专题07 整式运算中的实际应用、规律、新定义型问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建整式运算综合应用体系，聚焦实际应用、规律探究、新定义问题，通过题型模版提炼可迁移方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|实际应用抓等量关系，规律题观察序号对应，新定义转化常规运算|从问题特征到解法步骤，构建“识别-转化-解决”逻辑链| |题型归纳|5类题型（每类1典例+3变式）|实际应用列代数式化简，单项式规律分系数与指数，数字/图形规律用待定系数法，新定义严格套用规则|从基础应用（周长/费用）到规律探究（单项式/数字/图形）再到新定义，层层递进| |压轴挑战|20题（选择5+填空5+解答10）|综合运用整式运算与规律探究，强化复杂情境建模|对接中考命题趋势，提升符号意识与模型观念|

专题07 整式运算中的实际应用、规律、新定义型问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 题型二、单项式的规律探究问题 题型三、整式中的数字类规律探究问题 题型四、整式中的图形类规律探究问题 题型五、整式加减中的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及用整式表示实际情境（如面积、利润、数字问题）、探究图形或数列规律，以及现场定义新运算（如a＠b），考查迁移能力。 - 解题方法：实际应用抓等量关系列式；规律题观察序号与结果的对应（等差、等比、平方、周期），用含n的整式表示；新定义严格套用规则转化为常规整式运算。 - 易错提醒：列式时未化简导致繁琐；规律题未验证前三项即下结论；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；实际背景中单位或取值范围被忽略。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 典例1 （25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 题型模版 1.特征：用整式表示实际问题中的数量关系（如周长、费用、和差），列式并化简。 2.方法：设未知数，根据题意用整式表示各量，列出代数式，去括号合并同类项，再代入计算或解释。 变式1-1（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 变式1-2（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 变式1-3（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 题型二、单项式的规律探究问题 典例2 （25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 题型模版 1.特征：观察一组单项式（如系数、字母指数变化），求第n个单项式或系数规律。 2.方法：分别找系数和字母指数的变化规律（常为等差或等比），用含n的式子表示通项，验证前几项。 变式2-1（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 【答案】 【分析】分别观察单项式中x的次数、分母与对应序号的关系，总结规律得到结果． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ， 可得规律，第个单项式中，分子为，分母为， 因此第个单项式为． 变式2-2（25-26九年级下·云南曲靖·期中）观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 【答案】 【分析】分别从符号、系数绝对值、的指数三个部分分析变化规律，整合得到第个单项式． 【详解】解：将单项式拆分为符号、系数、的指数三部分分别找规律： （1）符号规律：第奇数个单项式符号为正，第偶数个单项式符号为负，因此符号可表示为； （2）系数绝对值规律：给出的系数绝对值依次为，相邻两数差为，可得第个系数的绝对值为； （3）的指数规律：给出的指数依次为，可得第个单项式中的指数为； 整合三部分可得，第个单项式为． 变式2-3（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 【答案】(1) (2)第n个单项式是，系数是，次数是 【分析】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． （1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 【详解】（1）解：由观察下列单项式：，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，得 第n个单项式是，系数是，次数是． 题型三、整式中的数字类规律探究问题 典例3 （25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【分析】（1）根据规律直接求解即可； （2）根据规律直接求解即可； （3）根据题意变形得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 题型模版 1.特征：观察数字序列或等式，用整式表示第n个数或一般规律，常涉及平方、等差。 2.方法：分析相邻差或比，确定通项公式（如一次、二次、指数），用待定系数法求表达式，并验证前几项。 变式3-1（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 变式3-2（26-27七年级·全国·小升初衔接）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 【答案】 【详解】解：设， 则： 所以 ． 变式3-3（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)；；；0 (3)选择A；的值均为0，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为0． 选择B；的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为． 【分析】（1）把去括号，计算即可得答案；将的方框移动到图1中的其他位置，根据题目情境即可列式，去括号计算即可得答案为0，探究发现，无论移动到哪，总有：，，，进一步计算即可得答案． （2）设，根据题目情境，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． （3）选择A，设，根据“Z型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案；选择B，设，根据日历中用“Y型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则， 无论移动到哪，总有：，，， ∴． （2）解：设，根据题意得：，，， ∴，， ∴． （3）略 题型四、整式中的图形类规律探究问题 典例4 （25-26八年级下·河南周口·期中）如图所示的是小宇用“●”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答以下问题： 图一：●●●● 图二：●●●●●●● 图三：●●●●●●●●●● 图四：●●●●●●●●●●●●● 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 ．．． (1)完成上表； (2)写出●的个数与的函数关系式，并求当时，的值． 【答案】(1)见解析 (2)．当时， 【分析】（1）观察图形变化特点逐个填写即可； （2）根据（1）图形的变化特点得出规律，即可得出关系式，然后代入求值即可． 【详解】（1）解： 根据题意填表如下： 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 10 13 16 ．．． （2）解：第1个图中●的个数有4个； 第2个图中●的个数有（个）； 第3个图中●的个数有（个）； 第4个图中●的个数有（个）； 第5个图中●的个数有（个）； 第n个图中●的个数有（个）． 当时，． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，用整式表示第n个图形中某元素数量，常为一次或二次规律。 2.方法：数前几个图形对应元素个数，求相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法得通项。 变式4-1（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 【答案】(1)60 (2) (3)481200个 【分析】（1）根据，推出图4中的矩形个数即可； （2）由（1）推导出规律即可； （3）观察可知图的面积是图1面积的倍，进而求出的值，代入（2）中规律进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴图4中的矩形个数为（个）； （2）解：由（1）可知，图n中共有个矩形； （3）解：观察可知，图的面积是图1面积的倍， ∴当时，， 当时，， 故该人行道图案上共有个矩形. 变式4-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 变式4-3（25-26七年级上·广东茂名·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）根据示范的例子求解即可； （3）根据示范的例子求解即可． 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为：， 第③部分的面积为：， …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为； （2）解：设， ∴， ∴，即； 设， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即，即； （3）解：令①， 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即． 题型五、整式加减中的新定义型问题 典例5 （25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】 若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示； （2）写出之间的关系式为_____； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）不是，是 （2） （3）任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下： 根据题意得，， ∵为正整数，为自然数，且， ∴是11的倍数， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，整式的加减，解题的关键是理解题中的定义． （1）根据“极差数”的定义进行判断即可； （2）根据“极差数”的定义列出关系式即可； （3）根据“极差数”的定义列出代数式，整理代数式进行判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴三位数265不是“极差数”； ∵， ∴三位数583是“极差数”； 故答案为：不是，是； （2）根据题意得，之间的关系式为， 故答案为：； （3）略 题型模版 1.特征：定义新运算（如a＠b），按规则列式并化简，重阅读理解与整式运算。 2.方法：将新定义转化为整式加减运算，代入数值或含字母表达式，去括号合并同类项得结果。 变式5-1（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，整式的加减运算，弄清题中的运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可； （2）根据阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式5-2（25-26七年级上·山东德州·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是． (1)已知，则的差倒数为____________； (2)若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，是的差倒数，则的值为___________． (3)已知，求的差倒数的值，的差倒数的值； 【答案】(1) (2)4 (3)； 【分析】本题考查数字的变化规律，探索出运算结果的循环规律是解决本题的关键． （1）根据差倒数的定义直接代入求解即可； （2）通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，则与的值相同，即可求解； （3）根据差倒数的定义直接代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，的差倒数为， 故答案为：； （2）解：， ，，，， 每3次运算结果循环出现一次， ， 与的值相同， 的值为4， 故答案为：4； （3）解：当时，的差倒数， 当时，的差倒数． 变式5-3（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2) 解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； (3) 证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）略 （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是单项式规律题，根据已知代数式发现一般规律是解题关键．观察发现，代数式的系数为序号加1，指数与序号相同，即可求解． 【详解】解：按一定规律排列的代数式：，，，，，…， 观察发现，代数式的系数为序号加1，指数与序号相同， 即第n个代数式是， 故选：D． 2．数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律的探索．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【详解】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ∵， ∴该校的密码a是324880； 故选D． 3．如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个等长，等宽的长方形，得到一个字母“E”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形（如图3），则图3中的长方形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减运算的应用，根据图1是正方形且边长为和图2剪下小长方形后剩下的部分的长度，可得剪下来的一个小长方形的长为，宽为，再根据长方形的周长公式即可求解． 【详解】解：由图2可知，剪下来的一个小长方形的长为，宽为， 图3中的长方形的周长为： ． 故选：C． 4．定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现这列数从开始按，，循环是解题的关键． 根据所给差倒数的定义，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， … 由此可见，这列数从开始按，，循环， ， ， 故选A． 5．观察下列图形中的排列规律，在第⑦个图中，的值是（   ） A．187 B．43 C．65 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式求值，根据题意找出一般规律是解题关键．观察图形内数字，得到第个图中，，，，即可求解． 【详解】解：观察发现，第①个图中，，，， 第②个图中，，， 第③个图中，，， 第④个图中，，， …… 观察发现，第个图中，，，， 则第⑦个图中，，，， 的值是， 故选：A 二、填空题 6．观察下列单项式：x，，…，按此规律，可以得到第2024个单项式是 ，第n项是 （n是正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式规律题；根据题意总结出单项式规律即可求出结果． 【详解】解：由题意知：奇数项为正数，偶数项为负数，且系数值以1，3，5，7，9．．．排列， 按此规律，第n项是； ∴第2024个单项式是， 故答案为：，． 7．“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3，是一个“幻方”，则 ． 【答案】 每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等 【分析】此题考查了数字规律，有理数的加法，弄清题意是解本题的关键．计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可回答结果；根据题意确定出“幻方”需要的条件，即可确定出b的值． 【详解】解：观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等； ∵， ∴， 即． 故答案为：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等， 8．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形：将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2023个图中共有正方形的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第个图形的正方形的个数为，即可求解． 【详解】解：图①中共有1正方形， 图②中共有4个正方形， 图③中共有7个正方形，即； 图④中共有10个正方形，即；， 图中共有正方形的个数为； 所以第2023个图中共有正方形的个数为：． 故答案为：． 9．【组合图形的周长】九天阅阅开宫殿，万国衣冠拜冕旒的盛唐气象，一个繁荣、开放的盛唐社会、借由小姐姐们的舞蹈，惟妙惟肖地展现在我们眼前．如图是河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023．通过AI投影四个完全一样的白色小长方形后，得到图1、图2，那么，图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 根据题意，可以设每个小长方形的长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b，然后根据图形，可以得到x、y与a、b的关系，然后再根据图形可以写出图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差的代数式，然后化简即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为x，宽为y，大长方形长为a，宽为b， 由图①可得，，得， 由图②可得，，，得，， 则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是： ， ∵， ∴原式， 河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023，即， 所以图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的H长的差是 故答案为：． 10．定义一种对整数n的“F运算”： ①当n为奇数时，结果为； ②当n为偶数时，结果为 (其中k是使 为奇数的正整数，并且运算重复进行)． 例： 时，如图所示． 则若时，第2024次的计算结果是 ． 【答案】152 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意计算出前9次的运算结果，由此可得从第3次运算开始，每6次运算为一个循环，运算的结果依次为19，62，31，98，49，152，据此规律求解即可． 【详解】解：当时，第1次运算的结果为， 第2次运算的结果为， 第3次运算的结果为， 第4次运算的结果为， 第5次运算的结果为， 第6次运算的结果为， 第7次运算的结果为， 第8次运算的结果为， 第9次运算的结果为， ……， 以此类推可知，从第3次运算开始，每6次运算为一个循环，运算的结果依次为19，62，31，98，49，152， ∵， ∴第2024次的计算结果是152， 故答案为：152． 三、解答题 11．定义：若，则称是“最佳拍档数”．例如：、因此3和是一组“最佳拍档数”． (1)8与_________是一组“最佳拍档数”； (2)若“是一组“最佳拍档数”，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的理解与应用、一元一次方程的求解及代数式的化简求值．解题的关键是紧扣“最佳拍档数”的定义，将新定义转化为数学等式，再结合代数式化简技巧计算． （1）根据定义列关于未知数的方程，求解得到对应数． （2）先化简代数式，将其转化为含的形式，再代入定义中的等式求值． 【详解】（1）解：设所求数为x，根据“最佳拍档数”定义：， 合并同类项：， 移项并化简：， ∴； （2）解：已知m，n是“最佳拍档数”，则， 化简代数式： ， 代入：， ∴. 12．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 13．如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用a、b表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 【答案】(1)米 (2)米 (3)25500元 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）用长方形的长减去宽比长少的长度即可得到答案； （2）求出长加上两个宽的长度即可得到答案； （3）根据（2）所求求出护栏的总长度，进而可求出费用． 【详解】（1）解： 米， ∴长方形停车场的宽为米； （2）解： 米， ∴护栏的总长度为米； （3）解：当时，， 元， ∴建此停车场所需的费用为25500元． 14．对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 【答案】(1) (2)23 (3)37 【分析】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则， （1）直接根据定义进行运算即可； （2）先计算出，再计算即可； （3）先利用定义进行化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 故． （3）解： ， 当时， 原式 ． 15．如图是一长方形空地，长为米，宽为米．现准备在这个长方形空地的四个角分别修建半径为米的扇形花圃（阴影部分），中间修一条长为米，宽为米的小路，除花圃和小路外的地方都是绿地． (1)四个花圃的总面积为______平方米； (2)求绿地的面积； (3)当，时，求绿地的面积． 【答案】(1) (2)平方米 (3)平方米 【分析】本题考查列代数式，代数式求值．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据圆的面积公式求解即可； （2）根据绿地的面积=长方形空地面积-小路的面积-四个花圃的总面积求解即可； （3）将，代入（2）所求式子，求值即可． 【详解】（1）解：由图可知4个花圃组成一个半径为米的圆， 所以四个花圃的总面积为平方米； 故答案为：； （2）解：由图可知小路的面积为平方米，长方形空地的面积为平方米， 所以绿地的面积平方米； （3）解：当，时， 绿地的面积平方米． 16．仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了数字规律探究题，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键； （1）第一组是连续的正整数的平方，第二组是连续的正整数乘以，第三组数据是第一组和第二组对应数据的和，据此求得每一组第6个数，即可求解． （2）根据（1）的规律，即可求解； （3）根据题意列式计算，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，每一组的第6个数分别是，，， 故答案为：，，． （2）解：各组的第n个数分别为， 故答案为：． （3）解：每组数的第10个数，分别为， 其和为． 17．观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；．．．．．． 式子④中_______，______； (2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决：求的值． 【答案】(1)25；6； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示数或式子的规律，有理数的混合运算，解题的关键是能找到式子的规律． （1）观察已知算式即可得结果； （2）观察给出的算式，可得规律； （3）由（2）中的规律将式子中的每一项拆成两项，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：（1）④， ∴式子④中，， 故答案为：25；6； （2）由（1）给出的算式可得第n个等式：； （3）原式 ． 18．如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是_____； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①用含的代数式分别表示第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积，并探究它们与圆的个数的关系；（结果保留） ②若，请求出第2024个正方形中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)25，； (2)①第1个正方形中、第2个正方形、第3个正方形中阴影部分的面积都为：，正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②将代入①中求解即可． 【详解】（1）解：第1个图形内圆的个数是1， 第2个图形内圆的个数是4， 第3个图形内圆的个数是9， 第4个图形内圆的个数是16， … 第n个正方形中圆的个数为个； 故答案为：25，； （2）①第1个图中的阴影部分面积为 =， 第2个图中的阴影部分面积为， 第3个图中的阴影部分面积为 所以第1个正方形中、第2个正方形、第3个正方形中阴影部分的面积都为：， 正方形中阴影部分的面积与圆的个数没有关系，阴影面积为定值； ②由①可知每个图形中阴影部分的面积相等，则当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为：， 故答案为：． 19．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 【答案】(1)52元 (2)当时，小明付费元；当时，小明付费元 (3)分钟或分钟 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式的加减的应用等知识点，理解题意、列出代数式是解题的关键． （1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据和当分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； （3）先根据行车里程数分情况讨论，再根据题意在每种情况下分别表示出小王和小张的行车时长，并算出相差的时长即可． 【详解】（1）解：根据计费规则，当行车里程为公里，行车时间为分钟时， 小东需付车费：（元）， 答：需付车费52元． （2）解：根据计费规则，当时，小明应付车费：元； 当时，小明应付车费：元． 综上，当时，小明付费元；当时，小明付费元． （3）解：设小张的行车里程为x公里，则小王的行车里程为公里， 小张付费y元，则小王付费元， 根据题意： 当行车里程公里以内时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， ∴行车时长差为：（分钟）； 当里程超过公里时，小张行车时长：（分钟）， 小王行车时长：（分钟）， 行车时长差为：（分钟）． 答：这两辆新型网约车的行车时长相差为分钟或分钟． 20．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 【答案】（1）①；②；③；；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）①数出图①中黑色小正方形的个数即可； ②数出图②中黑色小正方形的个数即可； ③结合①、②的等式即可得出结果； （2）结合①、②、③等式右边的形式猜想出结果即可； （3）结合（1）和（2）可得结论； （4）利用（3）的结论进行计算即可； （5）将转化为，再利用（3）的结论进行计算即可， 找出规律并利用规律解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）①从图①中可以得到：，因此图①中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ③从图③中可以得到：，因此图③中共有个黑色小正方形， 故答案为：；； （2）∵图①中黑色小正方形的个数为：（个）， 图②中黑色小正方形的个数为：（个）， 图③中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， 图④中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， …… 由此可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）由（1）和 （2）可知：， 故答案为：； （4）； （5） ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 整式运算中的实际应用、规律、新定义型问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 题型二、单项式的规律探究问题 题型三、整式中的数字类规律探究问题 题型四、整式中的图形类规律探究问题 题型五、整式加减中的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及用整式表示实际情境（如面积、利润、数字问题）、探究图形或数列规律，以及现场定义新运算（如a＠b），考查迁移能力。 - 解题方法：实际应用抓等量关系列式；规律题观察序号与结果的对应（等差、等比、平方、周期），用含n的整式表示；新定义严格套用规则转化为常规整式运算。 - 易错提醒：列式时未化简导致繁琐；规律题未验证前三项即下结论；新定义中运算顺序与常规优先级混淆；实际背景中单位或取值范围被忽略。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、整式的加减实际应用问题 典例1 （25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 题型模版 1.特征：用整式表示实际问题中的数量关系（如周长、费用、和差），列式并化简。 2.方法：设未知数，根据题意用整式表示各量，列出代数式，去括号合并同类项，再代入计算或解释。 变式1-1（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 变式1-2（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 变式1-3（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 题型二、单项式的规律探究问题 典例2 （25-26七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 题型模版 1.特征：观察一组单项式（如系数、字母指数变化），求第n个单项式或系数规律。 2.方法：分别找系数和字母指数的变化规律（常为等差或等比），用含n的式子表示通项，验证前几项。 变式2-1（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 变式2-2（25-26九年级下·云南曲靖·期中）观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 变式2-3（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 题型三、整式中的数字类规律探究问题 典例3 （25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 题型模版 1.特征：观察数字序列或等式，用整式表示第n个数或一般规律，常涉及平方、等差。 2.方法：分析相邻差或比，确定通项公式（如一次、二次、指数），用待定系数法求表达式，并验证前几项。 变式3-1（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 变式3-2（26-27七年级·全国·小升初衔接）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 变式3-3（26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 题型四、整式中的图形类规律探究问题 典例4 （25-26八年级下·河南周口·期中）如图所示的是小宇用“●”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答以下问题： 图一：●●●● 图二：●●●●●●● 图三：●●●●●●●●●● 图四：●●●●●●●●●●●●● 图 图一 图二 图三 图四 图五 ．．． ●的个数 4 7 ．．． (1)完成上表； (2)写出●的个数与的函数关系式，并求当时，的值． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，用整式表示第n个图形中某元素数量，常为一次或二次规律。 2.方法：数前几个图形对应元素个数，求相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法得通项。 变式4-1（2026·安徽芜湖·二模）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有________个矩形； (2)图n中共有________个矩形（用含n的式子表示）； (3)已知图1的面积为，若该人行道的面积，求该人行道图案上共有多少个矩形？ 变式4-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 变式4-3（25-26七年级上·广东茂名·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】小明同学经过一番思考后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， 计算时，小彬同学是这样思考的：设① 将等式两边同时乘得② 将①减去②得，即， 即， (1)【过程思考】图中阴影部分的面积是____； (2)根据以上规律，可得_____；____；（为正整数） (3)【知识迁移】请你借助小彬同学的方法，求的值． 题型五、整式加减中的新定义型问题 典例5 （25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】 若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示； （2）写出之间的关系式为_____； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 题型模版 1.特征：定义新运算（如a＠b），按规则列式并化简，重阅读理解与整式运算。 2.方法：将新定义转化为整式加减运算，代入数值或含字母表达式，去括号合并同类项得结果。 变式5-1（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值； (2)计算． 变式5-2（25-26七年级上·山东德州·期中）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是． (1)已知，则的差倒数为____________； (2)若，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，是的差倒数，则的值为___________． (3)已知，求的差倒数的值，的差倒数的值； 变式5-3（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（ ） A． B． C． D． 2．数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 3．如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个等长，等宽的长方形，得到一个字母“E”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形（如图3），则图3中的长方形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 4．定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，……，依此（    ） A． B． C．4 D． 5．观察下列图形中的排列规律，在第⑦个图中，的值是（   ） A．187 B．43 C．65 D． 二、填空题 6．观察下列单项式：x，，…，按此规律，可以得到第2024个单项式是 ，第n项是 （n是正整数）． 7．“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3，是一个“幻方”，则 ． 8．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形：将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2023个图中共有正方形的个数为 ． 9．【组合图形的周长】九天阅阅开宫殿，万国衣冠拜冕旒的盛唐气象，一个繁荣、开放的盛唐社会、借由小姐姐们的舞蹈，惟妙惟肖地展现在我们眼前．如图是河南卫视8号演播厅的舞台，长为2023．通过AI投影四个完全一样的白色小长方形后，得到图1、图2，那么，图1中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是 ． 10．定义一种对整数n的“F运算”： ①当n为奇数时，结果为； ②当n为偶数时，结果为 (其中k是使 为奇数的正整数，并且运算重复进行)． 例： 时，如图所示． 则若时，第2024次的计算结果是 ． 三、解答题 11．定义：若，则称是“最佳拍档数”．例如：、因此3和是一组“最佳拍档数”． (1)8与_________是一组“最佳拍档数”； (2)若“是一组“最佳拍档数”，请求出的值． 12．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 13．如图，学校要利用专款建一长方形的电动车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米． (1)用a、b表示长方形停车场的宽； (2)求护栏的总长度； (3)若，每米护栏造价100元，求建此停车场所需的费用． 14．对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 15．如图是一长方形空地，长为米，宽为米．现准备在这个长方形空地的四个角分别修建半径为米的扇形花圃（阴影部分），中间修一条长为米，宽为米的小路，除花圃和小路外的地方都是绿地． (1)四个花圃的总面积为______平方米； (2)求绿地的面积； (3)当，时，求绿地的面积． 16．仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 17．观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；．．．．．． 式子④中_______，______； (2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决：求的值． 18．如图，在边长都为的正方形中分别排列着一些大小相等的圆． (1)根据图中的规律，第5个正方形中圆的个数是______，第个正方形中圆的个数是_____； (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影． ①用含的代数式分别表示第1个正方形、第2个正方形和第3个正方形中阴影部分的面积，并探究它们与圆的个数的关系；（结果保留） ②若，请求出第2024个正方形中阴影部分的面积．（结果保留） 19．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收0.4元．） (1)若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ (2)若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，请分别计算当和当时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） (3)小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差多少分钟？ 20．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $