专题12 K的几何意义专项训练（8大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题12 K的几何意义 题型01 利用K值求三角形面积 题型02 根据三角形面积求K 题型03 利用K值求四边形面积 题型04 根据四边形面积求K 题型05 利用K值求阴影部分面积 题型06 利用K值求面积之间的关系 题型07 利用面积之间的关系求K值 题型08 K值与等腰三角形 ▌题型01 利用K值求三角形的面积 【典例1】如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则△CAO的面积是（　　） A．3 B．1.5 C．6 D．7 【分析】先求解出C，A两点坐标，由此可求解出AC的长度，再由△CAO的高为OB的长度，由此计算三角形的面积即可． 【解答】解：∵点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点， ∴C，A两点的纵坐标为3， 可得，， 解得，， ∴可得， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图，点P在反比例函数y（x＞0）的图象上，PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积为2，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【分析】根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可解决问题 【解答】解：∵作PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积等于2， ∴， ∵k＞0， ∴k＝4． 故选：A． 【变式1-2】如图，设点A、B是函数的图象上成中心对称的两个任意点，斜边为AB，两条直角边分别平行于x、y轴的直角△ABC的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．随点A、B的变化而变化 【分析】设A（a，b），则B（﹣a，﹣b），根据题意，得到ab＝4，OD＝EC＝a，OE＝AD＝CD＝b，根据面积公式计算即可． 【解答】解：∵点A，B是函数的图象上成中心对称的两个任意点， 设A（a，b），则B（﹣a，﹣b）， ∴ab＝4，OD＝EC＝BE＝a，OE＝AD＝CD＝b， ∴ ， 故答案为：C． 【变式1-3】如图，△AOB的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作BD⊥y轴于点D，交OA于点E．若E为AO的中点，则△AEB的面积是（　　） A． B． C．6 D．5 【分析】设，则可求得点E和点B的坐标，推出BE的长，利用三角形面积公式即可解答． 【解答】解：设，则， ∵BD⊥y轴， ∴点B的纵坐标为， ， ∴， ∴，点A到BE的距离为， ∴． 故选：A． ▌题型02 根据三角形的面积求K 【典例1】如图，点P在反比例函数（k为常数，且k≠0，x＜0）的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为OA的中点，连接PB、OP，若S△ABP＝2，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【分析】先设点P的坐标，利用点B是OA中点表示出AB的长度，再结合三角形面积公式求出PA•OA的值，最后根据反比例函数k的几何意义（结合x＜0的符号）确定k的值． 【解答】解：设点P的坐标为a＜0，b＞0， ∵PA⊥x轴于点A， ∴PA＝b，OA＝﹣a， ∵点B为OA的中点， ∴ABOAa， ∵S△ABP＝2， ∴a•b＝2， 即， ∵点P（a，b）在反比例函数上， ∴k＝ab， ∴k＝﹣8． 故选：D． 【变式1-1】如图，点A在反比例函数的图象上，点B是OA上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，连结BC．若，△OBC的面积为2，则k的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 【分析】根据反比例函数的性质，将k用AC、OC表示出来；再根据线段之间的关系得出两个同高的三角形的面积关系，进而求出S△OAC，再根据，即可求出解． 【解答】解：由题意可知yA＝AC，xA＝﹣OC， ∵点A在反比例函数的图像上， ∴，即k＝xA×yA＝﹣OC×AC， ∵， ∴， ∴S△OAC＝3， ∵， ∴AC×CO＝6， ∴k＝﹣OC×AC＝﹣6． 故选：C． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结OA、OB．若△ABO的面积为6，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】设AB与y轴交于点C，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOC8＝4，S△OBC|k|，再根据△ABO的面积为6得4|k|＝6，由此即可求出k的值． 【解答】解：设AB与y轴交于点C，如图所示： ∵AB⊥y轴于点C， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOC8＝4，S△OBC|k|， ∵△ABO的面积为6， ∴S△AOC+S△OBC＝6 ∴4|k|＝6， ∴|k|＝4， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣4． 故选：D． 【变式1-3】如图是反比例函数（k＞0）在第一象限的图象，点B是y轴正半轴上的一点，过点B作BC⊥y轴，交反比例函数的图象于点C，延长BC到点A，使CA＝2BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】连接OC，根据已知条件得出，进而根据k的几何意义，即可求解． 【解答】解：如图，连接OC， 由条件可知：， ∵BC⊥y轴， ∴， ∵k＞0， ∴k＝8． 故选：C． ▌题型03 利用K值求四边形的面积 【典例1】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形AOCB的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出S△OAD＝2，S矩形OCBD＝12，则四边形ABCO的面积＝S矩形OCBD﹣S△OAD＝10． 【解答】解：如图，延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形． 由条件可知S△OAD＝2，S矩形OCBD＝12， ∴四边形ABCO的面积＝S矩形OCBD﹣S△OAD＝12﹣2＝10． 故选：D． 【变式1-1】如图是反比例函数的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，作BC∥AO交y轴于点C，则四边形OCBA的面积是（　　） A． B．1 C．2 D．4 【分析】根据点到坐标轴的距离可得OB＝x，AB＝y，结合反比例函数图象上的点满足表达式得到xy＝2，证明四边形OCBA是平行四边形，进而利用面积公式求解即可． 【解答】解：由条件可知OB＝x，AB＝y， ∵点A为反比例函数图象上一点， ∴xy＝2， ∵BC∥AO，AB⊥x轴， ∴四边形OCBA是平行四边形， ∴四边形OCBA的面积． 故选：C． 【变式1-2】如图，A是反比例函数的图象上一点，延长OA至点B，使AB＝2OA，过点B作BC∥x轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作AD∥OC，交BC于点D．若四边形OADC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．﹣3 【分析】根据反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【解答】解：设点A的坐标为（a，）， ∵AB＝2OA， ∴B（3a，）， ∵BC∥x轴，点C在反比例函数图形上， ∴C（，）， ∵AD∥OC， ∴kAD＝kOC， ∴直线AD的解析式为y（x﹣a）， 当y时，x， ∴D（，）， ∵四边形OADC的面积为4， ∴S四边形OADC＝S△OBC﹣S△ABD BC•yBBD•（yB﹣yA） （3a）•（3a）•（） ＝4， 整理得， 此处k应为绝对值， 解得k或（根据函数的图象可知不符合题意，舍去）． 故选：B． 【变式1-3】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点E，且AC∥x轴．已知反比例函数的图象经过点A，B，反比例函数的图象经过点E，若菱形ABCD的面积是6，则k的值是（　　） A．15 B．12 C．10 D．9 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得出，再由AC∥x轴推出BD⊥x轴，得到A与E纵坐标相同、B与E横坐标相同，设A、B两点的坐标，根据对角线交点性质表示出E点坐标，进而写出k的表达式和AE、BE的长度，然后利用直角三角形面积公式列方程，化简后通过换元法求解，最后代入k的表达式即可得到结果． 【解答】解：由菱形性质可知AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE， ∴， ∵AC∥x轴， ∴BD⊥x轴， 设，， ∴， ∴AE＝n﹣m，，， ∵S△AEB＝1.5， ∴， ∴AE•BE＝3，即， 化简，得， 设，则， ∴t1＝2，， ∵n＞m， ∴t＝2， ∴． 故选：B． ▌题型04 根据四边形面积求K 【典例1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　） A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1k2 D．k2﹣k1 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OCPD＝k1，S△OCA＝S△OBD，再根据四边形PAOB的面积＝S矩形OCPD﹣S△OCA﹣S△OBD进一步求解即可． 【解答】解：∵点P在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B， ∴S矩形OCPD＝k1，S△OCA＝S△OBD， ∴四边形PAOB的面积＝S矩形OCPD﹣S△OCA﹣S△OBD＝k1﹣k2， 故选：B． 【变式1-1】如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y和y的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【分析】如图，点B在函数y上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解． 【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y上，如图： ∵四边形是正方形， ∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴S△AOC＝S△OBD， ∵点A在第二象限， ∴n＝﹣3， 故选：A． 【变式1-2】如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD的面积为6，则k的值是　﹣6　 ． 【分析】作AE⊥x轴，垂足为点E，则四边形ABOE是矩形，通过平行四边形面积与矩形面积的关系求出|k|的值，再结合反比例函数图象所在象限确定k的正负，进而求出k的值． 【解答】解：如图，作AE⊥x轴，垂足为点E，则四边形ABOE是矩形， ∵S▱ABCD＝AB•AE，S矩形ABOE＝AB•AE， ∴S▱ABCD＝S矩形ABOE＝6， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【变式1-3】如图，已知双曲线y（k为正整数）上只有四个整点，如图顺次连接A、B、C、D四点，且S四边形ABCD＝16，则k＝　3　 ． 【分析】先根据双曲线y（k为正整数）上只有四个整点可知A与C，B与D关于原点对称，A与B，C与D关于直线x＝y对称，故可得出四边形ABCD是矩形，设A（a，），则B（，a），C（﹣a，），D（，﹣a），再根据两点间的距离公式用k表示出AB及BC的长，利用矩形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵双曲线y（k为正整数）上只有四个整点， ∴A与C，B与D关于原点对称，A与B，C与D关于直线x＝y对称， ∴四边形ABCD是矩形， 设A（a，），则B（，a），C（﹣a，），D（，﹣a）， ∴AB（a），BC（a）， ∴S四边形ABCD＝AB•CD＝2（a）（a）＝16， ∴（a）（a）＝8， ∴或， 当时，②﹣①得，a（舍去）； 当时，解得． 故答案为：3． ▌题型05 利用K值求阴影部分的面积 【典例1】如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（　　） A． B．2 C． D． 【分析】设OC＝a，则点B，BC＝AD，点A证明四边形BCOE和四边形ADOE都是矩形得BE＝OC＝a，OE＝BC，AB∥CD，证明△BEF和△DOF相似得，则OF＝2EF，由此得EF，OF，继而得S△BEF，S△ODF，据此可得图中阴影部分的面积． 【解答】解：设OC＝a， ∵点B在反比例函数（x＜0）的图象上， ∴点B的坐标为， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， ∴点A的纵坐标为：， ∵点A在反比例函数（x＞0）的图象上， ∴点A的坐标坐标为， ∴∠EOD＝∠EOC＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， ∴四边形BCOE和四边形ADOE都是矩形， ∴BE＝OC＝a，OE＝BC，AB∥CD， ∴△BEF∽△DOF， ∴， ∴OF＝2EF， ∴OE＝OF+EF＝3EF， ∴EF， ∴OF＝2EF， ∴S△BEFEF•BE，S△ODFOD•OF， ∴图中阴影部分的面积为：S△BEF+S△ODF． 故选：D． 【变式1-1】如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出S矩形ACOD＝8，S矩形BEOF＝2，由阴影部分的面积＝S矩形ACOD﹣S矩形BEOF，由此解出k即可． 【解答】解：如图所示： 由条件可知四边形ACOD和BEOF为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： S矩形ACOD＝8，S矩形BEOF＝2， 则阴影部分的面积为S矩形ACOD﹣S矩形BEOF＝6， 故选：B． 【变式1-2】如图，在反比例函数y（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2，若S2＝3，则S1的值为 　4　 ． 【分析】将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用S2的面积求出k的值，从而得出S1的值． 【解答】解：将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值可知：P1（1，k），，， ∴， ∴k＝6， ∵， ∴． 故答案为：4． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点AC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是 　4　 ． 【分析】作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．进而判断出PF⊥AB，最后用三角形的面积和求解，即可得出答案． 【解答】解：作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于点F， ∵四边形OABC是矩形， ∴AB∥OC， ∴PF⊥AB， ∵顶点B在函数的图象上， ∴xy＝8， ∴S阴OC•PEAB•PFOC•EFS矩形ABCO4． 故答案为：4． ▌题型06 利用K值求面积之间的关系 【典例1】如图所示，过反比例函数y（k＞0）在第一象限内的图象上任意两点A，B，分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC与△BOD的面积为S1，S2，那么它们的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S|k|． 【解答】解：依题意有：Rt△AOC和Rt△BOD的面积是个定值|k|． 所以S1＝S2． 故选：B． 【变式1-1】如图，在的图象上，有三点A，B，C，过这三点分别向y轴引垂线，垂足分别为A1、B1、C1，连接OA，OB，OC，△AOA1，△BOB1，△COC1的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为（　　） A．S1＞S2＞S3 B．S3＞S2＞S1 C．S2＜S1＝S3 D．S1＝S2＝S3 【分析】过图象上任意一点向 y轴作垂线，该点、垂足及原点 O 构成的直角三角形面积恒为，与点的具体位置无关． 【解答】解：由条件可设， ； 同理可得S2＝S3＝3． ∴S1＝S2＝S3． 故选：D． 【变式1-2】如图，过函数的图象上两点 A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，AC与OB相交于D，若图中三角形OAD的面积记为S，图中梯形形CEBD的面积记为R，则S和R的大小关系是（　　）（图中阴影的面积） A．S＞R B．S＜R C．S＝R D．不能确定 【分析】根据比例系数几何意义得S△AOC＝S△BOE，则S△AOC﹣S△OCD＝S△BOE﹣S△OCD，即有S△AOD＝S四边形CEBD，从而求解． 【解答】解：∵A、B是反比例函数的图象上两点， ∴S△AOC＝S△BOE， ∴S△AOC﹣S△OCD＝S△BOE﹣S△OCD， ∴S△AOD＝S四边形CEBD， ∴S＝R， 故选：C． 【变式1-3】如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接OA，OB，OC，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P． （1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：S1　＝　 S2；（填“＜”，“＞”或”＝”） （2）如图2所示，若OM＝MN＝NP，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 　72　 ． 【分析】（1）设AM与OB交于点D，根据反比例函数比例系数的几何意义得S△AOM＝S△OBN，进而得S1＝S2，由此可得出答案； （2）设AM交OB于E，交OC于F，BN交OC于G，设S△OEF＝a，S△OFM＝b，先证OF＝FG＝GC，证△OEF∽△BBG得，则S△OBG＝4a，S四边形EFGB＝3a，同理S四边形FMNG＝3b，则S△OGN＝4b，S四边形EMNG＝3（a+b），根据反比例函数比例系数的几何意义得S△AOM＝S△OCP，则S△AOEa﹣b，根据（1）的结论得S△AOE＝S四边形EMNG，则4a+4b，再证△OGN∽△OCP得，则S△OCP＝9b，S四边形GNPC＝5b，进而得，4a，再根据三块阴影部分的面积之和为62，得a﹣b+3a+5b＝62，整理得k+4a+8b＝124，再将4a，代入即可得出k的值． 【解答】解：（1）设AM与OB交于点D，如图1所示： ∵AM⊥x轴，BN⊥x轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOM＝S△OBN， ∴S△AOM﹣S△ODM＝S△OBN﹣S△ODM， ∴S1＝S2． 故答案为：＝． （2）设AM交OB于E，交OC于F，BN交OC于G，如图所示： 设S△OEF＝a，S△OFM＝b， ∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，CP⊥x轴， ∴AM∥BN∥CP， ∵OM＝ON＝NP， ∴OF＝FG＝GC， ∵AM∥BN， ∴△OEF∽△BBG， ∴， 即， ∴S△OBG＝4a， ∴S四边形EFGB＝S△OBG﹣S△OEF＝3a， 同理：S四边形FMNG＝3b， ∴S△OGN＝S△OFM+S四边形FMNG＝4b， ∴S四边形EMNG＝S四边形EFGB+S四边形FMNG＝3（a+b）， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOM＝S△OCP， ∴S△AOEa﹣b， 根据（1）的结论得：S△AOE＝S四边形EMNG， ∴a﹣b＝3（a+b）， ∴4a+4b， ∵BN∥CP， ∴△OGN∽△OCP， ∴， 即， ∴S△OCP＝9b， ∴S四边形GNPC＝S△OCP﹣S△OGN＝9b﹣4b＝5b，b， ∴4a， ∵三块阴影部分的面积之和为62， ∴a﹣b+3a+5b＝62， 整理得：k+4a+8b＝124， ∴， 解得：k＝72． ▌题型07 利用面积之间的关系求K 【典例1】如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y（x＞0）上，且x2﹣x1＝4，y1﹣y2＝2．分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据S矩形AEOC＝S矩形OFBD（S五边形AEODB﹣S△AGB﹣S四边形FOCG）+S四边形FOCG，先求得S矩形AEOC和S矩形OFBD的值，利用k＝AE•AC＝FB•BD来求k的值． 【解答】解：∵x2﹣x1＝4，y1﹣y2＝2 ∴BG＝4，AG＝2 ∴S△AGB＝4 ∵S矩形AEOC＝S矩形OFBD，四边形FOCG的面积为2 ∴S矩形AEOC＝S矩形OFBD（S五边形AEODB﹣S△AGB﹣S四边形FOCG）+S四边形FOCG（14﹣4﹣2）+2＝6 即k＝AE•AC＝6． 故选：C． 【变式1-1】如图，已知点G在矩形OABC的对角线OB上，GD⊥AB，垂足为D，GE⊥BC，垂足为E，点D和点E都在反比例函数（x＞0）的图象上，连接OD，若四边形OGEC与△DGO的面积之差为，则k＝　　 ． 【分析】设矩形顶点坐标，求出对角线OB解析式，设出G点坐标，依据垂直关系写出D、E坐标，将两点代入反比例函数得到bm＝k；分别算出直角梯形OGEC与△DGO的面积，利用二者面积差为列出等式，把bm替换成k，计算得出k的值． 【解答】解：设原点O（0，0），矩形OABC中B（a，b）， 对角线OB的解析式为， 设G点坐标为， ∵GD⊥AB、GE⊥BC， ∴D点坐标为（m，b），E点坐标为， ∴，即bm＝k， 用坐标法求得面积：， △DGO的面积：， 根据题意，面积差为：， 代入bm＝k，得，即． 故答案为：2． 【变式1-2】如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，若△OAC与△BAD的面积之差为5．则k的值为　10　 ． 【分析】根据△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC＝AC、AD＝BD，设OC＝a，BD＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b），根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k＝a2﹣b2＝2（S△ACO﹣S△ADB），即可得出结果． 【解答】解：由条件可知OC＝AC、AD＝BD， 设OC＝a，BD＝b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b）， 由条件可知：，即：a2﹣b2＝10， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点B， ∴k＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝10； 故答案为：10． 【变式1-3】如图，点A，B在反比例函数y（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，△OAC与△ABD的面积之差为1，则k的值为 　5　 ． 【分析】根据题意正确列出方程．根据题意求得A、B、C、D四边的坐标，再根据△OAC与△ABD的面积之差为1，列方程求解即可． 【解答】解：∵AC∥BD∥y轴，点A，B的横坐标分别为2，4， ∴点C，D的横坐标分别为2，4， 又∵点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上， ∴，，，， ∴，， 由图形可得，， 由题意可得：S△OAC﹣S△ABD＝1，即， 解得k＝5 故答案为：5． ▌题型08 K值与等腰三角形 【典例1】如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…△A2025A2026B2026的面积分别为S1，S2，S3，…S2026，则S2026的值　　 ． 【分析】分别过点B1，B2，B3，…，Bn作x轴的垂线，垂足分别为C1，C2，C3，…，∁n，设，则C1（m，0），C2（3m，0），C3（5m，0），…，∁n[（2n﹣1）m，0]，分别求出S1，S2，S3，…，总结得出，最后将n＝2026代入即可解题． 【解答】解：分别过点B1，B2，B3，…，Bn作x轴的垂线，垂足分别为C1，C2，C3，…，∁n． 设，则C1（m，0），C2（3m，0），C3（5m，0），…，∁n（2mn﹣m，0）， ， ， ， ， ……， ， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】如图，已知点A是一次函数yx（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y（k＞0）的图象过点B、C，若△OAB的面积为6，则A点坐标为 　（2，）　 ． 【分析】过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，设AB＝2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE＝AE＝CE＝a，设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a），因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程可得结论． 【解答】解：如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E． ∵AB⊥x轴， ∴CD⊥AB， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BE＝AE＝CE， 设AB＝2a，则BE＝AE＝CE＝a， 设A（x，x），则B（x，x+2a），C（x+a，x+a）， ∵B，C在反比例函数的图象上， ∴x（x+2a）＝（x+a）（x+a）， 解得x＝2a， ∵S△OABAB•DE•2a•x＝6， ∴2a2＝6， ∴a， ∴A（2，）， 故答案为：A（2，）． 【变式1-2】如图，等腰三角形AOB的顶点A在y轴正半轴上，点B在函数（k为常数，x＞0）的图象上，且AB＝OB，过点B作直线l⊥x轴于点C．已知△AOC的面积为4，则k的值为 　4　 ． 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，作BM⊥y轴，垂足为M， ∵AO∥BC， ∴S△ABO＝S△AOC＝4， ∵AB＝OB， ∴S△BMO2， k＝2S△BMO＝4． 故答案为：4． 【变式1-3】如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线经过点B，过点A（6，0）作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC． （1）求点B的坐标； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）过点B作x轴的垂线，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题． （2）求出点C的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，垂足为M， ∵点A坐标为（6，0）， ∴OA＝6． 又∵△OAB是等腰直角三角形， ∴BM＝OM＝AMOA＝3， ∴点B的坐标为（3，3）． （2）将点B坐标代入反比例函数解析式得， k＝3×3＝9， ∴反比例函数解析式为y， ∵AC⊥x轴， ∴xC＝xA＝6． 将x＝6代入反比例函数解析式得， y＝1.5， ∴点C的坐标为（6，1.5）， ∴△ABC的面积1.5×3． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 K的几何意义 题型01 利用K值求三角形面积 题型02 根据三角形面积求K 题型03 利用K值求四边形面积 题型04 根据四边形面积求K 题型05 利用K值求阴影部分面积 题型06 利用K值求面积之间的关系 题型07 利用面积之间的关系求K值 题型08 K值与等腰三角形 ▌题型01 利用K值求三角形的面积 【典例1】如图，点B是y轴正半轴上一点，过点B作x轴的平行线交反比例函数和于C，A两点，则△CAO的面积是（　　） A．3 B．1.5 C．6 D．7 【变式1-1】如图，点P在反比例函数y（x＞0）的图象上，PQ⊥x轴于点Q，连接OP，若△OPQ的面积为2，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【变式1-2】如图，设点A、B是函数的图象上成中心对称的两个任意点，斜边为AB，两条直角边分别平行于x、y轴的直角△ABC的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．随点A、B的变化而变化 【变式1-3】如图，△AOB的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作BD⊥y轴于点D，交OA于点E．若E为AO的中点，则△AEB的面积是（　　） A． B． C．6 D．5 ▌题型02 根据三角形的面积求K 【典例1】如图，点P在反比例函数（k为常数，且k≠0，x＜0）的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为OA的中点，连接PB、OP，若S△ABP＝2，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【变式1-1】如图，点A在反比例函数的图象上，点B是OA上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，连结BC．若，△OBC的面积为2，则k的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结OA、OB．若△ABO的面积为6，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式1-3】如图是反比例函数（k＞0）在第一象限的图象，点B是y轴正半轴上的一点，过点B作BC⊥y轴，交反比例函数的图象于点C，延长BC到点A，使CA＝2BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 ▌题型03 利用K值求四边形的面积 【典例1】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形AOCB的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1-1】如图是反比例函数的图象，点A（x，y）是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，作BC∥AO交y轴于点C，则四边形OCBA的面积是（　　） A． B．1 C．2 D．4 【变式1-2】如图，A是反比例函数的图象上一点，延长OA至点B，使AB＝2OA，过点B作BC∥x轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作AD∥OC，交BC于点D．若四边形OADC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．﹣3 【变式1-3】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点E，且AC∥x轴．已知反比例函数的图象经过点A，B，反比例函数的图象经过点E，若菱形ABCD的面积是6，则k的值是（　　） A．15 B．12 C．10 D．9 ▌题型04 根据四边形面积求K 【典例1】如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　） A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1k2 D．k2﹣k1 【变式1-1】如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y和y的图象的四个分支上，则实数n的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【变式1-2】如图，过反比例函数上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B，点C，D在x轴上，满足四边形ABCD是平行四边形，若S▱ABCD的面积为6，则k的值是　 　 ． 【变式1-3】如图，已知双曲线y（k为正整数）上只有四个整点，如图顺次连接A、B、C、D四点，且S四边形ABCD＝16，则k＝　 　 ． ▌题型05 利用K值求阴影部分的面积 【典例1】如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（　　） A． B．2 C． D． 【变式1-1】如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1-2】如图，在反比例函数y（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为S1，S2，若S2＝3，则S1的值为 　 　 ． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点AC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． ▌题型06 利用K值求面积之间的关系 【典例1】如图所示，过反比例函数y（k＞0）在第一象限内的图象上任意两点A，B，分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA，OB，设△AOC与△BOD的面积为S1，S2，那么它们的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 【变式1-1】如图，在的图象上，有三点A，B，C，过这三点分别向y轴引垂线，垂足分别为A1、B1、C1，连接OA，OB，OC，△AOA1，△BOB1，△COC1的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为（　　） A．S1＞S2＞S3 B．S3＞S2＞S1 C．S2＜S1＝S3 D．S1＝S2＝S3 【变式1-2】如图，过函数的图象上两点 A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，AC与OB相交于D，若图中三角形OAD的面积记为S，图中梯形形CEBD的面积记为R，则S和R的大小关系是（　　）（图中阴影的面积） A．S＞R B．S＜R C．S＝R D．不能确定 【变式1-3】如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接OA，OB，OC，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P． （1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：S1　 　 S2；（填“＜”，“＞”或”＝”） （2）如图2所示，若OM＝MN＝NP，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 　 　 ． ▌题型07 利用面积之间的关系求K 【典例1】如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y（x＞0）上，且x2﹣x1＝4，y1﹣y2＝2．分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】如图，已知点G在矩形OABC的对角线OB上，GD⊥AB，垂足为D，GE⊥BC，垂足为E，点D和点E都在反比例函数（x＞0）的图象上，连接OD，若四边形OGEC与△DGO的面积之差为，则k＝　 　 ． 【变式1-2】如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第一象限的图象经过点B，若△OAC与△BAD的面积之差为5．则k的值为　 　 ． 【变式1-3】如图，点A，B在反比例函数y（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为2，4，△OAC与△ABD的面积之差为1，则k的值为 　 　 ． ▌题型08 K值与等腰三角形 【典例1】如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…△A2025A2026B2026的面积分别为S1，S2，S3，…S2026，则S2026的值　 　 ． 【变式1-1】如图，已知点A是一次函数yx（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y（k＞0）的图象过点B、C，若△OAB的面积为6，则A点坐标为　 　 ． 【变式1-2】如图，等腰三角形AOB的顶点A在y轴正半轴上，点B在函数（k为常数，x＞0）的图象上，且AB＝OB，过点B作直线l⊥x轴于点C．已知△AOC的面积为4，则k的值为　 　 ． 【变式1-3】如图，△AOB是等腰直角三角形，∠ABO＝90°，双曲线经过点B，过点A（6，0）作x轴的垂线交双曲线于点C，连接BC． （1）求点B的坐标； （2）求△ABC的面积． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $