第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 易错题专题训练2026-2027学年沪科版数学八年级上册

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明·易错题专题训练（六大专题） （试题版·学生练习用） 使用说明：本资料按六大专题编排，每个专题内独立编号；请先独立完成，再对照解析版订正，错题务必结合【错因】复盘。 专题一　三角形三边关系易错题 1．露营区要用三根竹竿搭一个三角形置物架，已备好两根，长分别为 0.8 m 和 1.5 m，还需配第三根．下列长度中可选用（　） A．0.7 m B．2.3 m C．1.6 m D．2.4 m 2．木工房有四根木条，长度分别为 4、6、8、10（单位 dm），从中任取三根首尾相接，能围成三角形的取法共有（　） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 3．已知三角形两边长为 6 和 9，第三边长为整数，则第三边可能是（　） A．3 B．5 C．15 D．17 4．一个等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则它的周长为（　） A．21 B．27 C．21 或 27 D．16 5．已知三角形两边长为 7 和 10，第三边 c 为正整数，且周长为偶数，则这样的 c 共有 ______ 个． 6．一个等腰三角形的周长为 24，其中一边长为 10，则其余两边长为 ______． 7．已知△ABC 三边长 a、b、c 满足 |a−6|＋(b−8)²＝0，且 c 为正整数，则符合条件的 c 共有 ______ 个． 8．如图，P 是△ABC 内一点，连接 PA、PB、PC．(1) 利用三边关系证明 PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋CA；(2) 证明 PA＋PB＋PC＞(AB＋BC＋CA)；(3) 若 P 运动到△ABC 外部，(2) 的结论是否仍一定成立？画图说明． 解： 　 　 　 　 　 　 专题二　三角形内角、外角计算 1．△ABC 中∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则最大角为 ______，按角分类它是 ______ 三角形． 2．如图，D 是△ABC 边 BC 延长线上一点，∠A＝58°、∠B＝46°，则外角∠ACD＝______． 3．D 在△ABC 边 BC 延长线上，外角∠ACD＝110°，且∠A 比∠B 大 30°，则∠A＝______、∠B＝______． 4．如图，将一块含 60° 角的三角板与一块含 45° 角的三角板叠放，两锐角顶点重合于 O，相邻直角边在同一直线上、两斜边分居该直线两侧，则两斜边的夹角为 ______． 5．如图，三角形纸片 ABC 中∠A＝70°、∠B＝60°，将一角折叠使点 C 落在三角形内部 C′处，折痕为 DE，C′处形成的两角记为∠1、∠2，则∠1＋∠2＝______． 6．如图，△ABC 中∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 P，∠A＝70°，则∠BPC＝______． 7．如图，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AC、BD 成“8 字形”，∠A＝40°、∠C＝50°、∠B＝45°，则∠D＝______． 8．如图是一个五角星，五个尖角分别为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝______． 9．如图，△ABC 中∠A＝80°，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 P，过 P 的直线 MN∥BC，分别交 AB、AC 于 M、N．(1) 求∠BPC；(2) 求∠MPB 与∠NPC 的度数之和；(3) 说明∠MPB、∠NPC 分别与哪些角相等． 解： 　 　 　 　 　 10．如图，△ABC 中内角∠ABC 的平分线与外角∠ACD 的平分线交于 P1；∠P1BC 的平分线与∠P1CD 的平分线交于 P2；照此继续．设∠A＝α．(1) 用 α 表示∠P1；(2) 求∠P2；(3) 直接写出第 n 个交点 Pn 处的角． 解： 　 　 　 　 　 专题三　三角形的三条重要线段 1．如图，三幅图中点 D 都在边 BC 上，根据作图痕迹，分别判断 AD 是哪种主要线段（填“高”“中线”或“角平分线”）：图①______、图②______、图③______． 2．△ABC 中∠A 为钝角，则三条高中位于三角形外部的有 ______ 条，三条高所在直线的交点位于三角形 ______． 3．如图，AD 是△ABC 的中线，△ABD 的周长为 28，且 AB 比 AC 长 4，则△ACD 的周长为 ______． 4．如图，△ABC 中∠A＝80°、∠C＝40°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，则∠ADB＝______． 5．△ABC 中 BC＝12，BC 边上的高为 5，AC＝10，则 AC 边上的高为 ______． 6．如图，△ABC 中 D 是 BC 中点，BC＝14，BC 边上的高为 6．(1) 求△ABD 的面积；(2) 点 P 在线段 AD 上，△PBC 面积为 21，确定 P 的位置；(3) P 从 D 沿 DA 到 A，△PBC 面积在什么范围变化？ 解： 　 　 　 　 　 7．如图，△ABC 为钝角三角形，BC＝10，BC 边上的高 AD＝4，垂足 D 在 CB 的延长线上．(1) 画出三条高并说明哪两条在三角形外；(2) 求△ABC 面积；(3) 点 P 在直线 BC 上，△ABP 面积为 10，求 BP 的长（注意 P 的位置）． 解： 　 　 　 　 　 专题四　命题与证明 1．下列语句中，属于命题的是（　） A．画一条线段等于已知线段 B．你今天完成作业了吗 C．对顶角相等 D．过点 A 作直线 l 的垂线 2．将命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”形式：______；其题设是 ______，结论是 ______． 3．命题“相等的角是对顶角”是 ______ 命题；若是假命题，举反例：______． 4．下列命题：①若 a²＝b²，则 a＝b；②钝角三角形有两条高在三角形外部；③互补的两个角一定有一条公共边；④三角形中最大的角不小于 60°．其中真命题是 ______，并对假命题各举反例． 5．判断下列命题真假并对假命题举反例：(1)“若 a＞b，则 ac＞bc”；(2)“两个锐角的和一定是钝角”． 6．如图，直线 AB、CD 相交于点 O．请按“已知、求证、证明”格式，规范证明对顶角 ∠AOC＝∠BOD，并在每一步注明理由． 解： 　 　 　 　 7．如图，△ABC，过顶点 A 作直线 DE∥BC．请利用该辅助线规范证明三角形内角和 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，注明理由． 解： 　 　 　 　 　 8．如图，△ABC 中∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 P．请完整书写证明 ∠BPC＝90°＋∠A，注明每一步理由． 解： 　 　 　 　 　 专题五　分类讨论思想专项拔高 1．等腰三角形周长为 16，其中一边长为 4，则其余两边长为 ______． 2．等腰三角形两边长为 3 和 7，则周长为 ______． 3．如图，△ABC 中 AD 是 BC 边上的高，AD＝4，BD＝3、CD＝2，则 BC 的长为 ______（注意垂足位置）． 4．平面直角坐标系中，点 P 到 x 轴距离为 3、到 y 轴距离为 4，则点 P 的坐标为 ______． 5．等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分成 15 和 12 两部分，则三边长为 ______． 6．用长绳围成周长为 20 的等腰三角形，设腰长为 x．(1) 求 x 的取值范围；(2) 若三边长均为整数，共有几种围法？写出各边；(3) 若一边长为 8，求其余两边． 解： 　 　 　 　 　 7．如图，平面直角坐标系中 A(0,0)、B(6,0)，动点 C 从 (0,4) 出发，沿过该点且平行于 x 轴的直线以 1 单位/秒向右运动，时间为 t．(1) 求△ABC 面积并说明是否随 t 改变；(2) t 为何值时 AC＝BC？(3) 若 C 改在直线 y＝−4 上运动，(2) 的结果是否改变？ 解： 　 　 　 　 　 　 专题六　章末综合易错题大合集 1．下列各组长度（单位 cm）中，能构成三角形的是（　） A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，4，8 D．4，6，9 2．如图，△ABC 中∠A＝80°、∠B＝45°，D 在 BC 延长线上，则外角∠ACD＝（　） A．115° B．125° C．135° D．100° 3．如图，△ABC 中∠B、∠C 平分线交于 P，∠A＝64°，则∠BPC＝（　） A．122° B．116° C．128° D．148° 4．如图，∠B 的平分线与外角∠C 的平分线交于 P1，再各自平分交于 P2，∠A＝96°，则∠P2＝（　） A．48° B．24° C．12° D．36° 5．等腰三角形两边长为 6 和 13，则周长为 ______． 6．如图，纸片△ABC 中∠A＝60°、∠B＝80°，折叠使 C 落在内部 C′，C′处两角为∠1、∠2，则∠1＋∠2＝______． 7．如图，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，F 是 CE 中点，阴影△BEF 面积为 2，则△ABC 面积为 ______． 8．如图，直线 AB、CD 相交于 O，射线 OE 平分∠AOC，∠AOD＝110°．(1) 求∠AOC；(2) 求∠AOE，并注明理由． 解： 　 　 　 　 9．如图，△ABC 中∠A＝70°，∠B、∠C 平分线交于 P，过 P 作 DE∥BC 交 AB 于 D、AC 于 E．(1) 求∠BPC；(2) 求∠DPB＋∠EPC；(3) 若∠B＝60°，求∠DPB． 解： 　 　 　 　 　 　 10．如图，平面直角坐标系中 A(0,4)、B(−6,0)、C(6,0)，动点 P 从 O 沿 y 轴正方向以 1 单位/秒运动，时间为 t．(1) 求△ABC 面积；(2) 求直线 AB 的一次函数解析式；(3) 设△PBC 面积为 S，写出 S 与 t 的关系（0≤t≤4）；(4) 是否存在 t 使△ABP 面积为 6？若存在求 t（注意分类）． 解： 　 　 　 　 　 　 　 　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明·易错题专题训练（六大专题） （解析版·教师、家长用） 说明：每题给出【答案】【解析】与【错因】；【错因】指向学生最易出现的失误，用于错题复盘。 专题一　三角形三边关系易错题 1．露营区要用三根竹竿搭一个三角形置物架，已备好两根，长分别为 0.8 m 和 1.5 m，还需配第三根．下列长度中可选用（　） A．0.7 m B．2.3 m C．1.6 m D．2.4 m 【答案】　C 【解析】　第三边介于两边之差与之和：1.5−0.8＜x＜1.5＋0.8，即 0.7＜x＜2.3；0.7、2.3 为端点（取等共线），2.4 超界，仅 1.6 满足。 【错因】　把端点 0.7、2.3 当成可取；第三边范围写成闭区间。 2．木工房有四根木条，长度分别为 4、6、8、10（单位 dm），从中任取三根首尾相接，能围成三角形的取法共有（　） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 【答案】　C 【解析】　四种组合：(4,6,8) 成立；(4,6,10) 因 4＋6＝10 不成立；(4,8,10) 成立；(6,8,10) 成立，共 3 组。 【错因】　只看“两短边之和”时把等于最长边也算成立；漏数组合。 3．已知三角形两边长为 6 和 9，第三边长为整数，则第三边可能是（　） A．3 B．5 C．15 D．17 【答案】　B 【解析】　第三边范围 3＜x＜15；3、15 为端点，17 超界，仅 5 在范围内。 【错因】　端点 3、15 误取；范围方向错。 4．一个等腰三角形的两边长分别为 5 和 11，则它的周长为（　） A．21 B．27 C．21 或 27 D．16 【答案】　B 【解析】　若腰为 5：5、5、11，因 5＋5＜11 不成立；若腰为 11：11、11、5 成立，周长 27。 【错因】　不检验三边关系直接得“21或27”；等腰不给腰底时漏分类、漏验证。 5．已知三角形两边长为 7 和 10，第三边 c 为正整数，且周长为偶数，则这样的 c 共有 ______ 个． 【答案】　6 【解析】　三边范围 3＜c＜17；周长 17＋c 为偶，要求 c 为奇数，c＝5、7、9、11、13、15，共 6 个。 【错因】　周长为偶与 c 奇偶关系推反；漏掉端点判断。 6．一个等腰三角形的周长为 24，其中一边长为 10，则其余两边长为 ______． 【答案】　10、4 或 7、7 【解析】　10 为腰：10、10、4 成立；10 为底：7、7、10 成立，两种都要检验三边关系。 【错因】　只算一种；不验证三边关系。 7．已知△ABC 三边长 a、b、c 满足 |a−6|＋(b−8)²＝0，且 c 为正整数，则符合条件的 c 共有 ______ 个． 【答案】　11 【解析】　由绝对值与平方非负得 a＝6、b＝8；第三边 2＜c＜14，c＝3～13，共 11 个。 【错因】　非负性不会用；第三边整数个数数错（含端点）。 8．如图，P 是△ABC 内一点，连接 PA、PB、PC．(1) 利用三边关系证明 PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋CA；(2) 证明 PA＋PB＋PC＞(AB＋BC＋CA)；(3) 若 P 运动到△ABC 外部，(2) 的结论是否仍一定成立？画图说明． 【答案】　(1)(2) 见证明；(3) 不一定成立 【解析】　(1) 在各小三角形中：PA＋PB＜CA＋CB、PB＋PC＜AB＋AC、PC＋PA＜BC＋BA，三式相加除以 2 即得 PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋CA。 (2) 由 PA＋PB＞AB、PB＋PC＞BC、PC＋PA＞CA，相加除以 2 得 PA＋PB＋PC＞周长。 (3) 外部点可举反例（P 离某顶点很远但贴近一边时，距离和可能不大于半周长），故不一定。 【错因】　内部点不等式方向记反；外部想当然认为仍成立。 专题二　三角形内角、外角计算 1．△ABC 中∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则最大角为 ______，按角分类它是 ______ 三角形． 【答案】　75°、锐角 【解析】　最大角 180°×＝75°，三角均小于 90°，为锐角三角形。 【错因】　按比例求角时分母算错；最大角找错。 2．如图，D 是△ABC 边 BC 延长线上一点，∠A＝58°、∠B＝46°，则外角∠ACD＝______． 【答案】　104° 【解析】　外角等于不相邻两内角和：∠ACD＝∠A＋∠B＝104°。 【错因】　外角与内角关系用错，误作差。 3．D 在△ABC 边 BC 延长线上，外角∠ACD＝110°，且∠A 比∠B 大 30°，则∠A＝______、∠B＝______． 【答案】　70°、40° 【解析】　∠A＋∠B＝110°，∠A−∠B＝30°，解得 ∠A＝70°、∠B＝40°。 【错因】　外角等于两内角和这一关系没用上，只按差算。 4．如图，将一块含 60° 角的三角板与一块含 45° 角的三角板叠放，两锐角顶点重合于 O，相邻直角边在同一直线上、两斜边分居该直线两侧，则两斜边的夹角为 ______． 【答案】　105° 【解析】　两斜边与公共直角边分别成 60°、45°，异侧夹角 60°＋45°＝105°。 【错因】　异侧误作差；三角板固有角度记错。 5．如图，三角形纸片 ABC 中∠A＝70°、∠B＝60°，将一角折叠使点 C 落在三角形内部 C′处，折痕为 DE，C′处形成的两角记为∠1、∠2，则∠1＋∠2＝______． 【答案】　100° 【解析】　∠C＝50°；折叠前后角度关系给出 ∠1＋∠2＝2∠C＝100°。 【错因】　折叠角关系记成 ∠A＋∠B；漏乘 2。 6．如图，△ABC 中∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 P，∠A＝70°，则∠BPC＝______． 【答案】　125° 【解析】　双内角平分线 ∠BPC＝90°＋∠A＝90°＋35°＝125°。 【错因】　模型结论记成 90°−∠A；不会现场推导。 7．如图，线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AC、BD 成“8 字形”，∠A＝40°、∠C＝50°、∠B＝45°，则∠D＝______． 【答案】　35° 【解析】　对顶角 ∠AOC＝∠BOD，故 ∠A＋∠C＝∠B＋∠D，40°＋50°＝45°＋∠D，∠D＝35°。 【错因】　8 字模型角度转移方向错；把对顶角当成所求。 8．如图是一个五角星，五个尖角分别为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝______． 【答案】　180° 【解析】　利用外角把五个尖角转移到同一个三角形中，其和为 180°。 【错因】　五角星角度和误记为 360°；不会用外角转移。 9．如图，△ABC 中∠A＝80°，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 P，过 P 的直线 MN∥BC，分别交 AB、AC 于 M、N．(1) 求∠BPC；(2) 求∠MPB 与∠NPC 的度数之和；(3) 说明∠MPB、∠NPC 分别与哪些角相等． 【答案】　(1)130°；(2)50°；(3)∠MPB＝∠ABC，∠NPC＝∠ACB 【解析】　(1) ∠BPC＝90°＋∠A＝130°。 (2) MN∥BC，∠MPB＝∠PBC＝∠B，∠NPC＝∠PCB＝∠C，二者和＝(∠B＋∠C)＝×100°＝50°。 (3) 由内错角相等，分别等于 ∠B、∠C。 【错因】　内错角找错；∠B＋∠C 不会用 180°−∠A。 10．如图，△ABC 中内角∠ABC 的平分线与外角∠ACD 的平分线交于 P1；∠P1BC 的平分线与∠P1CD 的平分线交于 P2；照此继续．设∠A＝α．(1) 用 α 表示∠P1；(2) 求∠P2；(3) 直接写出第 n 个交点 Pn 处的角． 【答案】　∠P1＝α；∠P2＝α；∠Pn＝α·n 【解析】　(1) 内外角平分线夹角 ∠P1＝∠A＝α。 (2) 再平分一次 ∠P2＝∠P1＝α。 (3) 每次减半，∠Pn＝α·n。 【错因】　内外平分线模型结论记成 90°＋α；递推指数写错。 专题三　三角形的三条重要线段 1．如图，三幅图中点 D 都在边 BC 上，根据作图痕迹，分别判断 AD 是哪种主要线段（填“高”“中线”或“角平分线”）：图①______、图②______、图③______． 【答案】　高、中线、角平分线 【解析】　图① AD⊥BC 为高；图② D 为 BC 中点为中线；图③ AD 平分∠BAC 为角平分线。 【错因】　钝角三角形的高与中线混淆；作图痕迹特征记不牢。 2．△ABC 中∠A 为钝角，则三条高中位于三角形外部的有 ______ 条，三条高所在直线的交点位于三角形 ______． 【答案】　2、外部 【解析】　钝角三角形夹钝角两边上的高在外部（2 条），三高所在直线交于三角形外部。 【错因】　钝角三角形外高条数数错；垂心位置记成内部。 3．如图，AD 是△ABC 的中线，△ABD 的周长为 28，且 AB 比 AC 长 4，则△ACD 的周长为 ______． 【答案】　24 【解析】　BD＝CD、AD 共享，两三角形周长差即 AB−AC＝4，△ACD 周长＝28−4＝24。 【错因】　把整条周长都算进差；周长差与边差关系不清。 4．如图，△ABC 中∠A＝80°、∠C＝40°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，则∠ADB＝______． 【答案】　70° 【解析】　∠B＝60°，∠DBC＝30°；∠ADB＝∠DBC＋∠C＝30°＋40°＝70°（外角）。 【错因】　外角定理用错；把 ∠ADB 当成 ∠BDC。 5．△ABC 中 BC＝12，BC 边上的高为 5，AC＝10，则 AC 边上的高为 ______． 【答案】　6 【解析】　面积＝×12×5＝30；AC 上的高＝2×30÷10＝6。 【错因】　等积法忘记乘 2；底高对应错。 6．如图，△ABC 中 D 是 BC 中点，BC＝14，BC 边上的高为 6．(1) 求△ABD 的面积；(2) 点 P 在线段 AD 上，△PBC 面积为 21，确定 P 的位置；(3) P 从 D 沿 DA 到 A，△PBC 面积在什么范围变化？ 【答案】　(1)21；(2)P 为 AD 中点；(3)0～42 【解析】　(1) △ABD＝×7×6＝21。 (2) △PBC＝×14×h＝7h＝21，h＝3，恰为 AD 高 6 的一半，P 为 AD 中点。 (3) P 在 D 时面积 0，在 A 时 ×14×6＝42，范围 0～42。 【错因】　PBC 面积与 P 到 BC 高关系不清；中点位置判断错。 7．如图，△ABC 为钝角三角形，BC＝10，BC 边上的高 AD＝4，垂足 D 在 CB 的延长线上．(1) 画出三条高并说明哪两条在三角形外；(2) 求△ABC 面积；(3) 点 P 在直线 BC 上，△ABP 面积为 10，求 BP 的长（注意 P 的位置）． 【答案】　(1)AB、AC 边上的高在外；(2)20；(3)BP＝5 【解析】　(1) 钝角三角形夹钝角两边上的高在外部。 (2) 面积＝×10×4＝20。 (3) △ABP＝×BP×4＝2·BP＝10，BP＝5；P 可在 B 两侧，有两个位置。 【错因】　钝角高垂足位置画错；P 只考虑一侧漏解。 专题四　命题与证明 1．下列语句中，属于命题的是（　） A．画一条线段等于已知线段 B．你今天完成作业了吗 C．对顶角相等 D．过点 A 作直线 l 的垂线 【答案】　C 【解析】　命题是能判断真假的陈述句；A、D 是操作，B 是疑问句，只有 C 能判断真假。 【错因】　把祈使句、疑问句当成命题。 2．将命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”形式：______；其题设是 ______，结论是 ______． 【答案】　如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；两个角是同角的补角；这两个角相等 【解析】　找题设（条件）与结论，按“如果＋条件，那么＋结论”改写。 【错因】　题设结论颠倒；改写后语句不通。 3．命题“相等的角是对顶角”是 ______ 命题；若是假命题，举反例：______． 【答案】　假；角平分线把一个角分成两个相等的角，它们不是对顶角 【解析】　相等的角不一定是对顶角；角平分线分得的两角相等却相邻、不是对顶角。 【错因】　反例举成“对顶角相等”（真命题）；不会画图举反例。 4．下列命题：①若 a²＝b²，则 a＝b；②钝角三角形有两条高在三角形外部；③互补的两个角一定有一条公共边；④三角形中最大的角不小于 60°．其中真命题是 ______，并对假命题各举反例． 【答案】　②④ 【解析】　①假（a＝1、b＝−1）；②真；③假（度数和 180° 的两个角可不相邻）；④真（若都小于 60° 则和小于 180°，矛盾）。 【错因】　①忽略正负；③误以为互补必相邻。 5．判断下列命题真假并对假命题举反例：(1)“若 a＞b，则 ac＞bc”；(2)“两个锐角的和一定是钝角”． 【答案】　(1)假，c＝0 或 c＜0；(2)假，30°＋40°＝70°为锐角 【解析】　(1) c≤0 时不成立；(2) 两锐角和可锐可直可钝，举 30°＋40°。 【错因】　默认 c 为正；两锐角和想当然为钝角。 6．如图，直线 AB、CD 相交于点 O．请按“已知、求证、证明”格式，规范证明对顶角 ∠AOC＝∠BOD，并在每一步注明理由． 【答案】　见证明 【解析】　已知 AB、CD 交于 O；求证 ∠AOC＝∠BOD。证明：∠AOC＋∠AOD＝180°、∠BOD＋∠AOD＝180°（平角定义），故 ∠AOC＝∠BOD（同角的补角相等）。 【错因】　不写理由（依据）；跳步骤、直接用“对顶角相等”循环论证。 7．如图，△ABC，过顶点 A 作直线 DE∥BC．请利用该辅助线规范证明三角形内角和 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，注明理由． 【答案】　见证明 【解析】　DE∥BC，∠DAB＝∠B、∠EAC＝∠C（两直线平行，内错角相等）；∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°（平角），代换得 ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°。 【错因】　内错角对应错；不注明平行依据。 8．如图，△ABC 中∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 P．请完整书写证明 ∠BPC＝90°＋∠A，注明每一步理由． 【答案】　见证明 【解析】　∠PBC＝∠ABC、∠PCB＝∠ACB；∠BPC＝180°−(∠ABC＋∠ACB)＝180°−(180°−∠A)＝90°＋∠A。 【错因】　化简 180−(180−A) 出错；平分线定义不写。 专题五　分类讨论思想专项拔高 1．等腰三角形周长为 16，其中一边长为 4，则其余两边长为 ______． 【答案】　6、6 【解析】　4 为腰：4、4、8，因 4＋4＝8 不成立；4 为底：6、6、4 成立。 【错因】　不验证三边关系，误得 4、8。 2．等腰三角形两边长为 3 和 7，则周长为 ______． 【答案】　17 【解析】　3 腰：3、3、7 不成立；7 腰：7、7、3 成立，周长 17。 【错因】　不验证；误得 13。 3．如图，△ABC 中 AD 是 BC 边上的高，AD＝4，BD＝3、CD＝2，则 BC 的长为 ______（注意垂足位置）． 【答案】　5 或 1 【解析】　垂足 D 在线段 BC 上：BC＝3＋2＝5；D 在 BC 延长线上：BC＝3−2＝1，两种。 【错因】　只考虑垂足在边上，漏 BC＝1。 4．平面直角坐标系中，点 P 到 x 轴距离为 3、到 y 轴距离为 4，则点 P 的坐标为 ______． 【答案】　(4,3)、(−4,3)、(−4,−3)、(4,−3) 【解析】　|x|＝4、|y|＝3，四个象限各一个。 【错因】　只写第一象限一个；横纵距离对应反。 5．等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分成 15 和 12 两部分，则三边长为 ______． 【答案】　10、10、7 或 8、8、11 【解析】　设腰 2x、底 y，中线分周长为 3x 与 x＋y。①3x＝15、x＋y＝12 得 x＝5、y＝7，即 10、10、7；②3x＝12、x＋y＝15 得 x＝4、y＝11，即 8、8、11，均验证三边关系。 【错因】　两部分对应关系列错；不验证三边关系。 6．用长绳围成周长为 20 的等腰三角形，设腰长为 x．(1) 求 x 的取值范围；(2) 若三边长均为整数，共有几种围法？写出各边；(3) 若一边长为 8，求其余两边． 【答案】　(1)5＜x＜10；(2)4 种；(3)8、4 或 6、6 【解析】　(1) 底 20−2x＞0 且 2x＞20−2x，得 5＜x＜10。 (2) x＝6、7、8、9，对应 (6,6,8)(7,7,6)(8,8,4)(9,9,2)，4 种。 (3) 8 腰：8、8、4；8 底：6、6、8。 【错因】　腰范围漏掉 2x＞底；整数种数漏数。 7．如图，平面直角坐标系中 A(0,0)、B(6,0)，动点 C 从 (0,4) 出发，沿过该点且平行于 x 轴的直线以 1 单位/秒向右运动，时间为 t．(1) 求△ABC 面积并说明是否随 t 改变；(2) t 为何值时 AC＝BC？(3) 若 C 改在直线 y＝−4 上运动，(2) 的结果是否改变？ 【答案】　(1)12，不随 t 变；(2)t＝3；(3)不改变 【解析】　(1) 底 AB＝6、高恒为 4，面积＝×6×4＝12，与 t 无关。 (2) AC＝BC 时 C 在 AB 中垂线 x＝3 上，C(t,4)，t＝3。 (3) y＝−4 时中垂线仍为 x＝3，t＝3，不改变。 【错因】　面积误随 t 变化；中垂线条件不会用。 专题六　章末综合易错题大合集 1．下列各组长度（单位 cm）中，能构成三角形的是（　） A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，4，8 D．4，6，9 【答案】　D 【解析】　只需检验两短边之和是否大于最长边：A 1＋2＝3、B 2＋3＜6、C 3＋4＜8 均不成立，D 4＋6＞9 成立。 【错因】　只看任意两边，未以最长边检验。 2．如图，△ABC 中∠A＝80°、∠B＝45°，D 在 BC 延长线上，则外角∠ACD＝（　） A．115° B．125° C．135° D．100° 【答案】　B 【解析】　∠ACD＝∠A＋∠B＝125°。 【错因】　外角误作 180−(A＋B)。 3．如图，△ABC 中∠B、∠C 平分线交于 P，∠A＝64°，则∠BPC＝（　） A．122° B．116° C．128° D．148° 【答案】　A 【解析】　∠BPC＝90°＋×64°＝122°。 【错因】　模型结论符号记反。 4．如图，∠B 的平分线与外角∠C 的平分线交于 P1，再各自平分交于 P2，∠A＝96°，则∠P2＝（　） A．48° B．24° C．12° D．36° 【答案】　B 【解析】　∠P1＝∠A＝48°，∠P2＝∠P1＝24°。 【错因】　递推次数数错，把 P1 当 P2。 5．等腰三角形两边长为 6 和 13，则周长为 ______． 【答案】　32 【解析】　6 腰：6、6、13 不成立；13 腰：13、13、6 成立，周长 32。 【错因】　不验证，误得 25。 6．如图，纸片△ABC 中∠A＝60°、∠B＝80°，折叠使 C 落在内部 C′，C′处两角为∠1、∠2，则∠1＋∠2＝______． 【答案】　80° 【解析】　∠C＝40°，∠1＋∠2＝2∠C＝80°。 【错因】　折叠关系记错。 7．如图，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，F 是 CE 中点，阴影△BEF 面积为 2，则△ABC 面积为 ______． 【答案】　8 【解析】　E 为 AD 中点，△BEC＝△ABC；F 为 CE 中点，△BEF＝△BEC＝△ABC，故总面积＝4×2＝8。 【错因】　连锁减半次数错；中点等分面积关系不清。 8．如图，直线 AB、CD 相交于 O，射线 OE 平分∠AOC，∠AOD＝110°．(1) 求∠AOC；(2) 求∠AOE，并注明理由． 【答案】　(1)70°；(2)35° 【解析】　(1) ∠AOC＋∠AOD＝180°，∠AOC＝70°。 (2) OE 平分∠AOC，∠AOE＝∠AOC＝35°。 【错因】　邻补角关系用错；平分线忘记 。 9．如图，△ABC 中∠A＝70°，∠B、∠C 平分线交于 P，过 P 作 DE∥BC 交 AB 于 D、AC 于 E．(1) 求∠BPC；(2) 求∠DPB＋∠EPC；(3) 若∠B＝60°，求∠DPB． 【答案】　(1)125°；(2)55°；(3)30° 【解析】　(1) ∠BPC＝90°＋×70°＝125°。 (2) ∠DPB＝∠B、∠EPC＝∠C，和＝(∠B＋∠C)＝×110°＝55°。 (3) ∠DPB＝×60°＝30°。 【错因】　内错角与 角对应错；B＋C 不会用 110°。 10．如图，平面直角坐标系中 A(0,4)、B(−6,0)、C(6,0)，动点 P 从 O 沿 y 轴正方向以 1 单位/秒运动，时间为 t．(1) 求△ABC 面积；(2) 求直线 AB 的一次函数解析式；(3) 设△PBC 面积为 S，写出 S 与 t 的关系（0≤t≤4）；(4) 是否存在 t 使△ABP 面积为 6？若存在求 t（注意分类）． 【答案】　(1)24；(2)y＝x＋4；(3)S＝6t；(4)t＝2 或 t＝6 【解析】　(1) BC＝12、高 4，面积＝×12×4＝24。 (2) 过 B(−6,0)、A(0,4)，待定系数得 y＝x＋4。 (3) △PBC＝×12×t＝6t。 (4) 以 AP 为底，AP＝|4−t|，B 到 y 轴距离 6，△ABP＝|4−t|×6＝3|4−t|＝6，|4−t|＝2，t＝2 或 t＝6。 【错因】　P 在 A 上、下方两种情况漏解；面积用错底高。 学科网（北京）股份有限公司 $