专题11 垂直平分线与角平分线（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题11 垂直平分线与角平分线 目录 1 类型一、利用垂直平分线的性质求解 1 类型二、利用垂直平分线的性质解决最值问题 2 类型三、利用垂直平分线的性质探究角度/线段之间的关系 11 类型四、垂直平分线的判定 16 类型五、垂直平分线性质与判定综合 23 类型六、利用角平分线的性质定理求解 27 类型七、角平分线的判定 33 类型八、角平分线的判定与性质综合 39 类型九、角平分线/垂直平分线的实际应用 44 类型十、尺规作图 46 类型十一、与角平分线有关的多结论问题 50 58 类型一、利用垂直平分线的性质求解 运用线段垂直平分线的性质时，常利用转化思想，确定已知线段和未知线段的数量关系，从而使复杂问题简单化. 1．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·湖南益阳·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于E，G两点，连接，，若，则的周长为_____． 4．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 5．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 类型二、利用垂直平分线的性质解决最值问题 6．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级上·四川眉山·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为 ． 类型三、利用垂直平分线的性质探究角度/线段之间的关系 10．（22-23八年级下·安徽宿州·阶段练习）在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N． (1)如图1，若，，则 ； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数； (4)通过以上的探索过程，求出的度数与，的关系． 11．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，平分． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点．分别交于点，．连接（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，猜想线段与的关系，并说明理由． 类型四、垂直平分线的判定 根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分. 13．（20-21八年级上·河南·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，． (1)求证：． (2)求证：是线段的垂直平分线． 14．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接，与相交于点G，求证：是的垂直平分线．    15．（22-23七年级下·四川·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 16．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，且．    (1)求证：； (2)如果．求证：垂直平分线段． 18．（21-22八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 类型五、垂直平分线性质与判定综合 三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明. 19．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 20．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若的周长为8，求的长； (3)若，求的度数． 21．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，点为的中点，连接，且，作射线． (1)求证：为线段的垂直平分线； (2)求的度数； (3)求的最小值． 类型六、利用角平分线的性质定理求解 22．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点是的平分线上一点，于点．已知，则点到的距离是（ ）． A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 24．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 25．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，的外角的平分线 与内角的平分线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 类型七、角平分线的判定 证明角的平分线本质上是证角相等，而利用点在角的平分线上的判定，可以把证角相等转化为证垂线段相等(转化思想)，这样就多了一种证明角的平分线的方法. 27．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 28．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在与中，，过点作垂足为交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若四边形的面积为，求的长． 29．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 30．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)猜想、与的关系，并说明理由． 类型八、角平分线的判定与性质综合 ①角平分线遇平行构造等腰三角形； ②常过角平分线上的特殊点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等来解题； ③遇到与角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，与另一边相交，构造全等三角形； ④有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； ⑤有两条角平分线交于一点时，常连接第三个顶点与角平分线的交点；并观察三角形两角和的一半是否为特殊角. 31．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 32．（24-25八年级上·安徽六安·期末）学习完15章，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： (1)如图1，在中，，，垂直平分，交于点，，则 ． (2)如图2，中，点、分别在、的延长线上，平分，平分． ①求证：平分； ②若，且与的面积分别是和，求． 33．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． (1)如图，连接，求证：点在的平分线上； (2)如图，延长交于点，过点作于点，于点．求证：． 类型九、角平分线/垂直平分线的实际应用 34．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 35．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线交点 B．三条角平分线交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 36．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）作图题： (1)尺规作图，保留作图痕迹．如图1，有两条高速公路和，两个城镇，准备建立一个燃气中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出然气中心站的位置； (2)如图2，河的一旁有两个村子，，要在河边建一水泵站引水到村里．一村民画了一张图，以直线表示一条河，求作一点，使点到，的距离之和最短，作出点，并用几何语言叙述你的理由 类型十、尺规作图 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，． (1)用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：在边上求作点Q，使得； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求长． 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)任意选择两个网格点画出线段的垂直平分线，并写出点M、N坐标（点M、N为线段的垂直平分线经过的网格点）． 39．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）尺规作图：（不写作图过程，但要保留作图痕迹） (1)作； (2)在直线l上求作一点P，使点P到射线和的距离相等． 类型十一、与角平分线有关的多结论问题 40．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（    ）    ①若，则；②若，则；③若，则；④过点作于点，若，，则． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 41．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点．且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的长不变；②的值不变；③四边形的面积不变；④，其中，正确结论的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 42．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，平分 交于点，交于点．①；②若，则；③；④．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 43．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 44．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    45．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我们知道在解与角平分线有关的问题时，通常过角平分线上的一点作角两边的垂线，构造全等三角形，请完成下列问题． 【初步探究】（1）如图 1， ， 平分， 点 C 是射线 上一点，， 且与， 分别交于点 D， B， 求证：． 【类比探究】（2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点C逆时针旋转使点 D落在的反向延长线上． 请探究线段，和之间的数量关系，写出结论并证明． 【拓展应用】（3）如图3，其他条件不变，将图1的绕点C顺时针旋转使点 B落在的反向延长线上． 请直接写出线段，和之间的数量关系． （不用证明）    46．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 47．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，．M为上的动点，连结，． (1)当时，求； (2)当时，求证：； (3)求的最小值． 48．（23-24八年级上·广东广州·期末）在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使． (1)如图1，当点D是的中点时，求证：； (2)如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由． (3)若等边的边长为4，当时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 垂直平分线与角平分线 目录 1 类型一、利用垂直平分线的性质求解 1 类型二、利用垂直平分线的性质解决最值问题 2 类型三、利用垂直平分线的性质探究角度/线段之间的关系 11 类型四、垂直平分线的判定 16 类型五、垂直平分线性质与判定综合 23 类型六、利用角平分线的性质定理求解 27 类型七、角平分线的判定 33 类型八、角平分线的判定与性质综合 39 类型九、角平分线/垂直平分线的实际应用 44 类型十、尺规作图 46 类型十一、与角平分线有关的多结论问题 50 58 类型一、利用垂直平分线的性质求解 运用线段垂直平分线的性质时，常利用转化思想，确定已知线段和未知线段的数量关系，从而使复杂问题简单化. 1．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵直线为线段的垂直平分线， ∴ 故选：B 2．（2020·湖南益阳·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于E，G两点，连接，，若，则的周长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和三角形周长求法，掌握垂直平分线性质是解决本题的关键． 根据垂直平分线性质得，将的周长转化成长度即可． 【详解】解： ，分别是边，的垂直平分线， ， ， 又 ， 的周长为8． 故答案为：8． 4．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 5．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质．熟练掌握以上知识并且恰当的运用等量代换是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，则，，根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，则，．在中根据三角形内角和定理即可求出的值．在中，又由，即可求出的值． （3）根据线段垂直平分线的性质可得．由的周长，可得．由的周长，可得，由此可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵中，， ∴． ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴． 又∵中，， ∴， 即， ∴． 在中，， ∵， ∴ ． 故答案为：． （3）解：如图，连接， ∵的周长， ∴． 又∵， ∴， 即； ∵的周长， ∴， ∴； ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴． 类型二、利用垂直平分线的性质解决最值问题 6．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接，则， ，若要的周长最小，则三点共线，即为与的交点，的周长为，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为边的垂直平分线， ∴， 由的周长为， ∴当三点共线，的周长最小值为， 故选：． 7．（21-22八年级上·四川眉山·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可． 【详解】解：作于点，连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 点、分别为线段、线段上的动点，， 则的最小值为， 等腰三角形的底边长为2，面积为5， ， ， 的最小值为5． 故选：C． 8．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图在四边形中，，，面积为 24，的垂直平分线分别交，于点M，N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，连接、，过点D作于H．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接、，过点D作于H， ∵面积为24，， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的值最小值为8． 故选：C． 9．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 由基本作图得到垂直平分，则，所以，连接，如图，利用两点之间线段最短可判断的最小值为，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， 连接，如图， ∵（当且仅当M点在上时取等号）， ∴的最小值为， ∵，D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴长度的最小值为5． 故答案为：5． 类型三、利用垂直平分线的性质探究角度/线段之间的关系 10．（22-23八年级下·安徽宿州·阶段练习）在中，垂直平分，分别交，于点D，E，垂直平分，分别交，于点M，N． (1)如图1，若，，则 ； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数； (4)通过以上的探索过程，求出的度数与，的关系． 【答案】(1)44 (2) (3) (4)由（2）当时，；当时， 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出，即可得解； （2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，即可得解； （3）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，即可得解； （4）由（2）（3）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：44． （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ∴； （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ∴； （4）解：由（2）当时， ； 当时， ． 11．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1)5， (2)2， (3)，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，作，证明是的平分线，三线合一得到垂直平分，得到，平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （2）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （3）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，根据线段的和关系即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，作， ∵， ∴为等腰三角形， ∵、的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 综上：共有5个等腰三角形，； （2）解：∵、的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 故共有2个等腰三角形，； （3）解：，理由如下： ∵的平分线与三角形外角平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，平分． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点．分别交于点，．连接（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，猜想线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴ ， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 类型四、垂直平分线的判定 根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分. 13．（20-21八年级上·河南·期中）如图，在四边形中，，，，E是的中点，． (1)求证：． (2)求证：是线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，得，；再由得，即可得，利用即可证明； （2）由及E为中点可得；由及得平分，从而由等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴； ∵点E为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴平分； ∵， ∴是线段的垂直平分线． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，平行线的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 14．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接，与相交于点G，求证：是的垂直平分线．    【答案】见解析 【分析】本题考查中垂线的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角平分线的性质得到，得到，再根据垂直结合等角的余角相等，求出，进而得到，即可得证． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 15．（22-23七年级下·四川·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，故可得出结论； （2）先由平分得出，再根据可知，得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵，则 ∴， ∴； （2）∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴垂直平分． 16．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，已知：E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接，且交于点F． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)．见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键． （1）先根据是的平分线上一点，，得出，可得出，，，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出是的垂直平分线； （2）先根据是的平分线上一点，可得出，由直角三角形的性质可得出，同理可得出即可得出结论． 【详解】（1）证明：是的平分线上一点，，， ，， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； （2）是的平分线上一点，， ， ，， ，， ， ， ． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，且．    (1)求证：； (2)如果．求证：垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定是解题的关键． （1）证明，进而结论得证； （2）如图，连接，证明，则，根据，可证垂直平分线段． 【详解】（1）证明：和都是等腰三角形， ，， ， ，即． 在和中， ∵， ， ． （2）证明：如图，连接，    由（1）可知，， 又， ， ． 在和中， ∵， ， ． 点在的中垂线上． ∵， 点在的中垂线上， 垂直平分线段． 18．（21-22八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 类型五、垂直平分线性质与判定综合 三角形中与线段垂直平分线结合的综合题型，一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，向我们要证明的结论逐步引导进行证明. 19．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明， ，进而得， 由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解。 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质 【详解】（1）证明：如图，连接，，． 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， （2）解： 垂直平分，垂直平分， ，，， ， ，， ， ， ，， ，， 20．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，相交于点，连接，． (1)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若的周长为8，求的长； (3)若，求的度数． 【答案】(1)点在的垂直平分线上，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用线段垂直平分线性质定理的逆定理即可解答. （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得的周长，即可解答； （3）根据“等边对等角”得，由三角形内角和可得的度数. 【详解】（1）点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，如图． ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2）∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， 的周长； （3）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，点为的中点，连接，且，作射线． (1)求证：为线段的垂直平分线； (2)求的度数； (3)求的最小值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，掌握数形结合并明确相关性质及定理定解题的关键． （1）设交于点，根据为的中点，即点在线段的垂直平分线上，根据为等边三角形，得出点在线段的垂直平分线上，得出为线段的垂直平分线； （2）根据，再根据即可求解； （3）根据题意确定点在射线上，当时，的值最小，证出，得出即可求解； 【详解】（1）如图，设交于点， ∵为的中点， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵为等边三角形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴为线段的垂直平分线； （2）为线段的垂直平分线，为等边三角形， ∴，， ， （3）点在射线上，当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， ∵， 在和中 故答案为：． 类型六、利用角平分线的性质定理求解 22．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，点是的平分线上一点，于点．已知，则点到的距离是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据是的平分线，，，则，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是的平分线，， ∴， 即点到的距离是． 故选． 23．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 24．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等性质和等面积法求解即可． 【详解】解∶过点O作于D，于E，于F， 点O是内心， ． 故选：D． 25．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，的外角的平分线 与内角的平分线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过点E作交延长线于点F，于点M，交延长线于点N，设，根据角平分线的性质定理，可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作交延长线于点F，于点M，交延长线于点N， 设， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 26．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 类型七、角平分线的判定 证明角的平分线本质上是证角相等，而利用点在角的平分线上的判定，可以把证角相等转化为证垂线段相等(转化思想)，这样就多了一种证明角的平分线的方法. 27．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，与交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分．（提示：过向、作垂线） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由已知得出，再根据“”证明，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，根据“”证明，得到，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 28．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在与中，，过点作垂足为交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若四边形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定； （1）过点作于点，，得出，进而根据角平分线的判定，即可得证； （2）证明，得出，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点 ， ， 又， 平分 （2）， ， 由（1）可知：， ， ， 同理， ， ， ， ， 解得：， 29．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接．    (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解； （2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证； 【详解】（1）分别为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作的垂线，垂足分别为点，   ， ， 又， ， ， ， 同理， 平分． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键． 30．（22-23八年级上·天津滨海新·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)猜想、与的关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明； （3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又∵，平分， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 类型八、角平分线的判定与性质综合 ①角平分线遇平行构造等腰三角形； ②常过角平分线上的特殊点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等来解题； ③遇到与角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，与另一边相交，构造全等三角形； ④有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形； ⑤有两条角平分线交于一点时，常连接第三个顶点与角平分线的交点；并观察三角形两角和的一半是否为特殊角. 31．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 32．（24-25八年级上·安徽六安·期末）学习完15章，小希同学总结了学习心得：“对称是一种解题方法，即分析问题时我们要善于观察并利用问题自身条件的某些对称性．”结合以上内容解决问题： (1)如图1，在中，，，垂直平分，交于点，，则 ． (2)如图2，中，点、分别在、的延长线上，平分，平分． ①求证：平分； ②若，且与的面积分别是和，求． 【答案】(1)4 (2)①证明见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，进而根据三角形的外角的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）①过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为．根据角平分线的性质可得，，等量代换可得，根据角平分线的判定定理，即可得证； ②根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）①如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； ②∵ ，， ∴． ∴． ∵与的面积分别是和， ∴ ． ∴， 即． ∴. 33．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． (1)如图，连接，求证：点在的平分线上； (2)如图，延长交于点，过点作于点，于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定． 因为，是的角平分线，过点作，，的垂线段，分别交于点、、，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； 首先过点作的垂线段，交的延长线于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证、，等量代换可证． 【详解】（1）证明：如图所示， 过点作，，的垂线段，分别交于点、、， ，是的角平分线， ，， ， 点在的角平分线上； （2）证明：如图所示， 过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 即． 类型九、角平分线/垂直平分线的实际应用 34．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 35．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线交点 B．三条角平分线交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 36．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）作图题： (1)尺规作图，保留作图痕迹．如图1，有两条高速公路和，两个城镇，准备建立一个燃气中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出然气中心站的位置； (2)如图2，河的一旁有两个村子，，要在河边建一水泵站引水到村里．一村民画了一张图，以直线表示一条河，求作一点，使点到，的距离之和最短，作出点，并用几何语言叙述你的理由 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到，两点的距离相等又要画线段的垂直平分线，两线的交点就是点的位置； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求，在直线上任取一点，连接，，，根据轴对称的性质，三角形三边关系定理判定线段的大小． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点． （2）如图，点即为所求作的点． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求， 理由： 在直线上任取一点，连接，，． ，两点关于直线轴对称， ，， ， 又在中，由三角形三边关系定理，得， 即， ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质和线段最短问题的作法，熟练应用这些性质是解题的关键． 类型十、尺规作图 37．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，． (1)用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：在边上求作点Q，使得； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点Q，则点Q即为所求； （2）由题意得为等边三角形，则．再根据，可得． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点Q， 则点Q即为所求． （2）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴． 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)任意选择两个网格点画出线段的垂直平分线，并写出点M、N坐标（点M、N为线段的垂直平分线经过的网格点）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，， 【分析】（1）先找到，，三点关于x轴的对称点，，，依次连接即可； （2）先画出的垂直平分线，然后在垂直平分线上找到两个网格点，直接读出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，先找到，，三点关于x轴的对称点，，，依次连接， 则即为所求作： （2）解：如图，先画出的垂直平分线，然后在垂直平分线上找到两个网格点，， 由图可知：，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，作已知线段的垂直平分线，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键． 39．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）尺规作图：（不写作图过程，但要保留作图痕迹） (1)作； (2)在直线l上求作一点P，使点P到射线和的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-作一个角等于已知角，作角平分线及角平分线的性质定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可； （2）根据角平根线的性质，作的角平分线交直线l于点P即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，作的角平分线交直线l于点P，过点P作，垂足分别为， ，即点P到射线和的距离相等． 类型十一、与角平分线有关的多结论问题 40．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（    ）    ①若，则；②若，则；③若，则；④过点作于点，若，，则． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①过作交于，由角平分线的性质定理得，由判定，由三角形全等的性质得，再由等腰三角形的性质即可判断；②延长至，使得，连接，由线段垂直平分线的性质得，设，由等腰三角形的性质得，，是等腰三角形， 可判定延长至时，、、，三点共线，由 ，即可判断；③由三角形面积公式得，即可判断；④如图，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，即可判断． 【详解】解：①如图，过作交于，   ， 平分，， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ； 故①正确； ②延长至，使得，连接， ， ， ， ， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 过两点有且只有一条直线， 连接、的线段只有一条， 延长至时，、、，三点共线， ， ， ， 故②错误； ③由①得： ， ， ， ， ， 故③正确； ④如图，过作交于，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述：①③④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等，掌握相关的判定及性质，能根据题意作出适当的辅助性，构建全等三角形是解题的关键． 41．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，点为定角平分线上的一个定点．且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①的长不变；②的值不变；③四边形的面积不变；④，其中，正确结论的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】作于于，只要证明，即可一一判断，本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：作于于． ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴定值，故③正确， ∵到的距离相等， ∴，故④正确； 定值，故②正确； ，是等腰三角形， ∵P固定不动，M和N在动， ∴和长度会变，导致底边长度是变化的，故①错误． 故选：D． 42．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，平分 交于点，交于点．①；②若，则；③；④．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质与判定以及三角形面积公式： ①利用角平分线定义得到，再用三角形内角和为求解即可； ②证明即可； ③是等高但底不一定相同的三角形，直接用三角形面积公式求解； ④在上截取，连接，先证明得到，再证明即可得到结论． 【详解】解：①， ， 平分，平分 ， ， ， ； ②， ， 平分 ， ， ， ， ， ； ③不一定等于，， 不一定和相等； ④在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，正确； 故选：C． 43．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ①根据角平分线，可知，，根据外角，可知，，推出，即可得到结论；②过作于，于，于，根据角平分线的性质，证明，和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ②过作于，于，于，如图所示： ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ，而不一定等于， ∴不一定等于，故②错误； ③，平分， 垂直平分，故③正确； ④， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④错误． 综上分析可知，①③正确， 故选：B． 44．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点； 45．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我们知道在解与角平分线有关的问题时，通常过角平分线上的一点作角两边的垂线，构造全等三角形，请完成下列问题． 【初步探究】（1）如图 1， ， 平分， 点 C 是射线 上一点，， 且与， 分别交于点 D， B， 求证：． 【类比探究】（2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点C逆时针旋转使点 D落在的反向延长线上． 请探究线段，和之间的数量关系，写出结论并证明． 【拓展应用】（3）如图3，其他条件不变，将图1的绕点C顺时针旋转使点 B落在的反向延长线上． 请直接写出线段，和之间的数量关系． （不用证明）    【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）过点作于点，于点，由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，由含30度角的直角三角形的性质可得，由线段关系可求解． （3）在上截取，连接，证明，可得． 【详解】证明：（1）过点作于点，于点，如下图，    ∵平分，，， ∴， ∵，由四边形的内角和等于， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2），理由如下： 过点作于，于，如下图，    ∵平分，，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： 在上截取，连接，    ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，根据角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 46．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题中要求补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可； （3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：依题意，补全图形如图所示： （2）解：∵于D， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）解：． 证明：如图，在延长线上取点F，使，连接． ∵，， ∴，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ，， ∴． 47．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，．M为上的动点，连结，． (1)当时，求； (2)当时，求证：； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查角所对直角边等于斜边一半，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识： （1）根据角所对直角边等于斜边一半可得结论； （2）过A作于点E，于点F，根据证明可证明垂直平分，可得结论； （3）过M作于点G,可得，从而可得，进而可得结论 【详解】（1）如图，， ∴    （2）过A作于点E，于点F    ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴垂直平分, ∴ （3）过M作于点G，    ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为8 48．（23-24八年级上·广东广州·期末）在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使． (1)如图1，当点D是的中点时，求证：； (2)如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由． (3)若等边的边长为4，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)全等，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识： （1）由D是等边三角形边的中点可得，再证明是等腰三角形，得从而可得结论； （2）由可得得出 得出 由得可知再证明，进而再利用证明,可得结论； （3）由（2）知得，由可得，再由可得结论． 【详解】（1）证明：∵D是等边三角形边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∵且 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）全等，证明如下： ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵且 ∴ ∴ 又 ∵ ∴ 在和中， ， ∴； （3）解：由（2）知，且， ， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $