期中复习压轴专题02 解答题分类训练（15种类型86道）（压轴题专项训练、安徽专用）数学新教材沪科版七年级上册

期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新沪科版七年级，15种类型86道） 范围：第一章—第三章 知识点一 有理数混合运算 1．（25-26七年级上·安徽六安·期中）计算： (1)． (2)． 2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1) (2) 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 知识点二 整式加减（合并同类项） 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 7．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知m，n为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，求的值． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 9．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）阅读材料，并回答下列问题． 对称式：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号）； ①；②；③；④． (2)写出一个只含有字母，的二次对称式（要求代数式中至少包含加法、乘法运算）； (3)已知，求，并判断所得结果是否为对称式． 10．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）我们把看成一个整体，按照合并同类项的法则，则．这种“整体思想”是数学中的一种重要思想方法，利用这个思想方法，解答下列问题． (1)把看成一个整体，计算：________． (2)若，求多项式的值． (3)若，，，求多项式的值． 知识点三 整式化简求值（高频） 11．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 12．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）若关于x的多项式不含二次项和常数项，求的值． 13．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）老师写出一个整式：，其中a、b为常数，且表示为系数，然后让同学们给a、b赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为，则甲同学给出a、b的值分别是________，________； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式． 14．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【阅读理解】代数式的值为5．求代数式的值． 小明同学采用的方法如下： 由题意得：，则有，，所以代数式的值为3． 【方法应用】（1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）当时，的值为9，当时，求代数式的值． 【拓展应用】（3）若，求代数式的值． 15．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是_____． （2）已知，求的值． 【拓展探索】 （3）已知，求的值． 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例如： 若， 则原式 (1)把看成一个整体，计算________； (2)已知， 求的值； (3)已知，， 求的值． 知识点四 整式加减中的无关型问题 17．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，． (1)化简． (2)若与y的值无关，求x的值． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知，． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为三个代数式，的代数式是未知的． (1)若的结果为常数，求此常数和此时的值； (2)当时，，求． 20．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，． (1)当，时，求的值． (2)若的值与b的取值无关，求a的值． 21．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 22．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某野生动物园门票价格为50元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 方案二 当团购门票数不超过30张时，无优惠；当团购门票数超过30张时，超过的部分每张优惠10元． 爱心捐款认养小动物，每捐款200元，则所购门票每张优惠1元（例如：捐款400元，则每张门票优惠2元）；且捐款额必须为200的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票x张（且x为正整数）， (1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用； (2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个200元（m为正整数）． ①若该旅游团需要购买35张门票且整个旅游团爱心捐款2000元，则该旅游团一共需要花费的总费用（包含捐款费和门票费）为 元； ②该旅游团一共需要花费的总费用为 元；（用含m，x的代数式表示） ③当时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个常数，求出m及这个常数分别是多少． 知识点五 解一元一次方程 23．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程： 24．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2) 25．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）解方程： (1) (2) 26．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1)； (2) 27．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 28．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1) (2) 知识点六 简单二元一次方程组（期中选考，基础型） 29．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程组． 30．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 31． （25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程组． 32．（24-25七年级上·安徽六安·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 33．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？ 知识点七 几何问题 34．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，矩形为“优美矩形”且图中①②③④均为正方形． (1)若最小正方形①的边长为x，则正方形②的边长为______；正方形③的边长______；为正方形④的边长为______；（用含x的代数式表示） (2)若此“优美矩形”的周长为52，求正方形④的边长． 35．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上，若点，分别对应有理数，，则称为点，两点之间的距离．请根据定义解决下列问题： (1)已知，，求的值________； (2)已知点对应数，点对应数，且，两点之间的距离为5，求的值； (3)在数轴上有一点，对应数为，点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍，求的值． 36．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；对于，表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离；，表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． 已知数轴上两点对应的数分别为-2、4，点为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点、点的距离相等，求点P对应的数为_____． (2)若点P在点、之间，且到点的距离是到点B的距离的2倍，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 37．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）我们都知道，表示6与之差的绝对值，实际上也可理解为6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求_____． (2)类似的表示数轴上有理数所对应点到和2所对应的两点距离之和，请你借助数轴找出所有符合条件的正整数，使得，这样的正整数是_____． (3)思考当为何值时，数轴上有理数所对应点到所对点的距离是有理数所对应点到所对应点的距离的3倍，请写出符合条件的的值．（直接写出结果） 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 知识点八 行程问题（相遇 / 追及） 39．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知，数轴上的点M在原点右边，与原点的距离为7个单位长度，点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度． (1)若点M、N在数轴上所表示的数分别为m，n，则_________，_________； (2)情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，左右两端点A、B分别对应数a、b，现将玩具火车沿数轴左右水平移动，当端点A所对应的数为b时，端点B所对应的数为m；当端点B所对应的数为a时，端点A所对应的数为n，则玩具火车的长为_________个单位长度； (3)探究：在（2）的条件下，当火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，同时点P和点Q分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？（表示P，Q两点之间的距离；表示两点之间的距离．）若存在，请分别求出k和的值；若不存在，请说明理由． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数轴如图所示，请回答以下问题： (1)A、B两点之间的距离为________； (2)数轴上到点A的距离为4的点为________； (3)数轴上一点P从点A出发，向右以每秒3个单位的速度匀速移动： ①问需要几秒点P运动到B处？ ②几秒后，点B与P之间的距离为2？ 41．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）【预备知识】 如图1，若数轴上M，N两点表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离，例如，，，则． 【实际问题】 如图2，M，N两点在数轴上对应的数分别为－12，20，甲、乙分别从M，N处同时出发，甲的速度为1个单位长度/s，乙的速度为3个单位长度/s，设运动的时间为ts． （1）M，N两点之间的距离______； 【综合运用】 （2）若甲、乙相向运动，记相遇点为A，则点A表示的数为______，此时______； （3）若甲、乙都向左运动． ①当t为何值时，乙恰好追上甲？ ②当t为何值时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度？ 42．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）综合与实践 【项目背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“数形结合”一词，指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【综合运用】 如图，，两点在数轴上对应数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)_____． (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，求点表示的数及此时的值． (3)如果甲、乙都向左运动，当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 43．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）以下是两张不同类型火车（“次”表示动车，“次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求，两地之间的距离． (3)在的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 知识点九 工程问题 44．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，如果由甲工程队单独做需要20天完成,乙工程队单独做需要12天完成.现在由甲队单独做4天,剩下的工程由甲、乙合作完成.剩下的部分合作还需要几天完成? 45．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件，那么此月人均定额是多少件？ 46．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 47．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． (1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ (2)完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 48．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，长方形是由六个正方形A，B，C，D，E，F拼接而成，已知最大的正方形B的边长是21米，最小正方形A的边长是a米． (1)用含a的式子分别表示正方形D，E，F的边长； (2)求a的值； (3)现有一项沿着长方形的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？ 知识点十 销售盈亏问题 49．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 50．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 51．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了台甲型和台乙型污水处理设备，共花费资金万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水吨，每台乙型设备每月能处理污水吨．今年该厂二期工程即将完成产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于吨污水． （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元； （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． 52．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶的售价为50元/箱，B品牌牛奶的售价为70元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100．箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱的售价比原售价减少了5元，B品牌牛奶每箱按原售价的八折出售．设学校购进A品牌牛奶x箱． (1)请直接在表格中填写结果： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A 45 B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4940元，那么该校此次购买了多少箱A品牌牛奶和B品牌牛奶？ 53．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 54．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）水果超市最近新进了一批白花玉石籽石榴，每斤进价5元，9月30日每斤售价10元，国庆黄金周10月1日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录了国庆黄金周石榴的售价变化情况和售出情况： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 售价变化（元） 售出斤数 15 30 35 40 x 30 (1)10月4日超市售出的石榴的单价是多少元？ (2)10月4日超市售出的石榴的收益如何？（收益为收入减去成本） (3)国庆黄金周水果超市出售此种石榴的收益为275元，则10月6日出售石榴多少斤？ 知识点十一 二元一次方程组的应用 55．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 56．（24-25七年级上·安徽黄山·期中）在过去的20多年里，太阳能对世界能源供应总量的贡献越来越大．今年以来，某新能源光伏企业原计划生产、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如表所示，现因订单增加，、两种太阳能光伏板产量增加至共计18件，则总成本增长了31万元，求订单增加后生产、两种太阳能光伏板的总利润． 种产品 种产品 成本（万元/件） 利润（万元/件） 57．（24-25七年级上·安徽·期中）某水果店购进一批柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子． (1)求购进的这两种水果的单价． (2)若该水果店共购进柚子，橘子，柚子和橘子的售价分别为元和元，现柚子以折销售，橘子以折销售，则这两种水果售完后，该水果店可获利多少元？ 58．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）某中学七年级（3）班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． (1)求篮球和足球的单价各是多少； (2)商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 59．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 60．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，我们踏上了研学之路．方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有 人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？ 知识点十二 新定义运算 61．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 62．（25-26七年级上·安徽六安·期中）若规定“”的运算过程表示为：． 如： (1)则________． (2)若，求的值． 63．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）小明在学习绝对值的定义之后，自己也设计了一个新符号．新符号的含义如下：当时，；当时，． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)______． (2)解关于的方程：． 64．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，例如：． (1)______； (2)化简； (3)若，求r的值． 65．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定．例如，． (1)计算的值． (2)计算的值． (3)若，求的值． 66．（25-26七年级上·安徽六安·期中）定义☆运算，观察下列运算： (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值______． 特别地，和任何数进行☆运算，或任何数和进行☆运算，________________． (2)计算：______． (3)若，求的值． 67．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 知识点十三 数字 / 图形规律探究 68．（24-25七年级上·安徽池州·期中）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从1开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：探索以上等式的规律，解决下列问题： (1)__________； (2)完成第个等式的填空：（   ） (3)利用上述结论，计算． 69．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）观察下面三行数： 第①行：2，，8，，32，，… 第②行：0，，6，，30，，… 第③行：，8，，32，，128，… (1)根据你发现的规律，分别写出每行数中的第7个数； (2)第②行中的数与第①行中的数有什么关系； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 70．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ， ， ；… (1)按规律填空： ①______； ②如果为正整数，那么______； (2)探究、计算的值； (3)由此拓展，计算的值． 71．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，这是用棋子摆成的“T”字图案．从图案中可以看出，第1个“T”字图案需要5枚棋子，第2个“T”字图案需要8枚棋子，第3个“T”字图案需要11枚棋子． (1)照此规律，摆成第5个“T”字图案需要 枚棋子； (2)摆成第n个“T”字图案需要 枚棋子； (3)若有6077枚棋子能摆成“T”字图案吗？若能请求出是第几个“T”字图案，若不能请说明理由． 72．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 73．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，通过观察，小翰同学发现可以用这样的方法确定每个图形中小正方形的总个数：图（1）中有1个小正方形，图（2）中共有个小正方形，图（3）中共有个小正方形，回答下列问题． (1)根据前三个图中计算小正方形的总个数的方法和规律，则图（4）中计算小正方形个数的等式是：___________； (2)根据规律，图（45）比图（44）多_______个小正方形； (3)根据每个图中计算小正方形总个数的方法和规律，计算：． 74．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）观察下列每个图形与其对应的等式之间的关系： 根据图形及其等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图形所对应的等式为： ； (2)第个图形所对应的等式为： ； (3)归纳上述规律，完成下列填空：设 ，则 ，所以 ． 知识点十四 数轴综合（期中高频几何代数综合） 75．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作是数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段．例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；若，则的值为或． (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，． 76．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）【知识拓展】 学习绝对值的定义后我们知道，的意义是数轴上表示数a的点与原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数a与0两点之间的距离．这个结论还可以推广为的意义是数轴上表示数a与数b两点之间的距离． 对于数轴上的点P，Q，我们把点P与点Q两点之间的距离记作．例如，若表示数a的点是点P，表示数b的点是点Q，则． 【知识应用】 （1）若，则x的值为______． 【拓展延伸】 （2）如图，在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是8，若点B以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点C以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为t（）秒． ①当时，求t的值； ②当时，求t的值．    77．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴发现：在数轴上，为原点，点A,B表示的数分别是和，点在点的右边（即），则A,B两点之间的距离（即线段AB的长）可表示为． 【问题情境】如图1，数轴上点表示的数，点表示的数，线段的中点表示的数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】根据“背景知识”和“问题情境”解答下列问题． (1)填空： ①A，B两点之间的距离________________，线段的中点表示的数____________． ②秒后，点表示的数为________________，点表示的数为____________．（用含的代数式表示） (2)求当为何值时，点运动到点，并求出此时点所表示的数． (3)若点向左运动到达点后，再立即以同样的速度返回点，点向右运动到达终点后，M，N两点都停止运动．在此运动过程中，当为何值时，M，N两点间的距离为4？ 78．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）【操作感知】如图，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处， （1）此时点和点分别表示的数为________，________，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时数轴上折痕表示的数为________． 【建立模型】（2）折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，此时数轴上折痕表示的数为________．（用含，的代数式表示）． 【问题解决】（3）若，，为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为，如果，，三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数． 79．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 80．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 81．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 知识点十五 含参数方程（中档拉分） 82．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程与有相同的解，求的值． 83．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）若关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)解这个一元一次方程． 84．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某同学在解关于x的方程时，误将方程右边的“1”看成了“－1”，得到方程的解为． (1)求m的值； (2)正确地求出该方程的解． 85．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于的方程与方程是“致真方程”，求的值； (2)若关于的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 86．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是________；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值．知识点十 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （新沪科版七年级，15种类型86道） 范围：第一章—第三章 知识点一 有理数混合运算 1．（25-26七年级上·安徽六安·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)36 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘方、有理数乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先运用绝对值、有理数乘方化简，然后再计算即可； （2）直接运用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）先计算乘方，再计算除法，最后计算加法，即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （）先算乘方和括号内的，再算乘除，最后算加减即可； 本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则，运算顺序和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分配律将原式展开，然后算乘法，最后算加减即可； （2）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）数学老师布置了一道思考题：“计算：”． 甲、乙、丙三位同学仔细思考了一番，分别给出了自己的解答过程． 甲：原式． 乙：原式． 丙：原式的倒数为， 其值， 所以原式． (1)上述解法的结果不同，肯定有错误的解法．你认为解法错误的是哪位同学： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (2)在正确的解法中，你认为谁的解法较简捷： ；（填“甲”或“乙”或“丙”） (3)用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)甲 (2)丙 (3) 【知识点】有理数四则混合运算、倒数 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）观察三种解法，找出出错的即可； （2）观察三种解法，找出简捷的即可； （3）利用简便方法求出原式的值即可． 【详解】（1）解：除法没有分配律，故甲同学计算错误； 乙和丙的计算没有问题； 故答案为：甲； （2）解：观察计算过程，丙的解法最简捷， 故答案为：丙； （3）解：先求原式的倒数： ， ∵为的倒数， ∴． 知识点二 整式加减（合并同类项） 6．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、去括号、合并同类项 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项的运算法则和去括号法则进行计算． （1）先去括号，然后合并同类项，即可得到答案； （2）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知m，n为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，求的值． 【答案】的值为或 【知识点】整式的加减运算、单项式的判断、合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了单项式和多项式的相关概念及同类项的性质．先分析出单项式与多项式中某一项是同类项，再根据同类项的性质求出m，n的值，最后计算． 【详解】解：∵单项式与多项式相加得到的和是单项式， ∴当时，，． ∴，． ∴， 当时，，， ∴，， ∴． 综上，的值为或． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：能被6整除，理由如下： ， 为正整数， 是正整数， 能被6整除， 即减去的差能被6整除． 【知识点】整式的加减运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，把两多项式相加，即可得到结果； （2）两多项式相减，得到，可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）略 9．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）阅读材料，并回答下列问题． 对称式：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号）； ①；②；③；④． (2)写出一个只含有字母，的二次对称式（要求代数式中至少包含加法、乘法运算）； (3)已知，求，并判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①③； (2)（答案不唯一）； (3)，是对称式． 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减，正确理解对称式的定义是解题的关键． （1）根据对称式定义逐个判断即可； （2）按照要求写出一个符合要求的式子即可； （3）根据整式的加减计算法则求出的结果，再根据对称式的定义判断即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∴对称式有①③； （2）解：∵， ∴是对称式； （3）解：，， 交换，的位置，得到， ， ∴结果是对称式． 10．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）我们把看成一个整体，按照合并同类项的法则，则．这种“整体思想”是数学中的一种重要思想方法，利用这个思想方法，解答下列问题． (1)把看成一个整体，计算：________． (2)若，求多项式的值． (3)若，，，求多项式的值． 【答案】(1) (2) (3)11 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握并熟练运用“整体思想”是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）将变形为，再将代入计算即可； （3）根据，，，分别计算出，，的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：，，， ， ， ， ． 知识点三 整式化简求值（高频） 11．（26-27七年级上·安徽·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先利用去括号和合并同类项法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 12．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）若关于x的多项式不含二次项和常数项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握去括号和合并同类项的运算法则是解题的关键． （1）原式去括号合并得到最简结果，将，代入即可； （2）先去括号，合并同类项求解，然后根据不含二次项和常数项得到项系数为零，即可得到答案． 【详解】（1）解：原式， 当，时，原式； （2）解： ， 因为不含二次项和常数项，所以， 解得：， 代入． 13．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）老师写出一个整式：，其中a、b为常数，且表示为系数，然后让同学们给a、b赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为，则甲同学给出a、b的值分别是________，________； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式． 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解决本题的关键． （1）根据甲同学的计算结果，算出a、b的值即可； （2）根据，，代入化简整式即可； 【详解】（1）解： ． ∵甲计算的结果为， ∴，． ∴，． 故答案为：4，2； （2）解：乙同学给出了，， ∴计算结果为 ． 14．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【阅读理解】代数式的值为5．求代数式的值． 小明同学采用的方法如下： 由题意得：，则有，，所以代数式的值为3． 【方法应用】（1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）当时，的值为9，当时，求代数式的值． 【拓展应用】（3）若，求代数式的值． 【答案】（1）20；（2）6；（3）36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了代数式求值,整式的加减，整体代入是解题的关键． （1）先求出，再化简多项式并整体代入求解即可； （2）先求出，再化简多项式并整体代入求解即可； （3）根据，然后代值求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得， 则， ∴ ． 答：代数式的值为20． （2）当时，， 由题意，得， 即， ∴， 当时 ． （3）∵， ∴ ． 15．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是_____． （2）已知，求的值． 【拓展探索】 （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）7． 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了代数式求值，整式的加减，熟练掌握整体的思想是解题的关键． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，把整体代入即可； （3）依据，将原式化为，整体代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：因为， 所以 ； （3）解：因为，，， 所以 ． 16．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例如： 若， 则原式 (1)把看成一个整体，计算________； (2)已知， 求的值； (3)已知，， 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用． （1）将视为整体，直接合并同类项； （2）利用已知条件，将表达式变形后代入求值； （3）根据已知等式，通过线性组合构造所求表达式，整体代入求值． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ∵， ∴原式； （3）解：， ∵，， ∴原式． 知识点四 整式加减中的无关型问题 17．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，． (1)化简． (2)若与y的值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、合并同类项 【分析】本题考查了整式的加减运算及某一字母的取值无关的问题． （1）先代入A和B的表达式，去括号后合并同类项得出的值； （2）将的结果变形为含y的项与常数项的和，令y的系数为0，解方程求出x的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：由（1）知，， ∵与y的值无关， ∴， 解得． 18．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知，． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）直接将，代入计算即可； （2）根据“的值与的取值无关”得到，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， 因为的值与的取值无关， 所以， 解得：． 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为三个代数式，的代数式是未知的． (1)若的结果为常数，求此常数和此时的值； (2)当时，，求． 【答案】(1)常数是3， (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，熟练进行整式运算是解题关键． （1）根据的结果为常数，可以得到，然后即可求得k的值； （2）根据和，利用整式的加减可以计算出C． 【详解】（1）解：， ， 的结果为常数， ， 解得， ∴若的结果为常数，则这个常数是3，此时． （2）解：当时，， ， ． 20．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，． (1)当，时，求的值． (2)若的值与b的取值无关，求a的值． 【答案】(1)20 (2)2.5 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后把，代入计算即可； （2）把化简后，合并关于b的同类项，然后令b的系数等于0即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式； （2）解：由（1）可得， ∵的值与b的取值无关， ∴， ∴． 21．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n无关． 【答案】(1) (2)50 (3)当时，的值与无关 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】（1）根据多项式的加减法法则即可运算； （2）根据同类项的概念求出m、n的值，代入计算即可； （3）将多项式按n进行合并，令n的系数为零即可． 本题考查多项式的加减法运算、同类项的概念等． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ， ； （3）解：， ∵的值与无关， ∴， ∴， 即当时，的值与无关． 22．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某野生动物园门票价格为50元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用． 方案一 方案二 当团购门票数不超过30张时，无优惠；当团购门票数超过30张时，超过的部分每张优惠10元． 爱心捐款认养小动物，每捐款200元，则所购门票每张优惠1元（例如：捐款400元，则每张门票优惠2元）；且捐款额必须为200的整数倍，最多捐款5000元． 设某旅游团一次性购买门票x张（且x为正整数）， (1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用； (2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个200元（m为正整数）． ①若该旅游团需要购买35张门票且整个旅游团爱心捐款2000元，则该旅游团一共需要花费的总费用（包含捐款费和门票费）为 元； ②该旅游团一共需要花费的总费用为 元；（用含m，x的代数式表示） ③当时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个常数，求出m及这个常数分别是多少． 【答案】(1)元 (2)①；②；③的值是10，固定值是元 【知识点】整式加减中的无关型问题、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式、整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的应用是解题关键． （1）根据，按照方案一列出代数式即可得； （2）①爱心捐款2000元所购门票每张优惠10元，根据旅游团一共需要花费的总费用等于捐款总金额与门票总费用之和计算即可； ②根据方案二，旅游团一共需要花费的总费用等于捐款总金额与门票总费用之和，由此即可得； ③当时，利用方案二的总费用减去方案一的费用，根据含项的系数等于0可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：方案一，当时，该旅游团购买门票的费用购买门票的费用为元． 答：该旅游团购买门票的费用票的费用为元． （2）解：①由题意得：爱心捐款2000元所购门票每张优惠10元， 一共需要花费的总费用为元， ②由题意得：爱心捐款 个 200 元（即捐款额 元），则每张门票优惠 元（每张门票价格为 元）． 一共需要花费的总费用为元， 故答案为：． ②当时，方案一购买门票的费用为元， 则 ， ∵当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的费用多某个固定值， ∴， ∴， 此时固定值为（元）， 答：的值是，固定值是元． 知识点五 解一元一次方程 23．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 24．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤． （1）把含有x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，再合并同类项，最后把x的系数化成1即可； （2）方程两边先同时乘6，再按照解一元一次方程的一般步骤进行解答即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 25．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤进行求解即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化1， 26．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程的知识，解一元一次方程常见的过程有去分母、移项、合并、系数化为等． （）先去分母，再去括号，然后合并同类项，最后系数化为1即可． （）先移项合并，最后化系数为1即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 解得：． 27．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 28．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； 通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 知识点六 简单二元一次方程组（期中选考，基础型） 29．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程组． 【答案】． 【详解】 ， ，得， ， 将代入中，得， 解得， ∴原方程组的解为． 30．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】100 【知识点】方程组相同解问题 【分析】由题意可得方程组，则有可求出方程组的解，然后再代入进行求解a、b，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，化简得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查同解方程组的问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 31．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）解方程组． 【答案】 【详解】， 得：， 得：， 解得：， 将代入①得， 解得：． ∴方程组解为． 32．（24-25七年级上·安徽六安·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得 ：， 方程组的解集为； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解集为． 33．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？ 【答案】(1) (2) 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两个方程求出a，b； （2）设把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b． 【详解】（1）解：将代入方程组中的第二个方程得：①， 将代入方程组中的第一个方程得：②， 联立①② 解得：； （2）设把b看成了m， 把，代入方程， 得 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 知识点七 几何问题 34．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，矩形为“优美矩形”且图中①②③④均为正方形． (1)若最小正方形①的边长为x，则正方形②的边长为______；正方形③的边长______；为正方形④的边长为______；（用含x的代数式表示） (2)若此“优美矩形”的周长为52，求正方形④的边长． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解此题的关键． （1）根据题意，用含的代数式分别表示出正方形②③④的边长即可； （2）根据题意，建立关于的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵最小正方形①的边长为x， ∴正方形②的边长为，正方形③的边长；为正方形④的边长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴正方形④的边长为． 35．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上，若点，分别对应有理数，，则称为点，两点之间的距离．请根据定义解决下列问题： (1)已知，，求的值________； (2)已知点对应数，点对应数，且，两点之间的距离为5，求的值； (3)在数轴上有一点，对应数为，点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)4 (2)或 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）把，代入计算即可； （2）根据，两点之间的距离为5，分2种情况列式求解即可； （3）根据点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍列方程求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：4； （2）当点A在点B右边时，， 当点A在点B左边时，， 综上可知，或； （3）∵点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 36．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；对于，表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离；，表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． 已知数轴上两点对应的数分别为-2、4，点为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点、点的距离相等，求点P对应的数为_____． (2)若点P在点、之间，且到点的距离是到点B的距离的2倍，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴上的距离与绝对值的几何意义，解题的关键是结合绝对值的几何意义，根据点的位置合理去掉绝对值符号． （1）利用中点公式求中点对应数； （2）根据点的位置去绝对值，列方程求解； （3）分点在右侧、与之间、左侧三种位置讨论，去绝对值列方程并验证合理性． 【详解】（1）点P到点、点的距离相等 是中点 ， 故答案为：1 （2）在、之间，到的距离是到点的距离的2倍， 且 解得： （3）①当在右侧 解得： ②当在、之间， 解得： ③当在左侧 解得：与矛盾 故舍去， 综上，存在点，值为或 37．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）我们都知道，表示6与之差的绝对值，实际上也可理解为6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求_____． (2)类似的表示数轴上有理数所对应点到和2所对应的两点距离之和，请你借助数轴找出所有符合条件的正整数，使得，这样的正整数是_____． (3)思考当为何值时，数轴上有理数所对应点到所对点的距离是有理数所对应点到所对应点的距离的3倍，请写出符合条件的的值．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)1，2 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． （1）根据6与两数在数轴上的距离为作答即可； （2）根据和2两数在数轴上的距离为得到在和2之间，进而作答即可； （3）分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵表示数轴上有理数所对应点到和2所对应的两点距离之和，和2两数在数轴上的距离为， ∴在和2之间， ∴正整数是1，2， 故答案为：1，2； （3）解：当在左侧时，，解得：； 当在和之间时，，解得：； ∴的值为或． 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【答案】【简单应用】（1）；（2）或；【拓展运用】第秒、第秒时、两点相距个单位长度 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， 简单应用： （1）根据题目给定的距离及中点公式即可求得； （2）利用点与点的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； 拓展运用:结合运动方式写出点和点在秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：简单应用：（1）∵点在数轴上所对应的数为，点表示的数为， ∴， 、两点的中点表示的数为． 故答案为：， （2）∵若、两点间的距离，点在数轴上所对应的数为， 当点在点左边时，则点的为：， 当点在点右边时，则点的为：， 故答案为：， 拓展运用: 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距个单位长度， 当点在点左侧时： 解得； 当点在点右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒或秒会相距个单位长度． 知识点八 行程问题（相遇 / 追及） 39．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知，数轴上的点M在原点右边，与原点的距离为7个单位长度，点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度． (1)若点M、N在数轴上所表示的数分别为m，n，则_________，_________； (2)情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，左右两端点A、B分别对应数a、b，现将玩具火车沿数轴左右水平移动，当端点A所对应的数为b时，端点B所对应的数为m；当端点B所对应的数为a时，端点A所对应的数为n，则玩具火车的长为_________个单位长度； (3)探究：在（2）的条件下，当火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，同时点P和点Q分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？（表示P，Q两点之间的距离；表示两点之间的距离．）若存在，请分别求出k和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7，； (2)3； (3)存在，k的值为1，的值为6． 【知识点】整式加减中的无关型问题、动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． （1）根据题意得，再结合数轴的性质计算，即可得到答案； （2）小火车的长度为，根据题意列方程计算，即可得到答案； （3）设火车运动的时间为t秒，根据数轴的性质，分别的、PQ，并代入到，将t的系数为零计算即可． 【详解】（1）根据题意，得， ∵点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度 ∴， 故答案为：7，； （2）设玩具火车的长为， ∴ 根据题意，得， ∴ 将代入到，得， ∴， 故答案为：3； （3）设火车运动时间为t秒 ∵火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，且， ∴ ∵点P和点Q同时分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动， ∴， ∴， 当时，，即与它们的运动时间无关， ∴存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，，． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数轴如图所示，请回答以下问题： (1)A、B两点之间的距离为________； (2)数轴上到点A的距离为4的点为________； (3)数轴上一点P从点A出发，向右以每秒3个单位的速度匀速移动： ①问需要几秒点P运动到B处？ ②几秒后，点B与P之间的距离为2？ 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴的知识，解题的关键是掌握数轴的知识，一元一次方程的应用． （1）利用数轴的知识即可求解； （2）利用数轴的知识即可求解； （3）设点的运动时间为，则点表示的数为：，应用一元一次方程方程，即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数为，点表示的数为4， ∴、两点之间的距离为， 故答案为：6； （2）解：数轴上到点的距离为4的点为 或， 故答案为：或； （3）解：设点的运动时间为，则点表示的数为：， ①当点运动到处时，，解得：， 即：需要点运动到处； ②当点与之间的距离为2时，或，解得：或， 即：或后，点与之间的距离为2． 41．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）【预备知识】 如图1，若数轴上M，N两点表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离，例如，，，则． 【实际问题】 如图2，M，N两点在数轴上对应的数分别为－12，20，甲、乙分别从M，N处同时出发，甲的速度为1个单位长度/s，乙的速度为3个单位长度/s，设运动的时间为ts． （1）M，N两点之间的距离______； 【综合运用】 （2）若甲、乙相向运动，记相遇点为A，则点A表示的数为______，此时______； （3）若甲、乙都向左运动． ①当t为何值时，乙恰好追上甲？ ②当t为何值时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度？ 【答案】（1）32；（2）；8；（3）①s；②s或s 【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用， （1）根据两点之间的距离公式计算即可； （2）根据甲运动的路程加上乙运动的路程等于列出方程，再求出解即可； （3）①根据甲运动的路程加上等于乙运动的路程列出方程，再求出解即可； ②，分两种情况相遇前，甲乙之间的距离等于10单位长度列出方程，求出解；相遇后，甲乙之间的距离等于10单位长度列出方程，求出解即可． 【详解】解：（1）. 故答案为：32； （2）根据题意，得， 解得，则， 所以点A表示的数是. 故答案为：； （3）①根据题意，得：． 解得． ∴当s时，乙恰好追上甲． ②分两种情况： 情况一：乙追上甲之前相距10个单位长度． 根据题意，得． 解得． 情况二：乙追上甲之后相距10个单位长度． 根据题意，得． 解得． 综上，当s或s时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度． 42．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）综合与实践 【项目背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“数形结合”一词，指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【综合运用】 如图，，两点在数轴上对应数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)_____． (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，求点表示的数及此时的值． (3)如果甲、乙都向左运动，当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 【答案】(1)20 (2)，5 (3)或， 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据相遇时甲和乙共走了20个单位的路程列方程求解即可； （3）先表示出t秒时，甲、乙在数轴上表示的数，然后根据两点间的距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应数分别为，12， ∴， 故答案为：20； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴点P表示的数为； （3）解：t秒时，甲在数轴上表示的数为，乙在数轴上表示的数为， 根据题意，得， 解得或， 即当或时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 43．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）以下是两张不同类型火车（“次”表示动车，“次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求，两地之间的距离． (3)在的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 【答案】(1)同，早 (2) (3)或或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用等知识． （1）根据车票信息即可求解； （2）设A、B两地之间的距离为．根据“动车行驶时间比高铁行驶时间多2小时”列方程，解方程即可求解； （3）设高铁出发小时后两车相距，分①高铁还未追上动车；②高铁追上动车后但未到达B地；③高铁到达B地后三种情况分别列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：该列动车和高铁是同向而行，该列动车比高铁发车早． 故答案为：同，早； （2）解：设A、B两地之间的距离为． 根据题意得， 解得． 答：，两地之间的距离为． （3）解：设高铁出发小时后两车相距， 当高铁还未追上动车时，， 解得； 当高铁追上动车后但未到达B地时，， 解得； 当高铁到达B地后，， 解得． 答：当高铁出发或或后两车相距． 知识点九 工程问题 44．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，如果由甲工程队单独做需要20天完成,乙工程队单独做需要12天完成.现在由甲队单独做4天,剩下的工程由甲、乙合作完成.剩下的部分合作还需要几天完成? 【答案】6天. 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设所求天数为x天，等量关系为：甲4天的工作量+甲乙合作x天的工作量=1，把相关数值代入即可求解． 【详解】设还需x天完成， 由题意得：， 解得：x=6． 答：还需6天完成． 【点睛】解决本题的关键是得到工作量1的等量关系；易错点是得到甲乙合作的天数． 45．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）甲组的4名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙组的5名工人3月份完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件．如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件，那么此月人均定额是多少件？ 【答案】55 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系列出方程，然后求解即可. 设此月人均定额为x件，甲组人均工作量为，乙组人均工作量为，根据甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少2件得到关于x的一元一次方程，然后求解方程即可. 【详解】解：设此月人均定额为x件， 解得：． 答：此月人均定额是件． 46．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 47．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． (1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ (2)完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 【答案】(1)师徒两人合作检修的时间为3小时 (2)师傅应分得的报酬为元；徒弟应分得报酬为元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设师徒两人合作检修的时间小时，则徒弟单独检修的时间为小时，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （2）分别求出师傅和徒弟的报酬即可． 【详解】（1）解：设师徒两人合作检修的时间为小时，则徒弟单独检修的时间为小时， 依题意，得 ， 解这个方程，得， 当时，， 答：师徒两人合作检修的时间为3小时． （2）解：师傅应分得的报酬为：（元） 徒弟应分得报酬为：（元） 48．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，长方形是由六个正方形A，B，C，D，E，F拼接而成，已知最大的正方形B的边长是21米，最小正方形A的边长是a米． (1)用含a的式子分别表示正方形D，E，F的边长； (2)求a的值； (3)现有一项沿着长方形的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？ 【答案】(1)D的边长为米，E的边长为米；F的边长为米 (2)a的值为3 (3)甲每天铺设8米，则乙每天铺设12米 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据正方形四边相等先表示的边长，再表示的边长，然后表示，的边长即可； （2）利用长方形对边相等可得，进而可得方程，再解即可； （3）首先算出长方形周长，再设甲每天铺设米，则乙每天铺设米，根据题意可得等量关系：甲铺设的长度乙铺设的长度总长度，由等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：图中最大正方形的边长是21米，最小的正方形的边长是米． 则的边长为米， 的边长为米； 的边长为米； （2）， ， 解得， 故的值为3； （3）矩形的周长： （米）， 设甲每天铺设米，则乙每天铺设米，由题意得： ， 解得：， 则， 答：甲每天铺设8米，则乙每天铺设12米． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用和列代数式，关键是正确理解题意，掌握正方形各边相等． 知识点十 销售盈亏问题 49．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 【答案】两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设小华购买了双运动鞋，根据题意列出一元一次方程求解，再求总费用． 【详解】解：设小华购买了双运动鞋， 要使总花费相同，方案一要有优惠， 即， ， 解得：， ， 答：两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 50．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 【答案】(1)甲40件，乙60件 (2)乙种商品每件售价84元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲种商品的数量为，列方程求出甲商品的数量，再求出乙商品的数量即可； （2）先算出100件商品的总进价，根据利润率求出总售价，再用总售价减去甲商品总售价，最后除以乙商品数量得到乙商品每件售价． 【详解】（1）解：设甲商品件，则乙商品件， 则乙商品数量为（件） 答：甲商品40件，乙商品60件． （2）解：总进价元 总售价元 甲总售价元 乙每件售价元 答：乙种商品每件售价84元． 51．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了台甲型和台乙型污水处理设备，共花费资金万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水吨，每台乙型设备每月能处理污水吨．今年该厂二期工程即将完成产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于吨污水． （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元； （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． 【答案】（1）一台甲型设备的价格为万元，一台乙型设备的价格为万元；（2）所有购买方案有四种，分别为方案一：甲型台，乙型台；方案二：甲型台，乙型台；方案三：甲型台，乙型台；方案四：甲型台，乙型台． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设每台甲型设备的价格为万元，则每台乙型设备的价格为万元，根据购买3台甲型和2台乙型污水处理设备共花费资金54万元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设购买台甲型设备，则购买（）台乙型设备，根据总价=单价×数量结合处理污水的总量=200×购买甲型设备的台数+160×购买乙型设备的台数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）设一台甲型设备的价格为万元，则每台乙型设备的价格为万元， 由题意，得：， 解得， ， 答：一台甲型设备的价格为万元，一台乙型设备的价格为万元； （2）设二期工程中，购买台甲型设备，则购买（）台乙型设备， 由题意，得： 解得． 又由题意，知为正整数，因此，，，． 答：所有购买方案有四种，分别为： 方案一：甲型台，乙型台； 方案二：甲型台，乙型台； 方案三：甲型台，乙型台； 方案四：甲型台，乙型台． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 52．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶的售价为50元/箱，B品牌牛奶的售价为70元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100．箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱的售价比原售价减少了5元，B品牌牛奶每箱按原售价的八折出售．设学校购进A品牌牛奶x箱． (1)请直接在表格中填写结果： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A 45 B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4940元，那么该校此次购买了多少箱A品牌牛奶和B品牌牛奶？ 【答案】(1)56； (2)该校此次购买了箱品牌牛奶和40箱品牌牛奶 【知识点】列代数式、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数乘法的应用、列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据品牌牛奶按原售价的八折出售可得品牌牛奶的购买价格，再利用购买价格乘以购买量可得购买总价； （2）根据总费用为4940元建立关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵品牌牛奶的原售价为70元/箱，现按原售价的八折出售， ∴品牌牛奶的购买价格为（元/箱）， 品牌牛奶的购买总价为元． 在表格中填写结果如下： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 45 （2）解：由题意得：， 解得， ∴， 答：该校此次购买了箱品牌牛奶和40箱品牌牛奶． 53．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共台，用去万元，请研究一下商场的进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一台乙种电视机可获利元，销售一台丙种电视机可获利元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案． (3)若商场准备用万元同时购进三种不同的电视机台，请你设计进货方案． 【答案】(1)一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (2)为使销售时获利最多，应选择购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； (3)一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台 【知识点】二元一次方程的解、销售盈亏(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分三种情况：购进甲、乙两种型号的电视机；购进甲、丙两种型号的电视机；购进乙、丙两种型号的电视机；根据建立方程求解即可； （2）根据（1）所求分别计算出两种方案的利润，比较即可得到答案； （3）设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台，根据购买费用为9万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：当购进甲、乙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机x台，则购进乙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台； 当购进甲、丙两种型号的电视机时， 设购进甲种型号的电视机a台，则购进丙种型号的电视机台， 由题意得，， 解得， ∴， ∴购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； 当购进乙、丙两种型号的电视机时，∵，且， ∴此种情况不成立； 综上所述，一共有两种方案：①购进甲种型号的电视机25台，购进乙种型号的电视机25台；②购进甲种型号的电视机35台，购进丙种型号的电视机15台； （2）解：方案①获利为：（元）； 方案②获利为：（元）． ∵， ∴为使销售时获利最多，应选择第②种进货方案． （3）解：设购进甲种电视台，乙种电视台，则购进丙种电视的数量为台． 由题意得，， 化简整理，得， ∴ 又∵，且均为整数， ∴当时，，； 当时， ，； 当时，，； 当时，，； ∴一共有四种进货方案：①购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；②购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；③购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台；④购进甲种电视机台，乙种电视机台，丙种电视机台． 54．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）水果超市最近新进了一批白花玉石籽石榴，每斤进价5元，9月30日每斤售价10元，国庆黄金周10月1日起试行机动价格，价格超出前一天的部分记为正，不足前一天的部分记为负，超市记录了国庆黄金周石榴的售价变化情况和售出情况： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 售价变化（元） 售出斤数 15 30 35 40 x 30 (1)10月4日超市售出的石榴的单价是多少元？ (2)10月4日超市售出的石榴的收益如何？（收益为收入减去成本） (3)国庆黄金周水果超市出售此种石榴的收益为275元，则10月6日出售石榴多少斤？ 【答案】(1)8元 (2)105元 (3)10斤 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数计算的实际应用及一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据正负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可； （3）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：10月4日超市售出的橙子的单价是8元； （2）解：根据题意得：（元）， 答：10月4日超市售出的橙子的收益为赚105元； （3）解：∵每斤进价5元，9月30日每斤售价10元， 10月1日利润为：（元）， 10月2日利润为：（元）， 10月3日利润为：（元）， 10月4日利润为：（元）， 10月5日利润为：（元）， 10月6日利润为：（元）， 10月7日利润为：（元）， ∴（元）， 解得：， 答：10月6日出售石榴10斤． 知识点十一 二元一次方程组的应用 55．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题． 【答案】雀、燕每一只各重斤、斤 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【详解】解：设雀、燕每只各重斤、斤．根据题意，得 整理，得 解得 答：雀、燕每只各重斤、斤． 【点睛】考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系． 56．（24-25七年级上·安徽黄山·期中）在过去的20多年里，太阳能对世界能源供应总量的贡献越来越大．今年以来，某新能源光伏企业原计划生产、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如表所示，现因订单增加，、两种太阳能光伏板产量增加至共计18件，则总成本增长了31万元，求订单增加后生产、两种太阳能光伏板的总利润． 种产品 种产品 成本（万元/件） 利润（万元/件） 【答案】总利润为42万元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是∶找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设该企业原计划生产两种太阳能光伏板各件，件，根据、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，可列方程组；设该企业增产两种太阳能光伏板各件，件，根据表格中的数据可列方程组，再根据题意计算总利润即可． 【详解】解：设该企业原计划生产两种太阳能光伏板各件，件，依题意得：                  解得：                     设该企业增产两种太阳能光伏板各件，件，依题意得：                    解得：            总利润：             答：生产、两种太阳能光伏板的预计总利润为42万元． 57．（24-25七年级上·安徽·期中）某水果店购进一批柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子，用元可以购进柚子和橘子． (1)求购进的这两种水果的单价． (2)若该水果店共购进柚子，橘子，柚子和橘子的售价分别为元和元，现柚子以折销售，橘子以折销售，则这两种水果售完后，该水果店可获利多少元？ 【答案】(1)购进的柚子的单价为元，橘子为元 (2)则这两种水果售完后，该水果店可获利元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意正确建立方程组是解题的关键． （1）根据题意建立方程组求解即可； （2）根据题意列示求解即可． 【详解】（1）解：设购进的柚子的单价为元，橘子为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：购进的柚子的单价为元，橘子为元； （2）解：此时柚子的售价为：（元千克） 橘子的售价为：（元千克） 则这两种水果售完后，该水果店可获利元； 58．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）某中学七年级（3）班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． (1)求篮球和足球的单价各是多少； (2)商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 【答案】(1)篮球每个元，足球每个元； (2)选用套餐①购买更划算． 【知识点】有理数乘法的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． （1）设篮球单价为每个元，足球单价为每个元，根据买了2个篮球和6个足球，花元，并且每个足球比篮球便宜元，列方程组求解即可得到答案； （2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案； 【详解】（1）解：设篮球单价为每个元，足球单价为每个元， 由题意可得， 解方程组得， 答：篮球每个元，足球每个元； （2）解：若按照①套餐打折购买费用为： （元）， 若参加②满减活动购买费用为： （元）， 又， 所以（元）． 而， 所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低． 59．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 【答案】(1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 (2)在网店B购买更省钱 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元，再根据两种资料单价和为200元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求结合所给的折扣分别计算出两个网店的花费即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 （2）解：网店A的花费为元， 网店B的花费为元， ∵， ∴在网店B购买更省钱． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求出两种资料的单价是解题的关键． 60．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，我们踏上了研学之路．方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有 人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？ 【答案】(1)420； (2)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； (3)共有3种租车方案，租用60座客车7辆时最省钱． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． 故答案为：420； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， ． 又m，n均为自然数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用60座客车7辆，所需租车费用为（元）； 方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆，所需租车费用为（元）； 方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆，所需租车费用为（元）． ， 租用60座客车7辆时最省钱． 【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题，以及最优方案的问题，解题的关键是列方程需要找到等量关系式，最优方案需要比较所有满足情况的方案费用最少，其难点是所设未知数必须满足整数的要求，得出具体几种方案． 知识点十二 新定义运算 61．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 【答案】(1)，，“※”不具有交换律，理由如下： ※ ， ※ ， 则“※”不具有交换律，理由是4※※； (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）根据定义的新运算列式计算，然后猜想是否具有交换律并说明理由即可； （2）根据定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：略； （2）解：※※ ※ ※ ※ 62．（25-26七年级上·安徽六安·期中）若规定“”的运算过程表示为：． 如： (1)则________． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程、有理数混合运算，掌握解一元一次方程的步骤和有理数混合运算顺序，理解规定的运算列式及方程是解题的关键． （1）根据规定的运算列式计算即可； （2）根据规定的运算列方程，解出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 整理得：， 解得． 63．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）小明在学习绝对值的定义之后，自己也设计了一个新符号．新符号的含义如下：当时，；当时，． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)______． (2)解关于的方程：． 【答案】(1) (2)或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、绝对值的几何意义 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程，相反数的定义等． （1）根据新符号的定义求解； （2）分和两种情况，分别解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：， 当时，， 原方程变形为， 解得，满足，符合题意； 当时，， 原方程变形为， 解得，满足； 因此原方程的解为或． 64．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，例如：． (1)______； (2)化简； (3)若，求r的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据新运算法则得出，再根据有理数混合运算法则计算即可； （2）根据新运算法则得出，再计算即可； （3）根据新运算法则得出，再解方程即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2） ； （3） 即 ． 65．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定．例如，． (1)计算的值． (2)计算的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)39 (2)109 (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，方程的应用，解题的关键是熟练掌握新定义． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值，再进一步求解即可； （3）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 解得：． 66．（25-26七年级上·安徽六安·期中）定义☆运算，观察下列运算： (1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值______． 特别地，和任何数进行☆运算，或任何数和进行☆运算，________________． (2)计算：______． (3)若，求的值． 【答案】(1)取正号；取负号；相加；等于非零那个数的绝对值 (2)33 (3)3或 【知识点】有理数四则混合运算、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）观察上述计算，归纳☆运算的法则即可； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值． 【详解】（1）解：两数进行☆运算时，同号取正号，异号取负号，并把绝对值相加， 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于非零那个数的绝对值； 故答案为；取正号；取负号；相加；等于非零那个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：①当时，左边，右边，左边右边，所以； ②当时，， 解得，符合题意； ③当时，， 解得，符合题意， 综上所述，a为3或． 67．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）规定新运算：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方， 例如：等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”．一般地，把个相除记作，读作“的圈次方” (1)直接写出计算结果：_______，________． (2)关于除方，下列说法正确的是________． ①任何非零数的圈次方都等于； ②对于任何正整数，的圈次方都等于； ③； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (3)算一算：． 【答案】(1)， (2)①②④ (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数除法的应用 【分析】本题考查的是乘方、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． （1）利用定义及有理数的除法法则计算即可； （2）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可； （3）利用定义及有理数的除法法则计算逐项分析即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：，． （2）解：①任何非零数的圈次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于，正确； ②对于任何正整数，的圈次方表示的是个相除，都等于；正确； ③，，故，错误； ④负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确； 故答案为：①②④ （3）解：∵ ∴， ， ， ， ， ． 知识点十三 数字 / 图形规律探究 68．（24-25七年级上·安徽池州·期中）小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从1开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：探索以上等式的规律，解决下列问题： (1)__________； (2)完成第个等式的填空：（   ） (3)利用上述结论，计算． 【答案】(1)4 (2) (3)2400 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了规律探究，有理数的混合运算： （1）根据题目中的规律，写出答案即可； （2）根据题目中的规律，推论答案即可 （3）利用规律通式，代入计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 则第4个等式：； （2）解：由题意可得，； （3）解： ． 69．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）观察下面三行数： 第①行：2，，8，，32，，… 第②行：0，，6，，30，，… 第③行：，8，，32，，128，… (1)根据你发现的规律，分别写出每行数中的第7个数； (2)第②行中的数与第①行中的数有什么关系； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)每行数中的第7个数分别为128，126， (2)第②行数等于第①行相应数减去2 (3) 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律变化，根据题意找出各行之间数的变化规律是解题的关键． （）根据各数之间的关系找出规律即可； （）找出①②行之间对应数的规律即可； （）根据（）、（）中的规律求出各行的第个数，再求出其和即可. 【详解】（1）解：∵第①行第个数， 第①行第个数， 第①行第个数， 第①行第个数， 第①行第个数， 第①行第个数， ∴第①行第个数为， ∴第②行第个数为， ∴第③行第个数为， 故答案为：，，； （2）解：由数列可知，第②行数等于第①行相应数减去， 故答案为：第②行数等于第①行相应数减去； （3）解：由数列可知，第③行数等于第①行相应数乘以， 由（）可知，第①行第个数为， ∴第②行第个数为，第③行第个数为， ∴取每行中的第个数，这三个数的和为． 70．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）观察是数学抽象的基础．在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题： ， ， ；… (1)按规律填空： ①______； ②如果为正整数，那么______； (2)探究、计算的值； (3)由此拓展，计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索、归纳与类比 【分析】本题考查阅读理解，理解材料中的解法，采用裂项相消法计算是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）由材料中的解法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由材料中的解法： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 71．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，这是用棋子摆成的“T”字图案．从图案中可以看出，第1个“T”字图案需要5枚棋子，第2个“T”字图案需要8枚棋子，第3个“T”字图案需要11枚棋子． (1)照此规律，摆成第5个“T”字图案需要 枚棋子； (2)摆成第n个“T”字图案需要 枚棋子； (3)若有6077枚棋子能摆成“T”字图案吗？若能请求出是第几个“T”字图案，若不能请说明理由． 【答案】(1)17 (2) (3)能，是第2025个“T”字图案 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了图形类规律变化探究，代数式求值，根据所给图案找出规律是解题的关键． （）根据所给图案找出规律解答即可； （）根据所给图案找出规律解答即可； （）根据（）找出的规律计算即可； 【详解】（1）解：∵第1个“”字图案需要枚棋子， 第2个“”字图案需要枚棋子， 第3个“”字图案需要枚棋子， 第4个“”字图案需要枚棋子， ∴第5个“”字图案需要枚棋子， 故答案为：17； （2）解：∵第个“”字图案需要枚棋子， 第个“”字图案需要枚棋子， 第个“”字图案需要枚棋子， ， ∴第个“”字图案需要棋子的数量为， 故答案为：； （3）解：由得，n为正整数， ∴能摆成“T”字图案，是第2025个“T”字图案． 72．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律总结归纳即可求解； （3）先将乘法化为加法，再结合分配律进行简便运算即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：归纳可得：第n个等式：， 故答案为：； （3）解： ． ； 73．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，通过观察，小翰同学发现可以用这样的方法确定每个图形中小正方形的总个数：图（1）中有1个小正方形，图（2）中共有个小正方形，图（3）中共有个小正方形，回答下列问题． (1)根据前三个图中计算小正方形的总个数的方法和规律，则图（4）中计算小正方形个数的等式是：___________； (2)根据规律，图（45）比图（44）多_______个小正方形； (3)根据每个图中计算小正方形总个数的方法和规律，计算：． 【答案】(1) (2)352 (3)441 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）据前三个图形中小正方形个数的变化可找出变化规律即可求出结论； （2）根据各图形中小正方形个数的变化，可找出变化规律，第个图形中有小正方形的个数为个．后将代入即可求解； （3）利用（2）的规律即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； 故答案为：； （2）解：图（1）有个小正方形， 图（2）有个小正方形， 图（3）有个小正方形， 图（n）有个小正方形， 图（44）有个小正方形， 图（45）有个小正方形， ； 故答案为：352； （3）解：原式． 74．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）观察下列每个图形与其对应的等式之间的关系： 根据图形及其等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图形所对应的等式为： ； (2)第个图形所对应的等式为： ； (3)归纳上述规律，完成下列填空：设 ，则 ，所以 ． 【答案】(1) (2) (3)2026，2025，2024，2023，2026，2026 【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意写出第5个图形对应的式子即可； （2）观察可知第n个图形对应的式子最左边的被减数为，减数为，第一个等号后边和第二个等号前边的式子为，据此求解即可； （3）根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意得第5个图形所对应的等式为； （2）解：第1个图形所对应的等式为； 第2个图形所对应的等式为； 第3个图形所对应的等式为； 第4个图形所对应的等式为； ……， 以此类推可知，第n个图形所对应的等式为； （3）解：由（2）可知： ， ∴ ∴ ． 知识点十四 数轴综合（期中高频几何代数综合） 75．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作是数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段．例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；若，则的值为或． (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，． 【答案】(1)或，或 (2)①，；②或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等，正确理解题意是解题的关键． （1）由，可得或，，解之可得出的值；由，可得出或，解之可得出的值； （2）①根据题意，结合图中点在点的右侧，点在点的右侧，即可求解； ②先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出，进而列出方程，求解后即可得到值． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； ∵， ∴或， 解得或； 故答案为：或；或． （2）解：①∵点在数轴上表示的数是，，且点在点的右侧， ∴点在数轴上表示的数是； ∵点在数轴上表示的数是7，，且点在点的右侧， ∴点在数轴上表示的数是； 故答案为：，； ②∵线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，线段以个单位长度/秒的速度也向左匀速运动， 点在数轴上表示的数是；点在数轴上表示的数是7； 故运动时间为秒时， 点在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为， ∵， ∴根据题意列一元一次方程得，， 整理，得， 故或， 解得或． 76．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）【知识拓展】 学习绝对值的定义后我们知道，的意义是数轴上表示数a的点与原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数a与0两点之间的距离．这个结论还可以推广为的意义是数轴上表示数a与数b两点之间的距离． 对于数轴上的点P，Q，我们把点P与点Q两点之间的距离记作．例如，若表示数a的点是点P，表示数b的点是点Q，则． 【知识应用】 （1）若，则x的值为______． 【拓展延伸】 （2）如图，在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是8，若点B以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点C以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为t（）秒． ①当时，求t的值； ②当时，求t的值．    【答案】（1）2或4；（2）①t的值为9或17；②t的值为4． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查的知识点是数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，得出各点表示的数是解题关键． （1）根据题意理解的实际意义即可得解； （2）①先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出，由题意得到一元一次方程，求解后即可得到值； ②先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出、，由题意得到一元一次方程后求解即可． 【详解】解：（1）∵的意义为数轴上表示数与3的两点间的距离是， ∴或4； 故答案为：2或4； ①运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 由题意得， 整理得，， 解得：或， ∴t的值为9或17； ②运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 由题意得， 解得：或（舍去）， ∴t的值为4． 77．（25-26七年级上·安徽滁州·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴发现：在数轴上，为原点，点A,B表示的数分别是和，点在点的右边（即），则A,B两点之间的距离（即线段AB的长）可表示为． 【问题情境】如图1，数轴上点表示的数，点表示的数，线段的中点表示的数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． 【综合运用】根据“背景知识”和“问题情境”解答下列问题． (1)填空： ①A，B两点之间的距离________________，线段的中点表示的数____________． ②秒后，点表示的数为________________，点表示的数为____________．（用含的代数式表示） (2)求当为何值时，点运动到点，并求出此时点所表示的数． (3)若点向左运动到达点后，再立即以同样的速度返回点，点向右运动到达终点后，M，N两点都停止运动．在此运动过程中，当为何值时，M，N两点间的距离为4？ 【答案】(1)①；；②； (2) (3)或 【知识点】列代数式、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，列代数式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）①根据数轴上两点间的距离公式求解即可；②根据题意即可列代数式； （2）先求出点运动到点用时，即可求解所表示的数； （3）当点到达点时，此时；当点到达点时，则，解得；M，N两点相遇时，此时．再分类讨论求解． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：当点运动到点时，，解得，   此时点所表示的数为； （3）解：当点到达点时，此时； 当点到达点时，则，解得； M，N两点相遇时，此时． 当时，由M，N两点间的距离为4，得，解得； 当时，由M，N两点间的距离为4，得，解得； 当时，由M，N两点间的距离为4，得，解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，当或时，M，N两点间的距离为4． 78．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）【操作感知】如图，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处， （1）此时点和点分别表示的数为________，________，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时数轴上折痕表示的数为________． 【建立模型】（2）折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，此时数轴上折痕表示的数为________．（用含，的代数式表示）． 【问题解决】（3）若，，为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为，如果，，三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数． 【答案】（），，；（）；（）点表示的数为或或． 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，解一元一次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据中点坐标公式解答即可； （）根据中点坐标公式解答即可； （）分当到距离相等，即是中点时，当到距离相等，即是中点时，当是距离相等，即是中点时三种情况分析即可． 【详解】解：（）由题意得，此时点和点分别表示的数为，，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时数轴上折痕表示的数为， 故答案为：，，； （）由题意得，数轴上折痕表示的数为， 故答案为：； （）设点表示的数是， 当到距离相等，即是中点时，， 当到距离相等，即是中点时，，解得， 当是距离相等，即是中点时，，解得， 综上所述，点表示的数为或或． 79．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 【答案】(1)4，7； (2)①2；②；③或6； (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的意义、解绝对值方程等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． （1）直接在数轴上表示有理数以及数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①根据阅读材料中关于绝对值的阐述进行解答即可；②直接运用数轴上两点间的距离公式解答即可；③根据绝对值的意义求解即可； （3）根据绝对值的意义化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得点B表示的数为4； A和B两点之间的距离为． 故答案为：4，7． （2）解：①从形的角度来解释：5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为2； ②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为． 故答案为：． ③表示点a表示的点到的距离与到2的距离的和为13， 当时，，解得， 当时，，此时无解， 当时，，解得， 综上所述：或6． 故答案为：或6． （3）解：∵动点M在A和B两点之间运动， ∴， ∴． 80．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 【答案】(1)，，； (2)当运动到第次时，点到达点； (3)第次运动点对应的数为． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、多项式的项、项数或次数、数字类规律探索 【分析】（）根据是关于的二次多项式，且二次项系数为，可得，，再根据数轴上的两点的距离，即可得到，两点之间的距离； （）首先求出前几次点P运动后表示的数，然后得到规律，进而求解即可； （）根据（）得到的规律求解即可； 本题考查了多项式的概念，数字类规律问题，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为， ∴，， ∴， ∴，两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； ， ∴当第次运动时，点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∵点在点A的右边，则点P需要经过偶数次运动，又点B对应的数为， ∴， ∴， ∴； ∴当运动到第次时，点到达点； （3）解：由（）中的规律点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∴第次运动点对应的数为． 81．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)求 ； (2)有一个玩具火车放置在数轴上，如图1所示，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为 个单位长度； (3)在（2）的条件下，当火车以每秒单位长度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)3 (3)存在，，此时值为 【知识点】整式加减中的无关型问题、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键． （1）根据得，计算即可． （2）设表示的数为表示的数为，小火车的长度为，根据题意，建立方程计算即可． （3）设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点P表示的数是，继而表示，代入化简，令的系数为零计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：设A表示的数为，B表示的数为，小火车的长度为l， 根据题意，得， ∴， ∴， 解得， 即玩具火车长3个单位长度， 故答案为：3． （3）解：存在，，此时值为， 理由如下： 设玩具火车运动的时间为t秒， ∴， 根据题意，得到点Q表示的数是，点P示的数是， ∴， ∴ ， ∵常数k使得的值与它们的运动时间无关， ∴， 解得， 故， 故当时，常数k使得的值与它们的运动时间无关，此时值为． 知识点十五 含参数方程（中档拉分） 82．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程与有相同的解，求的值． 【答案】的值为 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】解关于的方程与，利用解相同得到关于的方程，解此方程 即可求出的值． 【详解】解：由， 得 由， 得 两个方程的解是相同的， ， 解得 故的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 83．（25-26七年级上·安徽淮北·期中）若关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)解这个一元一次方程． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】判断是否是一元一次方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查一元一次方程的定义， （1）根据一元一次方程的定义列得，且，由此求出m的值； （2）根据移项，系数化为1的步骤解方程 【详解】（1）根据题意可知，且， 由得：或， ，即， ； （2），则原方程为， ，解得：． 84．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）某同学在解关于x的方程时，误将方程右边的“1”看成了“－1”，得到方程的解为． (1)求m的值； (2)正确地求出该方程的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答； （2）把代入原方程，再按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：把代入方程中，得， 解得：； （2）解：把代入方程中，得， ， ， ， 解得：． 85．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称为这两个方程为“致真方程”．如方程和为“致真方程”． (1)若关于的方程与方程是“致真方程”，求的值； (2)若关于的方程和是“致真方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2)方程的解为，方程的解为 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握“致真方程”的定义． （1）根据解一元一次方程的步骤，可用表示出方程的解，再解出方程的解，最后结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于的方程，解出的值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，可用表示出两个方程的解，结合“致真方程”的定义和相反数的定义，可得出关于的方程，解出的值即可． 【详解】（1）解： ； ； ∵方程与方程是“致真方程”， ∴， 解得． （2）解： ； ； ∵方程和是“致真方程”， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 则， ， 故方程的解为，方程的解为． 86．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则该方程为“友好方程”． (1)在方程①；②；③中，为“友好方程”的是________；（填写序号即可） (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】此题主要考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解题的方法，结合题目中“友好方程”的概念，是解题的关键； （1）先求出一元一次方程的解，再检验方程的解是否满足“友好方程”的概念，即可判断求解； （2）先表示出含参数的一元一次方程的解，利用“友好方程”的条件，即可列出等式，求得参数的值； （3）根据已知方程的解，代入方程，求得m的值，再结合方程是“友好方程”，列出等式，即可求得n的值． 【详解】（1）解：①，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； ②，解得：， 因为， 所以该方程是“友好方程”； ③，解得：， 因为， 所以该方程不是“友好方程”； 故答案为：② （2）解：，解得： 因为关于的一元一次方程是“友好方程”， 所以， 解得：； （3）解：因为的一元一次方程的解为， 所以， 因为， 所以， 因为一元一次方程是“友好方程”， 所以， 所以， 解得：．知识点十 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $