第13章三角形中的边角关系、命题与证明 平分平行构等腰与角平分线的性质 训练 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

八年级数学上册·几何模型专题讲义 专题02　沪科版八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明 平分平行构等腰与角平分线的性质 在三角形的有关证明与计算中，"角平分线"与"平行线"经常同时出现。二者联手会产生一个"副产品"——等腰三角形：角平分线把一个角减半，平行线又通过内错角"复制"出与之相等的角，于是图形中自动出现一个等腰三角形，这类结构统称为"平分平行构等腰模型"。此外，角平分线的性质定理（距离相等）配合双垂线（射影）使用，同样能构造出等腰三角形和固定大小的夹角。本讲系统梳理这两类模型及其典型应用。 命题趋势：模型常以"隐形"方式藏在三角形、四边形和折叠背景中，要求先识别"角平分线＋平行线（或双垂线）"的基本结构，再利用等腰三角形实现边、角与周长的转化，常以解答题形式与面积计算结合出现。 推导逻辑：两类模型的出发点都是"等角转移"——平行线负责搬运角（内错角、同旁内角），角平分线负责把角减半，垂线负责把角凑成直角；把分散的等角集中到同一个三角形中，再用"等角对等边"得到等腰，用"等高比底"得到面积比。 核心素养目标： 1．经历"平分＋平行⇒等腰"的推理过程，体会等角转移与构造的数学思想； 2．能从复杂图形中识别平分平行（射影）结构，并准确使用角平分线的性质定理与判定定理； 3．会用奔驰模型进行面积与线段的转化计算，提升几何直观与运算能力。 【目录】 【模型来源】 【知识储备】 【例讲模型】 　　模型1．平分平行（射影）构等腰 　　模型2．角平分线的性质定理与奔驰模型 【模型拓展】 【易错总结】 【模型小结】 【模型运用】 【模型来源】 角平分线是三角形中三条重要的特殊线段之一。三角形的三条内角平分线交于一点（内心），内心到三边的距离相等，这一性质把"角"与"距离（面积）"联系了起来，形成了著名的"奔驰模型"。而"角平分线＋平行线"的组合，自古就是构造等腰三角形的经典手段：只要图形中同时出现一条角平分线和一条平行线，就几乎必然"长出"一个等腰三角形。围绕这两个出发点展开的模型与方法，是三角形证明与计算中最常用的工具之一。 【知识储备】 学习本专题前，请先复习以下基础知识： （1）平行线的性质：两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补； （2）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； （3）角平分线的定义与性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）三角形的面积公式：S=½×底×高；四边形的内角和等于360°。 【例讲模型】 模型1．平分平行（射影）构等腰 角平分线提供"半角"，平行线或双垂线提供"等角"，两者相遇必然产生等腰三角形。 【模型提炼与证明】 1）基本原理：角平分线＋平行线 条件：如图1，OP是∠MON的平分线，点P在OP上，过点P作PQ∥ON，交射线OM于点Q。 图1 结论：是等腰三角形，即。 证明： ∵PQ∥ON（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）。 ∵OP平分∠MON（已知）， ∴（角平分线的定义）。 ∴，∴（等角对等边）。 方法提炼："平分＋平行"必出等腰——平行线负责"搬角"，角平分线负责"减半角"，两个等角凑到同一个三角形里，等腰自然出现。 2）三角形中的应用 条件：如图2，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E。 图2 结论：。 证明： ∵DE∥BC（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）。 ∵BD平分∠ABC（已知）， ∴（角平分线的定义）。 ∴，∴（等角对等边）。 变式点拨：本模型是"角平分线＋平行线"在三角形中的最常见形态，证明两条线段相等时优先想到它；若已知一边，立即可得另一边。 3）双平分线＋平行线 条件：如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N。 图3 结论：，，且的周长。 证明： ∵MN∥BC（已知）， ∴，（两直线平行，内错角相等）。 ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∴，， ∴，（等角对等边）。 ∴的周长。 周长转化是本模型的高频考法：折线MO＋ON被"拉直"成MB＋NC，△AMN的周长恰好等于AB＋AC。 4）射影构造：角平分线＋双垂线 条件：如图4，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F。 图4 结论：，是等腰三角形，且。 证明： ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC（已知）， ∴（角平分线的性质定理），∴是等腰三角形。 ∵， ∴在四边形DEBF中，（四边形内角和）， 即。 结论"∠EDF＝180°−∠B"很有用：双垂线的夹角与原角互补，与∠A、∠C的大小无关。 【模型运用】 【典例1】如图，OP平分∠MON，点P在OP上，PQ∥ON，交射线OM于点Q，∠MON=60°，则△OPQ的形状是（　　） A．等边三角形　　B．等腰三角形　　C．直角三角形　　D．等腰直角三角形 【典例2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E。 （1）求证：BE=DE； （2）若∠A=65°，∠C=75°，求∠BDE的度数。 【典例3】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N。 （1）求证：MB=MO，NC=NO； （2）若AB=8，AC=6，求△AMN的周长。 模型2．角平分线的性质定理与奔驰模型 角平分线的性质定理把"角相等"转化为"距离相等"，是构造等腰三角形与计算面积的桥梁。 【模型提炼与证明】 1）性质定理与判定定理 条件：如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DF⊥AB于点F，DH⊥BC于点H。 图1 结论：（角平分线的性质定理）。 证明： ∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥BC（已知）， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 逆向使用即得角平分线的判定定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。性质定理是"位置⇒距离"，判定定理是"距离⇒位置"，两者是一对"逆定理"。 2）外角平分线 条件：如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC的外角，交BC的延长线于点D，过点C作CE∥AD，交AB于点E。 图2 结论：，是等腰三角形。 证明： ∵AD平分∠BAC的外角，∠BAC的外角（外角定义）， ∴。 ∵CE∥AD（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）； ∵射线AE与BA的延长线互为反向延长线，∴， ∴（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴，∴（等角对等边）。 外角平分线上的点到∠BAC两边所在直线的距离相等——这是性质定理对"直线"的推广。外角平分线同样具有"平分"的功能，与平行线组合照样能出等腰。 3）奔驰模型 条件：如图3，在△ABC中，三条内角平分线交于点O，连接AO、BO、CO。 图3 结论：。 证明： 过点O分别作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F。 ∵O是三条角平分线的交点，∴（角平分线的性质定理），设OD=OE=OF=h。 ∴，，。 ∴。 因图形像奔驰汽车的车标而得名。"高相同、比底边"——三个小三角形的高是同一个h，面积比就等于底边之比。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DF⊥AB于点F，DH⊥BC于点H。 （1）求证：DF=DH； （2）若∠ABC=64°，求∠FDH的度数。 【典例2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC的外角，交BC的延长线于点D，过点C作CE∥AD，交AB于点E。 （1）求证：AE=AC； （2）若∠BAC=120°，∠ACB=40°，求∠ADC的度数。 【典例3】如图，在△ABC中，三条内角平分线交于点O，连接AO、BO、CO。 （1）求证：S△AOB:S△BOC:S△AOC=AB:BC:AC； （2）若S△AOB=6，S△BOC=8，AB=9，求BC的长。 【模型拓展】 1．把"平行线"换成"能产生等角的其他条件"（如直角三角形中两锐角互余、同角的余角相等），同样能构造等腰三角形，识别方法不变； 2．奔驰模型的"兄弟"是等高模型：若点D在BC上且S△ABD:S△ACD=BD:DC，两模型都源于"同高（等高）三角形面积比等于底之比"； 3．外角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等，它与内角平分线的性质定理合称"角平分线的双轨性质"，是后续研究三角形旁心的基础。 【易错总结】 易错点1：看到平行线只想到求角度，想不到用内错角配合角平分线构造等腰。 错因分析：对"平分＋平行⇒等腰"的结构不敏感，没有主动寻找可以转移的等角。 避坑指南：见到角平分线就问"有没有平行线可配"；见到平行线就问"哪条角平分线能配上它"，两个都满足立即找等腰。 易错点2：使用性质定理时漏写垂直条件，把"到角两边的距离"说成"到角顶点的距离"。 错因分析："距离"指垂线段的长度，必须先有垂直；定理叙述不完整导致推理跳步。 避坑指南：叙述性质定理先落笔"⊥"，写清垂足是谁；图中没有垂直时先作垂线再用定理。 易错点3：奔驰模型中记错对应关系，把S△AOB对应到边BC上。 错因分析：没有抓住"高相同比底边"的本质，凭感觉乱配对应边。 避坑指南：看清每个小三角形的底边：S△AOB的底是AB，S△BOC的底是BC，S△AOC的底是AC，一一对应再写比。 【模型小结】 1．核心结构：角平分线＋平行线⇒等腰三角形；角平分线＋双垂线⇒DE=DF，且夹角∠EDF=180°−∠B； 2．高频结论：双平分线＋平行线中△AMN的周长=AB+AC；奔驰模型S△AOB:S△BOC:S△AOC=AB:BC:AC； 3．解题流程：识别结构→转移等角（或等距离）→得等腰或定值→代入计算。 【模型运用】 以下题目均为原创编写，请独立完成后核对解析。 1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E。若∠A=54°，∠C=66°，则∠BDE的度数为______°。 2．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N。若AB=10，AC=7，则△AMN的周长为______。 3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F。若∠ABC=70°，则∠EDF的度数为______°。 4．如图，点D在△ABC的边AC上，DF⊥AB于点F，DH⊥BC于点H，且DF=DH。求证：BD平分∠ABC。 5．如图，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，AD平分∠BAC的外角，交BC的延长线于点D，则∠ADC的度数为______°。 6．如图，在△ABC中，三条内角平分线交于点O，连接AO、BO、CO。若S△AOB:S△BOC:S△AOC=3:4:5，且△ABC的周长为24，则AB、BC、AC的长分别为______。 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E。若∠B=80°，∠C=60°，则∠ADE的度数为______°。 8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D。若∠A=50°，∠C=70°，则∠BDC的度数为______°。 9．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。求证：OE=BE，OF=CF；若△AEF的周长为15，AB−AC=3，求AB、AC的长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上册·几何模型专题讲义 专题02　沪科版八年级上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明 平分平行构等腰与角平分线的性质 在三角形的有关证明与计算中，"角平分线"与"平行线"经常同时出现。二者联手会产生一个"副产品"——等腰三角形：角平分线把一个角减半，平行线又通过内错角"复制"出与之相等的角，于是图形中自动出现一个等腰三角形，这类结构统称为"平分平行构等腰模型"。此外，角平分线的性质定理（距离相等）配合双垂线（射影）使用，同样能构造出等腰三角形和固定大小的夹角。本讲系统梳理这两类模型及其典型应用。 命题趋势：模型常以"隐形"方式藏在三角形、四边形和折叠背景中，要求先识别"角平分线＋平行线（或双垂线）"的基本结构，再利用等腰三角形实现边、角与周长的转化，常以解答题形式与面积计算结合出现。 推导逻辑：两类模型的出发点都是"等角转移"——平行线负责搬运角（内错角、同旁内角），角平分线负责把角减半，垂线负责把角凑成直角；把分散的等角集中到同一个三角形中，再用"等角对等边"得到等腰，用"等高比底"得到面积比。 核心素养目标： 1．经历"平分＋平行⇒等腰"的推理过程，体会等角转移与构造的数学思想； 2．能从复杂图形中识别平分平行（射影）结构，并准确使用角平分线的性质定理与判定定理； 3．会用奔驰模型进行面积与线段的转化计算，提升几何直观与运算能力。 【目录】 【模型来源】 【知识储备】 【例讲模型】 　　模型1．平分平行（射影）构等腰 　　模型2．角平分线的性质定理与奔驰模型 【模型拓展】 【易错总结】 【模型小结】 【模型运用】 【模型来源】 角平分线是三角形中三条重要的特殊线段之一。三角形的三条内角平分线交于一点（内心），内心到三边的距离相等，这一性质把"角"与"距离（面积）"联系了起来，形成了著名的"奔驰模型"。而"角平分线＋平行线"的组合，自古就是构造等腰三角形的经典手段：只要图形中同时出现一条角平分线和一条平行线，就几乎必然"长出"一个等腰三角形。围绕这两个出发点展开的模型与方法，是三角形证明与计算中最常用的工具之一。 【知识储备】 学习本专题前，请先复习以下基础知识： （1）平行线的性质：两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补； （2）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； （3）角平分线的定义与性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）三角形的面积公式：S=½×底×高；四边形的内角和等于360°。 【例讲模型】 模型1．平分平行（射影）构等腰 角平分线提供"半角"，平行线或双垂线提供"等角"，两者相遇必然产生等腰三角形。 【模型提炼与证明】 1）基本原理：角平分线＋平行线 条件：如图1，OP是∠MON的平分线，点P在OP上，过点P作PQ∥ON，交射线OM于点Q。 图1 结论：是等腰三角形，即。 证明： ∵PQ∥ON（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）。 ∵OP平分∠MON（已知）， ∴（角平分线的定义）。 ∴，∴（等角对等边）。 方法提炼："平分＋平行"必出等腰——平行线负责"搬角"，角平分线负责"减半角"，两个等角凑到同一个三角形里，等腰自然出现。 2）三角形中的应用 条件：如图2，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E。 图2 结论：。 证明： ∵DE∥BC（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）。 ∵BD平分∠ABC（已知）， ∴（角平分线的定义）。 ∴，∴（等角对等边）。 变式点拨：本模型是"角平分线＋平行线"在三角形中的最常见形态，证明两条线段相等时优先想到它；若已知一边，立即可得另一边。 3）双平分线＋平行线 条件：如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N。 图3 结论：，，且的周长。 证明： ∵MN∥BC（已知）， ∴，（两直线平行，内错角相等）。 ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB（已知）， ∴，（角平分线的定义）， ∴，， ∴，（等角对等边）。 ∴的周长。 周长转化是本模型的高频考法：折线MO＋ON被"拉直"成MB＋NC，△AMN的周长恰好等于AB＋AC。 4）射影构造：角平分线＋双垂线 条件：如图4，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F。 图4 结论：，是等腰三角形，且。 证明： ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC（已知）， ∴（角平分线的性质定理），∴是等腰三角形。 ∵， ∴在四边形DEBF中，（四边形内角和）， 即。 结论"∠EDF＝180°−∠B"很有用：双垂线的夹角与原角互补，与∠A、∠C的大小无关。 【模型运用】 【典例1】如图，OP平分∠MON，点P在OP上，PQ∥ON，交射线OM于点Q，∠MON=60°，则△OPQ的形状是（　　） A．等边三角形　　B．等腰三角形　　C．直角三角形　　D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 ∵PQ∥ON，∴∠QPO=∠PON（两直线平行，内错角相等）。 ∵OP平分∠MON，∴∠QOP=∠PON=½×60°=30°， ∴∠QPO=∠QOP=30°，∠OQP=120°，∴OQ=PQ，△OPQ是等腰三角形。故选B。 【典例2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E。 （1）求证：BE=DE； （2）若∠A=65°，∠C=75°，求∠BDE的度数。 【答案】见解析；（2）20° 【解析】 （1）∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。 ∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC（角平分线的定义）， ∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE（等角对等边）。 （2）∠ABC=180°−65°−75°=40°，∴∠EBD=∠DBC=20°， ∴∠BDE=∠DBC=20°。 【典例3】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N。 （1）求证：MB=MO，NC=NO； （2）若AB=8，AC=6，求△AMN的周长。 【答案】见解析；（2）14 【解析】 （1）∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等）。 ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB， ∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC，∴MB=MO，NC=NO（等角对等边）。 （2）△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+MO+ON=AB+AC=8+6=14。 模型2．角平分线的性质定理与奔驰模型 角平分线的性质定理把"角相等"转化为"距离相等"，是构造等腰三角形与计算面积的桥梁。 【模型提炼与证明】 1）性质定理与判定定理 条件：如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DF⊥AB于点F，DH⊥BC于点H。 图1 结论：（角平分线的性质定理）。 证明： ∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥BC（已知）， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 逆向使用即得角平分线的判定定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。性质定理是"位置⇒距离"，判定定理是"距离⇒位置"，两者是一对"逆定理"。 2）外角平分线 条件：如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC的外角，交BC的延长线于点D，过点C作CE∥AD，交AB于点E。 图2 结论：，是等腰三角形。 证明： ∵AD平分∠BAC的外角，∠BAC的外角（外角定义）， ∴。 ∵CE∥AD（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）； ∵射线AE与BA的延长线互为反向延长线，∴， ∴（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴，∴（等角对等边）。 外角平分线上的点到∠BAC两边所在直线的距离相等——这是性质定理对"直线"的推广。外角平分线同样具有"平分"的功能，与平行线组合照样能出等腰。 3）奔驰模型 条件：如图3，在△ABC中，三条内角平分线交于点O，连接AO、BO、CO。 图3 结论：。 证明： 过点O分别作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F。 ∵O是三条角平分线的交点，∴（角平分线的性质定理），设OD=OE=OF=h。 ∴，，。 ∴。 因图形像奔驰汽车的车标而得名。"高相同、比底边"——三个小三角形的高是同一个h，面积比就等于底边之比。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DF⊥AB于点F，DH⊥BC于点H。 （1）求证：DF=DH； （2）若∠ABC=64°，求∠FDH的度数。 【答案】见解析；（2）116° 【解析】 （1）∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥BC， ∴DF=DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 （2）∵∠DFB=∠DHB=90°，∴∠FDH+∠FBH=180°（四边形内角和）， ∴∠FDH=180°−64°=116°。 【典例2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC的外角，交BC的延长线于点D，过点C作CE∥AD，交AB于点E。 （1）求证：AE=AC； （2）若∠BAC=120°，∠ACB=40°，求∠ADC的度数。 【答案】见解析；（2）10° 【解析】 （1）∵AD平分∠BAC的外角，∴∠DAC=½∠外角。 ∵CE∥AD，∴∠ACE=∠DAC（两直线平行，内错角相等）， ∠AEC=180°−∠EAD=180°−（180°−∠DAC）=∠DAC（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC（等角对等边）。 （2）∠DAC=½×(180°−120°)=30°，∠ACD=180°−40°=140°， ∴∠ADC=180°−30°−140°=10°。 【典例3】如图，在△ABC中，三条内角平分线交于点O，连接AO、BO、CO。 （1）求证：S△AOB:S△BOC:S△AOC=AB:BC:AC； （2）若S△AOB=6，S△BOC=8，AB=9，求BC的长。 【答案】见解析；（2）12 【解析】 （1）过O作三边的垂线，由角平分线的性质定理，三段垂线段相等，设为h， 则S△AOB=½AB·h，S△BOC=½BC·h，S△AOC=½AC·h， ∴S△AOB:S△BOC:S△AOC=AB:BC:AC。 （2）S△AOB:S△BOC=AB:BC=6:8，∴BC=9×8÷6=12。 【模型拓展】 1．把"平行线"换成"能产生等角的其他条件"（如直角三角形中两锐角互余、同角的余角相等），同样能构造等腰三角形，识别方法不变； 2．奔驰模型的"兄弟"是等高模型：若点D在BC上且S△ABD:S△ACD=BD:DC，两模型都源于"同高（等高）三角形面积比等于底之比"； 3．外角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等，它与内角平分线的性质定理合称"角平分线的双轨性质"，是后续研究三角形旁心的基础。 【易错总结】 易错点1：看到平行线只想到求角度，想不到用内错角配合角平分线构造等腰。 错因分析：对"平分＋平行⇒等腰"的结构不敏感，没有主动寻找可以转移的等角。 避坑指南：见到角平分线就问"有没有平行线可配"；见到平行线就问"哪条角平分线能配上它"，两个都满足立即找等腰。 易错点2：使用性质定理时漏写垂直条件，把"到角两边的距离"说成"到角顶点的距离"。 错因分析："距离"指垂线段的长度，必须先有垂直；定理叙述不完整导致推理跳步。 避坑指南：叙述性质定理先落笔"⊥"，写清垂足是谁；图中没有垂直时先作垂线再用定理。 易错点3：奔驰模型中记错对应关系，把S△AOB对应到边BC上。 错因分析：没有抓住"高相同比底边"的本质，凭感觉乱配对应边。 避坑指南：看清每个小三角形的底边：S△AOB的底是AB，S△BOC的底是BC，S△AOC的底是AC，一一对应再写比。 【模型小结】 1．核心结构：角平分线＋平行线⇒等腰三角形；角平分线＋双垂线⇒DE=DF，且夹角∠EDF=180°−∠B； 2．高频结论：双平分线＋平行线中△AMN的周长=AB+AC；奔驰模型S△AOB:S△BOC:S△AOC=AB:BC:AC； 3．解题流程：识别结构→转移等角（或等距离）→得等腰或定值→代入计算。 【模型运用】 以下题目均为原创编写，请独立完成后核对解析。 1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E。若∠A=54°，∠C=66°，则∠BDE的度数为______°。 【答案】30 【解析】 ∠ABC=180°−54°−66°=60°，∴∠DBC=30°。 ∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC=30°。 2．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N。若AB=10，AC=7，则△AMN的周长为______。 【答案】17 【解析】 由模型1，MB=MO，NC=NO， ∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+MO+ON=AB+AC=10+7=17。 3．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F。若∠ABC=70°，则∠EDF的度数为______°。 【答案】110 【解析】 ∠EDF+∠EBF=180°（四边形内角和），∴∠EDF=180°−70°=110°。 4．如图，点D在△ABC的边AC上，DF⊥AB于点F，DH⊥BC于点H，且DF=DH。求证：BD平分∠ABC。 【答案】见解析 【解析】 ∵DF⊥AB，DH⊥BC，且DF=DH， ∴点D在∠ABC的平分线上（角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角平分线上）。 ∴BD平分∠ABC。 5．如图，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，AD平分∠BAC的外角，交BC的延长线于点D，则∠ADC的度数为______°。 【答案】10 【解析】 ∠ACB=180°−80°−40°=60°，∠BAC的外角=∠B+∠ACB=100°，∴∠DAC=50°。 ∠ACD=180°−∠ACB=120°，∴∠ADC=180°−50°−120°=10°。 6．如图，在△ABC中，三条内角平分线交于点O，连接AO、BO、CO。若S△AOB:S△BOC:S△AOC=3:4:5，且△ABC的周长为24，则AB、BC、AC的长分别为______。 【答案】AB=6，BC=8，AC=10 【解析】 由奔驰模型，AB:BC:AC=S△AOB:S△BOC:S△AOC=3:4:5。 设AB=3k，BC=4k，AC=5k，则3k+4k+5k=24，解得k=2。 ∴AB=6，BC=8，AC=10。 7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E。若∠B=80°，∠C=60°，则∠ADE的度数为______°。 【答案】20 【解析】 ∠BAC=180°−80°−60°=40°，∴∠BAD=20°（角平分线的定义）。 ∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=20°（两直线平行，内错角相等）。 8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D。若∠A=50°，∠C=70°，则∠BDC的度数为______°。 【答案】80 【解析】 ∠ABC=180°−50°−70°=60°，∴∠ABD=30°（角平分线的定义）。 ∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD=50°+30°=80°。 9．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。求证：OE=BE，OF=CF；若△AEF的周长为15，AB−AC=3，求AB、AC的长。 【答案】见解析；AB=9，AC=6 【解析】 ∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB（两直线平行，内错角相等）。 ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB， ∴∠EBO=∠EOB，∠FCO=∠FOC，∴OE=BE，OF=CF（等角对等边）。 ∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AB+AC=15。 又AB−AC=3，∴AB=9，AC=6。 学科网（北京）股份有限公司 $