用含的代数式表示第个图案中棋子的数量为； （3）解：当时，，当时，， ∴， 答：摆第527个图案比摆第312个图案多用颗围棋子． 27．（2025·安徽·模拟预测）学科素养·实践探究 下列是用火柴棒拼出的图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有___________根火柴，第7个图中共有___________根火柴； (2)第个图形中共有___________根火柴：（用含的式子表示） (3)请判断上组图形中前2026个图形火柴数的总和是否为2026的倍数，并说明理由． 【答案】(1)17，29 (2) (3) 解：是2026的倍数，理由如下：      ∴前个图形火柴数的总和是的倍数． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，后面一个图形比前面一个图形多4根火柴，再结合前面几个图形中的火柴数可得可知第个图形中火柴有根，据此求解即可； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据（1）的规律可得前2026个图形火柴数的总和为，可证明与式子相等，据此可得结论． 【详解】（1）解：当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 以此类推，可知第个图形中火柴有根， ∴第4个图中共有根火柴，第7个图中共有根火柴， 故答案为：；； （2）解：由（1）可得，第个图形中火柴有根； （3）略 28．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空： (1)第5个图案中黄梅花的盆数为___________；第个图案中黄梅花的盆数为___________； (2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为___________； 【答案】(1)14， (2) 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题； （2）根据题中所给规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：14，； （2）解：由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． 29．（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． (1)若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； (2)若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 【答案】(1)12；28 (2) (3)①元；②可打造的长廊的最大长度为16米 【分析】本题考查了图形规律，整式的加减运算的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，观察图形规律，再结合长廊长8米进行列式计算，即可作答． （2）结合长廊长米（m为正整数），得出是奇数，然后列式化简，即可作答． （3）①先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，以及当n为奇数时，分别算出彩色地砖以及普通地砖的数量，再根据商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块进行列式计算，即可作答． ②先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，当n为奇数时，列式计算分析，得可打造的长廊的最大长度为16米． 【详解】（1）解：依题意，（块）， ∴当长廊长8米，则需彩色地砖12块， ∵长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖 ∴（块）， ∴当长廊长8米，则普通地砖28块； （2）解：∵长廊长米（m为正整数）， ∴是奇数， 则（块）， ∴当长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖块； （3）解：①当n为偶数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）， 此时，所需钱数为（元）， 当n为奇数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）．   此时，所需钱数为（元）； ②当n为偶数时，，，此时最大偶数为16， 则剩余钱数为（元）， 不足再铺1米，故长廊长度为16米， 当n为奇数时，，，此时最大奇数为15， 剩余钱数为（元）， 可再铺1米，故长廊长度为16米， 因此，可打造的长廊的最大长度为16米． 30．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形；第2个图案有6个正方形；第3个图案有8个正方形；… 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题． （1）第6个图案中有等边三角形______个，正方形有______个，…，第2026个图案中有等边三角形______个，正方形有______个； （2）第n个图案中有等边三角形______个，正方形有______个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量． 【答案】（1）12，14，4052，4054；（2）  ；（3）该图案中正方形有1014个 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题中所给图形规律进行求解即可； （2）由（1）可总结该图形类规律； （3）由（2）及题意可进行求解． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第4个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； …， ∴第6个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2026个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 故答案为12，14，4052，4054； （2）由（1）可知：第n个图案中等边三角形有个，正方形有个； 故答案为，； （3）由（2）及题意可得：， ∴， ∴该图案中正方形的数量为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03整式中的数字和图形规律问题有关的六种模型 题型归纳 题型一数字类规律之排列问题 题型二数字类规律之末尾数字问题 题型三数字类规律之新运算问题 题型四数字类规律之等式问题 题型五图形类规律之数字问题 题型六图形类规律之数量问题 题型专练 题型一：数字类规律之排列问题 1(262”七年缓上湖南株别价段检测)观整下面-列数。片与子，子，石，一根积度种， 第2026个数是 11111 2.(26-27七年级上北京东城阶段检测)通过观察：2,4,8,1632，…在这列数中，第7个 数是一；第n个数是 1 1 。1 3。(2627七年级上陕西西安阶段检测)已知4=3,41-4,44，a-4,…,依此类推， 则2027等于 4.(26-27七年级上内蒙古呼和浩特阶段检测)观察下面一列数，探究其规律： -,月-1111 233456 (1)第7个数、第8个数、第9个数分别是什么？ (2)第100个数是多少？它是正数还是负数？ 11 (3)分数2022,2023是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上·安徽阜阳期末)观察下列数据，若第m行、第k列的数记为am,k(m,k均为正整 数)，排列如下： 第1行：1 第2行：234 第3行：56789 第4行：10111213141516 (1)第5行的最后一个数是 :第n行的最后一个数是 (用含n的代数式表示)： (2②)已知0k=2026,且该数所在行的数字个数为2m-1,求m+k的值： (3)设S为第n行的所有数字之和，求证：Sn=(2n-l(n-n+) 题型二：数字类规律之末尾数字问题 6.(2026七年级下云南保山竞赛)观察下列运算：8=8,82=64,8=512,84=4096,8=32768 86=262144,…,则82022的个位数字是一 7.(2026河南模拟预测)计算3的正整数次幂，3=3,32=9,3-27,34=81,3=243,3=729， 3”-2187,38=6561…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得3226的个位数字是一 8.(25-26七年级上江苏无锡阶段检测)观察下列等式：7=7，个位数字为7：7=49，个位数字为 9:73=343,个位数字是3；74=2401，个位数字是1：7=16807，个位数字是7…，根据其中规律可 得7+72+…+71的结果的个位数字是 9.(25-26七年级上重庆期中)计算：2=2,2=4,2=8.…归纳各计算结果中的个位数字规律， 则2的个位数字是 22025-5的个位数字是 10.(22-23七年级下江苏常州阶段检测)一、观察下列各式：3=3,32=9,33=27,34=81， 35=243,36=729,37=2187,…13=13,132=169,133=2197,134=28561,13=371293, 13=4826809,根据你发现的规律回答下列问题： (1)32的个位数字是 13”的个位数字是 (2)43”的个位数字是 435的个位数字是 二、自主探究回答问题： 1)7”的个位数字是 7的的个位数字是 (2)52”的个位数字是 52”的个位数字是 (3)若n是自然数，则n”-n”的个位上的数字是() 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.恒为0B.有时为0，有时非0 C.与n的末位数字相同 D.无法确定 题型三：数字类规律之新运算问题 1.已知有一个新算符“幸”，使下列算式2*3=1,2*6= 14*6=3 2 =6,那么5*9= 12.(25-26七年级下宁夏银川期中)a是不为1的有理数，我们把-。称为a的“差倒数”，如2的 11 是十21，-1的“差倒数”是1-可2，已知4=34是4的“差倒数”，4是4，的 “差倒数”是，1 “差倒数”，a4是a的“差倒数”，…，依次类推，则a2026= 13.定义一种对正整数n的“F运算”：①当”为奇数时，结果为3m+5:②当n为偶数时，结果为2（其 中k是使)为奇数的正整数)，并且运算可以重复进行，例如，取n=26,则： F② F① F② 26 13 44 第一次 第二次 第三次 若n=49,则第2024次“F运算”的结果是 14.(25-26七年级上：广西钦州期末)【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的 运算叫做除方，例如，2÷2÷2，（3列÷(-3)÷(-3)÷(-3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2， 读作“2的圈3次方”，（-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)写作(-3)°，读作“-3的圈4次方”.一般地，把n个 a(a≠0)相除记作a°，读作“a的圈n次方”. 【初步探究】(1)直接写出计算结果：2®= 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式 例如：(3°-(3列(-)(3)(3列-(3}x（ (2)类比上面的计算过程，请将运算 2 转化为幂的形式，要求写出转化过程； (3)利用上述规律计算：22×(4) -3 :3 15.(25-26七年级上北京通州期中)给定有理数a,b,对整式A,B,定义新运算“⊕”： 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A⊕B=1+b8:对正整数a≥2)和整式4，定义新运算“。”：n©A=4©Ae⊕4（技从左到右 n个A 的顺序依次做“⊕”运算).特别地，1⑧A=A, 例如，当a=1,b=2时，若A=x,B=-y,则A©B=A+2B=x-2y,2⑧A=A⊕A=3x. (1)当a=2,b=1时，若A=x+y,B=x-2y,则A⊕B=一，3®B= (2)对每一个正整数n和整式A,均有n⑧A=A,直接写出a,b满足的关系； (3)当a=2,b=1时，若A=3x2+15y,B=2x2-62y-y2,p,9是正整数，令P=p⑧A,0=9⑧B, 且P©Q不含炒项，直接写出P和9的值. 题型四：数字类规律之等式问题 16.(26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测)观察下列等式 111 111 第1个等式：4=1x22:第2个等式：42x323: 第3个等式：43x434:第4个等式：4= 111 4×545:… 解答下列问题： ()按以上规律写出第5个等式：a=5×6 (2)求4+a+..+a20的值. 3)观察各式：①-1x。=-1+ 1111 1111 2 2 ②23-2+3 ③3×434 一十 根据上述规律，计算： （对+*) 17.(25-26七年级上山西晋中阶段检测)观察下列各式的计算结果： 1-33 4422 =1-d83.4 人1 9933 1京16 16164^4 1 131 12446 252555 ()用你发现的规律填空：1 6x-:1 -10=-x- 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (2)猜想并写出：1- 2: (3)用你发现的规律计算： 〔--22s) 18.(26-27七年级上山东聊城阶段检测)观察： 1211 例1：1 2-1×21x21×2 11321 232×32×32×3 114 31 343×43×43×4 1312 例2：1-31×31x313 11532 353×53×53x5 11752 575×75×75x7 解决下列问题： 111 (①)若3×434' 请仿照上面的例子填空： 1= 455x6,nxn+ 1 1 1 1 ②1×22x3t3x4++ 9×10 11,1,1 1 (3)计算：1x3+3x5+5x7+7×9++ 99×101 19.(26-27七年级上·山东枣庄阶段检测)观察下列等式： 1 1111111 1x2=1-22x3233×434 将以上三个等式的两边分别相加得： 1 1+1=1-1++=1-3 1×22×33×42233444· (1)猜想并写出2020×2021 1.11 (2)直接写出下式的计算结果：1×22x33×4 一十 2026×2027 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,1,1 1 (3)计算下式并写出计算过程：1×22×33×4 +.+ n×(n+l) 20.(26-27六年级上山东烟台阶段检测)《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思 是说：一尺长的木棍，每天被截掉一半，永远也截不完，我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限 思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题.“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片 分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题： ()请按照“聪慧组”同学的思路填空： +=11 11 24 -22 分 1+11+L=1- 24816 1.1.11 1 猜想：2+4+816 一十一十 十十 2m1、 (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充 完整 2 2 4 8 4 16 设=++11 1 .+ 24+816+ 2 1111 则2s=2×2+4816 即2S=2×}+2x+2x.+2x 11 4 8 16 +…+2 2 化简得2S=1++ 1 4816 +…+ 2- 即S= (3)通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法. 6/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 111 1 ①计算2+2+2西+…+ 100的值. 2.2.2.2 ②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算：++++0.（只选一种解法，若 选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为1的正方形) 题型五：图形类规律之数字问题 21,(2026江西上饶·模拟预测)如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，的 值是 1 2 3 3 5 14 7 27 m 22. (25-26九年级下·山东聊城阶段检测)如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第20个图中，z的 值为 小AA委“小 23. (2026湖北恩施·二模)数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复 杂的代数问题，比如： 11 11 计算2十4借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： 24113 十 44, 同理借助图② 1.11 17 1.1.1,1 可得： =1- 248 88,借助图③可得： +好+安。16格灰察摄种，完废填空： ●●● 2 ① ② ③ 1,1,111 ①2+4+8+1632 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 @+1+2+3+4+5+627 4 8 16 3264 128 24.(25-26七年级上广东东莞·期中)观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ●● ● ●●● ●●●● ●●●● (I)在④后面的横线上写出相应的答案： ①1=1P;②1+3=2：③1+3+5=32： ④1+3+5+7= _；⑤1+3+5+7+9=52； (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式： 、 第n个等式：1+3+5+7++()= (3)根据上述的规律，计算：41+43+45+..+99 25.(25-26七年级下·安徽安庆期末)探索规律 乐乐在计算：2-P,32-22…这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个 数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积.他发现“剩余图形可 以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ①22-1P=(2+1)×(2-1) ②32-22=(3+2)×(3-2) ③4-32=(4+3)×(4-3) (1)图④的阴影部分表示52-42，这个阴影部分可以转化成长是 一宽是 的长方形： (2)根据以上规律计算：(22+4+6+…+1002)-(+32+52+…+992) 题型六：图形类规律之数量问题 26.(25-26七年级上·甘肃武威期中)小明用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第1个图 案中有5颗围棋子，第2个图案中有9颗围棋子，第3个图案中有13颗围棋子，第4个图案中有17颗围棋 子，··，，按此规律摆放下去。 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● ●●● ●● ●● ●●●● ● ● ●● ●● ●●● ● ● ● 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 (1)第6个图案中有 颗围棋子； (2)用含n的代数式表示第n个图案中围棋子的颗数： (3)求摆第527个图案比摆第312个图案多用多少颗围棋子？ 27. (2025·安徽模拟预测)学科素养·实践探究下列是用火柴棒拼出的图形. 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有 根火柴，第7个图中共有 根火柴： (2)第n个图形中共有 根火柴：（用含n的式子表示） (3)请判断上组图形中前2026个图形火柴数的总和是否为2026的倍数，并说明理由. 28.(25-26七年级上·安徽芜湖期末)如图，在2026年春节期间，某广场上计划摆放多盆红梅花（黑色 圆点)和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 第1个图案第2个图案 第3个图案 第4个图案 请同学们认真思考，根据上述图案的摆放规律填空： (1)第5个图案中黄梅花的盆数为， -；第n个图案中黄梅花的盆数为， (2)第1个图案中红梅花的盆数可表示为1×2，第2个图案中红梅花的盆数可表示为2×3，第3个图案中红 梅花的盆数可表示为3×4，第4个图案中红梅花的盆数可表示为4×5，“，第n个图案中红梅花的盆数可 表示为 29.(25-26六年级上山东烟台期末)为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神” 文化长廊.如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖.其中，阴影 部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖， (1)若长廊长8米，则需彩色地砖」 块，普通地砖 块： 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若长廊长(2m+)米(m为正整数)，则需彩色地砖 块 (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块，经协商，商家推出 如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖.已知购买的所有地砖的边长均为1米， ①若长廊长n米(n为正整数)，请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用： ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度. 30.(25-26七年级上·安徽合肥阶段检测)【规律初现】 如图，图案中的等边三角形与正方形数量有规律的增长，其中第1个图案有4个正方形：第2个图案有6 个正方形；第3个图案有8个正方形；… 8戏8 第1个图案第2个图案 第3个图案 【规律探索】归纳上述图案中的等边三角形与正方形增长规律，解答下列问题 (1)第6个图案中有等边三角形个，正方形有 一个，…，第2026个图案中有等边三角形 个，正方形有 个； (2)第n个图案中有等边三角形个，正方形有个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 (3)若第n个图案中等边三角形与正方形数量共有2026个，求该图案中正方形的数量. 10110 专题03 整式中的数字和图形规律问题有关的六种模型 题型一 数字类规律之排列问题 题型二 数字类规律之末尾数字问题 题型三 数字类规律之新运算问题 题型四 数字类规律之等式问题 题型五 图形类规律之数字问题 题型六 图形类规律之数量问题 题型一：数字类规律之排列问题 1． 2． 3． 4． 【答案】(1)， ， (2)，正数； (3)是这列数中的数，且是第2022个数，不是这列数中的数. 【分析】（1）根据题目给出的数据找出规律，写出第7个数、第8个数、第9个数即可； （2）根据题目给出的数据找出一般规律，写出第100个数即可； （3）根据题目给出的数据找出一般规律，确定分数是不是这列数中的数即可． 【详解】（1）解：∵ ∴第n个数是， ∴第7个数是，第8个数是，第9个数是； （2）解：∵第n个数是， ∴第100个数是，是一个正数； （3）解：∵第n个数是， ∴第2022个数是，第2023个数是， ∴是这列数中的数，且是第2022个数，不是这列数中的数． 5． 【答案】(1)25； (2)47 (3) 证明：根据题意得：第n行的最后一个数是，第n行的第一个数是，第n行数字个数为， ∴． 【分析】本题主要考查了数字类规律题： （1）根据题意得到前5行的最后一个数，可得到规律，即可求解； （2）根据，可得，根据规律可得第n行数字个数为，可得，即可求解． （3）根据题意得：第n行的最后一个数是，第n行的第一个数是，第n行数字个数为，即可求解． 【详解】（1）解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， 第4行的最后一个数是， 第5行的最后一个数是， …… 第n行的最后一个数是， 故答案为：25； （2）解：∵，且， ∴2026位于第46行、第1列， ∴， 根据题意得：第1行数字个数为1，第2行数字个数为3，第3行数字个数为5，第4行数字个数为7， ……， ∴第n行数字个数为， ∵该数所在行的数字个数为， ∴， ∴； （3）略 题型二：数字类规律之末尾数字问题 6． 7．9 8．7 9． 2 7 10． 【答案】一、（1）；；（2）；；二、（1），；（2），；（3）A 【详解】解：一、（1） 3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 故答案为：7；7； （2）由（1）可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7，的个位数字是7； 故答案为：7；7； 二、（1） 7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是3，的个位数字是3 故答案为：3；3 （2） 2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是8，的个位数字是8 故答案为：8；8 （3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同 的个位上的数字恒为0 故选A． 题型三：数字类规律之新运算问题 11. 12． 13.19 14． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ． （3）原式 ． 15． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． 题型四：数字类规律之等式问题 16． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目内容，写出第5个等式即可； （2）找到规律推出第n个等式，再计算即可； （3）利用规律，求和即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …， ∴第n个等式：， ∴ ； （3）解： ． 17． 【答案】(1)，；，； (2)； (3)． 【分析】（1）观察题干给出的等式，总结规律：，将、代入规律直接填空． （2）把上面发现的规律推广到一般形式，用字母表示，写出代数式． （3）先利用猜想得到的公式把每一项拆成两个分数相乘，再展开连乘算式，通过约分化简式子，最后计算结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴，； （2）解：∵， ， ， ， ，， ， ∴； （3）解： ． 18． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）按例子仿写即可； （2）先按规律展开，再合并即可； （3）先把原式化为，再提出后合并即可求出结论； 【详解】（1）解：若， 则，，； （2）解： ； （3）解： ． 19． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据给出的等式归纳拆分规律得到结果； （2）利用规律拆分后抵消计算得到结果； （3）利用一般规律拆分后抵消计算得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解： ． 20． 【答案】(1)； (2) (3)①②； 【分析】（1）根据图形求解； （2）根据题中的等式类比求解； （3）根据题中的图形类比作图． 【详解】（1）解：， ； （2）解：设 则 即 化简得 得： 即： （3）解：①设 两边乘以2得： 下式减上式得： 所以，； ②设， 则： ∴ ∴． 作图法见答案． 题型五：图形类规律之数字问题 21．44 22． 23． 【答案】 【详解】解：①∵，，， ∴； ②由①可知：， . 24． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 25． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 题型六：图形类规律之数量问题 26． 【答案】(1) (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为 (3)摆第527个图案比摆第312个图案多用颗围棋子 【分析】本题考查了图形的规律探究，代数式求值，根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第6个图案中有颗棋子，计算求解即可； （2）由题意知，第个图案中棋子的数量为，计算求解即可； （3）将和代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第1个图形中有5颗棋子， 第2个图案中有颗棋子， 第3个图案中有颗棋子， 第4个图案中有颗棋子， …， ∴第6个图案中有颗棋子， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第个图案中棋子的数量为， ∴用含的代数式表示第个图案中棋子的数量为； （3）解：当时，，当时，， ∴， 答：摆第527个图案比摆第312个图案多用颗围棋子． 27． 【答案】(1)17，29 (2) (3) 解：是2026的倍数，理由如下：      ∴前个图形火柴数的总和是的倍数． 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知，后面一个图形比前面一个图形多4根火柴，再结合前面几个图形中的火柴数可得可知第个图形中火柴有根，据此求解即可； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据（1）的规律可得前2026个图形火柴数的总和为，可证明与式子相等，据此可得结论． 【详解】（1）解：当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 以此类推，可知第个图形中火柴有根， ∴第4个图中共有根火柴，第7个图中共有根火柴， 故答案为：；； （2）解：由（1）可得，第个图形中火柴有根； （3）略 28． 【答案】(1)14， (2) 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题； （2）根据题中所给规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：14，； （2）解：由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． 29． 【答案】(1)12；28 (2) (3)①元；②可打造的长廊的最大长度为16米 【分析】本题考查了图形规律，整式的加减运算的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，观察图形规律，再结合长廊长8米进行列式计算，即可作答． （2）结合长廊长米（m为正整数），得出是奇数，然后列式化简，即可作答． （3）①先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，以及当n为奇数时，分别算出彩色地砖以及普通地砖的数量，再根据商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块进行列式计算，即可作答． ②先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，当n为奇数时，列式计算分析，得可打造的长廊的最大长度为16米． 【详解】（1）解：依题意，（块）， ∴当长廊长8米，则需彩色地砖12块， ∵长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖 ∴（块）， ∴当长廊长8米，则普通地砖28块； （2）解：∵长廊长米（m为正整数）， ∴是奇数， 则（块）， ∴当长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖块； （3）解：①当n为偶数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）， 此时，所需钱数为（元）， 当n为奇数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）．   此时，所需钱数为（元）； ②当n为偶数时，，，此时最大偶数为16， 则剩余钱数为（元）， 不足再铺1米，故长廊长度为16米， 当n为奇数时，，，此时最大奇数为15， 剩余钱数为（元）， 可再铺1米，故长廊长度为16米， 因此，可打造的长廊的最大长度为16米． 30． 【答案】（1）12，14，4052，4054；（2）  ；（3）该图案中正方形有1014个 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题中所给图形规律进行求解即可； （2）由（1）可总结该图形类规律； （3）由（2）及题意可进行求解． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第4个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； …， ∴第6个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 第2026个图案中等边三角形的个数为：，正方形的个数为：； 故答案为12，14，4052，4054； （2）由（1）可知：第n个图案中等边三角形有个，正方形有个； 故答案为，； （3）由（2）及题意可得：， ∴， ∴该图案中正方形的数量为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $