专题08 命题、定理与反证法压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，构建命题识别、证明推理到反证法应用的递进式训练体系，强化逻辑思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3个核心通法|命题改写三步法、双向分析法、反证法三步模板|从命题基础到证明逻辑，形成概念-推理-应用链条| |题型归纳|6类题型（含典例+变式）|命题识别模板、反例构造技巧、几何证明规范|覆盖选择填空到中档证明，实现方法与题型精准对应| |压轴挑战|综合解答题|反证法综合应用、多条件命题证明|整合知识模块，提升复杂问题推理与表达能力|

专题08 命题、定理与反证法压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、命题识别、改写、互逆命题（选择填空） 题型二、真假命题判断（高频选择、填空） 题型三、基础几何证明（简单直接证明） 题型四、反证法填空（必考小题） 题型五、反证法几何证明（本章压轴大题） 题型六、综合压轴（期末压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法 1：命题改写、真假判断、反例构造 1.拆语句：分清谁是条件，谁是结论； 2.改写：补全文字，写成 “如果…… 那么……”； 3.判断真假：真命题寻找推理路径；假命题构造反例。 构造反例技巧：满足题设，但不满足结论；优先用特殊值、特殊图形（钝角三角形、等腰直角三角形）。 通法 2：几何证明通法（直接证明） 双向分析法 执因索果：从已知条件出发，一步步向后推导（正向）； 执果索因：从求证结论倒推，寻找需要的条件（逆向分析法，压轴首选）； 两头凑：已知向后推，结论向前找，找到中间对接点，整理书写证明。 书写规范：已知→求证→画图→证明，步步标注依据。 通法 3：反证法压轴证明通法（三步标准化书写模板） 模板： 求证：…… 证明：假设________________（结论反面）。 ∵（条件 + 假设），∴推理得到…… ∴得到的结论与______（已知 / 定理）矛盾。 ∴假设不成立。 ∴原命题________________成立。 核心要点：反设一定要写对；矛盾必须写清楚是和谁矛盾。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、命题识别、改写、互逆命题（选择填空） 【典例1】．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）下列语句中，是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．庄子故里欢迎您！ C．作线段的垂线 D．你吃饭了吗？ 【答案】A 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查命题的识别，对一件事情做出判定的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A，有题设，有结论，是命题； B，有结论，没有题设，不是命题； C，有题设，没有结论，不是命题； D，疑问句，没有结论，不是命题； 故选A． 题型模版 考法：判断是否为命题；改写 “如果那么”；写出逆命题，判断逆命题真假。 【变式1】．下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作线段的中垂线 C．内错角相等 D．若则 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义，能判断真假的陈述句分别进行判断即可． 【详解】解：锐角小于钝角，内错角相等，若则都是命题， 作线段的中垂线，无法判断真假，不是命题， 故选： 【点睛】本题考查了命题与定理，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句是解答本题的关键． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式：_______． 【答案】如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查了命题，原命题可分解为条件部分“一个数是正数”和结论部分“它的绝对值大于0”，然后套用“如果…，那么…”的结构进行改写． 【详解】解：命题“正数的绝对值大于0”中，“正数”是条件，“绝对值大于0”是结论，因此改写为“如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0”． 故答案为：如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 【答案】若，则 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，通过互换原命题的条件和结论，即可解题． 【详解】解：原命题是“若，则”，根据逆命题的定义，将条件“”和结论“”互换，得到逆命题“若 ，则”． 故答案为：若，则． 题型二、真假命题判断 （高频选择、填空） 【典例2】．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题的逆命题及其真假判断． 写出每个选项原命题的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A：“内错角相等”的逆命题“如果两个角相等，则它们是内错角”是假命题； B：“对顶角相等”的逆命题“如果两个角相等，则它们是对顶角”是假命题； C：“若，则”的逆命题“若，则”是真命题； D：“若，则”的逆命题“若，则”是假命题； 故选：C． 【典例3】．（24-25八年级上·安徽六安·期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题真假、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A．，则，，不是反例，故A不符合题意； B．，则，，是反例，故B符合题意． C．，则，，不是反例，故C不符合题意； D．，则，，不是反例，故D不符合题意． 故选：B． 【典例4】．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握要说明一个命题的正确性，一般要推理、谁，而判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的除法以法则，逐项代入计算判定即可． 【详解】解：A、当时，， ∴说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项符合题意； B、当时，无意义， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； C、当时，， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； D、当时，， ∴不能说明“若是有理数，则”是假命题，故此选项不符合题意； 故选：A． 【典例5】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了判断命题的真假．根据乘法法则判断命题的真假，即可求解． 【详解】解：当时，无论取何数，都成立． 因此该命题是真命题． 故答案为：真． 题型模版 考法：给出几何命题，判断真假；假命题举出反例。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列命题中假命题的是（   ） A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线平行 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定和性质、判断命题真假 【分析】本题主要考查了真假命题的识别，涉及等边三角形的判定，三角形外角的性质，平行线公理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关定理和定义． 根据三角形的外角的性质定理即可得出假命题． 【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形为真命题，不符合题意； B、∵三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和， ∴ 外角大于任何一个不相邻的内角， 反例：当外角为锐角时，小于与其相邻的内角； 该选项为假命题，符合题意； C、在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线平行为真命题，不符合题意； D、直角三角形的两个锐角互余为真命题，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．形如（m，n都是常数）的函数是一次函数 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．三角形的三条高所在的直线一定相交于三角形内 D．三角形的外角都大于它的任何一个内角 【答案】B 【知识点】识别一次函数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、判断命题真假 【详解】解：A、一次函数定义要求形如（，为常数）中，当时，该函数不是一次函数，故A是假命题； B、三角形内角和为，若三角形只有一个锐角，则另外两个角之和不小于，三角形内角和会大于，矛盾，故三角形三个内角中至少有两个锐角，故B是真命题； C、钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，故C是假命题； D、钝角三角形中，钝角的外角是锐角，小于这个钝角内角，故D是假命题． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） ①若，则；②若，则；③若函数有意义，则x的取值范围是；④若点和点关于x轴对称，则的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】此题考查了原命题和逆命题，真假命题的判断． 本题需逐个判断每个命题的原命题与逆命题的真假性，再统计均为真命题的个数，涉及绝对值性质、二次根式有意义的条件、关于x轴对称的点的坐标特征等知识点． 【详解】解：①原命题：∵，∴，原命题为真命题． 逆命题：∵，∴，逆命题为真命题． ②原命题：∵，∴，原命题为真命题． 逆命题：∵，∴（而非），逆命题为假命题． ③原命题：函数有意义时，即，原命题中表述错误，原命题为假命题． ④原命题：∵点与关于x轴对称， ∴，， ∴，原命题为真命题． 逆命题：若，取，，此时、不关于x轴对称，逆命题为假命题． 综上，原命题与逆命题均为真命题的只有①，共1个． 故选：B 【变式4】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“两点之间线段最短”是______（填“真”或“假”）命题； 【答案】真 【知识点】两点之间线段最短、判断命题真假 【分析】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握相关的性质是解题的关键．根据线段的性质进行解答即可得． 【详解】解：∵任意两点，连接它们的线段长度小于任何其他路径的长度， ∴两点之间线段最短， ∴该命题为真命题． 故答案为：真． 【变式5】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定是解题关键； 逆命题是通过交换原命题的条件和结论而形成的，即“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，该命题才成立，据此判断即可． 【详解】解：原命题的条件是“两条直线平行”，结论是“这两条直线垂直于同一条直线”．逆命题为“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，根据垂直的性质定理，垂直于同一直线的两条直线互相平行，在同一平面内成立，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，因此该逆命题是假命题． 故答案为：假． 题型三、基础几何证明（简单直接证明） 【典例6】．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】 已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的证明、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【详解】略 题型模版 考法：简单平行线、三角形角度证明，训练推理格式，每一步写依据。 【变式1】．如图，点分别是三角形的边边上的点，有下列三个条件：    ①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 【答案】(1)①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么． (2) 解：以上三个命题都是真命题， 如果，，那么， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据命题的定义：两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③． 【详解】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果，，那么； ②如果，，那么； ③如果，，那么． （2）略 【变式2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在△ABC中，∠ACB＝90°．现给出以下3个关系：①CD垂直于AB，②BE平分∠ABC，③∠CFE＝∠CEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 【答案】①②作为条件，③作为结论，证明： ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°， ∴∠BCF＝∠A， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠EBA， ∵∠CFE＝∠BCF+∠EBC，∠BEC＝∠A+∠EBA， ∴∠CFE＝∠CEF ∴①②作为条件，③作为结论成立． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】结合题意，得∠CDA＝∠ACB＝90°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，根据角平分线性质，计算得∠EBC＝∠EBA，根据三角形外角的性质，通过计算得∠CFE＝∠CEF，即可得到答案． 【详解】略． 【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线、三角形外角、命题的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，从而完成求解． 【变式3】．同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°． 德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑． 请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形，写出已知、求证和证明． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的证明、以几何为背景的推理与论证 【分析】过点作，由两直线平行，内错角相等得到，，再根据平角的定义解题． 【详解】已知：如图，． 求证：． 证明：过点作， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，涉及平行线性质、平角定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型四、反证法填空（必考小题） 【典例7】．用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设：________． 【答案】三角形中至少有两个内角是直角 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】反证法需先假设原命题的结论不成立，只需找出原结论“三角形的内角中最多有一个角是直角”的否定即可得到结果. 【详解】解：“三角形的内角中最多有一个角是直角”的否定为“三角形中至少有两个内角是直角”. 因此用反证法证明时，应假设“三角形中至少有两个内角是直角”. 【典例8】．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 【答案】 在三角形的三个内角中，最多有一个锐角 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，只需对原命题的结论进行否定即可得到假设内容. 【详解】解：用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时， 第一步应假设原命题的结论不成立，即假设在三角形的三个内角中，最多有一个锐角. 【典例9】．（25-26八年级·安徽合肥·阶段检测）用反证法证明命题“在中，，则”时，第一步应先假设___________． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】根据反证法的步骤，第一步假设命题结论不成立，写出原结论的否定即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论不成立，原命题结论为，其否定为， 因此第一步应先假设. 题型模版 考法：写出反证法第一步假设；判断反证推出的矛盾是什么。 【变式1】．用反证法证明命题：“已知是同一平面内三条不同的直线，如果与相交，那么与相交”是真命题时，第一步应假设______． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，据此求解即可． 【详解】解：∵用反证法证明：已知a，b，c是同一平面内的三条不同的直线，如果，a与c相交，那么b与c相交． ∴应先假设． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽六安·课后作业）填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【知识点】三角形内角和定理的应用、用反证法证明命题 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 【变式3】．反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设_______，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据________，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与________矛盾． 说明假设不成立，所以______． 【答案】 内错角相等，两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明、反证法证明中的假设、用反证法证明命题 【分析】本题考查的是反证法，利用反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得， 又因为，这样直线、都过点N， 这与过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，． 题型五、反证法几何证明（本章压轴大题） 【典例10】．（26-27八年级上·安徽滁州·课后作业）证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 【答案】证明：假设中没有内角小于或等于． 即，，． ． 这与三角形的内角和为矛盾， ∴该假设不成立． 中至少有一个内角小于或等于． 【知识点】三角形内角和定理的应用、用反证法证明命题 【分析】假设中没有内角小于或等于，根据三角形内角和定理得出矛盾，即可解答． 【详解】略 【典例11】．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°． 【答案】 假设△ABC中每个内角都小于60°， 则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾， ∴假设错误，即原结论成立， ∴在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°． 【知识点】三角形内角和定理的应用、反证法证明中的假设 【分析】结合题意，假设△ABC中每个内角都小于60°，根据三角形内角和定理的性质分析，即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了命题和三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理的性质，从而完成求解． 题型模版 考法：三角形角度、平行线唯一性证明；结论带 “至少、至多、不可能”，必须用反证法。 【变式1】．在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 【答案】(1)反证法 (2)逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，该命题是真命题 (3) 证明：假设一个三角形中有两个直角，不妨设在中，，， ∵三角形内角和为， ， ∵在一个三角形中 ， ∴， 这与三角形内角和等于矛盾， ∴假设不成立， ∴一个三角形中不能有两个直角． 【知识点】写出命题的逆命题、反证法证明中的假设、用反证法证明命题 【分析】（1）根据反证法的定义即可判断； （2）根据逆命题的定义，找准结论和条件即可写出逆命题，并判断； （3）根据反证法，假设一个三角形中有两个直角，再利用三角形内角和证伪即可． 【详解】（1）解：由题目中的证明过程可知，该方法为反证法； （2）解：逆命题需将结论和条件互换，故逆命题为“如果一个三角形中两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”， 根据“等角对等边”定理可知，此为真命题； （3）略． 【变式2】．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 【知识点】三角形内角和定理的应用、用反证法证明命题 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】略 【变式3】．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 【答案】 ；；；；，不成立． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、用反证法证明命题 【分析】本题考查三角形的外角性质的证明，反证法等知识，根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明，掌握三角形的内角和与反证法的解题思路是解题的关键． 题型六、综合压轴（期末压轴） 【典例12】．证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 【答案】 已知：如图，是的三个外角； 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、判断命题真假 【分析】利用三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理得到，即可证明． 【详解】略． 【点睛】本题主要考查了证明命题，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形外角的性质是解题的关键． 【变式1】．（26-27八年级上·安徽安庆·期中）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)三角形的内角和等于； (2)互为相反数的两个数的绝对值相等； (3)若，则； (4)钝角三角形有两个锐角． 【答案】(1)逆命题：内角和等于的多边形是三角形，成立； (2)逆命题：绝对值相等的两个数互为相反数，不成立； (3)逆命题：若，则，成立； (4)逆命题：有两个锐角的三角形是钝角三角形，不成立． 【知识点】相反数的定义、有理数幂的概念理解、角的分类、三角形内角和定理的应用、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】先得出命题的逆命题，判断逆命题是否成立即可． 【详解】（1）原命题结构：原命题的题设为“一个多边形是三角形”，结论为“它的内角和等于”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“内角和等于的多边形是三角形”； 判断命题：根据多边形内角和规律，仅三角形的内角和是，故该逆命题成立． （2）原命题结构：原命题的题设为“互为相反数的两个数”，结论为“这两个数绝对值相等”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“绝对值相等的两个数互为相反数”； 判断命题：绝对值相等的两个正数，绝对值相等但不互为相反数，如1和1，故该逆命题不成立． （3）原命题结构：原命题的题设为“”，结论为“”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“若，则”； 判断命题：对于任意一个实数，它仅有一个立方根与之对应，故该逆命题成立． （4）原命题结构：原命题的题设为“一个三角形为钝角三角形”，结论为“它有两个锐角”； 改写命题：题设和结论互换后得到命题“有两个锐角的三角形是钝角三角形”； 判断命题：直角三角形有两个锐角，但直角三角形不是钝角三角形，故该逆命题不成立． 【变式2】．如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒① (2) 选择命题1：①②⇒③． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 选取命题2：②③⇒①． 证明: ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、判断命题真假 【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三个条件写出真命题即可； （2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，即可得到，进而求出即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角的定义得到，进而得到,然后根据三角形的内角和定理得到即可证明结论． 【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①． （2）略 【变式3】．写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形． (2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． (3)对于任意两数a，b，如果，那么． 【答案】(1) 原命题：真命题． 证明：设三个内角分别为x，，，由内角和为得，解得，最大角为，故为直角三角形． 逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么它的三个内角的度数之比为． 真假判断：假命题． 反例：等腰直角三角形的度数为45°，45°，90°，内角比为，不是． (2) 原命题：真命题． 证明：互为相反数的两个数满足（），则． 逆命题：两个非0数，如果它们的和等于0，那么这两个数互为相反数．真命题． 证明：若（），则，符合相反数的定义． (3) 原命题：假命题． 反例：取，满足，但，，此时，不满足． 逆命题：对于任意两数a， b，如果，那么．假命题． 反例：取，，，满足，但． 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键． （1）原命题：设内角为x，，，用内角和定理求角，验证最大角为，判定为真．逆命题：举等腰直角三角形（内角比）的反例，判定为假． （2）原命题：用相反数定义（）推导和为0，判定为真．逆命题：由和为0推出，符合相反数定义，判定为真． （3）解题思路原命题：举的例子，验证，判定为假．逆命题：举的例子，验证但，判定为假． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题的真假性，正确掌握逆命题的真假性是解题的关键． 写出各个选项的逆命题，再判断真假． 【详解】解：A、原命题的逆命题是：如果三角形的三个角对应相等，则这两个三角形是全等三角形，是假命题，不合题意； B、原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； C、原命题的逆命题是：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题，不合题意； D、原命题的逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角，是假命题，不合题意． 故选B． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）给出以下4个命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③互为相反数的两个数和为0；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、垂线的性质、相反数的性质及三角形外角的性质． 根据平行线的性质、垂线的判定、相反数的性质及三角形外角的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵①两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时内错角才相等，否则不一定相等，①是假命题； ∵②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，②是假命题； ∵③互为相反数的两个数相加和为0，这是相反数的定义，③是真命题； ∵④三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，但不一定大于相邻的内角，④是假命题； ∴真命题的个数为1． 故选：A． 3．已知命题：“三角形三条高线的交点一定在三角形的内部．”琪琪想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【答案】B 【分析】本题考查了举反例证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、锐角三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、钝角三角形三条高线的交点在三角形外部，符合反例要求； 、等边三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、任意三角形三条高线的交点为可能为直角顶点或在三角形外部或在三角形的内部，不符合反例要求； 故选：． 4．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设结论的反面成立，原结论“至少有一个内角不大于”的反面是“每一个内角都大于”． 【详解】解：∵原命题为“至少有一个内角不大于”， ∴其反面为“所有内角都大于”， 即应假设“三角形中每一个内角都大于”． 故选：D． 5．（2024·安徽合肥·二模）设P1，P2，…，Pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“最佳点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的“最佳点”，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的“最佳点”；②若四个点A，B，C，D共线，则它们的“最佳点”存在且唯一：③直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的“最佳点”；④平行四边形对角线的交点是其四个顶点的唯一“最佳点”．其中的真命题是（   ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】对于①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，利用两点之间线段最短，则C是A，B，C的最佳点，正确；对于②若四个点A、B、C、D共线，则它们的最佳点是中间两点连线段上的任意一个点，从而它们的最佳点存在但不唯一；对于③举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，据此进行判断即可；④在平行四边形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，利用根据三角形两边之和大于第三边得梯形对角线的交点是该平行四边形四个顶点的唯一最佳点 【详解】①若三个点A、B、C共线，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“最佳点”，C也不例外，则C是A，B，C的最佳点，①正确； ②若四个点A、B、C、D共线，则它们的最佳点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的最佳点存在但不唯一，故②错误； ③举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+ 2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的最佳点，故③错误； ④在平行四边形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA + PB + PC + PD≥ AC + BD= OA+OB + OC +OD ，所以平行四边形对角线的交点是该平行四边形四个顶点的唯一最佳点，故④正确； 其中的真命题是：①④ 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断与应用、新定义的应用、三角形的三边关系等基础知识，考查数形结合思想及转化思想． 6．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点； 2、则，； 3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾； 4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l． 则证明步骤正确的是②③①④， 故选：B． 7．下列说法：①三角形的三条高都在三角形内部，且都相交于一点；②三角形的中线就是过顶点平分对边的直线；③若原命题成立，则其逆命题也一定成立；④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角；⑤一个三角形的两边长为8和，那么它第三边的取值范围是． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形高线、中线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形三边的关系等，熟练掌握三角形的相关知识点是解题的关键．根据三角形高的定义即可判断①；根据三角形中线的定义即可判断②；根据命题逻辑即可判断③；根据三角形外角的性质即可判断④；根据三角形三边的关系即可判断⑤． 【详解】解：①三角形的三条高不一定在三角形内，例如钝角三角形的高的交点在三角形外，故原说法错误； ②三角形的中线就是过顶点平分对边的线段，故原说法错误； ③原命题成立时，逆命题不一定成立（如对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角），故原说法错误； ④三角形外角等于不相邻两内角之和，故大于任一不相邻内角，故原说法正确； ⑤一个三角形的两边长为8和10，那么它第三边的取值范围是，故原说法错误； 故选：B． 二、填空题 8．命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题是______命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了命题和定理，根据逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的，再根据三角形内角和定理判断其真假； 【详解】解：∵原命题“等边三角形三个内角都相等” ∴题设是“等边三角形”，结论是“三个内角都相等”， ∴逆命题是“三个内角都相等的三角形是等边三角形”， ∵三角形内角和为， ∴每个角为， ∴三角形三边相等， ∴三角形是等边三角形， 故答案为：真． 9．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是________（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确； ③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误； ④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确． 故答案为：③． 10．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设_____． 【答案】三角形的三个外角中至多有一个钝角 【分析】本题主要考查了反证法的应用．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，应先假设三角形的三个外角中至多有一个钝角， 故答案为：三角形的三个外角中至多有一个钝角． 11．命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题的真假性． 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 12．下列命题：①若一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是；②若m是无理数，则m是无限小数；③；④的立方根是2．其中是真命题的是_______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】分别根据一次函数的性质，无理数的定义，二次根式的计算，立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：①若一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是，是真命题，符合题意； ②若m是无理数，则m是无限小数，是真命题，符合题意； ③，原命题计算错误，是假命题，不符合题意； ④的立方根是2，是真命题，符合题意． 其中是真命题的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是判断命题的真假，关键是判断命题的说法是否正确． 13．对于下列命题：三个连续整数的和是3的倍数；在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；当为正整数时，的值一定是质数；任意一个三角形的三个内角中，至少有一个角不超过．其中，真命题的是_____．（填所有真命题的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了命题与定理等知识点．命题①通过设三个连续整数求和验证；命题②利用锐角三角形内角性质推导；命题③通过代入举反例；命题④采用反证法基于三角形内角和定理． 【详解】解：对于命题①：设三个连续整数为n，，，其和为，是3的倍数，故为真命题． 对于命题②：在锐角三角形中，每个内角均小于，任意两个内角之和为减去第三个内角，由于第三个内角小于，故两个内角之和大于且大于第三个内角，故为真命题． 对于命题③：当时，，55不是质数，故为假命题． 对于命题④：假设所有内角均大于，则内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故至少有一个内角不超过，为真命题． 故答案为：①②④． 三、解答题 14．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A+∠B．    【答案】 证明：假设∠1≠∠A+∠B， 在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，如下图所示：    ∴∠A+∠B＝180°﹣∠2， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠2， ∴∠1＝∠A+∠B， 与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B． 【分析】首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【详解】略 【点睛】本题考查了反证法的运用，反证法的一般解题步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 15．我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【答案】 解：选择的条件是①，选择的结论是②． 证明：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的面积与的面积相等； 选择的条件是②，选择的结论是①． 证明：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， 设B到的距离为，C到的距离为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即是的中线． 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积公式、命题的证明，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 若选择的条件是①，选择的结论是②，根据三角形中线的性质即可证明；若选择的条件是②，选择的结论是①，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】略 16．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】 （答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】略 17．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 【答案】；；；； 【分析】本题考查了反证法的应用、三角形内角和定理及平角的定义，解题的关键是正确作出反设（假设结论不成立），并利用内角和与平角性质推出矛盾． 假设结论不成立；利用三角形内角和表示，利用平角表示；推导得出，与假设矛盾，从而证明原命题． 【详解】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设． 根据三角形内角和定理，，变形得． 由于是的外角，与组成平角，故，因此． 由上述两步可知，这与假设矛盾． 因此假设不成立，原命题成立． 18．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1) 命题一：已知， 若，，则；真命题． 命题二：已知， 若，，则；真命题． 命题三：已知， 若，，则；真命题． (2) 选择命题一． 证明：，， ， ， ． 又， ， ， ． 选择命题二：延长、交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择命题三：延长、交于点， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义； （1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到，即可得到，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长、交于点，根据垂直可得，然后根据，得到，然后根据等量代换的到，即可得到，证明结论；选择命题三：延长、交于点，可以得到，即可得到，然后推导，即可得到平行． 【详解】（1）略 （2）略 19．“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得______． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设______________． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______， ∴______， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． (3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 【答案】(1)， (2)，，，， (3)不能做到 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）利用反证法证明即可； （3）设长方形的长为，宽为，根据面积为求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【详解】（1）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）证明：假设． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． （3）不能做到，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴不能做到. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 命题、定理与反证法压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、命题识别、改写、互逆命题（选择填空） 题型二、真假命题判断（高频选择、填空） 题型三、基础几何证明（简单直接证明） 题型四、反证法填空（必考小题） 题型五、反证法几何证明（本章压轴大题） 题型六、综合压轴（期末压轴） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法 1：命题改写、真假判断、反例构造 1.拆语句：分清谁是条件，谁是结论； 2.改写：补全文字，写成 “如果…… 那么……”； 3.判断真假：真命题寻找推理路径；假命题构造反例。 构造反例技巧：满足题设，但不满足结论；优先用特殊值、特殊图形（钝角三角形、等腰直角三角形）。 通法 2：几何证明通法（直接证明） 双向分析法 执因索果：从已知条件出发，一步步向后推导（正向）； 执果索因：从求证结论倒推，寻找需要的条件（逆向分析法，压轴首选）； 两头凑：已知向后推，结论向前找，找到中间对接点，整理书写证明。 书写规范：已知→求证→画图→证明，步步标注依据。 通法 3：反证法压轴证明通法（三步标准化书写模板） 模板： 求证：…… 证明：假设________________（结论反面）。 ∵（条件 + 假设），∴推理得到…… ∴得到的结论与______（已知 / 定理）矛盾。 ∴假设不成立。 ∴原命题________________成立。 核心要点：反设一定要写对；矛盾必须写清楚是和谁矛盾。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、命题识别、改写、互逆命题（选择填空） 【典例1】．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）下列语句中，是命题的是（   ） A．两点之间，线段最短 B．庄子故里欢迎您！ C．作线段的垂线 D．你吃饭了吗？ 题型模版 考法：判断是否为命题；改写 “如果那么”；写出逆命题，判断逆命题真假。 【变式1】．下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作线段的中垂线 C．内错角相等 D．若则 【变式2】．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式：_______． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 题型二、真假命题判断 （高频选择、填空） 【典例2】．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．若，则 【典例3】．（24-25八年级上·安徽六安·期末）对于命题“若，则”能说明它属于假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【典例4】．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【典例5】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”） 题型模版 考法：给出几何命题，判断真假；假命题举出反例。 【变式1】．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）下列命题中假命题的是（   ） A．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线平行 D．直角三角形的两个锐角互余 【变式2】．（25-26八年级上·安徽六安·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．形如（m，n都是常数）的函数是一次函数 B．三角形三个内角中至少有两个锐角 C．三角形的三条高所在的直线一定相交于三角形内 D．三角形的外角都大于它的任何一个内角 【变式3】．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） ①若，则；②若，则；③若函数有意义，则x的取值范围是；④若点和点关于x轴对称，则的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4】．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“两点之间线段最短”是______（填“真”或“假”）命题； 【变式5】．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题． 题型三、基础几何证明（简单直接证明） 【典例6】．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 题型模版 考法：简单平行线、三角形角度证明，训练推理格式，每一步写依据。 【变式1】．如图，点分别是三角形的边边上的点，有下列三个条件：    ①；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； (2)判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 【变式2】．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在△ABC中，∠ACB＝90°．现给出以下3个关系：①CD垂直于AB，②BE平分∠ABC，③∠CFE＝∠CEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 【变式3】．同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°． 德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑． 请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形，写出已知、求证和证明． 题型四、反证法填空（必考小题） 【典例7】．用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设：________． 【典例8】．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 【典例9】．（25-26八年级·安徽合肥·阶段检测）用反证法证明命题“在中，，则”时，第一步应先假设___________． 题型模版 考法：写出反证法第一步假设；判断反证推出的矛盾是什么。 【变式1】．用反证法证明命题：“已知是同一平面内三条不同的直线，如果与相交，那么与相交”是真命题时，第一步应假设______． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽六安·课后作业）填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【变式3】．反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设_______，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据________，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与________矛盾． 说明假设不成立，所以______． 题型五、反证法几何证明（本章压轴大题） 【典例10】．（26-27八年级上·安徽滁州·课后作业）证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 已知：． 求证：中至少有一个内角小于或等于． 【典例11】．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°． 题型模版 考法：三角形角度、平行线唯一性证明；结论带 “至少、至多、不可能”，必须用反证法。 【变式1】．在探究反证法时，给出了如下思路：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．假设，则由等边对等角得，这与已知矛盾，故． (1)上述证明使用的方法是 ； (2)写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题，并判断真假； (3)仿照上述思路、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角． 【变式2】．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【变式3】．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 题型六、综合压轴（期末压轴） 【典例12】．证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 【变式1】．（26-27八年级上·安徽安庆·期中）写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)三角形的内角和等于； (2)互为相反数的两个数的绝对值相等； (3)若，则； (4)钝角三角形有两个锐角． 【变式2】．如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③． (1)上述问题有哪几个真命题？ (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【变式3】．写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形． (2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． (3)对于任意两数a，b，如果，那么． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 2．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）给出以下4个命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；③互为相反数的两个数和为0；④三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知命题：“三角形三条高线的交点一定在三角形的内部．”琪琪想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 4．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角不大于”时，应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中每一个内角都小于 C．三角形中有一个内角大于 D．三角形中每一个内角都大于 5．（2024·安徽合肥·二模）设P1，P2，…，Pn为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“最佳点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的“最佳点”，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的“最佳点”；②若四个点A，B，C，D共线，则它们的“最佳点”存在且唯一：③直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的“最佳点”；④平行四边形对角线的交点是其四个顶点的唯一“最佳点”．其中的真命题是（   ） A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④ 6．如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 7．下列说法：①三角形的三条高都在三角形内部，且都相交于一点；②三角形的中线就是过顶点平分对边的直线；③若原命题成立，则其逆命题也一定成立；④三角形的一个外角大于和它不相邻的任一内角；⑤一个三角形的两边长为8和，那么它第三边的取值范围是． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 8．命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题是______命题.（填“真”或“假”） 9．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是________（填序号）． 10．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设_____． 11．命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是______，结论是______．该命题的逆命题是______，这个逆命题是______命题． 12．下列命题：①若一次函数的图象不经过第四象限，则k的取值范围是；②若m是无理数，则m是无限小数；③；④的立方根是2．其中是真命题的是_______（填序号）． 13．对于下列命题：三个连续整数的和是3的倍数；在锐角三角形中，任意两个内角和一定大于第三个内角；当为正整数时，的值一定是质数；任意一个三角形的三个内角中，至少有一个角不超过．其中，真命题的是_____．（填所有真命题的序号） 三、解答题 14．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A+∠B．    15．我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 16．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 17．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 18．如图，在三角形中，，是上的点，是上一点，，是上的点，．连接，，．有下列三个条件：①；②；③． (1)请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 19．“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得______． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设______________． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______， ∴______， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． (3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $