2026-2027学年人教版九年级数学上册10月学情自主监测2（内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数）

2026——2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测2 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ，，， 故选：C． 2．对于抛物线的图象，下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而增大 【答案】C 【详解】解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误； C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小，故D错误． 3．二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴二次函数的图象与轴的交点是和， 故选：D． 4．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵平移前抛物线的解析式为， ∴平移前的顶点坐标为， ∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的顶点坐标为，即． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：由题意得，且， 解得：且， 故选：B． 6．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 7．设二次函数，下表列出了x与y的6对对应值，根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（     ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格得 当时，， 当时，， 一元二次方程的一个解的大致范围是． 8．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为， 依题意，得：， 故选：C． 9．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点位置不同（一个在正半轴一个在负半轴），故、错误； 对于选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右下降，则，矛盾，故错误； 对于选项，二次函数图象开口向上，则，一次函数图象从左向右上升，则，且与轴交于正半轴，则，符合图象特征． 10．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知一元二次方程的两个实数根为，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴，， ∴ ． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴由图象可知，不等式的解集是． 13．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______________． 【答案】 【详解】解：∵第一个月进馆400人次，进馆人次的月平均增长率为， ∴第二个月进馆人次为， ∴第三个月进馆人次为， ∵第三个月进馆1456人次， ∴可列方程为． 14．如图，矩形的边分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，连接，若的面积为3，则k的值为__________． 【答案】 【详解】解：设，则， ∵反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为6， ∴， ∴， 由图象可知，， ∴. 15．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 _______ 米． 【答案】 【详解】解：令，可得， ， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴小朱本次投掷实心球的成绩为米． 故答案为：． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ． 17．某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克15元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于35元．试销期间发现该糖果每天销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，试销期间销售数据如下表： x/元 15 20 25 30 y/千克 120 110 100 90 (1)请求出y与x之间的函数解析式； (2)设每天获得的总利润是w（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当这种糖果每千克的售价是35元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是1600元． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为， 由题意得，， 解得， ∴． ∵糖果每千克的售价不低于成本，且不高于35元， ∴, ∴y与x之间的函数解析式为； （2）解：由题意得， ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当这种糖果每千克的售价是35元时，每天获得的总利润最大，最大总利润是1600元． 18．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)求的面积； (4)在抛物线上是否存在点P（点P不与点D重合），使得的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)顶点D的坐标为 (3)8 (4)存在，点P的坐标为或 【详解】（1）解：把代入： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴顶点D的坐标为； （3）解：，而点D到x轴的距离为4， ∴； （4）解：存在， 设点P的纵坐标为，则 ∴ 解得，即或， 当时为顶点D，不合题意； 令， 得， 解得， ∴点P的坐标为或． 19．如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：将点代入双曲线解析式， ∴， ∴双曲线为， 又∵在双曲线上， ∴， ∴， 将A、B代入一次函数解析式得， ∴． ∴直线的解析式为． （2）解：依据图象，即一次函数值大于反比例函数值， ∵，， ∴不等式的解集为：或． （3）解：设一次函数与y轴交于C点， ∴，， ∵可以看成由底均为的、组成， ∴． 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题12分，第22题14分，共38分） 20．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是___________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，请说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差的绝对值为，求的值． 【答案】(1)或1 (2)代数式没有镜像值，理由如下： 设的镜像值为， 根据定义得： 得：． 计算判别式． 此方程没有实数根， 即代数式没有镜像值； (3)6 【详解】（1）解：设代数式的镜像值为m， 由镜像值的定义，得， 整理，得，即， ∴或 解得，， 故代数式的镜像值是和1； （2）略 （3）解：设代数式的镜像值为， 根据定义得：， 整理得， 此代数式有两个镜像值， ， 得：，即， 解得， ∵代数式有两个镜像值， ∴，， 则两个镜像值之差的绝对值为 ． 则，整理，得， 解得：， 又， ． 21．某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式． (2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意，得，拱顶（点）的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：把代入，得， 解得或， ∴两个灯笼悬挂点之间的水平距离为． 22．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【详解】（1）解：将点，点代入， ∴， 解得， ∴． （2）设点D的坐标为， ∵的面积为10， ∴，即， 解得． ①当时，， 解得：，， ∴D或． ②当时，， 此方程无实数根， 综上所述，点D的坐标为或． （3）存在， ①当时，， ∴M点与A点重合， ∴； ②当时，， 如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线，过点P作交于点H，过点M作交于点G， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得或． ∴或． ∵M点在对称轴的左侧， ∴M点坐标为． 如图2，当P点在M点下方时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则， ∴，解得（舍）或， ∴． 综上所述：M点的坐标为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年人教版九年级数学第一学期10月学情自主监测2 （内容：第25章一元二次方程第26章二次函数第27章反比例函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A． B． C． D． 2．对于抛物线的图象，下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，随增大而增大 3．二次函数的图象与轴的交点是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 6．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．设二次函数，下表列出了x与y的6对对应值，根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（     ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A． B． C． D． 8．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长，宽的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（   ） A． B． C． D． 9．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（     ） A．B．C．D． 10．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知一元二次方程的两个实数根为，则代数式的值为___________． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是________． 13．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______________． 14．如图，矩形的边分别落在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，若反比例函数（）的图象经过的中点D且与边交于点E，连接，若的面积为3，则k的值为__________． 15．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 _______ 米． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．解方程 (1)； (2)； 17．某糖果经销商销售某种糖果，成本为每千克15元，规定糖果每千克的售价不低于成本，且不高于35元．试销期间发现该糖果每天销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，试销期间销售数据如下表： x/元 15 20 25 30 y/千克 120 110 100 90 (1)请求出y与x之间的函数解析式； (2)设每天获得的总利润是w（元）．当这种糖果每千克的售价是多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 18．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D． (1)求该抛物线的解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)求的面积； (4)在抛物线上是否存在点P（点P不与点D重合），使得的面积等于的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，直线（k，b为常数）与双曲线（m为常数）相交于，两点． (1)求双曲线与直线的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)连结，，试求的面积． 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题12分，第22题14分，共38分） 20．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式的镜像值是___________； (2)判断代数式是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，请说明理由； (3)关于的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差的绝对值为，求的值． 21．某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式． (2)今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 22．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $