专题02 规律探索题的三大类型（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦规律探索三大类型，通过式子、图形、数表变式训练，系统培养归纳推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |探索式子的变化规律|8题|考查单项式/多项式的系数、指数、符号变化规律|从具体式子到抽象通项，强化符号意识与抽象能力| |探索图形的变化规律|8题|涉及火柴棒、正方形、棋子等图形数量关系|通过图形直观感知数量变化，发展几何直观与推理意识| |探索数表中的规律|8题|涵盖日历、幻方、程序输出等数表结构|从数表行列关系提炼通用模型，培养数据意识与应用能力|

专题02 规律探索题的三大类型 题型一 探索式子的变化规律 题型二 探索图形的变化规律 题型三 探索数表中的规律 题型一：探索式子的变化规律 1．按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察已知单项式： 第个：； 第个：； 第个：； 第个：； ； ∴第个单项式为； 将代入得：． 2．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 3．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． 4．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设单项式的序号为（为正整数），拆分各部分找规律： ∵ ①字母的指数：第1个单项式指数为1，第2个为2，第3个为3...，可得第个单项式中的指数为 ②分数的分子：第1个分子为，第2个分子为，第3个分子为...，可得第个单项式的分子为 ③分数的分母：第1个分母为，第2个分母为，第3个分母为...，可得第个单项式的分母为 ∴ 第个单项式是 5．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将第一个单项式变形为，分别观察各部分规律： ∵第个单项式中，的指数等于序号； 系数的分子依次为，第个单项式系数的分子为； 系数的分母依次为，是连续奇数，第个单项式系数的分母为； ∴第个单项式为． 6．一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察给出的多项式： 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 第个多项式 ，的指数为：， 且每个多项式的第二项始终为， 第个多项式中，的指数为， 即第个多项式为． 7．有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 【答案】 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ， 可得规律，第个单项式中，分子为，分母为， 因此第个单项式为． 8．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 【答案】 【详解】解：将单项式拆分为符号、系数、的指数三部分分别找规律： （1）符号规律：第奇数个单项式符号为正，第偶数个单项式符号为负，因此符号可表示为； （2）系数绝对值规律：给出的系数绝对值依次为，相邻两数差为，可得第个系数的绝对值为； （3）的指数规律：给出的指数依次为，可得第个单项式中的指数为； 整合三部分可得，第个单项式为． 题型二：探索图形的变化规律 9．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（     ） A．56 B．57 C．63 D．64 【答案】B 【详解】解： ∵图案①需根火柴棒， 图案②需根火柴棒，， 图案③需根火柴棒，， 每增加一个图案，火柴棒根数增加根， 第个图案需火柴棒根数为， 当时，（根）． 10．下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是（   ） A．422 B．420 C．424 D．426 【答案】A 【详解】解：仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成， 分别为： 第一个图有：个， 第二个图有：个， 第三个图有：个， 第n个图有：个， 第20个图中阴影部分小正方形的个数是， 故选：A． 11．下列图形都是由几个灰色和白色的正方形按一定规律组成的，图①中有2个灰色正方形，图②中有5个灰色正方形，图③中有8个灰色正方形，图④中有11个灰色正方形……依此规律，图中灰色正方形的个数是（用含n的代数式表示，n为正整数）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图①中有个灰色正方形， 图②中有个灰色正方形， 图③中有个灰色正方形， 图④中有个灰色正方形， ∴图中灰色正方形的个数是：个灰色正方形． 故选C． 12．如图是用黑色棋子摆放而成的图案，其中第①个图中有3枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有11枚棋子，第④个图中有18枚棋子，…，按此规律，第个图案黑色棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意， 第一个图，得到棋子个数为； 第二个图，得到棋子个数为； 第三个图，得到棋子个数为； 第四个图，得到棋子个数为； 第个图，得到棋子个数为； 故选：B． 13．化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个和4个，第2个结构式中有2个和6个，第3个结构式中有3个和8个，按照此规律，则第个结构式中、的个数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵第1个结构式中有1个和个，第2个结构式中有2个和个，第3个结构式中有3个和个， ∴观察图形可得，第个结构式中，碳原子的个数为；氢原子的个数为； 因此，、的个数之和为； 故选：A． 14．相传大禹时期，洛阳市洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图①是我国古代传说中的洛书，图②是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图③、图④的幻方中也有类似于图②的数字之和的这个规律，若图④中，，，则整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图和图可得，图中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 15．找出图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．2019 B．2022 C．3029 D．3033 【答案】D 【详解】解：观察图形可知： 第1个图形中黑色正方形的数量是2， 第2个图形中黑色正方形的数量是3， 第3个图形中黑色正方形的数量是5， 第4个图形中黑色正方形的数量是6， … 发现规律： ∵当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量是个； 当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量是个， ∴第2022个图形中黑色正方形的数量是：（个）， 故选：D． 16．如图，下列图案均是由长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成，围成的每个小正方形面积为1 ，第一个图案面积为2，第二个图案面积为4，第三个图案面积为7，…依此规律，第8个图案面积为（     ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】D 【详解】解：第1个图案面积为， 第2个图案面积为， 第3个图案面积为， 第4个图案面积为， … ∴第n个图案面积为． ∴第8个图案面积为． 故选D． 题型三：探索数表中的规律 17．如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数至按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设方框中中间的数字为，则另外两个数分别为，或，， ∴三个数之和为或， ∴三个数之和为的倍数， 又∵， ， ， ， ∴方框中三个数的和可能是． 故选：B． 18．在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图，这是2025年10月份的月历表，我们用如图所示的四边形在表格中框出五个数． 若月历表七列保持不变，行数向下不断延伸，把按照原表格中数字的规律填入表格，则被四边形框出的五个数之和的最大值为（    ） A．10100 B．10090 C．10095 D．10085 【答案】B 【详解】解：由题知， 因为余 5 ， 所以数2025在周四这一列， 设四边形框中的最小的数是，则5个数分别为， 故四边形框中的5个数的和为， 所以当框出的最小数为，最大数为2025时，被四边形框出的五个数之和最大， 则， 所以被四边形框出的五个数之和的最大值为10090． 故选：B． 19．现在有一个无限大的表格，按照图的规律无限延伸．厦门双十中学郑瀚霖同学用“双十”形状图案在图中任意框选了9个数字，则框选中的数字和可能是（    ） A．1008 B．1009 C．1010 D．1011 【答案】A 【详解】解：设中间一行第3个数为x， 则由题意得选中的数字之和为： ， 即最后的结果必须是9的倍数， 四个选项中只有选项A符合题意． 故选：A． 20．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 【答案】 【详解】解：根据表格中给出的输入输出数据，可得各部分的规律均满足： 从第3项开始，每一项等于前两项的和. ① 系数规律：输入时， ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为； ，系数为. ② 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. ③ 的次数规律： ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为； ，的次数为. 综上，当输入时，输出结果为. 21．如左下图，我国宋代数学家杨辉创作了一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆（同心圆指的是圆心相同的圆）上各数之和相等．爱好幻方的同学模仿幻圆做出右下图，用2至10的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则的值是___________． 【答案】2 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故答案为：2． 22．在日历上，我们会发现其中某些数满足一些规律．如图是2024年元月份的日历，我们随机选择图中所示的方框部分，设左上角的数字为，则方框内的四个数字的和用代数式可表示为________． 【答案】 【详解】解：由图可知：这四个数分别为：x，，，， ∴这四个数的和． 故答案为：． 23．综合与实践 规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 2 5 ．．． ．．． 8 5 2 ．．． (1)【初步感知】根据表中信息可知：___________，___________； (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3．类似地，代数式的值的变化规律是什么？ (3)【拓展应用】当的值每增加2时，猜想代数式的值会怎样变化？请对你的猜想进行验证． 【答案】(1)； (2)的值每增加1，的值就减少3 (3)的值每增加2时，代数式的值减少10， 证明：当时，； 当时，； ， 当的值每增加2时，代数式的值减少10． 【详解】（1）解：，； 故答案为：； （2）解：由数据可知：的值每增加1，值就减少3； （3）略 24．数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)；；；0 (3)选择A；的值均为0，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为0． 选择B；的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则， 无论移动到哪，总有：，，， ∴． （2）解：设，根据题意得：，，， ∴，， ∴． （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 规律探索题的三大类型 题型一 探索式子的变化规律 题型二 探索图形的变化规律 题型三 探索数表中的规律 题型一：探索式子的变化规律 1．按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 4．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 5．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（    ）． A． B． C． D． 6．一组按规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（     ） A． B． C． D． 7．有一组单项式为x，，，……根据它们的规律，第n个单项式为________． 8．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 题型二：探索图形的变化规律 9．下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（     ） A．56 B．57 C．63 D．64 10．下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是（   ） A．422 B．420 C．424 D．426 11．下列图形都是由几个灰色和白色的正方形按一定规律组成的，图①中有2个灰色正方形，图②中有5个灰色正方形，图③中有8个灰色正方形，图④中有11个灰色正方形……依此规律，图中灰色正方形的个数是（用含n的代数式表示，n为正整数）（    ） A． B． C． D． 12．如图是用黑色棋子摆放而成的图案，其中第①个图中有3枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有11枚棋子，第④个图中有18枚棋子，…，按此规律，第个图案黑色棋子的个数为（   ） A． B． C． D． 13．化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个和4个，第2个结构式中有2个和6个，第3个结构式中有3个和8个，按照此规律，则第个结构式中、的个数之和为（   ） A． B． C． D． 14．相传大禹时期，洛阳市洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，大禹依此治水成功，遂划天下为九州．图①是我国古代传说中的洛书，图②是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图③、图④的幻方中也有类似于图②的数字之和的这个规律，若图④中，，，则整式是（   ） A． B． C． D． 15．找出图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．2019 B．2022 C．3029 D．3033 16．如图，下列图案均是由长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成，围成的每个小正方形面积为1 ，第一个图案面积为2，第二个图案面积为4，第三个图案面积为7，…依此规律，第8个图案面积为（     ） A．34 B．35 C．36 D．37 题型三：探索数表中的规律 17．如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数至按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（　　） A． B． C． D． 18．在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图，这是2025年10月份的月历表，我们用如图所示的四边形在表格中框出五个数． 若月历表七列保持不变，行数向下不断延伸，把按照原表格中数字的规律填入表格，则被四边形框出的五个数之和的最大值为（    ） A．10100 B．10090 C．10095 D．10085 19．现在有一个无限大的表格，按照图的规律无限延伸．厦门双十中学郑瀚霖同学用“双十”形状图案在图中任意框选了9个数字，则框选中的数字和可能是（    ） A．1008 B．1009 C．1010 D．1011 20．斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如表．按此规律，当输入10时，输出结果为________． 输入 … 输出 … 21．如左下图，我国宋代数学家杨辉创作了一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆（同心圆指的是圆心相同的圆）上各数之和相等．爱好幻方的同学模仿幻圆做出右下图，用2至10的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则的值是___________． 22．在日历上，我们会发现其中某些数满足一些规律．如图是2024年元月份的日历，我们随机选择图中所示的方框部分，设左上角的数字为，则方框内的四个数字的和用代数式可表示为________． 23．综合与实践 规律是数学研究的重要内容之一，初中阶段，数与式部分研究的规律主要是数字变化规律、符号（数）及其运算规律等方面． 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 2 5 ．．． ．．． 8 5 2 ．．． (1)【初步感知】根据表中信息可知：___________，___________； (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3．类似地，代数式的值的变化规律是什么？ (3)【拓展应用】当的值每增加2时，猜想代数式的值会怎样变化？请对你的猜想进行验证． 24．数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 规律探索题的三大类型 题型归纳 题型一探索式子的变化规律 题型二探索图形的变化规律 题型三探索数表中的规律 题型专练 题型一：探索式子的变化规律 1.D 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 8.(-1)(4n-1)x2m 题型二：探索图形的变化规律 9.B 10.A 11.C 12.B 13.A 14.D 15.D 16.D 113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：探索数表中的规律 17.B 18.B 19.A 20.89a2b68 21.2 22.4x+16 23.(1)-4:-4 (2)x的值每增加1，-3x+2的值就减少3 (3)x的值每增加2时，代数式-5x-1的值减少10， 证明：当x=a时，-5x-1=-5a-l: 当x=a+2时，-5x-1=-5a-11: -5a-11-(-5a-1)=-5a-11+5a+1=-10 ∴当x的值每增加2时，代数式-5x-1的值减少10. 【详解】(1)解：m=3×(-)-1=-4,n=-3×2+2=-4: 故答案为：-4；-4 (2)解：由数据可知：x的值每增加1，-3x+2值就减少3： (3)略 24.(1)0:0 (2)x+16:2x+16.2x+16:0 (3)选择A;(b+c)-(a+d)的值均为0，理由如下： 设a=x,则b=x+1,c=x+8,d=x+9, .(b+c)-(a+d)=(x+1+x+8)-(x+x+9)=2x+9-2x-9=0. :.(亿+c)-(a+d)的值均为0. 选择B:(b+c)-(a+d)的值均为-5，理由如下： 设a=x,则b=x+2,c=x+8,d=x+15, .(b+c)-(a+d)=(x+2+x+8)-(x+x+15)=2x+10-2x-15=-5. 213 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.(b+c)-(a+d)的值均为-5. 【详解】(1)解：(10+22)-(8+24)=32-32=0. 567 将 的方框移动到图1中的其他位置，如121314，则 3×3 192021 (7+19)-(5+21)=26-26=0' 无论移动到哪，总有：b=a+2,c=a+14,d=a+16, .(b+c)-(a+d)=(a+2+a+14)-(a+a+16)=0 (2)解：设a=x,根据题意得：b=x+2,c=x+14,d=x+16, .b+c=2x+16,a+d=2x+16, :.(b+c)-(a+d)=(2x+16)-(2x+16)=0. (3)略 313