精品解析：江西省信丰中学2026-2027学年高一上学期第一次素养训练数学试题

2026－2027 学年第一学期高一数学素养训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】元素与集合之间用、；集合与集合之间用⊆、⫋． 2是集合中的元素，故． 2. 已知集合，则集合M的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【详解】因为且， 所以满足条件的点有共4个， 即集合M含有4个元素,所以集合M的子集个数为. 3. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题的否定为. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件． 故选：A． 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，例如时，不成立； 对于B，若，则，B不成立； 对于C，若，则，C不成立； 对于D，若，则，D成立. 6. 已知 x＞0，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，当且仅当，即取等号， 所以 的最小值为8. 7. 已知一元二次不等式 的解集为，则不等式 6＜0 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定解集，结合韦达定理求出，再求解一元二次不等式. 【详解】由不等式的解集为，得，且是一元二次方程的两根， 则，解得， 不等式为，解得， 所以所求解集为. 8. 国庆广场喷泉喷水后，水流高度y（单位：m）与喷水时间t（单位：s）满足二次函数 ，其中．下列说法正确的是（ ）. ①抛物线开口向下；②水流最大高度为4m；③当时，水流高度随喷水时间增大而增大；④水流从喷出到落地总用时为8s A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的图象与性质求解. 【详解】，二次项系数，抛物线开口向下，①正确； 抛物线的对称轴，代入解析式得，水流最大高度4m，②正确； 因抛物线开口向下，对称轴，当时，y随t增大而减小，③错误； 由，解得（喷水时刻）或，水流从喷出到落地总用时8s，④正确． 综上，①②④正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则均为空集 C. 若，则 D. 集合与是同一个集合 【答案】AC 【解析】 【详解】A：空集是任何集合的子集，故选项A正确； B：交集为空，两个集合不一定都是空集； 例如，满足，但是均不为空集，故选项B错误； C：因为，即中所有的元素都在中，所以，故选项C正确； D：，不是同一集合，故选项D错误． 10. 已知，且，下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为，当且仅当时取等号 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，运用均值不等式、“1”的整体代换、代数式变形与代入消元法配方，注意判断选项即可. 【详解】已知，且， A：由，得，当且仅当，即时等号成立，故A正确； B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； C：，最小值为，当且仅当时等号成立，不是，故C错误． D：由，得，代入可得：， 由于，故当时，有最小值，故D正确. 11. 定义：设集合，，称集合且为集合，的对称差．则下列说法正确的有（ ） A. 若，，或， B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，，，，， 或.故A正确； 对B：定义对称差，显然.故B正确； 对C：因为或，所以.故C错误； 对D：若，说明中没有元素不在中，即，故.故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则______ 【答案】 【解析】 【详解】，都含有元素，所以①或②， 解①，检验：， 三元素互不相同，满足互异性．． 解②，检验：，元素重复，舍去． 综上可知，. 13. 已知命题：，关于的一元二次方程有实数根．若命题为假命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由存在命题为假命题，得出否定命题为真命题，再利用一元二次方程无实根时即可求解. 【详解】因为命题：，方程有实数根， 由命题为假命题，则其否定为真， 即，方程没有实数根， 所以，解得：. 14. 已知命题 命题 若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求解命题q和命题p对应的集合，再对参数a分类讨论即可. 【详解】由题意得， 等价于，解得， 命题p的不等式 求方程两根：解得， 当时，不等式解集：，， 显然，恒成立． 当时，不等式变为，解集为， 而，满足条件． 当时，不等式解集： 要求，区间里面所有x都满足， 则必须，但本情况前提，矛盾，无解． 综上所述，实数a的取值范围是. 四、解答题（共 5 小题，满分 77 分，说明：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合 ，集合 （1）求，； （2）求 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集和交集的概念求解； （2）根据补集和并集的概念求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知二次函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若二次函数的图像开口向上，且不等式的解集为，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，代入得：， 原不等式为：， 整理得：， 解得：， 所以不等式解集为. 【小问2详解】 由题意：二次函数开口向上，故． 不等式的解集为， 则一元二次方程的两个实数根为， 根据韦达定理：，代入得：， 解得：， 17. 2026 年 9 月，全国开展全民国防教育月主题宣传活动．为弘扬爱国主义精神，某国防教育展馆制作矩形主题宣传展板．展板内部图文展示区域为矩形，展示区域面积固定为 展示区域四周预留空白：上下空白宽度均为2cm，左右空白宽度均为1cm．设展示区域的水平边长为 xcm． （1）写出整块展板的面积S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）求整块展板面积的最小值． 【答案】（1），x的取值范围为 （2） 【解析】 【详解】（1）内部图文区域水平边长为xcm，内部面积为，则内部竖直边长为cm． 展板左右各留1cm空白，所以展板水平总长：x＋1＋1＝x＋2； 展板上下各留2cm空白，所以展板竖直总高：． 展板面积：． 因为边长必须大于0，所以x＞0． 函数解析式：，x的取值范围：． （2）． 由基本不等式：对正数m，n，有m＋n≥，当且仅当m＝n取等号． 令m＝4x，，当且仅当，即时取等号． 解方程：， 因为x＞0，所以x＝6．此时． ∴整块展板面积最小值为． 18. 已知关于x的不等式 （1）解关于x的不等式 （2）设 若对任意 都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为，，解集为， 当，解集为， 当时，解集为，时解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）对含参数m的一元二次不等式，按（退化为一次不等式）、（比较两根1与大小分类）、（变号转化为小于型不等式）三类讨论求解集； （2）利用区间内，将恒成立不等式简化为，再求在上的最大值，得到的取值范围. 【小问1详解】 由题意得， ①当时，原不等式化为，解得． ②当时，方程两根：． 若，即，解集为， 若，即时，不等式化为，解集为， 若，即，解集为， ③当时，二次项系数为负， 不等式等价于， 而，解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，解集为，当时，解集为， 当时，解集为，当时解集为 【小问2详解】 由题意得，因式分解可得． 已知，所以，可得． 因此对任意，等价于． 即，，且是正数，得到， 题意要求对区间里每一个x，不等式都成立． 令，在区间上单调递减， 因此，所以． 19. 已知集合 集合 其中 . （1）若 ，求实数的取值范围； （2）若集合 是一个非空闭区间，且满足，求所有实数；若不存在，请说明理由； （3）若集合 中恰好有3 个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）考查集合包含关系，需分与讨论，非空时保证的端点落在内，容易漏掉空集情况； （2）考查区间交集与区间长度，交集端点取左大右小，按的位置分类列方程，求得参数后要回代检验； （3）考查集合与整数计数，将条件转化为含 4 个整数，分类锁定整数组，对应求参数并检验端点. 【小问1详解】 ，分和两种情况． ①当时，，解得． ②当时，解得． 综合①②，实数的取值范围为或． 【小问2详解】 是非空闭区间， 交集区间的左端点取和当中较大的数， 交集区间的右端点取4和当中较小的数． 满足：（4和中较小的数）－（和中较大的数）． 情形1：，即． 交集左端点为，则4和中较小的数，得，． 检验：，，，成立． 情形2：，即．交集左端点为． ①若，即，则，得，与矛盾，舍去． ②若，即，则，解得． 检验：，，，成立． 情形3：，即，，长度为0，无解． 综上，或． 【小问3详解】 集合中的整数：，共7个． 恰好有3个整数，说明含有4个整数． ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，列不等式组解得. 检验端点：不满足题意，舍去． 综上，实数的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027 学年第一学期高一数学素养训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合M的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知 x＞0，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 7. 已知一元二次不等式 的解集为，则不等式 6＜0 的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 国庆广场喷泉喷水后，水流高度y（单位：m）与喷水时间t（单位：s）满足二次函数 ，其中．下列说法正确的是（ ）. ①抛物线开口向下；②水流最大高度为4m；③当时，水流高度随喷水时间增大而增大；④水流从喷出到落地总用时为8s A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则均为空集 C. 若，则 D. 集合与是同一个集合 10. 已知，且，下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为，当且仅当时取等号 D. 的最小值为 11. 定义：设集合，，称集合且为集合，的对称差．则下列说法正确的有（ ） A. 若，，或， B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则______ 13. 已知命题：，关于的一元二次方程有实数根．若命题为假命题，则实数的取值范围为______． 14. 已知命题 命题 若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（共 5 小题，满分 77 分，说明：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合 ，集合 （1）求，； （2）求 16. 已知二次函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若二次函数的图像开口向上，且不等式的解集为，求实数m的值． 17. 2026 年 9 月，全国开展全民国防教育月主题宣传活动．为弘扬爱国主义精神，某国防教育展馆制作矩形主题宣传展板．展板内部图文展示区域为矩形，展示区域面积固定为 展示区域四周预留空白：上下空白宽度均为2cm，左右空白宽度均为1cm．设展示区域的水平边长为 xcm． （1）写出整块展板的面积S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）求整块展板面积的最小值． 18. 已知关于x的不等式 （1）解关于x的不等式 （2）设 若对任意 都有，求实数的取值范围． 19. 已知集合 集合 其中 . （1）若 ，求实数的取值范围； （2）若集合 是一个非空闭区间，且满足，求所有实数；若不存在，请说明理由； （3）若集合 中恰好有3 个整数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $