专题02 含参不等式恒成立与存在性问题的分离参数、分类讨论策略（期中专项训练·冲刺版）高一数学上学期人教A版

专题02 含参不等式恒成立与存在性问题的分离参数、分类讨论策略 题型1 判别式法解决二次不等式恒成立问题（重点） 题型5 二次不等式在某区间内有解问题 题型2 分离参数法解决二次不等式恒成立问题（重点） 题型6 二次不等式恒成立与存在性综合问题 题型3 分类讨论法解决二次不等式恒成立问题（难点） 题型7 基本不等式的恒成立问题（重点） 题型4 主元法解决二次不等式恒成立问题 题型8 基本不等式的存在性问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判别式法解决二次不等式恒成立问题（共3小题） 1．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 恒成立的等价条件为 ， 【详解】命题＂＂是真命题，又 ， 则 ， 解得 ． 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分式不等式恒成立转化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式可得答案. 【详解】由 ，得： ， 由于分母 ，故只需满足 ， 即原不等式恒成立等价于对任意实数恒成立， 即：， 解得： . 故选：D 3．（25-26高一上·福建厦门·期中）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 题型二 分离参数法解决二次不等式恒成立问题（共3小题） 4．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知命题为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题为假命题， 所以命题为真命题， 所以， 令， 在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，所以. 所以的取值范围为. 5．（25-26高一上·北京昌平·期中）若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】写出原命题的否定，根据原命题的否定为真命题求实数的取值范围，再进行判断. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以原命题的否定“，”为真命题. 所以，使得，所以，. 因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，所以实数a可取的最小整数值为0. 故选：B 6．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中），使成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用分离参变量法，来求函数的最大值，即可得参数范围. 【详解】由于当时，不等式， 要，使成立，即满足 因为函数在上单调递增，所以， 即， 故答案为： 题型三 分类讨论法解决二次不等式恒成立问题（共3小题） 7．（25-26高一上·北京东城·期中）若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数分、、三类讨论，结合一次不等式、二次不等式有解的条件分别求取值范围，最终取并集即可得到结果. 【详解】当时，不等式化为，解得，存在解，符合题意； 当时，二次函数开口向上，必然存在使得，故符合题意； 当时，二次函数开口向下，若不等式有解，则需，解得， 又，所以. 综上，的取值范围为. 8．（25-26高二下·河北沧州·期中）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 9．（25-26高一上·山东聊城·期中），则的取值范围是__________. 【答案】或 【分析】考虑，和三种情况，结合二次函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，不合要求，舍去； 当时，开口向下，满足要求； 当时，开口向上，需满足， 解得， 综上，或 故答案为：或 题型四 主元法解决二次不等式恒成立问题（共3小题） 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）对任意实数，不等式恒成立，则实数x的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】利用更换主元方法，将以x为变量的二次不等式转化为以为自变量的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的单调性求解即可. 【详解】将不等式整理为关于的一次函数形式：， 设， 对任意实数，恒成立，则且， 解得：或. 检验端点值：当时，原不等式为，不成立； 当时，对任意实数，恒成立. 综上：实数x的取值范围为或. 11．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】令， 当时，，不满足题意； 当时，由一次函数性质可知，， 解得或. 故选：C 12．（25-26高一上·湖北荆州·期中）当时，有解，则实数的取值范围是___. 【答案】 【分析】由题意转化为关于m的一次不等式小于0有解，根据对应的一次函数为增函数，列出不等式即可得解. 【详解】当时，有解， 即在上有解， 因为，所以一次函数单调递增， 所以只需即可，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型五 二次不等式在某区间内有解问题（共3小题） 13．（25-26高一上·湖北随州·期中）设函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． (2) 【分析】（1）根据题意，得出不等式，对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，利用分离参数法，得到，结合函数的单调性、最值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：当时，由，可得， 整理得，解得； 当时，由，可得， 整理得，即，解得； 当时，由，可得， 整理得，即， 令，解得或， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或， 综上可得，时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）解：由关于的不等式在时有解， 即不等式在时有解， 由于，所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是． 14．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； (2) 【分析】（1）分情况讨论二次不等式解的情况； （2）分离参数，结合对勾函数单调性可得取值范围. 【详解】（1）由已知，即， 因为，所以不等式化简可得， 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； （2）由已知不等式在上有解， 化简可得， 设，则， 又函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 15．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）问题化为，恒成立，分，，讨论求解可得的取值范围； （2）问题化为在时有解，利用换元法与对勾函数的区间单调性求范围，进而得实数的取值范围. 【详解】（1）由已知命题为假，则，恒成立， 当时，即时，，显然在上不恒成立； 当时，即时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即， 综上，的取值范围是. （2）不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 设，有，， 而在上单调递增，则，故， 所以，实数的取值范围为. 题型六 二次不等式恒成立与存在性综合问题（共3小题） 16．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别分析命题p和命题q，再根据“p为假命题，q为真命题”的条件确定实数a的取值范围． 【详解】令，配方得，为二次函数，当时，取得最小值，当时，，所以当时，， 题目中p为假命题，所以或， 将不等式变形为，又，即， 令，因为函数、在均单调递减，所以在上单调递减，因此在上的最大值为，要使对所有恒成立，需，即命题q为真时，， 结合p假、q真的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为． 故选：A． 17．（25-26高一上·河北衡水·期中）设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 18．（25-26高一上·四川成都·期中）若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】分析可知，结合一次函数、二次函数最值可得，运算求解即可. 【详解】因为对任意，总存在，使得成立， 则， 当时，取到最大值； 当时，取到最大值； 则，即，解得， 所以的取值范围为. 题型七 基本不等式的恒成立问题（共4小题） 19．（25-26高一上·福建厦门·期中）若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求的最小值，再依题意建立关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式恒成立. 则需使，解得. 20．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用乘“1”的方法，根据基本不等式求得，则，求解即可. 【详解】因为 ， 当且仅当，即当且仅当时，等号成立， 所以， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 21．（25-26高一上·上海青浦·期中）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案； （2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案. 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 22．（25-26高一上·四川成都·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求实数、的值； (2)若，，，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）分析可知，且关于的方程的两根为、，结合韦达定理可得出、的值； （2）由已知可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，根据题意可得出关于的不等式，即可解出的取值范围. 【详解】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为或，则， 所以关于的方程的两根为、， 由韦达定理可得，可得，由，可得， 综上所述：，. （2）因为，，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即取得最小值， 因为恒成立，所以恒成立，即，解得. 所以，的取值范围为. 题型八 基本不等式的存在性问题（共4小题） 23．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为，再利用基本不等式求最值. 【详解】由题意可知，有解，即， 因为，所以， 那么 ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则的最小值为. 故选：D. 24．（25-26高一上·陕西西安·期中）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C 25．（25-26高一上·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. $专题02 含参不等式恒成立与存在性问题的分离参数、分类讨论策略 题型1 判别式法解决二次不等式恒成立问题（重点） 题型5 二次不等式在某区间内有解问题 题型2 分离参数法解决二次不等式恒成立问题（重点） 题型6 二次不等式恒成立与存在性综合问题 题型3 分类讨论法解决二次不等式恒成立问题（难点） 题型7 基本不等式的恒成立问题（重点） 题型4 主元法解决二次不等式恒成立问题 题型8 基本不等式的存在性问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判别式法解决二次不等式恒成立问题（共3小题） 1．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建厦门·期中）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 题型二 分离参数法解决二次不等式恒成立问题（共3小题） 4．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知命题为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·北京昌平·期中）若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 6．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中），使成立，则实数的取值范围是___________. 题型三 分类讨论法解决二次不等式恒成立问题（共3小题） 7．（25-26高一上·北京东城·期中）若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河北沧州·期中）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·山东聊城·期中），则的取值范围是__________. 题型四 主元法解决二次不等式恒成立问题（共3小题） 10．（25-26高一上·江苏南京·期中）对任意实数，不等式恒成立，则实数x的取值范围是__________． 11．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·湖北荆州·期中）当时，有解，则实数的取值范围是___. 题型五 二次不等式在某区间内有解问题（共3小题） 13．（25-26高一上·湖北随州·期中）设函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围． 14．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 15．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数. (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围. 题型六 二次不等式恒成立与存在性综合问题（共3小题） 16．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·河北衡水·期中）设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·四川成都·期中）若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围为___________． 题型七 基本不等式的恒成立问题（共4小题） 19．（25-26高一上·福建厦门·期中）若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 20．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________. 21．（25-26高一上·上海青浦·期中）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 22．（25-26高一上·四川成都·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求实数、的值； (2)若，，，且恒成立，求实数的取值范围. 题型八 基本不等式的存在性问题（共4小题） 23．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·陕西西安·期中）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·山西晋城·期中）若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． $