第13章三角形中的边角关系、命题与证明 模型之双角平分线模型 训练 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

八年级数学上册·几何模型专题讲义（原创版） 专题01　三角形中的倒角模型之双角平分线模型 在三角形的角度计算中，角平分线是最常见的条件之一。当同一个三角形（或多边形）内有两条角平分线同时出现时，它们相交所成的角往往存在固定的大小关系，这类结论统称为"双角平分线模型"。掌握这类模型，可以把繁琐的逐步推导压缩成一步到位的定值结论，大大提升倒角的速度与准确率。本讲围绕三角形中的三类双角平分线模型，从推导、辨析到应用逐层展开。 命题趋势：题目通常不直接点明模型，而是把两条角平分线"藏"在较复杂的图形中，要求先识别结构、再利用定值结论求角，常与三角形内角和定理、外角性质结合，出现在选择、填空题的中后段。 推导逻辑：三类模型的结论都能用"内角和定理＋角平分线定义＋外角性质"在三步以内现场推出，学习时坚持先推导、后记忆，并养成用特殊值检验结论的习惯。 核心素养目标： 1．经历三类双角平分线模型的推导过程，体会等量代换与转化化归的数学思想； 2．能在复杂图形中识别双角平分线模型，并利用定值结论快速求角； 3．通过特殊值检验等方式自查结论，提升几何推理的严谨性。 【目录】 【模型来源】 【知识储备】 【例讲模型】 　　模型1．双角平分线模型（双内角） 　　模型2．双角平分线模型（一内角一外角） 　　模型3．双角平分线模型（双外角） 【模型拓展】 【易错总结】 【模型小结】 【模型运用】 【模型来源】 三角形的三条内角平分线交于一点，这个点叫作三角形的内心；一条内角平分线与另外两个角的外角平分线也会交于一点，这样的点叫作三角形的旁心。双角平分线模型正是围绕这些交点的角度特征展开的：两条内角平分线的夹角、一内一外两条平分线的夹角、两条外角平分线的夹角，都只与第三个内角（顶角）的大小有关，而与三角形的形状无关。这类"定值"结论既是倒角的重要工具，也是后续学习三角形内心、旁心相关知识的重要铺垫。 【知识储备】 学习本专题前，请先复习以下基础知识： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； （2）三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （3）角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线； （4）等式的性质：等量可以代换，等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 【例讲模型】 模型1．双角平分线模型（双内角） 当被平分的两个角都是三角形的内角时，两条平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和，夹角恒为钝角。 【模型提炼与证明】 1）三角形两内角平分线的夹角 条件：如图1，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，两条平分线交于点P。 图1 结论：。 证明： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB（已知）， ∴，（角平分线的定义）。 在△PBC中，（三角形内角和定理） 。 变式点拨：已知夹角也可以反求顶角：。用特殊值记忆更牢：取∠A=60°，则∠BPC=120°；取∠A=90°，则∠BPC=135°。 2）四边形中两内角平分线的夹角 条件：如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分∠ABC、∠DCB，两条平分线交于点P。 图2 结论：。 证明： ∵，， ∴。 ∵四边形的内角和为360°，∴， ∴， 即 。 3）六边形中两内角平分线的夹角 条件：如图3，在六边形ABCDEF中，CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，两条平分线交于点P。 图3 结论：。 证明： 在△CPD中，； ∵六边形的内角和为720°， ∴， ∴， 即 。 多边形情形不必背结论：抓住"夹角＝180°−两个被平分角的一半"，再用多边形内角和整体代换即可。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，∠A=56°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数为（　　） A．114°　　B．118°　　C．124°　　D．128° 【典例2】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，过点P作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。求证：EF=BE+CF。 【典例3】如图，在四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=80°，∠ABC与∠DCB的平分线交于点P，则∠BPC的度数为______°。 模型2．双角平分线模型（一内角一外角） 当被平分的两个角一个是内角、另一个是外角时，两条平分线的夹角等于第三个内角的一半。 【模型提炼与证明】 1）基本模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角∠ACD（点D在BC的延长线上），两条平分线交于点P。 图1 结论：。 证明： ∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC（外角性质）。 ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴，。 ∵∠PCD是△PBC的外角， ∴。 2）连续平分（链式模型） 条件：如图2，∠ABC与∠ACD的平分线交于点P₁，∠P₁BC与∠P₁CD的平分线交于点P₂，∠P₂BC与∠P₂CD的平分线交于点P₃……如此继续下去（点D在BC的延长线上）。 图2 结论：，，……，。 证明： 由1）同理可得 ； 把△P₁BC看作新的"三角形"，∠P₁CD恰好是它在顶点C处的外角， 再应用一次1）的结论，得 ； 以此类推，每平分一次角度就减半一次，故 。 链式模型的关键是数清"平分到了第几次"：第n次平分后的夹角就是顶角的2的n次方分之一。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P₁，∠P₁BC与∠P₁CD的平分线交于点P₂（点D在BC的延长线上）。（1）∠P₁=______°；（2）∠P₂=______°；（3）若按此规律继续平分下去，用含∠A的式子表示∠Pₙ为______。 【典例2】在△ABC中，∠A=80°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P₁，∠P₁BC与∠P₁CD的平分线交于点P₂，∠P₂BC与∠P₂CD的平分线交于点P₃（点D在BC的延长线上），则∠P₃的度数为（　　） A．10°　　B．12°　　C．15°　　D．20° 【典例3】如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP交于点P。求证：∠BPC=½∠A。 模型3．双角平分线模型（双外角） 当被平分的两个角都是外角时，两条平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差，夹角恒为锐角。 【模型提炼与证明】 1）基本模型 条件：如图1，在△ABC中，BO、CO分别是外角∠CBE、∠BCF的平分线（点E在AB的延长线上，点F在AC的延长线上），两条平分线交于点O。 图1 结论：。 证明： ∵∠CBE、∠BCF都是△ABC的外角， ∴∠CBE=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC， ∴∠CBE+∠BCF=2∠A+∠ABC+∠ACB=180°+∠A。 ∵BO、CO分别平分∠CBE、∠BCF， ∴。 在△OBC中，。 口诀记忆："内加外减，一内一外直接半"——双内角是"90°加半角"，双外角是"90°减半角"，一内一外恰好是"半个角"。 2）拓展：旁心 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE（点E在AC的延长线上），BD与CD交于点D。 图2 结论：AD平分∠BAC的外角∠CAF（点F在BA的延长线上），即点D是△ABC的旁心之一。 思路点拨： 由BD平分∠ABC可知，点D到直线BA与直线BC的距离相等； 由CD平分∠ACE可知，点D到直线CA与直线CB的距离相等； ∴点D到直线BA与直线CA的距离相等， ∴AD平分∠BAC的外角（用到角平分线的性质与判定，可课后完成完整证明）。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC的度数为______°。 【典例2】在△ABC中，∠A=76°，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC等于（　　） A．38°　　B．52°　　C．64°　　D．76° 【典例3】在△ABC中，∠A=60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点Q。求∠BPC+∠BQC的度数。 【模型拓展】 1．三类双角平分线模型的夹角都只由"第三个角"决定：双内角是"90°＋半角"，双外角是"90°－半角"，一内一外是"半个角"，三者恰好构成一套完整的定值体系； 2．把角平分线换成三等分线，推导思路完全相同（见【模型运用】第10题），夹角结论会相应变化； 3．两条内角平分线的交点是三角形的内心，一内一外、两外平分线的交点是三角形的旁心，本讲结论是研究这些"心"的角度性质的基础。 【易错总结】 易错点1：三类模型的"加减"记混，把双内角记成"90°减半角"，把双外角记成"90°加半角"。 错因分析：只背结论不经历推导，内角和与外角性质的用法相互混淆。 避坑指南：用特殊值检验：令∠A=60°，双内角夹角应为120°（钝角），双外角夹角应为60°（锐角），一内一外应为30°。 易错点2：外角找错位置，把邻角的补角当成外角，或在延长线上取错方向。 错因分析：外角是"一边的延长线与另一边"所成的角，延长哪条边没有看清。 避坑指南：画图时先延长确定的边并标好字母，再作平分线；每作一次延长线都回头核对一次。 易错点3：复杂图形中识别不出双角平分线模型。 错因分析：线条多、交点密，找不到"两条平分线＋公共三角形"的基本结构。 避坑指南：用不同记号描出两条角平分线，找出它们所在的公共三角形并锁定顶角，再套用对应结论。 【模型小结】 1．核心口诀：内角加半角，外角减半角，一内一外直接半； 2．解题流程：找平分线→定类型（双内／一内一外／双外）→套结论→特殊值检验； 3．所有结论都可以用内角和定理与外角性质现场推导，忘记结论时动手推一遍即可，不必死记。 【模型运用】 以下题目均为原创编写，请独立完成后核对解析。 1．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数为______°。 2．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠BPC=130°，则∠A的度数为______°。 3．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，则∠BPC的度数为（　　） A．30°　　B．35°　　C．40°　　D．70° 4．如图，在△ABC中，∠A=76°，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC的度数为（　　） A．38°　　B．52°　　C．64°　　D．76° 5．如图，在四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=80°，∠ABC与∠DCB的平分线交于点P，则∠BPC的度数为______°。 6．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，过点P作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。若AB=7，AC=5，则△AEF的周长为______。 7．在△ABC中，∠A=96°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点P₁，∠P₁BC与∠P₁CD的平分线交于点P₂，∠P₂BC与∠P₂CD的平分线交于点P₃（点D在BC的延长线上），则∠P₃=______°。 8．在△ABC中，∠A=90°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点M，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点N，则∠BPC+∠BMC+∠BNC的度数为（　　） A．180°　　B．225°　　C．270°　　D．315° 9．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P。求证：∠BPC=90°+½∠A；若∠BPC=3∠A，求∠A的度数。 10．（拓展）如图，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线中靠近BC的那两条，∠OBC=⅓∠ABC，∠OCB=⅓∠ACB，BO与CO交于点O。（1）求证：∠BOC=180°−⅓(∠ABC+∠ACB)；（2）若∠A=45°，求∠BOC的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上册·几何模型专题讲义（原创版） 专题01　三角形中的倒角模型之双角平分线模型 在三角形的角度计算中，角平分线是最常见的条件之一。当同一个三角形（或多边形）内有两条角平分线同时出现时，它们相交所成的角往往存在固定的大小关系，这类结论统称为"双角平分线模型"。掌握这类模型，可以把繁琐的逐步推导压缩成一步到位的定值结论，大大提升倒角的速度与准确率。本讲围绕三角形中的三类双角平分线模型，从推导、辨析到应用逐层展开。 命题趋势：题目通常不直接点明模型，而是把两条角平分线"藏"在较复杂的图形中，要求先识别结构、再利用定值结论求角，常与三角形内角和定理、外角性质结合，出现在选择、填空题的中后段。 推导逻辑：三类模型的结论都能用"内角和定理＋角平分线定义＋外角性质"在三步以内现场推出，学习时坚持先推导、后记忆，并养成用特殊值检验结论的习惯。 核心素养目标： 1．经历三类双角平分线模型的推导过程，体会等量代换与转化化归的数学思想； 2．能在复杂图形中识别双角平分线模型，并利用定值结论快速求角； 3．通过特殊值检验等方式自查结论，提升几何推理的严谨性。 【目录】 【模型来源】 【知识储备】 【例讲模型】 　　模型1．双角平分线模型（双内角） 　　模型2．双角平分线模型（一内角一外角） 　　模型3．双角平分线模型（双外角） 【模型拓展】 【易错总结】 【模型小结】 【模型运用】 【模型来源】 三角形的三条内角平分线交于一点，这个点叫作三角形的内心；一条内角平分线与另外两个角的外角平分线也会交于一点，这样的点叫作三角形的旁心。双角平分线模型正是围绕这些交点的角度特征展开的：两条内角平分线的夹角、一内一外两条平分线的夹角、两条外角平分线的夹角，都只与第三个内角（顶角）的大小有关，而与三角形的形状无关。这类"定值"结论既是倒角的重要工具，也是后续学习三角形内心、旁心相关知识的重要铺垫。 【知识储备】 学习本专题前，请先复习以下基础知识： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； （2）三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （3）角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线； （4）等式的性质：等量可以代换，等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 【例讲模型】 模型1．双角平分线模型（双内角） 当被平分的两个角都是三角形的内角时，两条平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和，夹角恒为钝角。 【模型提炼与证明】 1）三角形两内角平分线的夹角 条件：如图1，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，两条平分线交于点P。 图1 结论：。 证明： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB（已知）， ∴，（角平分线的定义）。 在△PBC中，（三角形内角和定理） 。 变式点拨：已知夹角也可以反求顶角：。用特殊值记忆更牢：取∠A=60°，则∠BPC=120°；取∠A=90°，则∠BPC=135°。 2）四边形中两内角平分线的夹角 条件：如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分∠ABC、∠DCB，两条平分线交于点P。 图2 结论：。 证明： ∵，， ∴。 ∵四边形的内角和为360°，∴， ∴， 即 。 3）六边形中两内角平分线的夹角 条件：如图3，在六边形ABCDEF中，CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，两条平分线交于点P。 图3 结论：。 证明： 在△CPD中，； ∵六边形的内角和为720°， ∴， ∴， 即 。 多边形情形不必背结论：抓住"夹角＝180°−两个被平分角的一半"，再用多边形内角和整体代换即可。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，∠A=56°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数为（　　） A．114°　　B．118°　　C．124°　　D．128° 【答案】B 【解析】 由模型1，∠BPC=90°+½∠A=90°+28°=118°。故选B。 【典例2】如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，过点P作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。求证：EF=BE+CF。 【答案】见解析 【解析】 ∵EF∥BC，∴∠EPB=∠PBC（两直线平行，内错角相等）。 ∵BP平分∠ABC，∴∠EBP=∠PBC，∴∠EBP=∠EPB。 ∴BE=EP（等角对等边）。同理可得CF=FP。 ∴EF=EP+PF=BE+CF。 【典例3】如图，在四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=80°，∠ABC与∠DCB的平分线交于点P，则∠BPC的度数为______°。 【答案】75 【解析】 由模型1的拓展，2∠BPC=∠A+∠D=70°+80°=150°，∴∠BPC=75°。 模型2．双角平分线模型（一内角一外角） 当被平分的两个角一个是内角、另一个是外角时，两条平分线的夹角等于第三个内角的一半。 【模型提炼与证明】 1）基本模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角∠ACD（点D在BC的延长线上），两条平分线交于点P。 图1 结论：。 证明： ∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC（外角性质）。 ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴，。 ∵∠PCD是△PBC的外角， ∴。 2）连续平分（链式模型） 条件：如图2，∠ABC与∠ACD的平分线交于点P₁，∠P₁BC与∠P₁CD的平分线交于点P₂，∠P₂BC与∠P₂CD的平分线交于点P₃……如此继续下去（点D在BC的延长线上）。 图2 结论：，，……，。 证明： 由1）同理可得 ； 把△P₁BC看作新的"三角形"，∠P₁CD恰好是它在顶点C处的外角， 再应用一次1）的结论，得 ； 以此类推，每平分一次角度就减半一次，故 。 链式模型的关键是数清"平分到了第几次"：第n次平分后的夹角就是顶角的2的n次方分之一。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P₁，∠P₁BC与∠P₁CD的平分线交于点P₂（点D在BC的延长线上）。（1）∠P₁=______°；（2）∠P₂=______°；（3）若按此规律继续平分下去，用含∠A的式子表示∠Pₙ为______。 【答案】（1）32；（2）16；（3）∠Pₙ=∠A/2ⁿ 【解析】 （1）由模型2，∠P₁=½∠A=½×64°=32°。 （2）∠P₂=½∠P₁=16°。 （3）每平分一次角度减半，故∠Pₙ=∠A/2ⁿ。 【典例2】在△ABC中，∠A=80°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P₁，∠P₁BC与∠P₁CD的平分线交于点P₂，∠P₂BC与∠P₂CD的平分线交于点P₃（点D在BC的延长线上），则∠P₃的度数为（　　） A．10°　　B．12°　　C．15°　　D．20° 【答案】A 【解析】 ∠P₁=½∠A=40°，∠P₂=20°，∠P₃=10°。故选A。 【典例3】如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP交于点P。求证：∠BPC=½∠A。 【答案】见解析 【解析】 ∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC。 ∴∠PBC=½∠ABC，∠PCD=½∠ACD。 ∵∠PCD是△PBC的外角， ∴∠BPC=∠PCD−∠PBC=½(∠ACD−∠ABC)=½∠A。 模型3．双角平分线模型（双外角） 当被平分的两个角都是外角时，两条平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差，夹角恒为锐角。 【模型提炼与证明】 1）基本模型 条件：如图1，在△ABC中，BO、CO分别是外角∠CBE、∠BCF的平分线（点E在AB的延长线上，点F在AC的延长线上），两条平分线交于点O。 图1 结论：。 证明： ∵∠CBE、∠BCF都是△ABC的外角， ∴∠CBE=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC， ∴∠CBE+∠BCF=2∠A+∠ABC+∠ACB=180°+∠A。 ∵BO、CO分别平分∠CBE、∠BCF， ∴。 在△OBC中，。 口诀记忆："内加外减，一内一外直接半"——双内角是"90°加半角"，双外角是"90°减半角"，一内一外恰好是"半个角"。 2）拓展：旁心 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE（点E在AC的延长线上），BD与CD交于点D。 图2 结论：AD平分∠BAC的外角∠CAF（点F在BA的延长线上），即点D是△ABC的旁心之一。 思路点拨： 由BD平分∠ABC可知，点D到直线BA与直线BC的距离相等； 由CD平分∠ACE可知，点D到直线CA与直线CB的距离相等； ∴点D到直线BA与直线CA的距离相等， ∴AD平分∠BAC的外角（用到角平分线的性质与判定，可课后完成完整证明）。 【模型运用】 【典例1】如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC的度数为______°。 【答案】55 【解析】 由模型3，∠BOC=90°−½∠A=90°−35°=55°。 【典例2】在△ABC中，∠A=76°，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC等于（　　） A．38°　　B．52°　　C．64°　　D．76° 【答案】B 【解析】 ∠BOC=90°−½×76°=90°−38°=52°。故选B。 【典例3】在△ABC中，∠A=60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点Q。求∠BPC+∠BQC的度数。 【答案】180° 【解析】 由模型1，∠BPC=90°+½∠A=90°+30°=120°； 由模型3，∠BQC=90°−½∠A=90°−30°=60°。 ∴∠BPC+∠BQC=120°+60°=180°。 （事实上，对任意大小的∠A都有∠BPC+∠BQC=180°。） 【模型拓展】 1．三类双角平分线模型的夹角都只由"第三个角"决定：双内角是"90°＋半角"，双外角是"90°－半角"，一内一外是"半个角"，三者恰好构成一套完整的定值体系； 2．把角平分线换成三等分线，推导思路完全相同（见【模型运用】第10题），夹角结论会相应变化； 3．两条内角平分线的交点是三角形的内心，一内一外、两外平分线的交点是三角形的旁心，本讲结论是研究这些"心"的角度性质的基础。 【易错总结】 易错点1：三类模型的"加减"记混，把双内角记成"90°减半角"，把双外角记成"90°加半角"。 错因分析：只背结论不经历推导，内角和与外角性质的用法相互混淆。 避坑指南：用特殊值检验：令∠A=60°，双内角夹角应为120°（钝角），双外角夹角应为60°（锐角），一内一外应为30°。 易错点2：外角找错位置，把邻角的补角当成外角，或在延长线上取错方向。 错因分析：外角是"一边的延长线与另一边"所成的角，延长哪条边没有看清。 避坑指南：画图时先延长确定的边并标好字母，再作平分线；每作一次延长线都回头核对一次。 易错点3：复杂图形中识别不出双角平分线模型。 错因分析：线条多、交点密，找不到"两条平分线＋公共三角形"的基本结构。 避坑指南：用不同记号描出两条角平分线，找出它们所在的公共三角形并锁定顶角，再套用对应结论。 【模型小结】 1．核心口诀：内角加半角，外角减半角，一内一外直接半； 2．解题流程：找平分线→定类型（双内／一内一外／双外）→套结论→特殊值检验； 3．所有结论都可以用内角和定理与外角性质现场推导，忘记结论时动手推一遍即可，不必死记。 【模型运用】 以下题目均为原创编写，请独立完成后核对解析。 1．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数为______°。 【答案】115 【解析】 ∠BPC=90°+½∠A=90°+25°=115°。 2．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠BPC=130°，则∠A的度数为______°。 【答案】80 【解析】 ∠A=2(∠BPC−90°)=2×(130°−90°)=80°。 3．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，则∠BPC的度数为（　　） A．30°　　B．35°　　C．40°　　D．70° 【答案】B 【解析】 由模型2，∠BPC=½∠A=35°。故选B。 4．如图，在△ABC中，∠A=76°，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC的度数为（　　） A．38°　　B．52°　　C．64°　　D．76° 【答案】B 【解析】 由模型3，∠BOC=90°−38°=52°。故选B。 5．如图，在四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=80°，∠ABC与∠DCB的平分线交于点P，则∠BPC的度数为______°。 【答案】75 【解析】 2∠BPC=∠A+∠D=150°，∴∠BPC=75°。 6．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P，过点P作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F。若AB=7，AC=5，则△AEF的周长为______。 【答案】12 【解析】 ∵EF∥BC，∴∠EPB=∠PBC=∠EBP，∴BE=EP；同理CF=FP。 ∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=7+5=12。 7．在△ABC中，∠A=96°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点P₁，∠P₁BC与∠P₁CD的平分线交于点P₂，∠P₂BC与∠P₂CD的平分线交于点P₃（点D在BC的延长线上），则∠P₃=______°。 【答案】12 【解析】 ∠P₁=½∠A=48°，∠P₂=24°，∠P₃=12°。 8．在△ABC中，∠A=90°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点M，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点N，则∠BPC+∠BMC+∠BNC的度数为（　　） A．180°　　B．225°　　C．270°　　D．315° 【答案】C 【解析】 ∠BPC=90°+45°=135°；∠BMC=½×90°=45°；∠BNC=90°−45°=45°。 ∴∠BPC+∠BMC+∠BNC=135°+45°+45°=225°。故选C。 9．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P。求证：∠BPC=90°+½∠A；若∠BPC=3∠A，求∠A的度数。 【答案】∠A=36° 【解析】 （1）∠PBC=½∠ABC，∠PCB=½∠ACB， ∴∠BPC=180°−½(∠ABC+∠ACB)=180°−½(180°−∠A)=90°+½∠A。 （2）由90°+½∠A=3∠A，得(3−0.5)∠A=90°，∴∠A=36°。 10．（拓展）如图，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线中靠近BC的那两条，∠OBC=⅓∠ABC，∠OCB=⅓∠ACB，BO与CO交于点O。（1）求证：∠BOC=180°−⅓(∠ABC+∠ACB)；（2）若∠A=45°，求∠BOC的度数。 【答案】（2）135° 【解析】 （1）在△OBC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−⅓(∠ABC+∠ACB)。 （2）∠ABC+∠ACB=180°−∠A=135°， ∴∠BOC=180°−⅓×135°=180°−45°=135°。 学科网（北京）股份有限公司 $