精品解析：江西省赣州市某校2026-2027学年高一上学期第一次阶段检测数学试题

高一数学 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知. 2. 已知命题：，使；则命题为（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【详解】由命题否定的方法“改变量词，否定结论”，可得为，有. 3. 下列四个关系式：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】，故①正确；，故②错误；，故③正确；，故④正确； 故正确的个数是3. 4. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 无最小值 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 5. 下列结论中不正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C. 若，则“”是“不全为”的充要条件 D. “为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误. 【详解】对于A选项， ， 所以“”是“”的必要不充分条件，A选项正确； 对于B选项，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，B选项错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，C选项正确； 对于D选项， 充分性：取，则为无理数，但为有理数，即充分性不成立； 必要性：若为无理数，则是无理数，必要性成立. 所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D选项正确； 故选：B. 6. 已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 7. 已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 8. 已知二次函数对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立得出，可得出，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为二次函数对任意恒成立， 所以，可得， 所以， 当且仅当时，即当或时，上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以，则，故A，B正确； 因为，所以，故C错误； 若，则不成立，故D错误. 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值可以是或 B. “”的充要条件是“" C. 不等式的解集为 D. 若，且满足，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得的取值范围为，可判定A正确；由交集、并集的概念，结合充分条件，必要条件的判定方法，可判定B正确；根据含参数的一元二次不等式的解法，可判定C错误；根据题意，结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A中，不等式， 当时，不等式的解集为，要使得不等式的解集中恰有3个整数， 则满足； 当时，不等式的解集为空集，显然不符合题意，舍去； 当时，不等式的解集为，要使得不等式的解集中恰有3个整数， 则满足， 综上可得，实数的取值范围为，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以，即必要性成立； 反之：若，可得，所以，即充分性成立， 所以的充要条件是，所以B正确； 对于C中，由不等式， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为，所以C错误； 对于D中，因为，且，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 当时，函数的最大值为 C. 关于的不等式的解为或 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由开口方向，与轴交点，及对称轴，求出的正负，得到A正确；B选项，当时，数形结合得到函数随着的增大而减小，从而求出最大值；C选项，结合，化简不等式，求出解集；D选项，配方得到两函数的最小值，从而得到，求出. 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故， 对称轴为，故， 图象与轴交点在轴正半轴，故， 所以，故，A正确； B选项，因为，故， 因为，所以， 当时，随着的增大而减小， 所以时，取得最大值，最大值为，B错误； C选项，因为，所以， ， 故不等式变形为， 因为，，解得：或，故C正确； D选项，，当时，取得最小值，最小值为， ，当时，取得最小值，最小值为， 所以，即，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故的取值范围是 13. 已知集合，，则使的实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 若为空集，则，得； 若不为空集，则，得， 综上，实数的取值范围是 14. 在研究集合时，我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数．设集合，若，则实数的取值集合用列举法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，判断出的值，再根据根的个数讨论的取值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以或． ， 当时，或； 当时，且， 关于的方程有3个不同的实数根， 且是方程的解，且， 若是方程的解，则， 此时方程的解集只有2个元素，与矛盾； 若是方程的解， 则有，即，无解， 若关于的方程只有一个解且不为和， 则，解得． 当时，的解为1，此时，符合题意； 当时，的解为，此时，不符合题意． 综上，实数的取值集合用列举法表示为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集，集合或，． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用补集和交集运算求解即可； （2）根据集合关系列出不等式组，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 因为集合或，所以， 又，所以. 【小问2详解】 集合，显然不为， 因为，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，S取得最小值，为2000. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围； （2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上 【小问2详解】 由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000. 17. 已知集合，非空集合． （1）若，求：的取值集合； （2）若是的必要条件，求：的取值集合． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先求出集合的具体元素，根据判断集合中的元素特征，列方程求解的值，验证排除即可； （2）根据已知条件得出集合之间的关系，从而可得到集合的所有可能情况，逐一验证即可. 【小问1详解】 化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故的取值集合为． 【小问2详解】 若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不成立，舍去； 当时，由（1）可知，此时，舍去. 综上所述：的取值集合为. 18. 如图，已知点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过、、三点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若一元二次函数在上的最大值为3，求实数的值； （3）是第一象限内抛物线上一点，连接，，构成，当的面积达到最大值时，求出点的坐标及面积的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式，顶点. （2）或. （3）点，面积的最大值. 【解析】 【分析】（1）求出点、坐标，利用交点式写出解析式，再代入点，即可得解. （2）根据对称轴与区间的位置关系，分类求解即可. （3）过点向轴作垂线，交线段于点，设点，，把面积写成关于横坐标的二次函数，再求最值. 【小问1详解】 由已知直线， 令，代入，得，则. 令，代入，得，则. 抛物线过点，，设抛物线的解析式为， 代入，解得， 则抛物线的解析式为，顶点. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线开口向下，对称轴为，顶点处函数值为. 若区间包含，函数的最大值，舍去. 区间在对称轴右侧，即，时，最大值在处，即，解得. 区间在对称轴左侧，即，时，最大值在处，即，解得. 【小问3详解】 过点向轴作垂线，交线段于点. 设点，， 则，则， 又，当时，有，此时. 19. 设为一个数集，集合． （1）设，求集合； （2）设，，证明：若，则； （3）设，证明：若，则． 【答案】（1）. （2）情形一：当，，（，）时，此时， 因为为奇数，则； 情形二：当，，（，）时，此时， 因为为奇数，则； 情形三：当，，（，）时，此时， 因为为奇数，则； 情形四：当，，（，）时， 此时， 因为为奇数，则， 又，则集合中的元素满足， 综上所述，若则. （3）令 ， 此时，解得其中一组解为，，，， 于是， 因为，，则，， 于是，若，则. 【解析】 【分析】（1）由题可知：和的取值为1或3，将和取值的四种可能依次代入，从而求出集合； （2）先将和的取值都分为奇数和偶数两种，将和取值的四种可能依次讨论，最后综上可证； （3）先将分解为，再证明. 【小问1详解】 集合，，和的取值为1或3. 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 所以. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，使；则命题为（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 3. 下列四个关系式：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 无最小值 5. 下列结论中不正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 在中，“”是“为直角三角形”的充要条件 C. 若，则“”是“不全为”的充要条件 D. “为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 6. 已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值可以是或 B. “”的充要条件是“" C. 不等式的解集为 D. 若，且满足，则的最小值为 11. 已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（ ） A. B. 当时，函数的最大值为 C. 关于的不等式的解为或 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，，则的取值范围是__________． 13. 已知集合，，则使的实数的取值范围是__________． 14. 在研究集合时，我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数．设集合，若，则实数的取值集合用列举法表示为___________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集，集合或，． （1）求； （2）设集合，若，求实数的取值范围． 16. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 17. 已知集合，非空集合． （1）若，求：的取值集合； （2）若是的必要条件，求：的取值集合． 18. 如图，已知点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过、、三点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若一元二次函数在上的最大值为3，求实数的值； （3）是第一象限内抛物线上一点，连接，，构成，当的面积达到最大值时，求出点的坐标及面积的最大值． 19. 设为一个数集，集合． （1）设，求集合； （2）设，，证明：若，则； （3）设，证明：若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $