专题01 整式中化简求值问题有关的七种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01整式中化简求值问题有关的七种模型 题型归纳 题型一利用同类项的定义求解 题型二整式加减中含括号及括号前有系数 题型三整式加减中的化简求值 题型四整式加减运算中错解复原问题 题型五整体代入求代数式的值 题型六整式加减中的新定义型问题 题型七整式加减应用中图形面积的问题 题型专练 题型一：利用同类项的定义求解 1.(26-27七年级上全国期中)若-xy与3x2是同类项，则n的值是 1 2. (25-26七年级上四川成都期末)若单项式-6y1与3"y的和仍为单项式，则mm的值是 3.(25-26七年级上河北保定期末)如果单项式2"y与2y是同类项，那么7的值为一 4.(25-26七年级上湖南常德期未)如果单项式-xy2与xy“是同类项，则n”=一. 5。(25-26七年级下安徽蚌埠期中)若单项式写06与-36，的和仍为单项式，则m+n的平方根是 题型二：整式加减中含括号及括号前有系数 6.(25-26七年级上四川眉山期中)计算： (1)4x-3x-1)+2(x+2). 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)5(a2b-3ab2)-2(a2b-7ab2)-(a2b+2ab). 7.(25-26六年级上山东威海·期末)计算： (①)2a-b-(2b-3a）-2(a-2b)； (2)6ab+5ab2-3(2a2b+ab2-1】 8.(25-26七年级上河南洛阳期末)化简： (1)(-2ab+3a)-2(2a-b)+2ab: a2r-+3-4-r+: 9.(25-26七年级上浙江杭州·期末)计算： (四)2+(x-3). (22(x-3x2）-(3x2-x). g5-3g+2x)3r-9 10.(2026七年级上四川南充专题练习)化简： (①2(3a2-ab)-(3a2-2ab): (2)7a+3(a-3b)-2b-3a) (3)43a2b-ab2）-2(3ab2-a2b)-14a2b 2-y+[x+e-4wr) 题型三：整式加减中的化简求值 11.(26-27七年级上江苏宿迁期中)先化简，再求值：3(a2b-2ab-)-2(2db-3ab)+1,其中a=2, b=-1 12.（26-27七年级上四川期中)先化简，再求值.2+-(y-3g）-50,其中x=-hy= 3 13.(26-27七年级上吉林期中)先化简，再求值：2(xy+y)小-3(xy-y)-4ry,其中x=1,y=1. 14.(26-27七年级上内蒙吉期中)先化简，再求值：b-4a0)-2(b-小+2a成，其中a=-2 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b=1. 15.627七年签上资州斯)先化简，再求值2+2g-322+2y3)其中x1 y=-2」 题型四：整式加减运算中错解复原问题 16.(25-26七年级上·山西大同期末)下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任 务 (2a2b-5ab)-2(ab-a2b) =2a2b-5ab-2ab-2a2b.…第一步 =2a2b-2a2b-5ab-2ab…第二步 =-7ab.…第三步 任务： (1)以上步骤第 步开始出现错误，错误的原因是 (②)请你进行正确化简.并求当a=2,b=-3时，式子的值 17.(25-26七年级上江西萍乡期末)下列是小明化简整式-(5m-m)小-[3mm-2(m+m的过程，在 对照答案后，他发现自己做错了， 解：原式=-5m2+mn-(3mn-2m2上mm）…第①步 =-5m2+mn-(2mn-2m2）…第②步 =-5m2+mn-2mn+2m2.…第③步 =-3m2-mn…第④步 (1)他是从第 步开始出错的，错误的原因是 (2)请你写出正确的化简过程， 18.(25-26七年级上广东深圳期未)小杰化简代数式4+2x-8)-合x-的步骤如下： 44r+2x-8到-合x- =-x2+5x-2-5x-1.① 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =+(2-小@ =-x2-3 .③ (1)请你判断小杰的化简过程中开始出现错误的步骤是 (填序号) (2)请你写出正确的化简过程，并计算当x=1时该代数式的值. 19.(25-26七年级上江西吉安·期中)小明计算整式的加减的过程如下，按要求完成下列任务. 计算：52m3+m2-2）-2(5m2+m2-1 解：原式=10m3+5m2-10-10m2+2m2-2(第一步) =10m3-10m2+5m2+2m2-10-2(第二步) =7m2-12(第三步) (1)①以上步骤第一步是进行一，依据是一； ②以上步骤第步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解答过程，且当m=-2时，求该代数式的值， 20.(25-26七年级上·宁夏银川期中)阅读下面材料，并完成相应学习任务.晓彬同学在计算 2(ab2+3a2b)-3(ab+a2b)时，写出如下计算步骤： 2(ab2+3a2b)-3(ab2+a2b)=2ab2+6a2b-3ab2-3a2b第-步 =2ab2-3ab2+6a2b-3a2b 第二步 =(2ab2-3ab2）+(6a2b-3a2b)第三步 =ab2+3a2b第四步 任务一： 以上步骤第一步是进行 变形，此步骤的依据是 任务二： ①以上步骤中第 步出现了错误，正确的化简结果」 ②计算：当a=-1,b=2时，求该整式的值. 题型五：整体代入求代数式的值 21.(25-26六年级上：上海普陀·期末)【阅读材料】已知a2+2a=1,求代数式3a2+6a+2的值. 小普同学在做作业时采用的方法如下： 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意3a+6a+2=3(a+2a)+2=3x1+2=5,所以代数式3a2+6a+2的值为5. 【学以致用】 (1)当x2-2x=2,求代数式3x2-6r-1的值是 (2)当-x2+3x=-1时，求代数式2x2-6x+2的值是： (3)当x2-2y+y2=20,y-y=6时，求代数式x2-5y+4y的值。 22.(25-26七年级上·吉林长春·期中)运用整体思想在代数式求值中经常会用到. 例如：已知ad2-a=1,则代数式2a2-2a+4=2(a2-a)+4=2x1+4=6 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若m2-2m=4,则2+2m-m2= (2)已知m2+2mn=3,n2+mn=6,则3m2+7mn+n2= (3)当x=-l,y=2时，代数式y-by2-1的值为4，则当x=ly=-2时，求代数式y-by2-1的值. 23.(25-26六年级上：山东淄博期末)有这样一道题“如果代数式5a+3b的值为-4，那么代数式 2(a+b)+4(2a+b)的值是多少？”爱动脑筋的小伟的解题过程如下： 原式=2a+2b+8a+4b=10a+6b-2(5a+3b)=2×(-4)=-8 小伟把5+3b作为一个整体求解.整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方 法，完成下面问题： (1)已知a2+a=3,求代数式2a2+2a+2023的值： (2)已知a-2b=-3,求代数式3(a-b)-7a+1b+2的值： (3)已知a2+2ab=-5,ab-2b2=-3,求代数式3a+4ab+4的值. 24.(25-26七年级上山东济宁·期末)【阅读理解】 已知代数式x2+x+3的值为9，求代数式2x2+2x-3的值. 小明采用的方法如下： 解：由题意得，x2+x+3=9 则有，x2+x=6. 所以2x2+2x-3 =2(x2+x)-3 =2×6-3 =9」 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以代数式2x2+2x-3的值为9. 【方法运用】 (1)若x2+x=-2,则代数式x2+x+3的值为 (2)若代数式x2+x+1的值为12，求代数式-2x2-2x+2025的值： 【拓展应用】 (3)若x2+3y=-3,y-y2=-5,求代数式3x2+8y+y2的值. 25.(25-26七年级上四川乐山期末)“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化 简与求值中应用较为广泛.以下是老师安排的作业题， 代数式x2+x+3的值为7，则代数式2x2+2x-3的值为 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： x2+x+3=7, x2+x=4, 2x2+2x-3=2(x2+x-3=2×4-3=5. 代数式2x2+2x-3的值为5. 方法运用： (1)若代数式x2-2x-1=2,则代数式2x2-4x+5=一 (2)当x=2时，代数式ax+bx+4的值为11，求当x=-2时，代数式ax3+bx+3的值： 拓展运用： 1 (3)已知8a-26=6’x=-4'y=2,求x-8My+2025的值： (4)已知a-2b=7,2b-c的值为最大负整数，求3a+4b-2(3b+c)的值. 题型六：整式加减中的新定义型问题 26.(25-26七年级上山西吕梁期中)对于两个整式A和B,我们定义一种新运算“@”： A@B=2A-B.例如：若A=x,B=1,则A@B=2x-1,根据以上定义，解答下列问题： (I)若M=2x-3,N=x+1,求M@N, (②)若P=c-2(其中k为常数)，且P@x的运算结果不含x的一次项，求k的值. 27.(25-26七年级上广东惠州期末)定义：若a+b=2,则称a与b是关于2的友好数： 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)3与」 是关于2的友好数； (②若c=2-4x,d=x-2(x2-2x-),判断c与d是否关于2的友好数，并说明理由. 28.(25-26七年级下·辽宁期中)我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对 消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”.如M=2x2-x+6与N=-22+x-1互为对消多项式”，它 们的“对消值”为5. ()下列各组多项式互为“对消多项式”的是 (填序号)： ①3x2+2x与3x2+2:②x-6与-x+2:③-5x2y+2y与5x2y-2y-1: (②)多项式A=(x-a与多项式B=bx+2x-b(a,b为常数)互为“对消多项式”，求它们的“对消 值”. 29.(25-26七年级上四川成都期中)定义：若2a-b=m,则称a是b关于数m的“协同数”.比如当 a=5,b=3时，2×5-3=7，则5是3关于7的“协同数”；当a=2,b=-1时，2×2-(-)=5，则2是 -1关于5的“协同数”. (1)若a=1,b=-1,则a是b关于的“协同数”；若a=-3x+5,则它是关于5的“协同 数”. (②)现有a=2x2+3x-k,它始终是b=2(2x+c-5)(k为常数)关于数m“协同数”，求m的值 30.(25-26七年级上·河南南阳期末)新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于x,y的多项式，如果把其中x,y互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关 于x,y的二元对称多项式.如x+y,x+3y+y都是关于x,y的二元对称多项式。 定义2：若多项式组[4，B,C(A,B,C是关于x,y的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式C是二元对称多项式： ②整式A,B通过加减运算后可得到整式C,我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”， 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于x,y的三次四项式：②它不能合并同类项： ③按照x的降幂排列： ②判断@[2x2-y-y,r2-y-2y,x+y2],②[-x2+y+y,2y+2y,x+y+y2]能否成为“二元对称 关联式”，说明理由 ③)若[4y+y,2-2y+y]是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型七：整式加减应用中图形面积的问题 31.(25-26七年级上·山东聊城阶段检测)为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图 如图中阴影部分所示)· 2n m 2m (I)用含m,n的式子表示广场（阴影部分）的周长C (2)若m=30米，n=20米，广场面积S=7mn,已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用W 的值. 32.(25-26七年级下江苏徐州期中)如图，某小区有一块长为(2a+3)米、宽为3b米的长方形空地，小 区管理部门在空地的一角规划了一个长为(a+2)米、宽为b米的小长方形花园。 2a+3 3b a+2 (I)请用含a,b的式子表示图中阴影部分的面积S.(用代数式表示并化简) (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若a=8,b=4,预计每平方米地砖的价格 是50元，求购买所需地砖的费用. 33.(24-25七年级上·山西临汾期末)“囧”像一个人脸郁闷的神情.如图，边长为a的正方形纸片，剪 去两个一样的小直角三角形（阴影部分）和一个长方形（阴影部分）得到一个“囧”字图案.设剪去的两 个小直角三角形的两直角边长分别为x、y,剪去的小长方形长和宽也分别为x, 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q (I)用含a、x、y的式子表示“囧”的面积： (2)当a=12,x=5,y=3时，求该图形面积的值. 34.(25-26七年级下·河北石家庄期末)现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张.已知甲卡片是边长为 a的正方形，乙卡片是宽为2，长为a的长方形，丙卡片是边长为2的正方形，如图1所示(a>2).嘉嘉分 别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S,S. Q 甲 乙 丙丙 乙乙 乙 乙 丙 图1 图2 图3 ()请用含a的式子分别表示S= S2= (2)当a=4时，分别求S,S2的值： (3)比较S与S2的大小，并说明理由. 35.(25-26七年级下广东茂名期末)项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜.现需设计一套 灌溉系统。 【任务规划】基地长为a米，宽为b米.计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干 条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域。 D 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形ABCD,AD=BC=a,AB=CD=b.在AB和CD边上铺设主 管道.从AD边开始(AD不用安装)，每间隔d米安装一条与AD平行的支管道(d为正整数)，直到 BC边，恰好将基地完全覆盖. 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解决问题】 (I)请用含a,b,d的代数式表示需要的支管道总条数n. (②)已知a=18,b=30,d=3.求n的值，并计算所有支管道的总长度。 (3)预算主管道每米成本20元，支管道每米成本10元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5 元)（固定装置成本仅与支管道条数有关）·总预算为C元， ①请推导C与4，b,d的数量关系式. ②当a=18,b=30,总预算C=3160元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由. 10/10 专题01 整式中化简求值问题有关的七种模型 题型一 利用同类项的定义求解 题型二 整式加减中含括号及括号前有系数 题型三 整式加减中的化简求值 题型四 整式加减运算中错解复原问题 题型五 整体代入求代数式的值 题型六 整式加减中的新定义型问题 题型七 整式加减应用中图形面积的问题 题型一：利用同类项的定义求解 1．1 2．6 3． 4． 5． 题型二：整式加减中含括号及括号前有系数 6． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式     （2）解：原式 ． 7．（ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 8． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 10． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三：整式加减中的化简求值 11． 【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 12． 【答案】； 【详解】先根据式子，去括号，再合并同类项，最后代值即可． ； ∵，， ∴原式． 13． 【答案】，0 【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 14． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 15． 【答案】，3 【分析】先通过去括号、合并同类项化简原式，再将的值代入化简后的式子计算． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型四：整式加减运算中错解复原问题 16． 【答案】(1)一；去括号时符号错误，应化为 (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）去括号时符号错误，应化为； （2）先去括号，合并同类项，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：去括号时符号错误，应化为， 即以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时符号错误，应化为； 故答案为：一；去括号时符号错误，应化为； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 17． 【答案】(1)①；乘法对加法的分配律运用错误，没有乘 (2) 解：原式 ． 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解答的关键． （1）根据乘法对加法的分配律可得答案； （2）根据整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：根据小明的化简过程，发现第①步开始出错，乘法对加法的分配律运用错误，没有乘， 故答案为：①；乘法对加法的分配律运用错误，没有乘； （2）略 18． 【答案】(1)① (2)， 【分析】本题考查整式的化简，正确掌握整式的化简的步骤是解题的关键． （1）根据去括号法则即可求解； （2）根据去括号，合并同类项法则进行化简，把x的值代入即可求解． 【详解】（1）解： ， 步骤①去第二个括号时，第二项应为“+”； 故答案为：①； （2）原式 ， 当时，原式． 19． 【答案】(1)①去括号，乘法分配律；②一，去括号时，第二个括号内的各项没有正确乘以，符号错误 (2)，4 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，化简求值，解题的关键是掌握整式加减运算的法则． （1）①根据去括号法则进行求解即可； ②根据去括号法则进行判断即可； （2）根据整式的加减法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解：①以上步骤第一步是进行去括号，依据是乘法分配律； 故答案为：去括号，乘法分配律； ②以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是第二个括号内的各项没有正确乘以，符号错误； 故答案为：一，去括号时，第二个括号内的各项没有正确乘以，符号错误； （2）解： 当时，代入上式得， 原式． 20． 【答案】任务一：去括号，乘法分配律；任务二：①四，；②10 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减法则是解题关键． 任务一：根据整式加减法则即可解答； 任务二：①根据整式加减法则，对每一步进行计算即可解答； ②把，的值代入即可求解． 【详解】解：任务一：根据整式加减法则可得第一步是去括号，此步骤的依据是乘法分配律； 故答案为：去括号，乘法分配律； 任务二：①， 所以第四步出错了，正确的化简结果是， 故答案为：四，； ②当， 时， 原式． 题型五：整体代入求代数式的值 21． 【答案】(1)5 (2)4 (3)2 【分析】此题考查了求代数式的值． （1）把原式变形后整体代入即可； （2）由得到，把原式变形后整体代入即可； （3）把已知条件整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：，， ． 22． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，将原式变形是解题关键 （1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）先把原式变形为，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴原式； （3）解：∵当，时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴当，时， ． 23． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值． （1）利用整体代入的思想代入计算即可； （）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可； （）整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 24． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 25． 【答案】（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 题型六：整式加减中的新定义型问题 26． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， （2）解：， 因为运算结果不含x的一次项，则x的一次项系数为零，即， 解得 所以，k的值为． 27． 【答案】(1) (2)是， 理由如下： 所以与是关于2的友好数． 【详解】（1）解：∵ ∴3与是关于2的友好数； （2）略 28． 【答案】(1)②③ (2) 【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”； ，和为常数，故②是“对消多项式”； ，和为常数，故③是“对消多项式”； （2）解：∵ ； ∵与互为“对消多项式”，和为常数， ∴， ∴ 解得， ∴，即它们的对消值为. 29． 【答案】(1)3， (2)4 【详解】（1）解：∵， ∴a是b的关于3的“协同数”； ∵， ∴； 故答案为：3，； （2）解：∵是关于数的m的“协同数”， ∴， 即 ， 即当时，，则， 所以当时，，有，始终是关于的“协同数”． 30． 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列； 故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 题型七：整式加减应用中图形面积的问题 31． 【答案】(1) (2)840000元 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 32． 【答案】(1) (2)9400元 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 33． 【答案】(1) (2)114 【详解】（1）解：“囧”的面积为：； （2）解：当，，时， “囧”的面积为： ． 34． 【答案】(1)； (2)； (3)解： 理由： ， ． 【详解】（1）解：， ； （2）解：当时 ， ； （3）略 35． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式中化简求值问题有关的七种模型 题型一 利用同类项的定义求解 题型二 整式加减中含括号及括号前有系数 题型三 整式加减中的化简求值 题型四 整式加减运算中错解复原问题 题型五 整体代入求代数式的值 题型六 整式加减中的新定义型问题 题型七 整式加减应用中图形面积的问题 题型一：利用同类项的定义求解 1．（26-27七年级上·全国·期中）若与是同类项，则的值是________． 【答案】1 【详解】解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数相同， ∴． 2．（25-26七年级上·四川成都·期末）若单项式与的和仍为单项式，则的值是__________． 【答案】6 【分析】本题考查同类项的定义，两个单项式的和仍为单项式，则这两个单项式是同类项，根据同类项中相同字母的指数相等，求出m、n的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴与是同类项， ∴由同类项的定义可知，相同字母的指数相等，即，， 解得，， 则， 故答案为：6． 3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如果单项式与是同类项，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题关键． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，据此列出关于和的方程并求解． 【详解】解：单项式与是同类项， 的指数相等，的指数相等， 即， 解得， 故． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·湖南常德·期末）如果单项式与是同类项，则______． 【答案】 【分析】本题考查了根据同类项的定义求字母指数中的参数的值，掌握同类项的定义是解题关键． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，即可求解． 【详解】解：与是同类项， ， ， ． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）若单项式与的和仍为单项式，则的平方根是_____． 【答案】 【分析】由题可知与是同类项，则，，求得，的值即可解答． 【详解】解：单项式与的和仍为单项式， 与是同类项， ，， 解得，， ， 的平方根是． 题型二：整式加减中含括号及括号前有系数 6．（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先去括号，然后合并同类项，即可求解； 【详解】（1）解：原式     （2）解：原式 ． 7．（25-26六年级上·山东威海·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是去括号和合并同类项． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 8．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）化简： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，核心知识点为去括号法则与合并同类项法则．去括号时，括号前是负系数的，需将系数乘到括号内每一项并改变对应项的符号；合并同类项时，仅将同类项的系数相加，字母及字母的指数保持不变． （1）先运用去括号法则去掉式子中的两个括号，再识别同类项并合并即可得到最简结果； （2）先将括号前的系数乘到括号内每一项完成去括号操作，再合并同类项化简式子． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 10．（2026七年级上·四川南充·专题练习）化简： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的加减混合运算． （1）先去括号，再合并同类项运算即可； （2）先去括号，再合并同类项运算即可； （3）先去括号，再合并同类项运算即可； （4）先中括号里小括号运算，再去括号运算，最后合并同类项运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三：整式加减中的化简求值 11．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 12．（26-27七年级上·四川·期中）先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【详解】先根据式子，去括号，再合并同类项，最后代值即可． ； ∵，， ∴原式． 13．（26-27七年级上·吉林·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 14．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 15．（26-27七年级上·贵州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】先通过去括号、合并同类项化简原式，再将的值代入化简后的式子计算． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型四：整式加减运算中错解复原问题 16．（25-26七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． (2)请你进行正确化简．并求当时，式子的值 【答案】(1)一；去括号时符号错误，应化为 (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）去括号时符号错误，应化为； （2）先去括号，合并同类项，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：去括号时符号错误，应化为， 即以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时符号错误，应化为； 故答案为：一；去括号时符号错误，应化为； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 17．（25-26七年级上·江西萍乡·期末）下列是小明化简整式的过程，在对照答案后，他发现自己做错了． 解：原式第①步 第②步 第③步 第④步 (1)他是从第________步开始出错的，错误的原因是_________； (2)请你写出正确的化简过程． 【答案】(1)①；乘法对加法的分配律运用错误，没有乘 (2) 解：原式 ． 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解答的关键． （1）根据乘法对加法的分配律可得答案； （2）根据整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：根据小明的化简过程，发现第①步开始出错，乘法对加法的分配律运用错误，没有乘， 故答案为：①；乘法对加法的分配律运用错误，没有乘； （2）略 18．（25-26七年级上·广东深圳·期末）小杰化简代数式的步骤如下： ………………① …………② ………………………………③ (1)请你判断小杰的化简过程中开始出现错误的步骤是___________；（填序号） (2)请你写出正确的化简过程，并计算当时该代数式的值． 【答案】(1)① (2)， 【分析】本题考查整式的化简，正确掌握整式的化简的步骤是解题的关键． （1）根据去括号法则即可求解； （2）根据去括号，合并同类项法则进行化简，把x的值代入即可求解． 【详解】（1）解： ， 步骤①去第二个括号时，第二项应为“+”； 故答案为：①； （2）原式 ， 当时，原式． 19．（25-26七年级上·江西吉安·期中）小明计算整式的加减的过程如下，按要求完成下列任务． 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)①以上步骤第一步是进行_____，依据是_____； ②以上步骤第_____步开始出现错误，错误的原因是_____． (2)请写出正确的解答过程，且当时，求该代数式的值． 【答案】(1)①去括号，乘法分配律；②一，去括号时，第二个括号内的各项没有正确乘以，符号错误 (2)，4 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，化简求值，解题的关键是掌握整式加减运算的法则． （1）①根据去括号法则进行求解即可； ②根据去括号法则进行判断即可； （2）根据整式的加减法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解：①以上步骤第一步是进行去括号，依据是乘法分配律； 故答案为：去括号，乘法分配律； ②以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是第二个括号内的各项没有正确乘以，符号错误； 故答案为：一，去括号时，第二个括号内的各项没有正确乘以，符号错误； （2）解： 当时，代入上式得， 原式． 20．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）阅读下面材料，并完成相应学习任务．晓彬同学在计算时，写出如下计算步骤：   第一步     第二步    第三步    第四步 任务一： 以上步骤第一步是进行______变形，此步骤的依据是______． 任务二： ①以上步骤中第______步出现了错误，正确的化简结果______． ②计算：当时，求该整式的值． 【答案】任务一：去括号，乘法分配律；任务二：①四，；②10 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减法则是解题关键． 任务一：根据整式加减法则即可解答； 任务二：①根据整式加减法则，对每一步进行计算即可解答； ②把，的值代入即可求解． 【详解】解：任务一：根据整式加减法则可得第一步是去括号，此步骤的依据是乘法分配律； 故答案为：去括号，乘法分配律； 任务二：①， 所以第四步出错了，正确的化简结果是， 故答案为：四，； ②当， 时， 原式． 题型五：整体代入求代数式的值 21．（25-26六年级上·上海普陀·期末）【阅读材料】已知，求代数式的值． 小普同学在做作业时采用的方法如下： 由题意，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)当，求代数式的值是______； (2)当时，求代数式的值是______； (3)当，时，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2)4 (3)2 【分析】此题考查了求代数式的值． （1）把原式变形后整体代入即可； （2）由得到，把原式变形后整体代入即可； （3）把已知条件整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：，， ． 22．（25-26七年级上·吉林长春·期中）运用整体思想在代数式求值中经常会用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则___________； (2)已知，则___________； (3)当时，代数式的值为4，则当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，将原式变形是解题关键 （1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）先把原式变形为，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴原式； （3）解：∵当，时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴当，时， ． 23．（25-26六年级上·山东淄博·期末）有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的小伟的解题过程如下： 原式 小伟把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值． （1）利用整体代入的思想代入计算即可； （）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可； （）整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 24．（25-26七年级上·山东济宁·期末）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 解：由题意得，． 则有，． 所以 ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则代数式的值为_____； （2）若代数式的值为12，求代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）2003；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）直接利用整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 25．（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 题型六：整式加减中的新定义型问题 26．（25-26七年级上·山西吕梁·期中）对于两个整式A和B，我们定义一种新运算“@”：．例如：若，，则．根据以上定义，解答下列问题： (1)若，求． (2)若（其中k为常数），且的运算结果不含x的一次项，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及解一元一次方程， （1）根据新定义运算进行整式的加减运算求解即可； （2）根据新定义运算，以及整式加减运算进行化简，然后求解解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解：， 因为运算结果不含x的一次项，则x的一次项系数为零，即， 解得 所以，k的值为． 27．（25-26七年级上·广东惠州·期末）定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与__________是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否关于2的友好数，并说明理由． 【答案】(1) (2)是， 理由如下： 所以与是关于2的友好数． 【分析】此题考查了有理数的加法运算，整式的加减运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据有理数的加法法则求解即可； （2）根据题意计算的值，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵ ∴3与是关于2的友好数； （2）略 28．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】（1）判断和是否为常数即可得到结果； （2）根据和为常数，可知所有含未知数项的系数均为0，求出的值后计算常数项即可得到对消值. 【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”； ，和为常数，故②是“对消多项式”； ，和为常数，故③是“对消多项式”； （2）解：∵ ； ∵与互为“对消多项式”，和为常数， ∴， ∴ 解得， ∴，即它们的对消值为. 29．（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：若，则称a是b关于数m的“协同数”．比如当，时，，则5是3关于7的“协同数”；当，时，，则2是关于5的“协同数”． (1)若，，则a是b关于_______的“协同数”；若，则它是_______关于5的“协同数”． (2)现有，它始终是（k为常数）关于数m“协同数”，求m的值． 【答案】(1)3， (2)4 【分析】本题主要考查了用代数式表示，整式加减的无关性问题， 对于（1），根据“协同数”的定义解答； 对于（2），根据“协同数”的定义得，再令，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴a是b的关于3的“协同数”； ∵， ∴； 故答案为：3，； （2）解：∵是关于数的m的“协同数”， ∴， 即 ， 即当时，，则， 所以当时，，有，始终是关于的“协同数”． 30．（25-26七年级上·河南南阳·期末）新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式)中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)请你写出一个满足下列条件的二元对称多项式：①它是关于，的三次四项式；②它不能合并同类项；③按照的降幂排列． (2)判断①，②能否成为“二元对称关联式”，说明理由． (3)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式A． 【答案】(1)(答案不唯一)； (2)①能成为“二元对称关联式”；②能成为“二元对称关联式”； (3)，，； 【分析】本题考查新定义下的多项式的相关概念与整式加减运算，核心是理解两个定义：二元对称多项式是将与互换后与原式完全相同的多项式；“二元对称关联式”需同时满足两个条件：①多项式是二元对称多项式；②整式与通过一次加法或减法运算可得到． （1）根据三次四项式、二元对称多项式的要求，构造满足与互换后不变、无同类项、按降幂排列的多项式即可； （2）对每个多项式组，先验证是否为二元对称多项式，再验证与能否通过加减运算得到； （3）利用“二元对称关联式”的条件，分、、三种情况列等式，求解对应的多项式． 【详解】（1）解：根据定义，构造多项式，该多项式是三次四项式，将与互换后结果与原式一致，且无同类项可合并，按降幂排列； 故答案为：(答案不唯一)． （2）解：①对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵， 即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组①能成为“二元对称关联式”； ②对于多项式组： ∵将中的与互换，得，与原式相同， ∴是二元对称多项式； 又∵，即与通过减法运算可得到， ∴该多项式组②能成为“二元对称关联式”； （3）解：已知是“二元对称关联式”，其中，，易知是二元对称多项式，分三种情况讨论： 情况1：若，则； 情况2：若，则； 情况3：若，则； 综上，符合条件的多项式为，，． 题型七：整式加减应用中图形面积的问题 31．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 33．（24-25七年级上·山西临汾·期末）“囧”像一个人脸郁闷的神情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形（阴影部分）和一个长方形（阴影部分）得到一个“囧”字图案．设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，． (1)用含a、x、y的式子表示“囧”的面积； (2)当，，时，求该图形面积的值． 【答案】(1) (2)114 【分析】（1）根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可； （2）把a、x、y的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：“囧”的面积为：； （2）解：当，，时， “囧”的面积为： ． 34．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为2，长为a的长方形，丙卡片是边长为2的正方形，如图1所示．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含a的式子分别表示________，________； (2)当时，分别求，的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)解： 理由： ， ． 【分析】（1）根据矩形的面积公式求解； （2）把代入（1）式即可； （3）根据作差法比较大小． 【详解】（1）解：， ； （2）解：当时 ， ； （3）略 35．（25-26七年级下·广东茂名·期末）项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $