专题26 弧长和扇形面积专项训练（8大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题26 弧长和扇形面积 题型01 求弧长 题型02 求扇形面积 题型03 求圆心角 题型04 求扇形面积 题型05 求弓形面积 题型06 求图形旋转后扫过的面积 题型07 求路径长 题型08 求不规则图形的面积 ▌题型01 求弧长 【典例1】（2026·吉林长春·中考真题）如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【变式1-1】（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【变式1-2】如图，是的直径，点在上，连接、，平分交于点，若的半径是，则的长度是______． 【变式1-3】（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，在中，，以为直径作，点为上一点，连接，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若 ，求的长． ▌题型02 求扇形半径 【典例1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-2】已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 【变式1-3】一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． ▌题型03 求圆心角 【典例1】（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【变式1-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知扇形的弧长为，半径为，求这个扇形的圆心角的度数． ▌题型04 求扇形面积 【典例1】（26-27九年级上·吉林·期中）如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 【变式1-2】如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的圆心角为，弧长为，求这个扇形的面积． ▌题型05 求弓形面积 【典例1】如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式1-1】如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【变式1-2】如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【变式1-3】如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． ▌题型06 求图形旋转后扫过的面积 【典例1】如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 【变式1-1】如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【变式1-3】根据要求画一画，算一算． (1)把①号图形按的比例放大画在方格中． (2)画出②号三角形绕点逆时针旋转后的图形． (3)算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积． ▌题型07 求路径长 【典例1】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【变式1-1】如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？ 【变式1-2】在边长为1的正方形网格中如图所示： (1)以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标； (2)作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标； (3)在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 【变式1-3】如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为__________． ▌题型08 求不规则图形的面积 【典例1】如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【变式1-1】如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【变式1-2】如图，等边三角形内接于，求图中阴影部分的面积． 【变式1-3】如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26 弧长和扇形面积 题型01 求弧长 题型02 求扇形面积 题型03 求圆心角 题型04 求扇形面积 题型05 求弓形面积 题型06 求图形旋转后扫过的面积 题型07 求路径长 题型08 求不规则图形的面积 ▌题型01 求弧长 【典例1】（2026·吉林长春·中考真题）如图，点，在上，连接，，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长是． 【变式1-1】（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 【变式1-2】如图，是的直径，点在上，连接、，平分交于点，若的半径是，则的长度是______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义求出的度数，根据圆周角定理得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， 是的直径， ， 平分， ， ， 则的长度是． 【变式1-3】（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，在中，，以为直径作，点为上一点，连接，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)解：与相切，理由如下：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）要判断与的位置关系，需证明：连接、，通过证明，得到，从而得出，结合是半径，判定与相切． （2）要求弧的长，先结合求出的度数，利用三角函数算出半径的长度；再通过四边形内角和求出的度数，进而得到的度数，最后代入弧长公式计算弧的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴ ， 在四边形中， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、全等三角形的判定与性质、三角函数的应用以及弧长公式的计算，熟练掌握“切线的判定方法（证明半径与直线垂直）、全等三角形的判定定理及弧长公式的应用”是解题的关键． ▌题型02 求扇形半径 【典例1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 【变式1-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 【变式1-2】已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 【答案】 【分析】设此弧所在圆的半径为 ，根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为 ， 根据弧长公式， 将，代入得， 解得， 则此弧所在圆的半径是． 【变式1-3】一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为________． 【答案】 【分析】设出该弧所在圆的半径，根据题意给出的等量关系，结合弧长公式列出方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为． 由题意得， 整理得 ． 两边约去，解得 ． ▌题型03 求圆心角 【典例1】（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 【变式1-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】/30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 【变式1-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 【答案】/135度 【分析】已知扇形的半径和弧长，直接利用弧长公式即可求出圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的圆心角为度，根据弧长公式， 将，代入， 得 解得． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知扇形的弧长为，半径为，求这个扇形的圆心角的度数． 【答案】 【分析】设扇形圆心角为度，代入扇形弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角为度， 已知扇形弧长为，半径为， 根据扇形弧长公式可得 ， 化简得， 解得， 答：这个扇形的圆心角为． ▌题型04 求扇形面积 【典例1】（26-27九年级上·吉林·期中）如图，扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ；若 ，则扇面（阴影）部分的面积是___________．（结果用表示） 【答案】/ 【分析】利用扇形面积公式，通过大扇形面积减去小扇形面积来计算阴影部分面积． 【详解】解：∵ ∴ . 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留) 【答案】 【分析】已知扇形的圆心角度数和半径，直接代入扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：扇形半径，圆心角， 代入扇形面积公式 ∴． 【变式1-2】如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，圆周角定理，角平分线的定义，由圆周角定理和角平分线的定义可得的度数，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的圆心角为，弧长为，求这个扇形的面积． 【答案】 这个扇形的面积为． 【分析】设扇形的半径为，根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求出结果． 【详解】解：设扇形的半径为, 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 扇形的面积为． ▌题型05 求弓形面积 【典例1】如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 【变式1-1】如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 【变式1-2】如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由切线的性质可得是等腰直角三角形，即得，再根据弧长公式计算即可求解； （）过点作于，解直角三角形可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴劣弧的长； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∴． 【变式1-3】如图，半圆O的直径，C是半圆上一点，于点D，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，由是直径推出，再利用勾股定理即可求解； （2）连接，根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 是的中位线， ． 是直径， ， ． （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． ▌题型06 求图形旋转后扫过的面积 【典例1】如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 【答案】 【分析】由题意可知，线段扫过的图形为一个扇形，半径为，先根据三角函数的定义求出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由旋转的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴线段扫过的图形的面积为． 【变式1-1】如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴. 【变式1-3】根据要求画一画，算一算． (1)把①号图形按的比例放大画在方格中． (2)画出②号三角形绕点逆时针旋转后的图形． (3)算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积． 【答案】(1)如图所示，号图形即为所求； (2)如图所示，号图形即为所求； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：号三角形中线段在旋转过程中所扫过的路径是：以为圆心，以长为半径的扇形， ∵， ∴， 即号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积为． ▌题型07 求路径长 【典例1】如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 【变式1-1】如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？ 【答案】 【分析】先得出点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，再求出的长和的度数，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，如图所示： ∵在中，，，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴的长度为， 即点经过路径的长是． 【变式1-2】在边长为1的正方形网格中如图所示： (1)以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标； (2)作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标； (3)在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)解：如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求： 点的坐标为； (3) 【分析】（1）延长到使，延长到使，则满足条件； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、，从而得到，即可解答． （3）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长． 【详解】（1）解：图略，点的坐标为； （2）解：图略，点的坐标为； （3）解：， 点B经过的路径长． 【变式1-3】如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为__________． 【答案】 【分析】记、交于点，连接，在中，根据勾股定理计算，根据三角函数确定，进而得，在中，根据勾股定理计算，从而得点所在圆半径为，，结合图形判断点所经过的路径长为，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：记、交于点，连接，如图所示， 弦且过半径的中点， 为半径的中点， ， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， 点在以为直径的圆上，记该圆为， 的半径，， 点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径为， 当点与点重合时，点与点重合，如图所示， 当点与点重合时，点与点重合，如图所示， ， 故答案为：． ▌题型08 求不规则图形的面积 【典例1】如图，是的切线，为切点，过点作的平行线，交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】连接，将求阴影部分的面积变成求扇形的面积，根据平行线的性质和切线的性质定理得到扇形的圆心角度数，根据扇形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】解: 如图，连接， ∵是的切线，为切点， 则， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， 与同底等高， ， ， 半径，圆心角， 扇形面积． 【变式1-1】如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 【变式1-2】如图，等边三角形内接于，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】如图：过O作于D，利用圆和等边三角形的性质可得，再利用等腰三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理求得；再说明，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过O作于D， 为等边三角形，且内接于， ． 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即， ． 【变式1-3】如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵和为互相垂直的直径．的半径为r， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ，， ∴， ∵， ∴． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $