单元集训卷43 概率、随机变量及其分布(基础)-2027年高考数学一轮复习

单元集训卷43　概率、随机变量及其分布(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三下·福建宁德·期末）根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%．利用计算机产生1到5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2，3，4，5时，表示不下雨，产生20组随机数： 435  451  132  533  224  344  151  231  424  142 412  414  335  312  123  233  314  254  353  442 据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【分析】由题意知经随机模拟产生的20组随机数中表示三天中至少有1天下雨的可以通过列举得到共10组随机数，根据概率公式得到结果. 【详解】20组随机数中三天中至少有1天下雨的有 451，132，151，231，142，412，414，312，123，314，共10组随机数， 所以这三天中至少有1天下雨的概率为. 故选：. 2．（25-26高三下·陕西西安·期末）若离散型随机变量的分布列如下，则（     ） A．0.7 B．0.8 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量性质建立方程求解参数，再结合对立事件概率性质求解. 【详解】由离散型随机变量分布列的所有概率之和为1，可得， 解得，即. 所以. 3．（26-27高三上·广东江门·阶段检测）某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设6盒牛奶依次编号为1、2、3、4、5、6，规定1、2为中奖牛奶； 从6盒中随机抽取2盒，所有可能的组合为，，，，，，，，，，，，，，，共有15种抽取方法，其中能中奖的组合为，，，，，，，，，共有9种抽取方法；则能中奖的概率. 4．（2026·广东广州·模拟预测）某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 【答案】D 【分析】结合正态分布的对称性，将所求区间的概率拆分为两个已知概率对应的对称半区间概率之和求解. 【详解】 . 5．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（     ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.82 【答案】D 【分析】由全概率公式及互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】记事件表示：“选取的花卉处于水肥适宜土壤”， 事件表示：“选取的花卉处于干旱缺水土壤”， 事件表示：“选取的花卉正常开花”， 则有, , , 所以 . 6．（25-26高三下·吉林·期末）超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记事件“任意购买一件买到优品”，事件“买到甲工厂的产品”，事件“买到乙工厂的产品”， 则，， 所以买到优品的概率． 7．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的期望与方差公式以及性质分析计算即可. 【详解】设甲答对的题数为随机变量， 由题意可知服从的二项分布，即， 所以， 因为每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分， 所以甲最后的得分， 所以， . 8．（2026·广东深圳·模拟预测）一个袋子中装有大小形状相同的2个红色球、2个黄色球、2个白色球，1个黑球，从中一次性摸出3个球，记：摸出一个红色球记0分，摸出一个黄色球记1分，摸出一个白色球记2分，摸出黑色球记分，三个球总得分为，则（     ） A．当“”时，一定没有摸到黄球 B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当“”时，可能出现2个黄球，1个红球的情况，不正确． 对于B，当“”时，可能出现2红，1黄或2白，1黑， 故，不正确 对于C，当“”时， 可能出现2红，1黑；2黄，1黑；1红，1黄，1黑；1红，1白，1黑；1黄，1白，1黑． 故，不正确． 对于D，每摸出1个球得分期望为，故，正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·四川遂宁·阶段检测）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件. 对于A：，A正确； 对于B：， 则，因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C：，C错误； 对于D：当摸出的两张卡牌编号为时，事件与事件同时发生，因此事件与事件不为互斥事件，D错误. 10．（25-26高三下·宁夏银川·期末）从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 【答案】AD 【分析】依据互斥事件、对立事件的定义，逐一判断各选项中两个事件的关系即可. 【详解】对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”对应两个白球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故A正确； 对于B：“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都对应一红一白，是同一事件，可同时发生，不互斥，故B错误； 对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至多一个白球”即白球数小于等于，也包含一红一白、两个红球， 二者是同一事件，可同时发生，不互斥，故C错误； 对于D：“至多一个红球”即红球数小于等于，包含一红一白、两个白球，“都是红球”对应两个红球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确. 11．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）9月21日普宁一中在多功能会议厅举行了班主任能力大赛，共有 位男教师， 位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件 表示“第一位出场的是男教师”，事件 表示“第二位出场的是男教师”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，用分步乘法求积事件概率，依次计算第一位、第二位都是男教师的概率再相乘，得到P(AB)；对B，利用条件概率定义，既可在发生后的样本空间直接计数求概率，也可代入条件概率公式计算；对C，使用全概率公式计算第二位是男教师的概率，对比与判断命题对错；对D，有两种思路，一是找的对立事件（前两位都是女教师），用减去对立事件概率；二是直接套用概率加法公式计算. 【详解】对于A：表示前两位出场均为男教师的概率，分步计算：第一位是男教师的概率为， 去掉1位男教师后，剩余12人中第二位仍是男教师的概率为， 因此，A正确； 对于B：事件A发生后，剩余12位教师中有6位男教师、6位女教师， 因此第二位出场是男教师的条件概率， 也可通过条件概率公式，B正确； 对于C：，， 即，C错误; 对于D：利用对立事件简化计算，的对立事件是“前两位出场都是女教师”， 该事件概率为，因此， 也可通过概率加法公式，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三下·云南丽江·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，甲，乙两位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，任选一道灯谜，甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为____________． 【答案】 【分析】利用古典概型概率公式与独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】设甲、乙同学猜对一道题分别为事件，则, 则任选一道灯谜，甲，乙均猜对为事件,依题意，, 则甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为. 13．（25-26高三下·广东深圳·期末）某中学高三年级学生有1000人，在某次数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布，已知，则本次考试数学成绩大于135分的人数约为________． 【答案】 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，计算成绩大于分的概率，再乘以总人数得到对应人数. 【详解】由题意知，数学成绩，则正态分布曲线关于直线对称，因此， 已知，可得， 由于，即与关于对称， 结合正态分布的对称性可知， 因为正态分布是连续型分布，故，即， 已知高三年级总人数为，故数学成绩大于分的人数约为人. 14．（26-27高三上·云南·阶段检测）甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________． 【答案】 【分析】根据题意，求得甲比赛四局、五局、六局和七局获胜的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，若比赛四局，则甲赢的概率为； 若比赛五局，甲第五局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛六局，甲第六局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛七局，甲第七局赢，可得甲赢的概率为， 所以甲赢的概率为， 所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·广东茂名·阶段检测）已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个. (1)从中任取1个球，求取得红球或黑球的概率； (2)从中一次取2个球，试列出所有基本事件，并求至少有一个是红球的概率； (3)从中有放回地取2次球，每次只取一个球，求至少有一个是红球的概率. 【答案】(1)​ (2) (3)​ 【详解】（1）从6个球中任取1个球，共有6种等可能的取法，其中取得红球或黑球的取法有种； 由古典概型的概率公式得取得红球或黑球的概率． （2）将红球编号为、，黑球编号为、、，白球记为，用两个球的编号连写表示同时取出这两个球， 不计取球顺序，所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，， 共15种，且每种取法等可能； 其中“至少有一个是红球”包含，，，，，，，，，共9种； 故至少有一个是红球的概率为． （3）方法一：从6个球中有放回地取2次球，每次取1个，按两次取球的先后顺序记录结果，共有种等可能的取法． “至少有一个是红球”可分为两次都取到红球、第一次取到红球且第二次取到非红球、第一次取到非红球且第二次取到红球三种互斥情形， 分别有、、种取法，因此共有种取法，所以至少有一个是红球的概率为． 方法二：每取1个球都有6种取法，有放回地取2次，共有种等可能的结果； 考虑其对立事件“两次都没有取到红球”，每次取到非红球都有4种取法，故该事件包含种结果； 所以“至少有一个是红球”包含种结果； 所以至少有一个是红球的概率为． 16．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）甲袋中有个红色小球，个白色小球，乙袋中有个红色小球，个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率； (2)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”，事件为“两球颜色不同”，且事件与事件相互独立，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可； （2）设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，结合全概率公式可求得的值. 【详解】（1）设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”， 事件为“两球颜色不同”， 则，，且事件与事件相互独立，则， 所以 . （2）设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”， 则，，， 由全概率公式可知，取出的球为白球的概率为 . 17．（26-27高三上·广东江门·阶段检测）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害．现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下： 0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.82，0.82， 0.87，0.91，0.95，0.98，0.98，1.02，1.02，1.08，1.14，1.20， 1.20，1.26，1.29，1.31，1.37，1.40，1.44，1.58，1.62，1.68. (1)求上述数据的中位数、众数，并估计这批鱼该项数据的上四分位数； (2)有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼． （ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回．求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ⅱ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率． 【答案】(1)中位数：1；众数：；上四分位数：. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据中位数，众数，上四分位数的概念求值. （2）（ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式，分别计算两条鱼最终都在A池和B池的概率，再利用互斥事件概率的加法公式求值. （ⅱ）先求两条鱼从同一个小孔进入B池的概率，再利用对立事件求从不同小孔进入B水池的概率. 【详解】（1）因为这30个数已经按照从小到大的顺序排好， 所以该组数据的中位数是第15,16个数的平均数，为； 因为出现的次数最多，是3次，所以该组数据的众数为； 因为，所以该组数据的上四分位数是第23个数，为. （2）（ⅰ）先设：鱼1：初始A池，的概率进入B池，的概率留在A池. 鱼2：初始B池，的概率进入A池，的概率留在B池. 这两条鱼最终在同一水池分两种情况讨论： 情况1：都在A池，鱼1留在A池，鱼2进入A池，则； 情况2：都在B池，鱼1进入B池，鱼2留在B池，则. 且两种情况互斥，所以这两条鱼最终在同一水池的概率. （ⅱ）将两条鱼都放入A池中，则两条鱼都从第（）个小孔中进入B池的概率为：. 则两条鱼从同一个小孔进入B池的概率为： . 因为“两条鱼从同一个小孔进入B池”与“两条鱼由不同小孔进入B池”相互对立， 所以两条鱼由不同小孔进入B池的概率为. 18．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知甲、乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束．甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立 (1)求答完第一题甲得1分的概率 (2)求答完前两道题后两人各得1分的概率； (3)设随机变量为比赛结束时两人的答题总个数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列为： 【分析】（1）将“答完第一题甲得1分”分成两种情况：甲抢到且答对或乙抢到且答错，利用独立事件和互斥事件概率加法公式求解. （2）分“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件概率加法公式求解. （3）由题可知随机变量的取值为，由（2）求对应概率，列分布列，利用公式求期望. 【详解】（1）设事件为第道题甲得1分（），由题意，答完第一题甲得1分有两种情况：甲抢到且答对或乙抢到且答错， 所以. （2）由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得1分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”. 设事件为第道题乙得1分（），事件为答完前两道题后两人各得1分， 则. 所以事件与（）为对立事件，与（）相互独立，与互斥，所以， . （3）由题可知随机变量的取值为，所以 ， . 所以随机变量的分布列为： 所以. 19．（2027高三·全国·专题练习）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． (1)按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图及分层随机抽样的定义求出在上抽取的人数为6人，在上抽取的人数为3人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列； （2）利用频率分布直方图求出平均数，得出，利用正态分布的性质得出，再根据二项分布的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意，运动时间在的人数为， 运动时间在的人数为． 按照分层随机抽样共抽取9人， 则在区间内抽取的人数为， 在区间内抽取的人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 （2）由题意，，． ，． ， （或）， ． ． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷43　概率、随机变量及其分布(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三下·福建宁德·期末）根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%．利用计算机产生1到5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2，3，4，5时，表示不下雨，产生20组随机数： 435  451  132  533  224  344  151  231  424  142 412  414  335  312  123  233  314  254  353  442 据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6 2．（25-26高三下·陕西西安·期末）若离散型随机变量的分布列如下，则（     ） A．0.7 B．0.8 C．0.5 D．0.6 3．（26-27高三上·广东江门·阶段检测）某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东广州·模拟预测）某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 5．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（     ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.82 6．（25-26高三下·吉林·期末）超市的某商品从甲、乙两个工厂进货的数量分别占总数的，，且甲、乙两工厂此产品的优品率分别为，．若小明同学从该超市购买一件该商品，则该商品是优品的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）一个袋子中装有大小形状相同的2个红色球、2个黄色球、2个白色球，1个黑球，从中一次性摸出3个球，记：摸出一个红色球记0分，摸出一个黄色球记1分，摸出一个白色球记2分，摸出黑色球记分，三个球总得分为，则（     ） A．当“”时，一定没有摸到黄球 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·四川遂宁·阶段检测）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 10．（25-26高三下·宁夏银川·期末）从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（    ） A．至少一个红球；都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多一个红球；都是红球 11．（26-27高三上·广东揭阳·阶段检测）9月21日普宁一中在多功能会议厅举行了班主任能力大赛，共有 位男教师， 位女教师参加．现通过抽签决定出场顺序，记事件 表示“第一位出场的是男教师”，事件 表示“第二位出场的是男教师”，则（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三下·云南丽江·期末）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，甲，乙两位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，任选一道灯谜，甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为____________． 13．（25-26高三下·广东深圳·期末）某中学高三年级学生有1000人，在某次数学考试中，数学成绩X近似服从正态分布，已知，则本次考试数学成绩大于135分的人数约为________． 14．（26-27高三上·云南·阶段检测）甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三上·广东茂名·阶段检测）已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个. (1)从中任取1个球，求取得红球或黑球的概率； (2)从中一次取2个球，试列出所有基本事件，并求至少有一个是红球的概率； (3)从中有放回地取2次球，每次只取一个球，求至少有一个是红球的概率. 16．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）甲袋中有个红色小球，个白色小球，乙袋中有个红色小球，个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率； (2)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率； 17．（26-27高三上·广东江门·阶段检测）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害．现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下： 0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.82，0.82， 0.87，0.91，0.95，0.98，0.98，1.02，1.02，1.08，1.14，1.20， 1.20，1.26，1.29，1.31，1.37，1.40，1.44，1.58，1.62，1.68. (1)求上述数据的中位数、众数，并估计这批鱼该项数据的上四分位数； (2)有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼． （ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回．求这两条鱼最终在同一水池的概率； （ⅱ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率． 18．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知甲、乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束．甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立 (1)求答完第一题甲得1分的概率 (2)求答完前两道题后两人各得1分的概率； (3)设随机变量为比赛结束时两人的答题总个数，求的分布列和数学期望． 19．（2027高三·全国·专题练习）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． (1)按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $