第13章三角形中的边角关系、命题与证明 飞镖、风筝与对折模型 训练 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

八年级数学上册·几何模型专题讲 专题03　沪科版八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明飞镖、风筝与对折模型 三角形与四边形的交界处藏着几类经典图形：形如飞镖的凹四边形、形如风筝的凸四边形、两条线段交叉而成的"8"字形，以及折叠产生的翻角图形。这些图形的角度之间存在固定的大小关系，掌握之后，看似复杂的倒角问题往往可以一步到位。本讲依次介绍燕尾（飞镖）模型、风筝（鹰爪）模型与翻角模型，并梳理它们之间的联系。 命题趋势：三类模型常出现在选择、填空题的压轴位置，图形往往嵌在三角形、四边形或折叠背景中，要求先识别图形类型、再套用对应的角度定值关系，常与角平分线、折叠（轴对称）结合考查。 推导逻辑：燕尾模型靠"连接对角线＋两次内角和＋周角代换"；风筝模型靠"四边形内角和"把内角和转化成外角和；鹰爪（八字）模型靠"对顶角相等＋两次内角和"；翻角模型靠"折叠不改变角的大小＋平角为180°"。 核心素养目标： 1．经历燕尾、风筝、翻角三类模型结论的推导过程，体会转化化归与分类讨论的数学思想； 2．能在复杂图形中准确识别三类模型，并利用定值结论快速求角； 3．通过"内翻／外翻"等分类讨论，提升几何推理的严谨性与分类意识。 【目录】 【模型来源】 【知识储备】 【例讲模型】 　　模型1．燕尾（飞镖）模型 　　模型2．风筝（鹰爪）模型 　　模型3．翻角模型（折叠） 【模型拓展】 【易错总结】 【模型小结】 【模型运用】 【模型来源】 凹四边形（飞镖形）与交叉线段（"8"字形）是几何中两类基本的"非常规"结构：凹四边形在凹点处有一个"凹口角"，交叉线段产生对顶角。围绕这两类结构的角度定值关系，构成了倒角工具箱里使用频率最高的一组模型；折叠问题则把轴对称（折叠前后对应角相等）与倒角结合起来，是近年期末考试的高频题型。这三类模型的结论都可以在几分钟内现场推出，学习时重在理解推导、记牢结构。 【知识储备】 学习本专题前，请先复习以下基础知识： （1）三角形内角和定理与外角性质； （2）四边形内角和等于360°，周角等于360°； （3）对顶角相等； （4）折叠的性质：折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，折叠前后对应的角相等。 【例讲模型】 模型1．燕尾（飞镖）模型 凹四边形（飞镖形）中，凹点处的角等于其余三个角的和；由此还能推出两条角平分线夹角的两个定值结论。 【模型提炼与证明】 1）基本模型：燕尾（飞镖） 条件：如图1，在凹四边形ABCD中，顶点C是凹进去的顶点（四边形ABCD形如飞镖），∠C指图中由线段CB、CD所夹的角。 图1 结论：。 证明： 连接AC。 在△ABC中，（三角形内角和定理）； 在△ACD中，。 两式相加，得。 ∵（周角）， ∴。 口诀记忆："飞镖凹角大，三外角加加"——凹点处的角等于其余三个角的和；反过来，已知凹角也能求其余三角之和。 2）拓展1：两条"腰"上的平分线 条件：如图2，在凹四边形ABCD中，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，BO与DO交于点O。 图2 结论：。 证明： 在凹四边形OBCD中应用基本模型，得。 ∵BO平分∠ABC，DO平分∠ADC， ∴，， ∴。 又（基本模型）， ∴。 结论也可以记成"∠BOD=∠A＋½(∠ABC+∠ADC)"，两种形式完全等价，用哪个顺手就用哪个。 3）拓展2：顶角与凹角的平分线 条件：如图3，在凹四边形ABCD中，AO平分∠BAD，CO平分∠BCD，AO与CO交于点O。 图3 结论：。 思路点拨： 延长AO，设它与BC的延长线交于点E（辅助点，图中未画出）。 利用三角形内角和定理与外角性质，可得； 再代入基本模型，化简得。 当时，点O的位置左右对调，同理得。 故一般地，。 燕尾模型的三个结论可统一记忆：凹点角＝其余三角之和；两腰平分线的夹角＝（顶角＋凹角）的一半；顶角与凹角平分线的夹角＝两底角差的一半。 【模型运用】 【典例1】如图，在凹四边形ABCD中，∠B=30°，∠D=40°，则∠C−∠A的度数为______°。 【答案】70 【解析】 由燕尾模型，∠A+∠B+∠D=∠C，∴∠C−∠A=∠B+∠D=30°+40°=70°。 【典例2】如图，在凹四边形ABCD中，∠A=60°，∠C=140°，BO、DO分别平分∠ABC、∠ADC，则∠BOD的度数为______°。 【答案】100 【解析】 由拓展1，∠BOD=½(∠A+∠C)=½×(60°+140°)=100°。 【典例3】如图，在凹四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=50°，AO平分∠BAD，CO平分∠BCD，则∠AOC的度数为______°。 【答案】10 【解析】 由拓展2，∠AOC=½|∠ADC−∠ABC|=½×|50°−30°|=10°。 模型2．风筝（鹰爪）模型 风筝模型用四边形内角和转移外角，鹰爪（八字）模型用对顶角转移内角，两者都实现"角的跨三角形转移"。 【模型提炼与证明】 1）风筝模型 条件：如图1，在四边形ABOC中（形如风筝），∠1、∠2分别是顶点B、C处的外角（延长BA、CA得到）。 图1 结论：。 证明： ∵，（平角定义）， ∴。 ∵四边形ABOC的内角和为， ∴， ∴。 风筝模型把"两个内角的和"转化为"两个外角的和"，图形中出现外角时优先考虑它。 2）鹰爪（八字）模型 条件：如图2，线段AC与BD相交于点O，连接AB、CD。 图2 结论：。 证明： 在△AOB中，（三角形内角和定理）； 在△COD中，。 ∵（对顶角相等）， ∴。 "8"字形上下两对角的和相等——这是倒角中使用频率最高的模型之一，也常被称为"8字模型"。 【模型运用】 【典例1】如图，在四边形ABOC中，∠A=75°，∠O=85°，∠1、∠2分别是顶点B、C处的外角，则∠1+∠2的度数为______°。 【答案】160 【解析】 由风筝模型，∠1+∠2=∠A+∠O=75°+85°=160°。 【典例2】如图，线段AC与BD相交于点O，连接AB、CD。若∠A=55°，∠B=45°，∠C=70°，则∠D的度数为______°。 【答案】30 【解析】 由鹰爪模型，∠A+∠B=∠C+∠D，∴∠D=55°+45°−70°=30°。 【典例3】如图，在四边形ABOC中，∠1、∠2分别是顶点B、C处的外角。若∠1−∠2=20°，∠A+∠O=200°，则∠1的度数为______°。 【答案】110 【解析】 由风筝模型，∠1+∠2=∠A+∠O=200°。 又∠1−∠2=20°，两式相加得2∠1=220°，∴∠1=110°。 模型3．翻角模型（折叠） 折叠不改变角的大小，于是"平角"被折叠线分成两段，留下"和"或"差"的定值关系。 【模型提炼与证明】 1）内翻：折叠点落在四边形内部 条件：如图1，在△ABC中，点E在BC上，点F在AC上，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF内部的点C′处。记∠1=∠AFC′，∠2=∠BEC′。 图1 结论：。 证明： 由折叠可知，，（折叠前后对应角相等）， ∴，。 ∵（平角定义）， ∴；同理。 ∴。 ∵在△CEF中，， ∴。 记忆："内翻两角和，两倍顶角C"——∠1＋∠2只与∠C有关，与∠A、∠B无关。 2）外翻：折叠点落在四边形外部 条件：如图2，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF外部的点C′处（∠1=∠AFC′，∠2=∠BEC′）。 图2 结论：。 证明： 由折叠可知，，。 ∵点C′与点A在直线FC的同侧，∴； ∵点C′与点B在直线EC的异侧，∴。 ∴。 外翻与内翻的区别只在∠1：外翻时∠1要"减"出来，于是"和"变成了"差"。解题第一步先看点C′落在四边形ABEF的内部还是外部。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF内部的点C′处。若∠C=48°，∠1=52°，则∠2的度数为______°。 【答案】44 【解析】 由翻角模型（内翻），∠1+∠2=2∠C=96°，∴∠2=96°−52°=44°。 【典例2】如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF外部的点C′处。若∠C=40°，∠1=30°，则∠2的度数为______°。 【答案】110 【解析】 由翻角模型（外翻），∠2−∠1=2∠C=80°，∴∠2=80°+30°=110°。 【典例3】如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF内部的点C′处。 （1）求证：∠1+∠2=2∠C； （2）若∠1=3∠2，∠C=50°，求∠2的度数。 【答案】见解析；（2）25° 【解析】 （1）由折叠可知∠CFE=∠C′FE，∠CEF=∠C′EF。 ∴∠1=180°−2∠CFE，∠2=180°−2∠CEF， ∴∠1+∠2=360°−2(∠CFE+∠CEF)=360°−2(180°−∠C)=2∠C。 （2）∠1+∠2=2×50°=100°，又∠1=3∠2，∴4∠2=100°，∠2=25°。 【模型拓展】 1．燕尾模型的本质是"内角和＋周角代换"，把凹四边形换成其他凹图形（如"M"形折线），用同样的方法可以推出相应的定值关系； 2．风筝模型与鹰爪模型是一对"姊妹模型"：风筝用四边形内角和转移外角，鹰爪用对顶角转移内角，都实现了角的跨三角形转移； 3．翻角模型中，若折痕的两个端点改在两条腰上（即折叠的是顶点A），结论需要重新推导，不能直接套用本讲公式，解题时要先确认折叠的是哪个点。 【易错总结】 易错点1：把燕尾模型公式中的∠C当成优角（大于180°的角），记成"∠A+∠B+∠D=360°−∠C"。 错因分析：凹点处有两个角：小于180°的凹口角与大于180°的优角，公式里用的是凹口角。 避坑指南：看图确认：公式中的∠C就是图中线段CB与CD直接夹出的那个小于180°的角。 易错点2：鹰爪模型中找错"同侧"与"对侧"，把∠A+∠B=∠C+∠D误用成"∠A+∠C=∠B+∠D"。 错因分析：没有抓住"对顶角所在的两个三角形"这一关键结构，随意搭配四个角。 避坑指南：先找交点O，再分别认出△AOB与△COD，各取两个非交点处的角求和比较。 易错点3：折叠问题中忘记"折叠前后对应角相等"，或把内翻、外翻的"和、差"用反。 错因分析：折叠是轴对称变换，位置变了但角的大小不变；"内翻出和、外翻出差"容易混淆。 避坑指南：先判断C′落在四边形ABEF的内部还是外部，再用特殊值检验：令∠C=60°，内翻应有∠1+∠2=120°，外翻应有∠2−∠1=120°。 【模型小结】 1．燕尾（飞镖）：∠A+∠B+∠D=∠C；两腰平分线夹角∠BOD=½(∠A+∠C)，顶角与凹角平分线夹角∠AOC=½|∠ADC−∠ABC|； 2．风筝：∠A+∠O=∠1+∠2（外角和）；鹰爪（八字）：∠A+∠B=∠C+∠D； 3．翻角：内翻∠1+∠2=2∠C，外翻∠2−∠1=2∠C；判断"内翻还是外翻"是使用公式的第一步。 【模型运用】 以下题目均为原创编写，请独立完成后核对解析。 1．如图，在凹四边形ABCD中，∠B=25°，∠D=35°，则∠C−∠A的度数为______°。 【答案】60 【解析】 由燕尾模型，∠C−∠A=∠B+∠D=25°+35°=60°。 2．如图，在凹四边形ABCD中，∠A=50°，∠C=130°，BO、DO分别平分∠ABC、∠ADC，则∠BOD的度数为（　　） A．85°　　B．90°　　C．95°　　D．100° 【答案】B 【解析】 ∠BOD=½(∠A+∠C)=½×(50°+130°)=90°。故选B。 3．如图，在凹四边形ABCD中，∠ABC=20°，∠ADC=60°，AO平分∠BAD，CO平分∠BCD，则∠AOC的度数为______°。 【答案】20 【解析】 ∠AOC=½|∠ADC−∠ABC|=½×|60°−20°|=20°。 4．如图，在四边形ABOC中，∠A=70°，∠O=60°，∠1、∠2分别是顶点B、C处的外角，则∠1+∠2的度数为______°。 【答案】130 【解析】 由风筝模型，∠1+∠2=∠A+∠O=70°+60°=130°。 5．如图，线段AC与BD相交于点O，连接AB、CD。若∠A=48°，∠B=52°，∠C=64°，则∠D的度数为（　　） A．32°　　B．36°　　C．40°　　D．44° 【答案】B 【解析】 由鹰爪模型，∠A+∠B=∠C+∠D，∴∠D=48°+52°−64°=36°。故选B。 6．如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF内部的点C′处。若∠C=52°，∠1=58°，则∠2的度数为______°。 【答案】46 【解析】 ∠1+∠2=2∠C=104°，∴∠2=104°−58°=46°。 7．如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF外部的点C′处。若∠C=36°，∠1=25°，则∠2的度数为______°。 【答案】97 【解析】 ∠2−∠1=2∠C=72°，∴∠2=72°+25°=97°。 8．如图，在凹四边形ABCD中，BO、DO分别平分∠ABC、∠ADC，且∠BOD=100°，∠A=60°，则∠C的度数为______°。 【答案】140 【解析】 由拓展1，∠BOD=½(∠A+∠C)，∴100°=½(60°+∠C)，解得∠C=140°。 9．如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF外部的点C′处。 （1）求证：∠2−∠1=2∠C； （2）若∠2=4∠1，∠C=45°，求∠1的度数。 【答案】见解析；（2）18° 【解析】 （1）由折叠可知∠CFC′=2∠CFE，∠CEC′=2∠CEF。 ∴∠1=2∠CFE−180°，∠2=180°−2∠CEF， ∴∠2−∠1=360°−2(∠CFE+∠CEF)=360°−2(180°−∠C)=2∠C。 （2）∠2−∠1=2×45°=90°，又∠2=4∠1，∴3∠1=90°，∠1=18°。 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上册·几何模型专题讲义（原创版） 专题03　沪科版八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明 飞镖、风筝与对折模型 三角形与四边形的交界处藏着几类经典图形：形如飞镖的凹四边形、形如风筝的凸四边形、两条线段交叉而成的"8"字形，以及折叠产生的翻角图形。这些图形的角度之间存在固定的大小关系，掌握之后，看似复杂的倒角问题往往可以一步到位。本讲依次介绍燕尾（飞镖）模型、风筝（鹰爪）模型与翻角模型，并梳理它们之间的联系。 命题趋势：三类模型常出现在选择、填空题的压轴位置，图形往往嵌在三角形、四边形或折叠背景中，要求先识别图形类型、再套用对应的角度定值关系，常与角平分线、折叠（轴对称）结合考查。 推导逻辑：燕尾模型靠"连接对角线＋两次内角和＋周角代换"；风筝模型靠"四边形内角和"把内角和转化成外角和；鹰爪（八字）模型靠"对顶角相等＋两次内角和"；翻角模型靠"折叠不改变角的大小＋平角为180°"。 核心素养目标： 1．经历燕尾、风筝、翻角三类模型结论的推导过程，体会转化化归与分类讨论的数学思想； 2．能在复杂图形中准确识别三类模型，并利用定值结论快速求角； 3．通过"内翻／外翻"等分类讨论，提升几何推理的严谨性与分类意识。 【目录】 【模型来源】 【知识储备】 【例讲模型】 　　模型1．燕尾（飞镖）模型 　　模型2．风筝（鹰爪）模型 　　模型3．翻角模型（折叠） 【模型拓展】 【易错总结】 【模型小结】 【模型运用】 【模型来源】 凹四边形（飞镖形）与交叉线段（"8"字形）是几何中两类基本的"非常规"结构：凹四边形在凹点处有一个"凹口角"，交叉线段产生对顶角。围绕这两类结构的角度定值关系，构成了倒角工具箱里使用频率最高的一组模型；折叠问题则把轴对称（折叠前后对应角相等）与倒角结合起来，是近年期末考试的高频题型。这三类模型的结论都可以在几分钟内现场推出，学习时重在理解推导、记牢结构。 【知识储备】 学习本专题前，请先复习以下基础知识： （1）三角形内角和定理与外角性质； （2）四边形内角和等于360°，周角等于360°； （3）对顶角相等； （4）折叠的性质：折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，折叠前后对应的角相等。 【例讲模型】 模型1．燕尾（飞镖）模型 凹四边形（飞镖形）中，凹点处的角等于其余三个角的和；由此还能推出两条角平分线夹角的两个定值结论。 【模型提炼与证明】 1）基本模型：燕尾（飞镖） 条件：如图1，在凹四边形ABCD中，顶点C是凹进去的顶点（四边形ABCD形如飞镖），∠C指图中由线段CB、CD所夹的角。 图1 结论：。 证明： 连接AC。 在△ABC中，（三角形内角和定理）； 在△ACD中，。 两式相加，得。 ∵（周角）， ∴。 口诀记忆："飞镖凹角大，三外角加加"——凹点处的角等于其余三个角的和；反过来，已知凹角也能求其余三角之和。 2）拓展1：两条"腰"上的平分线 条件：如图2，在凹四边形ABCD中，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，BO与DO交于点O。 图2 结论：。 证明： 在凹四边形OBCD中应用基本模型，得。 ∵BO平分∠ABC，DO平分∠ADC， ∴，， ∴。 又（基本模型）， ∴。 结论也可以记成"∠BOD=∠A＋½(∠ABC+∠ADC)"，两种形式完全等价，用哪个顺手就用哪个。 3）拓展2：顶角与凹角的平分线 条件：如图3，在凹四边形ABCD中，AO平分∠BAD，CO平分∠BCD，AO与CO交于点O。 图3 结论：。 思路点拨： 延长AO，设它与BC的延长线交于点E（辅助点，图中未画出）。 利用三角形内角和定理与外角性质，可得； 再代入基本模型，化简得。 当时，点O的位置左右对调，同理得。 故一般地，。 燕尾模型的三个结论可统一记忆：凹点角＝其余三角之和；两腰平分线的夹角＝（顶角＋凹角）的一半；顶角与凹角平分线的夹角＝两底角差的一半。 【模型运用】 【典例1】如图，在凹四边形ABCD中，∠B=30°，∠D=40°，则∠C−∠A的度数为______°。 【典例2】如图，在凹四边形ABCD中，∠A=60°，∠C=140°，BO、DO分别平分∠ABC、∠ADC，则∠BOD的度数为______°。 【典例3】如图，在凹四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=50°，AO平分∠BAD，CO平分∠BCD，则∠AOC的度数为______°。 模型2．风筝（鹰爪）模型 风筝模型用四边形内角和转移外角，鹰爪（八字）模型用对顶角转移内角，两者都实现"角的跨三角形转移"。 【模型提炼与证明】 1）风筝模型 条件：如图1，在四边形ABOC中（形如风筝），∠1、∠2分别是顶点B、C处的外角（延长BA、CA得到）。 图1 结论：。 证明： ∵，（平角定义）， ∴。 ∵四边形ABOC的内角和为， ∴， ∴。 风筝模型把"两个内角的和"转化为"两个外角的和"，图形中出现外角时优先考虑它。 2）鹰爪（八字）模型 条件：如图2，线段AC与BD相交于点O，连接AB、CD。 图2 结论：。 证明： 在△AOB中，（三角形内角和定理）； 在△COD中，。 ∵（对顶角相等）， ∴。 "8"字形上下两对角的和相等——这是倒角中使用频率最高的模型之一，也常被称为"8字模型"。 【模型运用】 【典例1】如图，在四边形ABOC中，∠A=75°，∠O=85°，∠1、∠2分别是顶点B、C处的外角，则∠1+∠2的度数为______°。 【典例2】如图，线段AC与BD相交于点O，连接AB、CD。若∠A=55°，∠B=45°，∠C=70°，则∠D的度数为______°。 【典例3】如图，在四边形ABOC中，∠1、∠2分别是顶点B、C处的外角。若∠1−∠2=20°，∠A+∠O=200°，则∠1的度数为______°。 模型3．翻角模型（折叠） 折叠不改变角的大小，于是"平角"被折叠线分成两段，留下"和"或"差"的定值关系。 【模型提炼与证明】 1）内翻：折叠点落在四边形内部 条件：如图1，在△ABC中，点E在BC上，点F在AC上，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF内部的点C′处。记∠1=∠AFC′，∠2=∠BEC′。 图1 结论：。 证明： 由折叠可知，，（折叠前后对应角相等）， ∴，。 ∵（平角定义）， ∴；同理。 ∴。 ∵在△CEF中，， ∴。 记忆："内翻两角和，两倍顶角C"——∠1＋∠2只与∠C有关，与∠A、∠B无关。 2）外翻：折叠点落在四边形外部 条件：如图2，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF外部的点C′处（∠1=∠AFC′，∠2=∠BEC′）。 图2 结论：。 证明： 由折叠可知，，。 ∵点C′与点A在直线FC的同侧，∴； ∵点C′与点B在直线EC的异侧，∴。 ∴。 外翻与内翻的区别只在∠1：外翻时∠1要"减"出来，于是"和"变成了"差"。解题第一步先看点C′落在四边形ABEF的内部还是外部。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF内部的点C′处。若∠C=48°，∠1=52°，则∠2的度数为______°。 【典例2】如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF外部的点C′处。若∠C=40°，∠1=30°，则∠2的度数为______°。 【典例3】如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF内部的点C′处。 （1）求证：∠1+∠2=2∠C； （2）若∠1=3∠2，∠C=50°，求∠2的度数。 【模型拓展】 1．燕尾模型的本质是"内角和＋周角代换"，把凹四边形换成其他凹图形（如"M"形折线），用同样的方法可以推出相应的定值关系； 2．风筝模型与鹰爪模型是一对"姊妹模型"：风筝用四边形内角和转移外角，鹰爪用对顶角转移内角，都实现了角的跨三角形转移； 3．翻角模型中，若折痕的两个端点改在两条腰上（即折叠的是顶点A），结论需要重新推导，不能直接套用本讲公式，解题时要先确认折叠的是哪个点。 【易错总结】 易错点1：把燕尾模型公式中的∠C当成优角（大于180°的角），记成"∠A+∠B+∠D=360°−∠C"。 错因分析：凹点处有两个角：小于180°的凹口角与大于180°的优角，公式里用的是凹口角。 避坑指南：看图确认：公式中的∠C就是图中线段CB与CD直接夹出的那个小于180°的角。 易错点2：鹰爪模型中找错"同侧"与"对侧"，把∠A+∠B=∠C+∠D误用成"∠A+∠C=∠B+∠D"。 错因分析：没有抓住"对顶角所在的两个三角形"这一关键结构，随意搭配四个角。 避坑指南：先找交点O，再分别认出△AOB与△COD，各取两个非交点处的角求和比较。 易错点3：折叠问题中忘记"折叠前后对应角相等"，或把内翻、外翻的"和、差"用反。 错因分析：折叠是轴对称变换，位置变了但角的大小不变；"内翻出和、外翻出差"容易混淆。 避坑指南：先判断C′落在四边形ABEF的内部还是外部，再用特殊值检验：令∠C=60°，内翻应有∠1+∠2=120°，外翻应有∠2−∠1=120°。 【模型小结】 1．燕尾（飞镖）：∠A+∠B+∠D=∠C；两腰平分线夹角∠BOD=½(∠A+∠C)，顶角与凹角平分线夹角∠AOC=½|∠ADC−∠ABC|； 2．风筝：∠A+∠O=∠1+∠2（外角和）；鹰爪（八字）：∠A+∠B=∠C+∠D； 3．翻角：内翻∠1+∠2=2∠C，外翻∠2−∠1=2∠C；判断"内翻还是外翻"是使用公式的第一步。 【模型运用】 以下题目均为原创编写，请独立完成后核对解析。 1．如图，在凹四边形ABCD中，∠B=25°，∠D=35°，则∠C−∠A的度数为______°。 2．如图，在凹四边形ABCD中，∠A=50°，∠C=130°，BO、DO分别平分∠ABC、∠ADC，则∠BOD的度数为（　　） A．85°　　B．90°　　C．95°　　D．100° 3．如图，在凹四边形ABCD中，∠ABC=20°，∠ADC=60°，AO平分∠BAD，CO平分∠BCD，则∠AOC的度数为______°。 4．如图，在四边形ABOC中，∠A=70°，∠O=60°，∠1、∠2分别是顶点B、C处的外角，则∠1+∠2的度数为______°。 5．如图，线段AC与BD相交于点O，连接AB、CD。若∠A=48°，∠B=52°，∠C=64°，则∠D的度数为（　　） A．32°　　B．36°　　C．40°　　D．44° 6．如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF内部的点C′处。若∠C=52°，∠1=58°，则∠2的度数为______°。 7．如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF外部的点C′处。若∠C=36°，∠1=25°，则∠2的度数为______°。 8．如图，在凹四边形ABCD中，BO、DO分别平分∠ABC、∠ADC，且∠BOD=100°，∠A=60°，则∠C的度数为______°。 9．如图，在△ABC中，将△CEF沿EF折叠，点C落在四边形ABEF外部的点C′处。 （1）求证：∠2−∠1=2∠C； （2）若∠2=4∠1，∠C=45°，求∠1的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $