随机变量及其分布（1）专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦随机变量及其分布核心考点，以题载法构建从概念辨析到综合应用的完整方法体系，强化知识逻辑与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（1/4/5）|事件独立性判断、分布性质辨析|从事件关系到随机变量定义，构建概率与变量的关联| |分布计算|4题（2/3/7/9）|分布列求法、期望方差公式应用|离散型变量→二项分布→数字特征，形成计算链条| |综合应用|2题（10/11）|频率分布直方图分析、全概率公式建模|从数据处理到实际问题，培养数学建模与数据分析能力|

随机变量及其分布（1） 一、单选题(每小题5分,共25分) 1．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． X -1 0 1 P 2.已知随机变量X的分布列如图，若Y=aX+3,E(Y)=,则a的值为(　 ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 3.口袋中装有编号分别为1,2,3的三个大小和质地完全相同的小球,从中任取两个球,记取出的球的最大编号为X,则D(X)= (　 ) A. B. C. D. 4．设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（     ） A．事件，不相互独立 B． C． D． 5. 下列命题中，错误的是(　　) A. 若随机变量ξ，η满足η＝3ξ－2，且D(ξ)＝3，则D(η)＝27 B. 设ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝30，D(ξ)＝20，则n＝90 C. 设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝－p D. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从二项分布，且E(X)＝8 二、多选题(每小题6分,共12分) 6.(2025·湖北七市联考)若小明坐公交上班的用时X(单位:分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位:分钟)分别满足X~N(30,62),Y~N(34,22),且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t=38分钟时相交,则下列说法正确的是(　　) A.P(X>38)<P(Y>38) B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36) C.若要在34分钟内上班不迟到,小明最好选择骑自行车 D.若要在34分钟内上班不迟到,小明最好选择坐公交 7.(2025·聊城模拟)将四个不同的小球,放入四个编号为1,2,3,4的盒子中,每个小球放入各个盒子的可能性都相等,设ξ表示空盒的个数,η表示1号盒子中小球的个数,则(　　) A.每个盒子中恰有1球的概率为 B.事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立 C.随机变量η的方差为 D.随机变量ξ的均值为 三、填空题(每小题6分,共12分) 8.[2025·天津部分区1月期末] 某种资格证考试,每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过,便可领取资格证书,不再参加以后的考试;否则就继续参加考试,直到用完3次机会.小王决定参加考试,若他每次参加考试通过的概率依次为0.5,0.6,0.7,且每次考试是否通过相互独立,则小王一年内领到资格证书的概率为　　　　,他在一年内参加考试次数的数学期望为　 　.  9. [2025辽宁一模]已知随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，其概率分布可用下图直观地表示，则D(X)＝________． 四、解答题(第10题13分，第11题15分，共28分) 10．某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分分），共有名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成、、、、五组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人，再从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内的概率. 11.[2025·湖南邵阳模拟] 某银行在贷款信用评估中,设定初始每个人是守信人的概率为0.5.经统计,守信人按时还款的概率是0.9,不守信人按时还款的概率是0.5.同时,银行制定了如下信用调整规则:若贷款人按时还款,则下一次评估时其为守信人的概率调整为0.6;若贷款人未按时还款,则下一次评估时其为守信人的概率调整为0.3.请回答以下问题: (1)随机选取一位贷款人,求其首次贷款按时还款的概率; (2)若某位贷款人首次贷款按时还款了,求该贷款人首次贷款时是守信人的概率; (3)该银行对同一初始贷款人进行两次贷款评估,记两次评估中按时还款的次数为X,求X的分布列与数学期望. 2027届数学一轮复习 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 随机变量及其分布（1）答案 1．C 2.A　 3.A　【详解】 由题意知,X的所有可能取值为2,3,则P(X=2)==,P(X=3)==,所以E(X)=2×+3×=,则D(X)=22×+32×-=,故选A. 4．D【详解】对于A，已知，即 ，所以， 因，所以事件，相互独立，A错误． 对于B，根据条件概率公式得，B错误． 对于C，，而，所以，C错误． 对于D，，． 根据条件概率公式，D正确． 5. D　【详解】对于A，D(η)＝32D(ξ)＝27，故A正确；对于B，E(ξ)＝np＝30，D(ξ)＝np(1－p)＝20，解得n＝90，p＝，故B正确；对于C，因为随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，所以正态密度曲线关于直线x＝0对称，则P(－1<ξ<0)＝P(0<ξ<1)＝－p，故C正确；对于D，不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布的定义知X服从超几何分布，且E(X)＝20×＝8，D错 6.BD 7.BCD 【详解】对于A选项,每个盒子中恰有1球的概率为=,A错; 对于B选项,记事件E为“1号是空盒”,事件F为“2号是空盒”,则P(E)=P(F)=,P(EF)==, 所以P(EF)≠P(E)·P(F),故事件“1号是空盒”与事件“2号是空盒”不独立,B对; 对于C选项,由题意可知η~B,故D(η)=4××=,C对; 对于D选项,由题意可知,随机变量ξ的可能取值有0,1,2,3, 则P(ξ=0)=,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==, P(ξ=3)==, 因此E(ξ)=0×+1×+2×+3×=,D对.故选BCD. 8. 0.94 　 1.7　 【详解】小王在一年内领到资格证书的概率为0.5+(1-0.5)×0.6+(1-0.5)×(1-0.6)×0.7=0.94.设小王在一年内参加的考试次数为X,则X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=0.5, P(X=2)=(1-0.5)×0.6=0.3, P(X=3)=(1-0.5)×(1-0.6)=0.2,所以数学期望E(X)=1×0.5+2×0.3+3×0.2=1.7. 9. 　【详解】由图可得X的可能取值为0，1，2，3，4，所以n＝4.因为P(X＝4)＝Cp4＝，所以p＝，所以D(X)＝np(1－p)＝4××＝. 10．【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 即，解得. 竞赛的平均成绩为分. （2）用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人，其中竞赛成绩在内的教职工人数为人，分别记为、、、， 竞赛成绩在的教职工人数为人，分别记为、， 样本空间为 ，则， 记事件从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内， 则，则， 故. 11. 【详解】(1)记事件A=“该贷款人首次贷款时为守信人”,事件B=“该贷款人首次贷款按时还款”,则P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.5.∵B=(BA)∪(B),且事件BA与事件B互斥, ∴P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.5=0.7. (2)由(1)得,P(A|B)= = = . (3)X的可能取值为0,1,2. 第一次按时还款的概率为0.7, 第一次按时还款后,第二次按时还款的概率为0.6×0.9+0.4×0.5=0.74, 第一次不按时还款后,第二次按时还款的概率为0.3×0.9+0.7×0.5=0.62,则P(X=2)=0.7×0.74=0.518,P(X=1)=(1-0.7)×0.62+0.7×(1-0.74)=0.368, X 0 1 2 P 0.114 0.368 0.518 P(X=0)=(1-0.7)×(1-0.62)=0.114,故X的分布列为 数学期望E(X)=0×0.114+1×0.368+2×0.518=1.404. $